호프 연환

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1. 개요
2. 정의
3. 기하학적 표현
4. 성질
- 4.1. 호프 올뭉치와의 관계
5. 생물학에서의 응용
6. 역사
참조

1. 개요

호프 연환은 3차원 초구에 존재하는, 두 개의 연결 성분으로 이루어진 자명하지 않은 유일한 연환이다. 이는 (2,2)-원환면 연환이며, 서로의 중심을 지나는 수직 평면 내의 두 개의 단위 원으로 표현될 수 있다. 호프 연환의 연결수는 두 구성 요소의 상대적 방향에 따라 ±1이며, 토러스 링크이자 삼색칠 불가능한 매듭이다. 호프 올뭉치의 두 점의 원상으로 구성된 연환은 항상 호프 연환이며, 단백질 구조에도 나타난다. 16세기 일본의 가문 문장과 독일 포메른안데르모젤의 문장에 사용되었으며, 하인츠 호프가 호프 올뭉치가 자명하지 않음을 증명하는데 사용했다.

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호프 연환
호프 연환
명칭
수학적 속성
표기법
성질
계통

2. 정의

'''호프 연환'''은 3차원 초구 $\mathbb S^3$ 속에서, 두 개의 연결 성분을 가진, 자명하지 않은 유일한 연환이다. 알렉산더-브리그스 기호는 $2^2_1$ 이다.

이는 (2,2)-원환면 연환이다.

3. 기하학적 표현

구체적인 모형은 서로의 중심을 지나는 수직 평면 내의 두 개의 단위 원으로 구성된다.^[2] 이 모형은 고리의 로프 길이를 최소화하며, 2002년까지 호프 고리의 로프 길이는 유일하게 알려진 고리였다.^[3] 이 두 원의 볼록 껍질은 오로이드라고 불리는 형태를 이룬다.^[4]

4. 성질

호프 연환의 두 구성 요소의 상대적인 방향에 따라 연결 수는 ±1이다.^[5] 호프 연환은 (2,2)-토러스 링크^[6]이며, 브레이드 단어는 다음과 같다.

: $\sigma_1^2.\,$

호프 연환의 매듭 여집합은 $\mathbb R\times\mathbb S^1\times\mathbb S^1$ 과 미분 동형이며, 원기둥 위의 토러스이다.^[8] 이 공간은 국소 유클리드 기하학을 가지므로 호프 연환은 쌍곡 링크가 아니다. 호프 연환의 매듭군은 $\mathbb Z^{\oplus2}$ (두 개의 생성자에 대한 자유 아벨 군)이다.^[9]

호프 연환은 삼색칠 가능하지 않다.

4. 1. 호프 올뭉치와의 관계

호프 올뭉치

:

\pi\colon\mathbb S^3\twoheadrightarrow\mathbb S^2

를 생각하자. 임의의

x,y\in\mathbb S^2

에 대하여, 만약

x\ne y

라면, 이 두 점의 원상으로 구성된 연환

:

\pi^{-1}(\{x,y\})\subsetneq \mathbb S^3

은 항상 호프 연환이다. 이로부터, 호프 올뭉치가 자명한 올다발이 아님을 알 수 있다.^[10]

5. 생물학에서의 응용

호프 연환은 일부 단백질에도 존재한다.^[11]^[12] 이는 단백질 골격 조각으로 형성되고 이황화 결합으로 닫힌 두 개의 공유 루프로 구성된다. 호프 연환 위상은 단백질에서 매우 보존되어 있으며, 단백질의 안정성에 기여한다.^[11]

6. 역사

16세기 진언종의 종파인 풍산파(豊山派|부잔하^일본어)의 몬은 호프 연환 모양을 하고 있으며, 센요 소조(専誉僧正^일본어, 1530~1604)가 창시하였다. 일본 아소(麻生^일본어) 가문의 가몬인 지가이쿠기누키(違釘抜^일본어) 역시 호프 연환을 나타낸다.

독일 라인란트팔츠 주 포메른안데르모젤(Pommern an der Mosel^de)의 문장 역시 호프 연환을 포함하고 있다.

하인츠 호프는 1931년에 호프 올뭉치가 자명한 올다발이 아님을 증명하기 위해 이 개념을 사용하였다.^[13] 카를 프리드리히 가우스는 호프의 연구 이전에 이미 호프 연환을 알고 있었다.^[14]

참조

_[1] 서적 The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots https://books.google[...] American Mathematical Society
_[2] 간행물 Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996) Springer
_[3] 간행물 On the minimum ropelength of knots and links
_[4] 저널 The development of the oloid http://www.helderman[...]
_[5] 문서 https://books.google[...]
_[6] 서적 On Knots https://books.google[...] Princeton University Press
_[7] 문서 https://books.google[...]
_[8] 서적 Quantum Invariants of Knots and 3-manifolds https://books.google[...] Walter de Gruyter
_[9] 서적 Algebraic Topology https://books.google[...]
_[10] 서적 Basic Algebraic Topology https://books.google[...] CRC Press
_[11] 저널 Topological knots and links in proteins 2017-03-28
_[12] 저널 LinkProt: a database collecting information about biological links 2017-01-04
_[13] 저널 Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche http://resolver.sub.[...] Springer
_[14] 서적 Knots, links, braids and 3-manifolds: An introduction to the new invariants in low-dimensional topology https://books.google[...] American Mathematical Society
_[15] 저널인용 Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche http://resolver.sub.[...] Springer-Verlag

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