회전 반지름

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1. 개요
2. 유도
3. 상대론적인 경우
4. 자이로 주파수
- 4.1. CGS 단위계
참조

1. 개요

회전 반지름은 자기장 내에서 움직이는 대전된 입자가 자기력에 의해 원운동을 할 때, 그 원의 반지름을 의미한다. 로런츠 힘과 구심력의 관계를 통해 유도되며, 입자 질량과 자기장에 수직인 속도에 비례하고, 전하량과 자기장 세기에 반비례한다. 상대론적인 경우, 운동량 개념을 도입하여 회전 반지름 공식을 표현하며, 입자 가속기 및 우주 입자 물리학 분야에서 활용된다. 자이로 주파수는 회전 운동의 주파수를 나타내며, CGS 단위계에서는 다른 형태의 공식을 사용한다.

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2. 유도

대전된 입자가 움직이면 다음과 같은 로런츠 힘을 경험한다.

: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$

여기서 $\vec{v}$ 는 속도 벡터이며, $\vec{B}$ 는 자기장 벡터, 그리고 $q$ 는 입자의 전하이다. 힘의 방향은 속도와 자기장의 벡터 곱에 의해 주어진다. 그래서 로런츠 힘은 언제나 움직이는 방향에 수직으로 작용한다. 입자는 원으로 움직이기 때문이다. 이 원의 반지름 $r_g$ 는 구심력의 로런츠 힘의 크기와 동일하게 결정될 수 있다.

: $\frac{m v_{\perp}^2}{r_g} = qv_{\perp}B$

여기서

: $m$ 입자질량(높은 속도에서 상대적인 경우),

: ${v_{\perp}}$ 는 자기장의 수직인 성분의 속도,

: $B$ 는 자기장의 세기이다.

이를 정리하면 회전 반지름은 다음과 같이 표현된다.

: $r_{g} = \frac{m v_{\perp}}{|q| B}$

따라서 회전 반지름은 입자 질량과 수직 속도에 정비례하고, 입자 전하량과 자기장 세기에 반비례한다. 입자가 한 바퀴를 도는 데 걸리는 시간, 즉 주기는 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $T_{g} = \frac{2 \pi r_{g}}{v_{\perp}}$

주기는 주파수의 역수이므로, 다음을 얻는다.

: $f_{g} = \frac{1}{T_{g}} = \frac{|q| B}{2 \pi m}$

따라서

: $\omega_{g} = \frac$

3. 상대론적인 경우

상대론적인 운동의 경우에도 회전 반경 공식은 유지된다. 이 경우 움직이는 물체의 속도와 질량은 상대론적인 운동량에 의해 교체되어야 한다.:

r_g = \frac{p_{\perp}}{|q| B}

가속기와 천체입자물리에서는 오른손 법칙에 의해 그 물리량은 고유단위로 표현될 수 있으며, 결과적으로 간단한 수식이다.

:

r_g/\mathrm{m} = 3.3 \times \frac{p_{\perp}/(\mathrm{GeV/c})}{|Z| (B/\mathrm{T})}

여기서

Z \

는 기본적인 단위에서 움직이는 물체의 전하이다. 상대론적 입자의 경우, 고전적인 방정식은 입자 운동량

p=\gamma m v

의 관점에서 해석될 필요가 있다.

:

r_{g} = \frac{p_{\perp}} = \frac{\gamma m v_{\perp}}

4. 자이로 주파수

자이로 주파수는 전하량과 자기장의 곱을 질량으로 나눈 값으로, 부호를 포함하여 다음과 같이 정의할 수 있다.:

\omega_{g} = \frac{q B}{m}

헤르츠 단위로는 다음과 같이 표현한다.

:

f_{g} = \frac{q B}{2 \pi m}.

전자의 경우, 이 주파수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

f_{g,e} = (2.8\times10^{10}\,\mathrm{hertz}/\mathrm{tesla})\times B.

전하를 띤 입자는 로렌츠 힘

\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})

을 받는다. 여기서

\vec{v}

는 속도 벡터,

\vec{B}

는 자기장 벡터이다. 로렌츠 힘은 항상 운동 방향에 수직으로 작용하여 입자가 선회하게 한다. 이 원의 반지름

r_{g}

(회전 반지름)는 로렌츠 힘과 구심력을 같다고 놓아 구할 수 있다.

:

\frac{m v_{\perp}^2}{r_{g}} = |q| v_{\perp} B.

회전 반지름은 다음과 같이 표현된다.

:

r_{g} = \frac{m v_{\perp}}{|q| B}.

즉, 회전 반지름은 입자 질량과 수직 속도에 정비례하고, 전하량과 자기장 세기에 반비례한다. 입자가 한 바퀴를 도는 데 걸리는 시간, 즉 주기는

T_{g} = \frac{2 \pi r_{g}}{v_{\perp}}

이다. 주기는 주파수의 역수이므로, 다음을 얻는다.

:

f_{g} = \frac{1}{T_{g}} = \frac{|q| B}{2 \pi m}

따라서

:

\omega_{g} = \frac

4. 1. CGS 단위계

CGS 단위계에서 자이로반경은 다음과 같이 표현된다.:

r_{g} = \frac{m c v_{\perp}}{|q| B}

여기서

c

는 빛의 속도를 나타내는 인자이다. 이는 자기장이

[B] = \mathrm{g^{1/2} cm^{-1/2} s^{-1}}

단위로 표현되기 때문이다.

해당 자이로 주파수는 다음과 같다.

:

\omega_{g} = \frac

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회전 반지름
개요
정의	플라스마 내에서 하전 입자가 자기장 주위를 나선형으로 운동할 때, 그 원형 궤도의 반지름
다른 이름	라모 반지름, 자기 반지름
수식
기호	r_L
공식	r_L = mv_⊥ / \|q\|B
변수	m = 입자의 질량 v_⊥ = 자기장에 수직한 입자의 속도 성분 q = 입자의 전하 B = 자기장의 세기
세부 정보
입자 운동	하전 입자는 자기장 방향을 따라서는 자유롭게 움직이지만, 자기장에 수직한 방향으로는 원운동을 함.
자기장 효과	강한 자기장은 작은 회전 반지름을, 약한 자기장은 큰 회전 반지름을 유발함.
중요성	플라스마 물리학, 우주 물리학, 핵융합 연구 등에서 플라스마의 거동을 이해하는 데 중요한 역할을 함.
활용	플라스마 가두기: 핵융합 장치에서 플라스마를 가두는 데 활용됨. 입자 가속: 입자 가속기에서 입자를 제어하고 가속하는 데 사용됨. 우주 환경 연구: 지구 자기장 내 하전 입자의 운동을 분석하는 데 활용됨.