12 평균율

1. 개요

12 평균율은 1 옥타브를 12개의 동일한 간격으로 나누는 음계 조율 방법이다. 12 평균율에서 반음의 주파수 비율은 2의 12제곱근이며, 이를 통해 음의 주파수를 계산하는 공식을 사용할 수 있다. 12 평균율의 간격은 순정률의 일부 간격과 유사하다.

2. 수학적 속성

2.1. 절대 주파수 계산

1옥타브를 12등분하는 12 평균율에서 반음의 폭, 즉 인접한 두 음표 사이의 간격의 주파수 비율은 2의 12제곱근이다.

:$$\backslash sqrt[12]\{2\}\; =\; 2^\{\backslash frac\{1\}\{12\}\}\; \backslash approx\; 1.059463$$

12 평균율의 음의 주파수를 구하려면 다음의 공식이 사용될 수 있다.

:$$P\_\{n\}\; =\; P\_\{a\}\backslash left(\; \backslash sqrt[12]\{2\}\; \backslash right)^\{(n-a)\}$$

이 공식에서 P_n은 음높이 혹은 주파수를 나타내며, P_a는 기준 음높이의 주파수를 나타내며, n과 a는 각각 원하는 음높이와 기준 음높이에 할당된 숫자를 나타낸다. 이 n과 a의 숫자는 연속된 반음에 할당된 연속된 정수 목록에서 나온 것이다.

:$$\backslash begin\{alignat\}\{3\}$$
P_{40} &= 440\left( \sqrt[12]{2} \right)^{(40-49)} &&\approx 261.626 \ \mathrm{Hz} \\
P_{46} &= 440\left(\sqrt[12]{2} \right)^{(46-49)} &&\approx 369.994 \ \mathrm{Hz}
\end{alignat}

3. 순정률