호프 연환

1. 개요

호프 연환은 3차원 초구에 존재하는, 두 개의 연결 성분으로 이루어진 자명하지 않은 유일한 연환이다. 이는 (2,2)-원환면 연환이며, 서로의 중심을 지나는 수직 평면 내의 두 개의 단위 원으로 표현될 수 있다. 호프 연환의 연결수는 두 구성 요소의 상대적 방향에 따라 ±1이며, 토러스 링크이자 삼색칠 불가능한 매듭이다. 호프 올뭉치의 두 점의 원상으로 구성된 연환은 항상 호프 연환이며, 단백질 구조에도 나타난다. 16세기 일본의 가문 문장과 독일 포메른안데르모젤의 문장에 사용되었으며, 하인츠 호프가 호프 올뭉치가 자명하지 않음을 증명하는데 사용했다.

2. 정의

호프 연환은 3차원 초구 $\backslash mathbb\; S^3$ 속에서, 두 개의 연결 성분을 가진, 자명하지 않은 유일한 연환이다. 알렉산더-브리그스 기호는 $2^2\_1$이다.

이는 (2,2)-원환면 연환이다.

3. 기하학적 표현

구체적인 모형은 서로의 중심을 지나는 수직 평면 내의 두 개의 단위 원으로 구성된다. 이 모형은 고리의 로프 길이를 최소화하며, 2002년까지 호프 고리의 로프 길이는 유일하게 알려진 고리였다. 이 두 원의 볼록 껍질은 오로이드라고 불리는 형태를 이룬다.

4. 성질

호프 연환의 두 구성 요소의 상대적인 방향에 따라 연결 수는 ±1이다. 호프 연환은 (2,2)-토러스 링크이며, 브레이드 단어는 다음과 같다.

:$\backslash sigma\_1^2.\backslash ,$

호프 연환의 매듭 여집합은 $\backslash mathbb\; R\backslash times\backslash mathbb\; S^1\backslash times\backslash mathbb\; S^1$과 미분 동형이며, 원기둥 위의 토러스이다. 이 공간은 국소 유클리드 기하학을 가지므로 호프 연환은 쌍곡 링크가 아니다. 호프 연환의 매듭군은 $\backslash mathbb\; Z^\{\backslash oplus2\}$ (두 개의 생성자에 대한 자유 아벨 군)이다.

호프 연환은 삼색칠 가능하지 않다.

4.1. 호프 올뭉치와의 관계

호프 올뭉치
:$\backslash pi\backslash colon\backslash mathbb\; S^3\backslash twoheadrightarrow\backslash mathbb\; S^2$를 생각하자. 임의의 $x,y\backslash in\backslash mathbb\; S^2$에 대하여, 만약 $x\backslash ne\; y$라면, 이 두 점의 원상으로 구성된 연환
:$\backslash pi^\{-1\}(\backslash \{x,y\backslash \})\backslash subsetneq\; \backslash mathbb\; S^3$은 항상 호프 연환이다. 이로부터, 호프 올뭉치가 자명한 올다발이 아님을 알 수 있다.

5. 생물학에서의 응용

호프 연환은 일부 단백질에도 존재한다. 이는 단백질 골격 조각으로 형성되고 이황화 결합으로 닫힌 두 개의 공유 루프로 구성된다. 호프 연환 위상은 단백질에서 매우 보존되어 있으며, 단백질의 안정성에 기여한다.

6. 역사

16세기 진언종의 종파인 풍산파(豊山派^일본어)의 몬은 호프 연환 모양을 하고 있으며, 센요 소조(専誉 僧正^일본어, 1530~1604)가 창시하였다. 일본 아소(麻生^일본어) 가문의 가몬인 지가이쿠기누키(違釘抜^일본어) 역시 호프 연환을 나타낸다.

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독일 라인란트팔츠 주 포메른안데르모젤(Pommern an der Mosel^독일어)의 문장 역시 호프 연환을 포함하고 있다.

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하인츠 호프는 1931년에 호프 올뭉치가 자명한 올다발이 아님을 증명하기 위해 이 개념을 사용하였다. 카를 프리드리히 가우스는 호프의 연구 이전에 이미 호프 연환을 알고 있었다.