5차원 회전군

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1. 개요

5차원 회전군은 단순 리 대수의 분류에서 B₂ 또는 C₂형에 해당하며, 이는 5차원 특수 직교군 SO(5; ℝ) 및 스핀 군 Spin(5)의 2겹 몫군으로 해석될 수 있다. 이와 관련된 군으로 부정 계량 부호수를 가진 SO(1,4) (5차원 로런츠 군), SO(2,3) 및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재하며, 심플렉틱 군 USp(4; ℝ) = Sp(2; ℍ) = Sp(4; ℂ) ∩ U(r)과 Sp(4; ℝ) = Sp(4; ℂ) ∩ GL(4; ℝ) 형태도 존재한다. SO(5)는 ℝ⁵의 직접 유클리드 군 E⁺(5)의 부분군으로, 방향을 보존하는 등거리 변환으로 구성된다. Spin(1,4)는 (1,4)차원 민코프스키 공간의 로런츠 군이자 3차원 유클리드 공간의 등각군이며, 5차원 회전군의 표현론에서 텐서 곱은 다른 표현들의 직합으로 분해된다. SO(5)는 차원이 10인 단순 리 군이다.

5차원 회전군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 리 군

2. 정의

5차원 회전군은 단순 리 대수의 분류에서 B₂ 또는 C₂ 형으로 표현되는 딘킨 도표 (•⇒•)에 대응하는 리 군이다.

이에 대응되는 직교군은 5차원 특수 직교군 $\operatorname{SO}(5;\mathbb R)$ 및 그 스핀 군 $\operatorname{Spin}(5)$ 의 2겹 몫군이다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 갖는 5차원 로런츠 군 $\operatorname{SO}(1,4)$ 및 $\operatorname{SO}(2,3)$ 과 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.

마찬가지로, 이에 대응되는 심플렉틱 군은 $\operatorname{USp}(4;\mathbb R) = \operatorname{Sp}(2;\mathbb H) = \operatorname{Sp}(4;\mathbb C) \cap \operatorname U(r)$ 이며, 분할 형태 $\operatorname{Sp}(4;\mathbb R) = \operatorname{Sp}(4;\mathbb C)\cap\operatorname{GL}(4;\mathbb R)$ 가 존재한다.

SO(5)는 차원이 10인 단순 리 군이다.

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킬링 형식의 부호수	기호	직교군 기호	심플렉틱 군 기호	군의 중심	기본군	사타케 도표	보건 도표
(0,10)	B₂, C₂	$\operatorname{USp}(4)=\operatorname U(2;\mathbb H)$ \| $\operatorname{Cyc}(2)$ \| 0	$\bullet\Rightarrow\bullet$	$\circ\Rightarrow\circ$	단일 연결 콤팩트 형태
(0,10)	B₂, C₂	$\operatorname{PUSp}(4)=\operatorname{PU}(2;\mathbb H)$ \| 0 \| $\operatorname{Cyc}(2)$ \| 무중심 콤팩트 형태	$\bullet\Rightarrow\bullet$	$\circ\Rightarrow\circ$
(6,4)	B₂Ⅰ, C₂Ⅰ	$\operatorname{Sp}(4;\mathbb R)$ \| $\operatorname{Cyc}(2)$ \| $\operatorname{Cyc}(\infty)$	$\circ\Rightarrow\circ$	$\bullet\Rightarrow\circ$	분할 형태
(6,4)	B₂Ⅰ, C₂Ⅰ	$\operatorname{PSp}(4;\mathbb R)$ \| 0 \| $\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(\infty)$ \| 무중심 분할 형태	$\circ\Rightarrow\circ$	$\bullet\Rightarrow\circ$
(4,6)	B₂Ⅱ, C₂Ⅱ	$\operatorname{USp}(2,2)=\operatorname U(1,1;\mathbb H)$ \| $\operatorname{Cyc}(2)$ \| 0	$\circ\Rightarrow\bullet$	$\circ\Rightarrow\bullet$
(4,6)	B₂Ⅱ, C₂Ⅱ	SO⁺(1,4)	$\circ\Rightarrow\bullet$	$\circ\Rightarrow\bullet$	$\operatorname{PUSp}(2,2)=\operatorname{PU}(1,1;\mathbb H)$	0	$\operatorname{Cyc}(2)$

2.1. 직교군 관점

단순 리 대수의 분류에서 $\mathsf B_2=\mathsf C_2$ 형을 생각하면, 이는 딘킨 도표 : $\bullet\Rightarrow\bullet$ 에 대응한다. 이 리 군은 B₂(직교군) 또는 C₂(심플렉틱 군)로 해석될 수 있다.

이에 대응되는 직교군은 5차원 특수 직교군 $\operatorname{SO}(5;\mathbb R)$ 및 그 스핀 군 $\operatorname{Spin}(5)$ 의 2겹 몫군이다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 가진 $\operatorname{SO}(1,4)$ (5차원 로런츠 군) 및 $\operatorname{SO}(2,3)$ 과 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.

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킬링 형식의 부호수	기호	직교군 기호	군의 중심	기본군	사타케 도표	보건 도표	비고
(0,10)	B₂, C₂	Spin(5)	$\operatorname{Cyc}(2)$	0	$\bullet\Rightarrow\bullet$	$\circ\Rightarrow\circ$	단일 연결 콤팩트 형태
(0,10)	B₂, C₂	SO(5)	0	$\operatorname{Cyc}(2)$	$\bullet\Rightarrow\bullet$	$\circ\Rightarrow\circ$	무중심 콤팩트 형태
(6,4)	B₂Ⅰ, C₂Ⅰ	Spin(2,3)	$\operatorname{Cyc}(2)$	$\operatorname{Cyc}(\infty)$	$\circ\Rightarrow\circ$	$\bullet\Rightarrow\circ$	분할 형태
(6,4)	B₂Ⅰ, C₂Ⅰ	SO⁺(2,3)	0	$\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(\infty)$	$\circ\Rightarrow\circ$	$\bullet\Rightarrow\circ$	무중심 분할 형태
(4,6)	B₂Ⅱ, C₂Ⅱ	Spin(1,4)	$\operatorname{Cyc}(2)$	0	$\circ\Rightarrow\bullet$	$\circ\Rightarrow\bullet$
(4,6)	B₂Ⅱ, C₂Ⅱ	SO⁺(1,4)	0	$\operatorname{Cyc}(2)$	$\circ\Rightarrow\bullet$	$\circ\Rightarrow\bullet$

2.2. 심플렉틱 군 관점

단순 리 대수의 분류에서 $\mathsf B_2=\mathsf C_2$ 형은 딘킨 도표 : $\bullet\Rightarrow\bullet$ 에 대응되며, 리 군은 B₂(직교군) 또는 C₂(심플렉틱 군)로 해석될 수 있다. 심플렉틱 군의 경우 다음이 존재한다.

: $\operatorname{USp}(4;\mathbb R) = \operatorname{Sp}(2;\mathbb H) = \operatorname{Sp}(4;\mathbb C) \cap \operatorname U(r)$

마찬가지로, 분할 형태는 다음과 같다.

: $\operatorname{Sp}(4;\mathbb R) = \operatorname{Sp}(4;\mathbb C)\cap\operatorname{GL}(4;\mathbb R)$

이들은 다음과 같이 대응된다.

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킬링 형식의 부호수	기호	직교군 기호	심플렉틱 군 기호	군의 중심	기본군	사타케 도표	보건 도표	비고
(0,10)	B₂, C₂	Spin(5)	$\operatorname{USp}(4)=\operatorname U(2;\mathbb H)$	$\operatorname{Cyc}(2)$	0	$\bullet\Rightarrow\bullet$	$\circ\Rightarrow\circ$	단일 연결 콤팩트 형태
(0,10)	B₂, C₂	SO(5)	$\operatorname{PUSp}(4)=\operatorname{PU}(2;\mathbb H)$	0	$\operatorname{Cyc}(2)$	$\bullet\Rightarrow\bullet$	$\circ\Rightarrow\circ$	무중심 콤팩트 형태
(6,4)	B₂Ⅰ, C₂Ⅰ	Spin(2,3)	$\operatorname{Sp}(4;\mathbb R)$	$\operatorname{Cyc}(2)$	$\operatorname{Cyc}(\infty)$	$\circ\Rightarrow\circ$	$\bullet\Rightarrow\circ$	분할 형태
(6,4)	B₂Ⅰ, C₂Ⅰ	SO⁺(2,3)	$\operatorname{PSp}(4;\mathbb R)$	0	$\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(\infty)$	$\circ\Rightarrow\circ$	$\bullet\Rightarrow\circ$	무중심 분할 형태
(4,6)	B₂Ⅱ, C₂Ⅱ	Spin(1,4)	$\operatorname{USp}(2,2)=\operatorname U(1,1;\mathbb H)$	$\operatorname{Cyc}(2)$	0	$\circ\Rightarrow\bullet$	$\circ\Rightarrow\bullet$
(4,6)	B₂Ⅱ, C₂Ⅱ	SO⁺(1,4)	$\operatorname{PUSp}(2,2)=\operatorname{PU}(1,1;\mathbb H)$	0	$\operatorname{Cyc}(2)$	$\circ\Rightarrow\bullet$	$\circ\Rightarrow\bullet$

2.3. 관련 군들

단순 리 대수의 분류에서 $\mathsf B_2=\mathsf C_2$ 형은 딘킨 도표 $\bullet\Rightarrow\bullet$ 에 대응하며, 직교군 B₂ 또는 심플렉틱 군 C₂로 해석될 수 있다.

이에 대응되는 직교군은 5차원 특수 직교군 $\operatorname{SO}(5;\mathbb R)$ 및 그 스핀 군 $\operatorname{Spin}(5)$ 의 2겹 몫군이다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 갖는 $\operatorname{SO}(1,4)$ (5차원 로런츠 군)와 $\operatorname{SO}(2,3)$ , 그리고 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.

마찬가지로, 이에 대응되는 심플렉틱 군은 $\operatorname{USp}(4;\mathbb R) = \operatorname{Sp}(2;\mathbb H) = \operatorname{Sp}(4;\mathbb C) \cap \operatorname U(r)$ 이며, 분할 형태 $\operatorname{Sp}(4;\mathbb R) = \operatorname{Sp}(4;\mathbb C)\cap\operatorname{GL}(4;\mathbb R)$ 가 존재한다.

이들의 관계는 다음과 같다.

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킬링 형식의 부호수	기호	직교군 기호	심플렉틱 군 기호	군의 중심	기본군	사타케 도표	보건 도표	비고
(0,10)	B₂, C₂	Spin(5)	$\operatorname{USp}(4)=\operatorname U(2;\mathbb H)$	$\operatorname{Cyc}(2)$	0	$\bullet\Rightarrow\bullet$	$\circ\Rightarrow\circ$	단일 연결 콤팩트 형태
(0,10)	B₂, C₂	SO(5)	$\operatorname{PUSp}(4)=\operatorname{PU}(2;\mathbb H)$	0	$\operatorname{Cyc}(2)$	$\bullet\Rightarrow\bullet$	$\circ\Rightarrow\circ$	무중심 콤팩트 형태
(6,4)	B₂Ⅰ, C₂Ⅰ	Spin(2,3)	$\operatorname{Sp}(4;\mathbb R)$	$\operatorname{Cyc}(2)$	$\operatorname{Cyc}(\infty)$	$\circ\Rightarrow\circ$	$\bullet\Rightarrow\circ$	분할 형태
(6,4)	B₂Ⅰ, C₂Ⅰ	SO⁺(2,3)	$\operatorname{PSp}(4;\mathbb R)$	0	$\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(\infty)$	$\circ\Rightarrow\circ$	$\bullet\Rightarrow\circ$	무중심 분할 형태
(4,6)	B₂Ⅱ, C₂Ⅱ	Spin(1,4)	$\operatorname{USp}(2,2)=\operatorname U(1,1;\mathbb H)$	$\operatorname{Cyc}(2)$	0	$\circ\Rightarrow\bullet$	$\circ\Rightarrow\bullet$
(4,6)	B₂Ⅱ, C₂Ⅱ	SO⁺(1,4)	$\operatorname{PUSp}(2,2)=\operatorname{PU}(1,1;\mathbb H)$	0	$\operatorname{Cyc}(2)$	$\circ\Rightarrow\bullet$	$\circ\Rightarrow\bullet$

3. 성질

5차원 회전군의 낮은 차원 표현과 그 영 타블로는 아래 표와 같다.

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표현	SO(5) 해석	SO(5) 영 타블로	USp(4) 해석	USp(4) 영 타블로
4	스피너	■	벡터	□
5	벡터	□	무대각합 반대칭 2-텐서 (4×3/2! − 1)	□ □
10	반대칭 2-텐서 (5×4/2!)	□ □	대칭 2-텐서 (4×5/2!)	□□
14	무대각합 대칭 2-텐서 (14=5×6/2! − 1)	□□	4-텐서	□□ □□
16	라리타-슈윙거 장 (4×(5−1))	□■	3-텐서	□□ □

표현들의 텐서 곱은 다른 표현들의 직합으로 분해된다.

:4 ⊗ 4 = 5 ⊕ 10 ⊕ 1
:5 ⊗ 5 = 14 ⊕ 10 ⊕ 1
:4 ⊗ 5 = 16 ⊕ 4

3.1. 기하학적 해석

SO(5)는 ℝ⁵의 직접 유클리드 군 E⁺(5)의 부분군으로, 원점을 고정하고 방향을 보존하는 등거리 변환이다.

더 정확하게는 다음과 같다.

: SO(5) ≅ E⁺(5) / T

여기서 T는 ℝ⁵의 평행 이동 군이다.

3.2. 로런츠 형태 (Spin(1,4))

Spin(1,4)는 (1,4)차원 민코프스키 공간의 로런츠 군이자 3차원 유클리드 공간의 등각군이다. 이 경우, 최소 스피너는 복소수 4차원의 디랙 스피너이다.

이는 심플렉틱 군으로 다음과 같이 표현된다.

: $\operatorname{U}(1,1;\mathbb H) = \{M \in \operatorname{GL}(2;\mathbb H)\colon M^\dagger\Omega M = \Omega\}$

: $\Omega = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$

이 경우, 실수 5차원 표현은 다음과 같다.

: $V = \left\{\begin{pmatrix}a&b\\-b&\bar a\end{pmatrix} \colon a\in\mathbb H,\;b\in\mathbb R\right\}$

: $M\cdot v = Mv\Omega M\Omega^{-1} \qquad(v\in V)$

3.3. 표현론

낮은 차원 표현들과 그 영 타블로는 다음과 같다.

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표현	SO(5) 해석	SO(5) 영 타블로	USp(4) 해석	USp(4) 영 타블로
4	스피너	■	벡터	□
5	벡터	□	무대각합 반대칭 2-텐서 (4×3/2! − 1)	□ □
10	반대칭 2-텐서 (5×4/2!)	□ □	대칭 2-텐서 (4×5/2!)	□□
14	무대각합 대칭 2-텐서 (14=5×6/2! − 1)	□□	4-텐서	□□ □□
16	라리타-슈윙거 장 (4×(5−1))	□■	3-텐서	□□ □

표현들의 텐서 곱은 다른 표현들의 직합으로 분해된다.

:4 ⊗ 4 = 5 ⊕ 10 ⊕ 1
:5 ⊗ 5 = 14 ⊕ 10 ⊕ 1
:4 ⊗ 5 = 16 ⊕ 4

4. 리 군

단순 리 군이다.