호프 분기

3. 호프 분기의 정규형

'''제1 리야푸노프 계수'''라는 특정 양이 음수이면 극한 주기는 궤도적으로 안정하고, 분기는 초임계이다. 그렇지 않으면 불안정하고 분기는 아임계이다.

호프 분기의 정규 형식은 다음과 같은 시간 종속 미분 방정식이다.

::$\backslash frac\{dz\}\{dt\}=z((\backslash lambda\; +\; i\; )\; +\; b\; |z|^2),$ 여기서 ''z'', ''b''는 모두 복소수이고 ''λ''는 실수 매개변수이다.

$b=\; \backslash alpha\; +\; i\; \backslash beta.\; \backslash ,$와 같이 쓸 때, 숫자 ''α''를 제1 리야푸노프 계수라고 한다.

• ''α''가 음수이면 ''λ'' > 0에 대해 안정적인 극한 주기가 있다.

• ''α''가 양수이면 ''λ'' < 0에 대해 불안정한 극한 주기가 있다. 분기를 '''아임계'''라고 한다.

4. 호프 분기의 판별

호프 분기는 야코비 행렬의 고유값 분석을 통해 판별할 수 있다. 동역학적 시스템의 정상 상태점($Z\_e$)에서 평가된 야코비 행렬 $J\_0$을 생각해보자. $J\_0$의 모든 고유값이 음의 실수부를 가지고, 켤레 복소수인 순허수 쌍($\backslash pm\; i\backslash beta$)을 제외한다고 가정한다. 시스템 매개변수가 변화하면서 이 두 고유값이 허수 축을 교차할 때 호프 분기가 발생한다.^[12]

고전적인 반 데르 폴 발진기를 예로 들어 설명할 수 있다. 반 데르 폴 발진기의 상미분 방정식은 다음과 같다.

:$$

\left \{

\begin{array}{l}

\dfrac{dx}{dt} = \mu (1-y^2)x - y, \\

\dfrac{dy}{dt} = x.

\end{array}

\right .



이 시스템의 야코비 행렬은 다음과 같다.

:$$

J =

\begin{pmatrix}

• \mu (-1+y^2) & -2 \mu y x -1 \\

4. 1. 라우스-후르비츠 판별법

4. 2. 슈투름 연쇄

5. 호프 분기의 예시

호프 분기는 포식-피식자 관계의 로트카-볼테라 방정식(풍요화의 역설이라고도 함), 신경 막 전위의 호지킨-헉슬리 모델,^[4] 당분해의 셀코프 모델,^[5] 벨로우소프-자보틴스키 반응, 로렌츠 끌개, 브뤼셀레이터, 고전 전자기학 등 다양한 동역학계에서 관찰된다.^[6] 핵분열파에서도 호프 분기가 발생하는 것으로 나타났다.^[7]

철도 차량 시스템에서 호프 분기 분석은 특히 중요하다. 일반적으로 철도 차량은 저속에서는 안정적인 움직임을 보이지만 고속에서는 불안정해진다. 이러한 시스템의 비선형 분석의 한 가지 목표는 접선 트랙에서 철도 차량의 분기, 비선형 측면 안정성 및 헌팅 동작에 대한 분석적 조사를 수행하는 것이며, 보고류보프 방법을 사용한다.^[9]

5. 1. 생물학적 시스템

5. 2. 화학 반응

5. 3. 물리학적 시스템

5. 4. 공학적 시스템

• \mu (-1+y^2) & -2 \mu y x -1 \\

6. 직렬 전개 방법 (Serial expansion method)

교란 전개와 투-타이밍 방법을 사용하여 호프 분기 근처의 해를 근사적으로 구할 수 있다.^[10] "느린 시간" $T\; =\; \backslash nu\; t$를 도입하고, $\backslash epsilon,\; \backslash nu$를 $\backslash mu$의 함수라고 하면, 해를 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$x(t)\; =\; \backslash epsilon\; x\_1(t,\; T)\; +\; \backslash epsilon^2\; x\_2(t,\; T)\; +\; \backslash epsilon^3\; x\_3(t,\; T)\; +\; \backslash cdots$

조화 균형을 이용하면,^[10] $\backslash epsilon\; =\; \backslash mu^\{1/2\},\; \backslash nu\; =\; \backslash mu$로 설정할 수 있다. $x(t)$를 원래 방정식에 대입하고 $\backslash epsilon^3$ 차수까지 전개하면 $x\_1,\; x\_2,\; x\_3$에 대한 세 개의 상미분 방정식을 얻는다.

첫 번째 방정식은 $\backslash partial\_\{tt\}\; x\_1\; +\; \backslash omega\_0^2\; x\_1\; =\; 0$ 형태이며, 해는 $x\_1(t,\; T)\; =\; A(T)\; \backslash cos(\backslash omega\_0\; t\; +\; \backslash phi(T))$이다. 여기서 $A(T),\; \backslash phi(T)$는 $x\_1$의 "천천히 변하는 항" (진폭과 위상)이다. 이 해를 두 번째 방정식에 대입하여 $x\_2(t,\; T)$를 구한다.

다음으로, $x\_1,\; x\_2$를 세 번째 방정식에 대입하면 $\backslash partial\_\{tt\}\; x\_3\; +\; \backslash omega\_0^2\; x\_3\; =\; ...$ 형태의 방정식을 얻는다. 우변은 삼각 함수의 합으로 나타나는데, 이 중 "공명 항" ($\backslash cos(\backslash omega\_0\; t),\; \backslash sin(\backslash omega\_0\; t)$)을 0으로 설정해야 한다. 이는 푸앵카레-린드슈테트 방법과 유사하다. 이를 통해 $A,\; \backslash phi$에 대한 두 개의 상미분 방정식을 얻고, $A$의 평형 값과 안정성을 계산할 수 있다.
예시:$\backslash frac\{d\; x\}\{d\; t\}=\backslash mu\; x+y-x^2$ 및 $\backslash frac\{d\; y\}\{d\; t\}=-x+\backslash mu\; y+2\; x^2$로 정의된 시스템을 고려해 보자. 이 시스템은 $\backslash mu$가 음수에서 양수로 변할 때 원점에서 안정 나선점에서 불안정 나선점으로 바뀌는 호프 분기를 나타낸다.

$y$를 제거하고 섭동 전개를 수행하여 $\backslash epsilon^3$ 차수까지 다음 방정식들을 얻는다.

:$\backslash begin\{cases\}$

\partial_{tt}x_1 + x_1 = 0\\

\partial_{tt}x_2+ x_2 = 2x_1^2 - 2x_1 \partial_t x_1\\

\partial_{tt}x_3 + x_3 = 4x_1x_2 + 2\partial_t(x_1-x_1x_2 - \partial_T x_1)

\end{cases}

첫 번째 방정식의 해는 $x\_1(t,\; T)\; =\; A(T)\; \backslash cos(t\; +\; \backslash phi(T))$이며, $A(T),\; \backslash phi(T)$는 각각 진폭과 위상의 느린 변화를 의미한다.

두 번째 방정식의 해는 $x\_2(t,\; T)\; =\; A^2\; -\; \backslash frac\; 13\; A^2(\backslash sin(2t+2\backslash phi)\; +\; \backslash cos(2t+2\backslash phi))$이다.

세 번째 방정식에 대입 후 공명 항을 제거하면 $A\text{'}\; =\; A-A^3/2,\; \backslash quad\; \backslash phi\text{'}\; =\; -\backslash frac\{11\}\{6\}A^2$를 얻는다. 첫 번째 방정식에서 $A=\; \backslash sqrt\; 2$가 안정적인 평형 상태임을 알 수 있으며, 이는 이 호프 분기가 끌어당기는 한계 순환(limit cycle)을 생성함을 의미한다.

참조

_[1] 웹사이트 Hopf Bifurcations. https://ocw.mit.edu/[...] MIT
_[2] 간행물 Brain Dynamics Toolbox https://bdtoolbox.or[...] 2017-2022
_[3] 서적 Nonlinear Dynamics and Chaos https://archive.org/[...] Addison Wesley
_[4] 논문 Bifurcation of the Hodgkin and Huxley equations: A new twist
_[5] 웹사이트 Selkov Model Wolfram Demo http://demonstration[...] 2012-09-30
_[6] 논문 Stability analysis of the uniform motion of electrodynamic bodies https://doi.org/10.1[...] 2020-12-01
_[7] 논문 Stability instability and Hopf bifurcation in fission waves 2021-10
_[8] 서적 Nonlinear Dynamics and Chaos https://archive.org/[...] Addison Wesley
_[9] 논문 Effects of the bogie and body inertia on the nonlinear wheel-set hunting recognized by the hopf bifurcation theory http://www.iust.ac.i[...]
_[10] 간행물 18.385J / 2.036J Nonlinear Dynamics and Chaos Fall 2014: Hopf Bifurcations https://ocw.mit.edu/[...] MIT OpenCourseWare
_[11] 서적 Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems Springer-Verlag
_[12] 서적 Dynamics and Bifurcations https://archive.org/[...] Springer-Verlag
_[13] 논문 Deciding Hopf bifurcations by quantifier elimination in a software component architecture