회전 반지름

1. 개요

회전 반지름은 자기장 내에서 움직이는 대전된 입자가 자기력에 의해 원운동을 할 때, 그 원의 반지름을 의미한다. 로런츠 힘과 구심력의 관계를 통해 유도되며, 입자 질량과 자기장에 수직인 속도에 비례하고, 전하량과 자기장 세기에 반비례한다. 상대론적인 경우, 운동량 개념을 도입하여 회전 반지름 공식을 표현하며, 입자 가속기 및 우주 입자 물리학 분야에서 활용된다. 자이로 주파수는 회전 운동의 주파수를 나타내며, CGS 단위계에서는 다른 형태의 공식을 사용한다.

2. 유도

대전된 입자가 움직이면 다음과 같은 로런츠 힘을 경험한다.

:$\backslash vec\{F\}\; =\; q(\backslash vec\{v\}\; \backslash times\; \backslash vec\{B\})$

여기서 $\backslash vec\{v\}$는 속도 벡터이며, $\backslash vec\{B\}$는 자기장 벡터, 그리고 $q$는 입자의 전하이다. 힘의 방향은 속도와 자기장의 벡터 곱에 의해 주어진다. 그래서 로런츠 힘은 언제나 움직이는 방향에 수직으로 작용한다. 입자는 원으로 움직이기 때문이다. 이 원의 반지름$r\_g$는 구심력의 로런츠 힘의 크기와 동일하게 결정될 수 있다.

:$\backslash frac\{m\; v\_\{\backslash perp\}^2\}\{r\_g\}\; =\; qv\_\{\backslash perp\}B$

여기서

:$m$ 입자질량(높은 속도에서 상대적인 경우),

:$\{v\_\{\backslash perp\}\}$는 자기장의 수직인 성분의 속도,

:$B$는 자기장의 세기이다.

이를 정리하면 회전 반지름은 다음과 같이 표현된다.

:$r\_\{g\}\; =\; \backslash frac\{m\; v\_\{\backslash perp\}\}\{|q|\; B\}$

따라서 회전 반지름은 입자 질량과 수직 속도에 정비례하고, 입자 전하량과 자기장 세기에 반비례한다. 입자가 한 바퀴를 도는 데 걸리는 시간, 즉 주기는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:$T\_\{g\}\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash pi\; r\_\{g\}\}\{v\_\{\backslash perp\}\}$

주기는 주파수의 역수이므로, 다음을 얻는다.

:$f\_\{g\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{T\_\{g\}\}\; =\; \backslash frac\{|q|\; B\}\{2\; \backslash pi\; m\}$

따라서

:$\backslash omega\_\{g\}\; =\; \backslash frac\{|q|\; B\}\{m\}$

3. 상대론적인 경우

상대론적인 운동의 경우에도 회전 반경 공식은 유지된다. 이 경우 움직이는 물체의 속도와 질량은 상대론적인 운동량에 의해 교체되어야 한다.

:$r\_g\; =\; \backslash frac\{p\_\{\backslash perp\}\}\{|q|\; B\}$

가속기와 천체입자물리에서는 오른손 법칙에 의해 그 물리량은 고유단위로 표현될 수 있으며, 결과적으로 간단한 수식이다.

:$r\_g/\backslash mathrm\{m\}\; =\; 3.3\; \backslash times\; \backslash frac\{p\_\{\backslash perp\}/(\backslash mathrm\{GeV/c\})\}\{|Z|\; (B/\backslash mathrm\{T\})\}$

여기서 $Z\; \backslash$는 기본적인 단위에서 움직이는 물체의 전하이다. 상대론적 입자의 경우, 고전적인 방정식은 입자 운동량 $p=\backslash gamma\; m\; v$의 관점에서 해석될 필요가 있다.

:$$r\_\{g\}\; =\; \backslash frac\{p\_\{\backslash perp\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash gamma\; m\; v\_\{\backslash perp\}\}\{|q|\; B\}$$

여기서 $\backslash gamma$는 로렌츠 인자이다. 이 방정식은 비상대론적 경우에도 옳다.

입자 가속기와 우주입자물리학에서의 계산을 위해 자이로반경 공식은 다음과 같이 재정렬될 수 있다.

:$$r\_\{g\}\; =\; \backslash mathrm\{3.3~m\}\; \backslash times\; \backslash frac\{(\; \backslash gamma\; m\; c^2\; /\; \backslash mathrm\{GeV\})\; \backslash cdot\; (v\_\{\backslash perp\}/c)\}\{(|q|/e)\; \backslash cdot\; (B/\backslash mathrm\{T\})\},$$

여기서 m은 미터, c는 빛의 속도, GeV는 기가-전자볼트 단위, $e$는 기본 전하, T는 테슬라 단위이다.

4. 자이로 주파수

자이로 주파수는 전하량과 자기장의 곱을 질량으로 나눈 값으로, 부호를 포함하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$$\backslash omega\_\{g\}\; =\; \backslash frac\{q\; B\}\{m\}$$

헤르츠 단위로는 다음과 같이 표현한다.

:$$f\_\{g\}\; =\; \backslash frac\{q\; B\}\{2\; \backslash pi\; m\}.$$

전자의 경우, 이 주파수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$$f\_\{g,e\}\; =\; (2.8\backslash times10^\{10\}\backslash ,\backslash mathrm\{hertz\}/\backslash mathrm\{tesla\})\backslash times\; B.$$

전하를 띤 입자는 로렌츠 힘 $\backslash vec\{F\}\; =\; q(\backslash vec\{v\}\; \backslash times\; \backslash vec\{B\})$을 받는다. 여기서 $\backslash vec\{v\}$는 속도 벡터, $\backslash vec\{B\}$는 자기장 벡터이다. 로렌츠 힘은 항상 운동 방향에 수직으로 작용하여 입자가 선회하게 한다. 이 원의 반지름 $r\_\{g\}$ (회전 반지름)는 로렌츠 힘과 구심력을 같다고 놓아 구할 수 있다.

:$$\backslash frac\{m\; v\_\{\backslash perp\}^2\}\{r\_\{g\}\}\; =\; |q|\; v\_\{\backslash perp\}\; B.$$

회전 반지름은 다음과 같이 표현된다.

:$$r\_\{g\}\; =\; \backslash frac\{m\; v\_\{\backslash perp\}\}\{|q|\; B\}.$$

즉, 회전 반지름은 입자 질량과 수직 속도에 정비례하고, 전하량과 자기장 세기에 반비례한다. 입자가 한 바퀴를 도는 데 걸리는 시간, 즉 주기는 $T\_\{g\}\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash pi\; r\_\{g\}\}\{v\_\{\backslash perp\}\}$이다. 주기는 주파수의 역수이므로, 다음을 얻는다.

:$$f\_\{g\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{T\_\{g\}\}\; =\; \backslash frac\{|q|\; B\}\{2\; \backslash pi\; m\}$$

따라서

:$$\backslash omega\_\{g\}\; =\; \backslash frac\{|q|\; B\}\{m\}.$$

4.1. CGS 단위계

CGS 단위계에서 자이로반경은 다음과 같이 표현된다.

:$$r\_\{g\}\; =\; \backslash frac\{m\; c\; v\_\{\backslash perp\}\}\{|q|\; B\}$$

여기서 $c$는 빛의 속도를 나타내는 인자이다. 이는 자기장이 $[B]\; =\; \backslash mathrm\{g^\{1/2\}\; cm^\{-1/2\}\; s^\{-1\}\}$ 단위로 표현되기 때문이다.

해당 자이로 주파수는 다음과 같다.

:$$\backslash omega\_\{g\}\; =\; \backslash frac\{|q|\; B\}\{m\; c\}$$