원환면 연환

3. 성질

$(p,q)$-원환면 연환의 연결 성분의 수는

:$\backslash gcd\backslash \{p,q\backslash \}$

이다. 즉, 이것이 원환면 매듭이 될 필요 충분 조건은 $p$와 $q$가 서로소인 것이다.

$(p,q)$-원환면 연환이 자명한 매듭일 필요 충분 조건은 다음과 같다.

:$p=\backslash pm1$이거나 $q=\backslash pm1$이다. 즉, $\backslash min\backslash \{|p|,|q|\backslash \}=1$이다.

$(p,q)$-원환면 연환과 $(p\text{'},q\text{'})$-원환면 연환이 동치일 필요 충분 조건은 다음과 같다.

:$(p\text{'},q\text{'})\; \backslash in\; \backslash \{(p,q),\; (-p,-q),\; (q,-p),\; (-q,p)\backslash \}$이거나, 또는 $\backslash min\backslash \{|p|,|q|\backslash \}\; =\; \backslash min\backslash$

3. 1. 교차수, 종수, 땋임 지수

3. 2. 다항식

3. 3. 매듭군

3. 4. 스트레치 팩터

4. 다른 정의 방법

4. 1. 꼬인 원기둥

4. 2. 땋임

4. 3. 평활화

4. 4. 좌표

5. 복소수 초곡면과의 관계

(''p'',''q'')-원환면 매듭은 고립된 복소수 초곡면 특이점의 연결을 고려할 때 발생한다.^[13] 고립된 특이점을 중심으로 하고 다른 특이점을 포함하거나 만나지 않도록 충분히 작은 반경을 가진 초구와 복소수 초곡면을 교차시키면, 그 교차는 초구의 부분다양체를 제공한다.

두 개 이상의 서로 소인 정수 ''p''와 ''q''가 있다고 가정하고, $f:\; \backslash Complex^2\; \backslash to\; \backslash Complex$에 의해 주어진 정칙 함수 $f(w,z)\; :=\; w^p\; +\; z^q.$를 생각한다. $V\_f\; \backslash subset\; \backslash Complex^2$를 $f(w,z)\; =\; 0.$인 $(w,z)\; \backslash in\; \backslash Complex^2$ 집합으로 정의한다. 실수 이 주어지면, 실수 3-구 $\backslash mathbb\{S\}^3\_\{\backslash varepsilon\}\; \backslash subset\; \backslash R^4\; \backslash hookrightarrow\; \backslash Complex^2$는 $|w|^2\; +\; |z|^2\; =\; \backslash varepsilon^2.$로 정의된다. 함수 $f$는 $\backslash partial\; f/\backslash partial\; w\; =\; \backslash partial\; f/\; \backslash partial\; z\; =\; 0$인 경우에만 $w\; =\; z\; =\; 0.$이므로 $(0,0)\; \backslash in\; \backslash Complex^2$에서 고립된 임계점을 갖는다. 따라서 $V\_f$의 구조를 $(0,0)\; \backslash in\; \backslash Complex^2$에 가깝게 보기위해, 교차 $V\_f\; \backslash cap\; \backslash mathbb\{S\}^3\_\{\backslash varepsilon\}\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{S\}^3\_\{\backslash varepsilon\}$을 고려한다. 이 교차는 특이점 $f(w,z)\; =\; w^p\; +\; z^q.$의 연결이며, ''p''와 ''q''가 서로 소이고 둘 다 2 이상인 $f(w,z)\; =\; w^p\; +\; z^q$의 연결은 정확히 (''p'',''q'')-원환면 매듭이다.^[13]

6. 예시 및 목록

(1, ±1)-원환면 매듭은 자명한 매듭이다.

(2, ±2)-원환면 연환은 호프 연환이다.

(3, 2)-원환면 매듭은 오른손 세잎매듭이고, (3, -2)-원환면 매듭은 왼손 세잎매듭이다.

7. g-토러스 매듭

'''g-토러스 매듭'''은 g-토러스 위에 그려진 닫힌 곡선이다.^[14] 더 정확하게 말하면, 이는 '''S³''' 안의 종수 ''g'' 핸들바디 (그 여집합 또한 종수 ''g'' 핸들바디이다)의 부분 집합으로 실현될 수 있는 '''S³''' 안의 원의 위상동형 이미지이다.^[14] 만약 매듭이 종수 2 핸들바디의 부분 집합이라면, 이는 '''이중 토러스 매듭'''이다.^[14]

종수 2의 경우, 토러스 매듭이 아닌 이중 토러스 매듭의 가장 간단한 예시는 8자 매듭이다.^[15][16]

8. 자명하지 않은 토러스 위의 토러스 매듭

참조

_[1] 웹사이트 Torus Knot on Wolfram Mathworld http://mathworld.wol[...]
_[2] 웹사이트 "36 Torus Knots" http://katlas.math.t[...]
_[3] 서적 Knot Theory Mathematical Association of America 1993
_[4] 서적 Knot Theory and its Applications Birkhäuser 1996
_[5] 서적 A Survey of Knot Theory Birkhäuser 1996
_[6] 논문 Every two-generator knot is prime 1982-01-01
_[7] 웹사이트 p q is q p https://sketchesofto[...] 2020-11-09
_[8] 서적 An Introduction to Knot Theory Springer 1997
_[9] 서적 Why are Braids Orderable? http://www.math.unic[...] 2011-11-12
_[10] 서적 Handbook of Knot Theory Elsevier 2005
_[11] 간행물 2012 Morgan Prize 2012-04
_[12] 간행물 On the distortion of knots on embedded surfaces
_[13] 서적 Singular Points of Complex Hypersurfaces Princeton University Press
_[14] 서적 Knots and Links Publish or Perish, Inc. 1976
_[15] 논문 On Double-Torus Knots (I) https://www.worldsci[...] 1999-12
_[16] 논문 Curves on surfaces 1989-11
_[17] 문서 『結び目の数学』107-108頁
_[18] 문서 『結び目理論とその応用』112頁
_[19] 문서 『結び目理論とその応用』103-105頁
_[20] 서적 結び目理論概説 [[シュプリンガー・フェアラーク東京]] 2000
_[21] 문서 『結び目理論入門』47頁
_[22] 문서 『トポロジー入門』230-231頁
_[23] 문서 『結び目理論とその応用』108頁
_[24] 문서 『結び目理論入門』48頁
_[25] 문서 『結び目の数学』111頁
_[26] 문서 『結び目理論とその応用』119頁
_[27] 문서 『結び目理論とその応用』176頁
_[28] 문서 『結び目理論概説』175頁
_[29] 문서 『結び目の数学』153頁
_[30] 문서 『トポロジー入門』233頁
_[31] 서적 Knots, Links, Braids and 3-Manifolds Amer Mathematical Society 1993
_[32] 문서 『結び目理論とその応用』123頁
_[33] 문서 『結び目の数学』118-119頁