매듭군

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1. 개요

매듭군은 매듭의 동치 여부를 판별하는 데 사용되는 불변량이다. 두 개의 동치 매듭은 동형인 매듭군을 가지며, 매듭군의 아벨화는 항상 무한 순환군 Z와 동형이다. 매듭군은 Wirtinger 표현을 사용하여 계산할 수 있다. 풀린 매듭은 정수 집합 Z와 동형인 매듭군을 가지며, 세잎 매듭은 꼬임군 B3와 동형인 매듭군을 갖는 등 다양한 매듭은 서로 다른 매듭군을 갖는다. 사각 매듭과 할머니 매듭은 동형인 매듭군을 갖지만, 두 매듭은 동일하지 않다.

매듭군

개요

분야	수학
하위 분야	매듭 이론, 위상수학

정의

매듭군의 정의	매듭 또는 꼬임의 여공간의 기본군
다른 표현	군 표현, 비르팅거 표현
성질	유한 생성, 유한 표현

예시

자명한 매듭	Z (무한 순환군)
세잎매듭
여덟 Figure-eight 매듭

관련 개념	매듭 다항식, 알렉산더 다항식, 존스 다항식

2. 성질

매듭군은 주어진 매듭의 중요한 매듭 불변량으로, 서로 다른 매듭을 구별하는 데 사용될 수 있다. 하지만 서로 다른 매듭이 동형인 매듭군을 가질 수도 있다. 모든 매듭군의 아벨화는 항상 무한 순환군 $\mathbb{Z}$ 와 동형이며, 매듭군은 Wirtinger 표현을 통해 계산할 수 있다.

2.1. 매듭 불변량으로서의 매듭군

두 개의 같은 매듭은 동형인 매듭군을 가진다. 따라서 매듭군은 매듭 불변량이며, 서로 다른 매듭을 구별하는 데 사용될 수 있다. 이는 두 매듭 사이의 동치 관계가 항등사상과 동위이며 한 매듭을 다른 매듭으로 보내는 $\mathbb{R}^3$ 의 자기 위상동형사상으로 정의되기 때문이다. 이 위상동형사상은 매듭의 여공간(매듭 보충 공간)의 동형으로 제한되며, 이는 기본군인 매듭군의 동형을 유도한다.

그러나 서로 동치가 아닌 두 매듭이 동형인 매듭군을 가질 수도 있으므로, 매듭군만으로 모든 매듭을 완벽하게 구별할 수는 없다.

매듭군의 아벨화는 항상 무한 순환군 Z와 동형이다. 이는 아벨화가 계산하기 쉬운 제1 호몰로지 군과 일치하기 때문이다.

매듭군(또는 더 일반적으로 방향을 가진 연환의 기본군)은 Wirtinger 표현이라는 비교적 간단한 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있다.

2.2. 매듭군의 아벨화

매듭군의 아벨화는 항상 무한 순환군 $\mathbb{Z}$ 와 동형이다. 이는 아벨화가 계산하기 쉬운 제1 호몰로지 군과 일치하기 때문이다.

2.3. Wirtinger 표현

매듭군(또는 일반적으로 유향 연환의 기본군)은 Wirtinger 표현Wirtinger presentation^영어이라는 비교적 간단한 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있다.

3. 예시

다양한 매듭에 대해 그 매듭군을 계산할 수 있다. 대표적인 예로는 풀린매듭, 세잎매듭, 원환면 매듭, 8자매듭 등이 있으며, 이들의 매듭군은 각각 독특한 대수적 구조를 가진다. 예를 들어, 풀린매듭의 매듭군은 정수의 덧셈군 $\mathbb{Z}$ 와 동형이다. 또한, 사각매듭과 할머니 매듭처럼 서로 다른 매듭임에도 불구하고 동형인 매듭군을 가지는 경우도 존재한다. 각 매듭의 구체적인 매듭군 구조와 군의 표시는 아래 하위 섹션에서 자세히 설명한다.

3.1. 풀린매듭

풀린매듭은 정수 집합 $\mathbb{Z}$ 와 동형인 매듭군을 가진다.

3.2. 세잎매듭

세잎매듭의 매듭군은 꼬임군 $B_3$ 와 동형이다. 이 군은 다음 표시를 갖는다.

$\langle x,y \mid x^2 = y^3 \rangle$

또는

$\langle a, b \mid aba = bab \rangle$

3.3. (p, q)-원환면 매듭

(p, q)-원환면 매듭의 매듭군은 다음 군의 표시를 갖는다.
: $\langle x,y \mid x^p = y^q \rangle$

3.4. 8자매듭

8자매듭의 매듭군은 다음 표시를 갖는다.
: $\langle x,y \mid yxy^{-1}xy=xyx^{-1}yx\rangle$

3.5. 사각매듭과 할머니 매듭

사각매듭과 할머니 매듭은 서로 동형인 매듭군을 갖지만, 두 매듭 자체는 동치가 아니다.

4. 추가 정보

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Knot_and_link_groups 매듭과 연환 군]", 수학 백과사전, Springer, ISBN 978-1556080104