고전 전자기학

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1. 개요

고전 전자기학은 고대부터 개별적으로 연구된 전자기 현상을 다루는 물리학의 한 분야이다. 마이클 패러데이와 제임스 클러크 맥스웰의 연구를 통해 현대적인 모습을 갖추었으며, 대전된 입자에 작용하는 로렌츠 힘, 전기장, 전자기파 등을 주요 개념으로 한다. 쿨롱 법칙과 뒤처진 퍼텐셜, 리에나르-비헤르트 퍼텐셜 등을 통해 일반적인 전하 분포에 대한 전자기장을 계산하며, 광학, 전자공학, 전기공학 등 다양한 응용 분야를 포함한다.

고전 전자기학

개요

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전자기 스펙트럼

분야	물리학
세부 분야	고전 역학 상대성이론 양자 역학
필수 구성 요소	전하 전류 전기장 자기장
주요 개념	전자기장 전자기 유도 전자기파 광학
관련 법칙	쿨롱 법칙 앙페르 회로 법칙 패러데이 전자기 유도 법칙 가우스 법칙 맥스웰 방정식 비오-사바르 법칙 렌츠의 법칙
관련 학문	전기공학 전자공학 광학

주요 인물

과학자	앙드레마리 앙페르 샤를 드 쿨롱 마이클 패러데이 카를 프리드리히 가우스 올리버 헤비사이드 하인리히 헤르츠 크리스티안 하위헌스 제임스 클러크 맥스웰 아이작 뉴턴 한스 크리스티안 외르스테드 니콜라 테슬라 알레산드로 볼타

관련 이론	전기 자기 광학 전기 회로 전자기파

2. 역사

전자기학이 다루는 물리 현상들은 고대부터 각기 다른 분야에서 연구되었다. 예를 들어, 빛이 전자기파의 일종으로 이해되기 수 세기 전부터 광학 분야는 상당한 발전을 이루었다. 그러나 현대적인 전자기학 이론은 마이클 패러데이가 실험을 통해 전자기장의 존재를 시사하고, 이후 제임스 클러크 맥스웰이 1873년 출판한 그의 저서 전기와 자기에 관한 논문집에서 미분방정식을 사용하여 전자기 현상을 통합적으로 설명하면서 정립되었다. 유럽에서는 전압, 전류, 전기 용량, 저항 등을 측정하는 기술의 발전이 전자기학 연구를 더욱 촉진했다. 전자기학의 상세한 역사에 대해서는 볼프강 파울리, E. T. 휘태커, 아브라함 파이스, 브루스 J. 헌트 등의 연구를 참조할 수 있다.

3. 로렌츠 힘

전자기장은 전하를 띤 입자에 로렌츠 힘이라는 힘을 가한다. 이 힘은 다음과 같은 식으로 표현된다.

: $\mathbf{F} = q\mathbf{E} + q\mathbf{v} \times \mathbf{B}$

또는

: $\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$

여기서 굵게 표시된 기호는 모두 벡터를 의미한다.
* F는 전하 q를 가진 입자가 받는 힘이다.
* E는 입자가 위치한 지점에서의 전기장이다.
* v는 입자의 속도이다.
* B는 입자가 위치한 지점에서의 자기장이다.
* q는 입자의 전하량이다.

위 식은 로렌츠 힘이 두 가지 힘의 합으로 이루어져 있음을 보여준다. 하나는 전기장에 의한 힘(qE)으로, 전기장의 방향과 같다. 다른 하나는 자기장에 의한 힘(qv × B)으로, 입자의 속도(v)와 자기장(B) 벡터 모두에 수직인 방향으로 작용한다. 이는 벡터 외적의 성질 때문이다.

이 식만 보면 전기장과 자기장이 서로 독립적인 것처럼 보일 수 있다. 그러나 상대론적 관점에서는 이들을 통합하여 다룬다. 로렌츠 힘은 사차원 전류 $J^{\beta}$ 와 전자기장 텐서 $F^{\mu \nu}$ 를 사용하여 다음과 같이 하나의 식으로 표현할 수 있다.

: $f_{\alpha} = F_{\alpha\beta}J^{\beta}$

여기서 $f_{\alpha}$ 는 단위 부피당 작용하는 사차원 힘 (로렌츠 힘 밀도)을 나타낸다. 이는 전기장과 자기장이 사실상 전자기장이라는 하나의 통합된 실체의 다른 측면임을 시사한다.

4. 전기장

전기장 E는 정지된 전하에 작용하는 힘을 이용하여 정의된다. 시험 전하 q₀가 받는 힘을 F라고 할 때, 전기장 E는 다음과 같다.

: $\mathbf{F} = q_0 \mathbf{E}$

여기서 시험 전하 q₀는 전기장에 영향을 주지 않을 만큼 충분히 작다고 가정한다. 이 정의에 따라 전기장 E의 단위는 N/C(뉴턴/쿨롬)이며, 이는 V/m(볼트/미터)와 동일하다.

전하가 움직이지 않는 정전기학에서는 쿨롱 법칙을 이용하여 전기장을 계산할 수 있다. 여러 개의 점전하 q_i가 각 위치 r_i에 분포할 때, 특정 위치 r에서의 전기장 E는 각 점전하가 만드는 전기장의 벡터 합으로 주어진다.

: $\mathbf{E(r)} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \sum_{i=1}^{n} \frac{q_i \left( \mathbf{r} - \mathbf{r}_i \right)} {\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_i \right|^3}$

여기서 n은 점전하의 총 개수, ε₀는 전기 상수(진공 유전율)이다.

만약 전하가 연속적인 전하 밀도 ρ(r')를 가지며 분포하는 경우, 위의 합산은 적분으로 바뀐다.

: $\mathbf{E(r)} = \frac{1}{ 4 \pi \varepsilon_0 } \int \frac{\rho(\mathbf{r'}) \left( \mathbf{r} - \mathbf{r'} \right)} {\left| \mathbf{r} - \mathbf{r'} \right|^3} \mathrm{d^3}\mathbf{r'}$

여기서 적분은 전하가 분포하는 모든 부피 영역에 대해 수행되며, $\mathbf{r}-\mathbf{r'}$ 는 미소 전하 요소 ρ(r')d³r에서 전기장을 계산하려는 위치 r까지의 벡터이다.

위의 방법으로 전기장을 직접 계산하는 것은 복잡할 수 있다. 이때 전기 전위(또는 전압) φ를 사용하면 계산을 간편하게 할 수 있다. 전기 전위는 전기장의 선적분으로 정의된다.

: $\varphi \mathbf{(r)} = - \int_C \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}$

여기서 C는 적분 경로를 나타낸다. 이 정의는 정전기학적인 상황, 즉 맥스웰 방정식에서 $\nabla\times E = 0$ 인 경우에 엄밀히 성립한다. 시간에 따라 변하는 자기장이 존재하면 $\nabla\times E \neq 0$ 이므로, 스칼라 전위만으로는 전기장을 완전히 기술할 수 없고 벡터 포텐셜 A의 시간 변화율을 고려해야 한다.

: $\mathbf{E} = -\nabla \varphi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$

하지만 정전기학에서는 $\nabla\times E = 0$ 이므로, 전기장은 단순히 전위의 기울기(∇)에 음의 부호를 붙인 것과 같다.

: $\mathbf{E(r)} = -\nabla \varphi \mathbf{(r)}$

이 관계식으로부터 전기장의 단위가 V/m임을 쉽게 알 수 있다.

전기 전위 φ는 스칼라이므로, 여러 전하 분포에 의한 전위는 각 분포가 만드는 전위를 단순히 더하면 된다. 이는 복잡한 문제를 여러 개의 간단한 문제로 나누어 해결할 수 있게 해준다.

점전하 q_i 분포에 의한 전위는 다음과 같다.

: $\varphi \mathbf{(r)} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \sum_{i=1}^{n} \frac{q_i} {\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_i \right|}$

연속적인 전하 분포 ρ(r')에 의한 전위는 다음과 같다.

: $\varphi \mathbf{(r)} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r'})}$

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\, \mathrm{d^3}\mathbf{r'}

5. 전자기파

전자기장의 변화는 파동의 형태로 그 원점으로부터 전파된다. 이 파동은 진공에서 빛의 속도로 이동하며, 다양한 파장에 따라 넓은 스펙트럼으로 존재한다. 전자기파(전자기 복사)의 예시로는 파장이 긴 순서대로 전파, 마이크로파, 적외선, 가시광선, 자외선, X선, 감마선 등이 있다. 입자 물리학 분야에서는 이러한 전자기파가 하전 입자 간의 전자기 상호작용의 발현으로 설명된다.

6. 일반적인 장에 대한 공식

쿨롱 법칙은 간결하지만, 고전 전자기학의 관점에서 항상 정확하지는 않다. 특수 상대성이론의 인과율에 따르면, 한 지점의 전하 분포 변화가 다른 지점에 영향을 미치기까지는 빛의 속도로 전파되는 시간이 필요하기 때문이다. 즉, 정적인(시간에 따라 변하지 않는) 전하 분포에 대해서는 잘 성립하지만, 동적인(시간에 따라 변하는) 전하 분포의 효과는 즉각적으로 전달되지 않는다.

일반적인 동적 전하 분포에 의한 전자기장을 구하기 위해서는 이러한 시간 지연 효과를 고려한 뒤처진 퍼텐셜(retarded potential)을 계산해야 한다. 이 뒤처진 퍼텐셜을 계산하고 미분하여 전자기장을 구하는 방정식을 예피멘코 방정식이라고 한다.

특히 움직이는 점전하 하나에 의해 만들어지는 뒤처진 퍼텐셜은 리에나르-비헤르트 퍼텐셜로 알려져 있다. 이때 스칼라 퍼텐셜 $\varphi$ 는 다음과 같다.

: $\varphi = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t_{\rm ret}) \right|-\frac{\mathbf{v}_q(t_{\rm ret})}{c} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t_{\rm ret}))}$

여기서 $q$ 는 점전하의 전하량, $\mathbf{r}$ 은 퍼텐셜을 계산하려는 위치, $\mathbf{r}_q(t_{\rm ret})$ 와 $\mathbf{v}_q(t_{\rm ret})$ 는 뒤처진 시간 $t_{\rm ret}$ 에서의 점전하의 위치와 속도이다. $\varepsilon_0$ 는 진공 유전율, $c$ 는 광속이다.

벡터 퍼텐셜 $\mathbf{A}$ 도 비슷하게 주어진다.

: $\mathbf{A} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{q\mathbf{v}_q(t_{\rm ret})}{\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t_{\rm ret}) \right|-\frac{\mathbf{v}_q(t_{\rm ret})}{c} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t_{\rm ret}))}$

여기서 $\mu_0$ 는 진공 투자율이다.

이 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜을 적절히 미분하면 움직이는 점전하에 대한 완전한 전자기장(전기장과 자기장) 방정식을 얻을 수 있다.

7. 하위 이론

광학, 전자공학, 전기공학 등은 고전 전자기학에서 파생된 분야들로, 특정한 전자기 현상을 더 쉽게 이해하기 위해 관련 수학적 모델들을 단순화하거나 이상화하여 사용한다. 전자기 현상은 주로 다루는 장(field)의 형태, 전하 분포 및 전류, 그리고 매질의 특성에 따라 다양하게 분류될 수 있다. 이러한 분류 방식은 이론적으로 무수히 많은 모델을 만들 수 있지만, 일반적으로 다음과 같은 기준과 대표적인 예시들을 통해 구분한다.

* 전하 및 전류: 움직이는 점전하, 전기적 또는 자기적 쌍극자, 도체 내에서 흐르는 전류 등이 있다.
* 전자기장: 전압, 리나르-비허트 퍼텐셜, 단색 평면파, 광선, 전파, 마이크로파, 적외선, 가시광선, 자외선, X선, 감마선 등 다양한 형태의 전자기파나 퍼텐셜을 포함한다.
* 매질 (또는 전송 매체): 전자 부품, 안테나, 전자기 도파관, 평면 거울, 곡면 거울, 볼록 렌즈, 오목 렌즈, 저항, 인덕터, 축전기, 스위치, 전선, 전기 및 광케이블, 전송선, 집적 회로 등이 있으며, 이들은 대부분 거의 변하지 않는 고유한 특성을 가진다.

분야	물리학
세부 분야	고전 역학 상대성이론 양자 역학
필수 구성 요소	전하 전류 전기장 자기장
주요 개념	전자기장 전자기 유도 전자기파 광학
관련 법칙	쿨롱 법칙 앙페르 회로 법칙 패러데이 전자기 유도 법칙 가우스 법칙 맥스웰 방정식 비오-사바르 법칙 렌츠의 법칙
관련 학문	전기공학 전자공학 광학

주요 인물

과학자	앙드레마리 앙페르 샤를 드 쿨롱 마이클 패러데이 카를 프리드리히 가우스 올리버 헤비사이드 하인리히 헤르츠 크리스티안 하위헌스 제임스 클러크 맥스웰 아이작 뉴턴 한스 크리스티안 외르스테드 니콜라 테슬라 알레산드로 볼타