심플렉틱 군

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1. 개요

심플렉틱 군은 체 K 위에서 정의되는 $2n \times 2n$ 행렬들의 곱셈군으로, 특정 반대칭 쌍선형 형식을 보존하며, 심플렉틱 행렬이라고 불린다. 심플렉틱 군은 비퇴화 반대칭 쌍선형 형식을 보존하는 2n 차원 벡터 공간의 선형 변환들의 집합으로 정의될 수 있으며, Sp(2n, F) = {M ∈ M2n × 2n(F) : M^T Ω M = Ω}로 표현된다. 모든 심플렉틱 행렬은 행렬식이 1이므로, 특수 선형군의 부분군이며, 체 F가 실수 또는 복소수 체일 경우, Sp(2n, F)는 실수 또는 복소수 리 군이다. 유니터리 심플렉틱 군 USp(2n)은 유니터리이면서 복소수 심플렉틱 행렬인 리 군으로, 사원수의 유니터리 군과 동형이다. 심플렉틱 군은 고전 역학에서 정준 좌표의 대칭으로, 양자 역학에서 정준 교환 관계를 표현하는 데 사용되며, 닐스 헨리크 아벨이 최초로 연구했고, 헤르만 바일이 명칭을 도입했다.

심플렉틱 군

개요

종류	고전군
위상	위상군
분야	수학, 물리학

정의

기호	Sp(2n, F)
설명	체 F 위의 2n차원 벡터 공간에서 심플렉틱 형식을 보존하는 선형 변환으로 이루어진 군
다른 표기법	Sp(n)

예시

Sp(2, F)	SL(2, F) (특성 2가 아닌 경우)
Sp(2, C)	SL(2, C)

성질

리 군 순위	n
유니타리 형식	Sp(n) ⊂ U(2n)
복소 리 군	Sp(2n, C)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 심플렉틱 군 간의 관계
5. 물리학적 응용
- 5.1. 고전 역학
- 5.2. 양자 역학
6. 역사

2. 정의

심플렉틱 군은 주어진 체 위에서 정의되는 행렬의 군으로, 심플렉틱 벡터 공간의 구조를 보존하는 선형 변환들의 집합이다.

심플렉틱 군은 체 위의 차원 벡터 공간의 선형 변환들의 집합으로 정의되며, 비퇴화 반대칭 쌍선형 형식을 보존한다. 이러한 벡터 공간을 심플렉틱 벡터 공간이라고 부르며, 추상적인 심플렉틱 벡터 공간 의 심플렉틱 군은 로 표기한다.

에 대한 기저를 고정하면 심플렉틱 군은 를 원소로 갖는 심플렉틱 행렬들의 군이 되며, 행렬 곱셈 연산을 따른다. 이 군은 또는 로 표기한다. 쌍선형 형식이 비특이 반대칭 행렬 Ω로 표현될 때,

: $\operatorname{Sp}(2n, F) = \{M \in M_{2n \times 2n}(F) : M^\mathrm{T} \Omega M = \Omega\},$

여기서 M^T는 M의 전치 행렬이다. 종종 Ω는 다음과 같이 정의된다.

: $\Omega = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{pmatrix},$

여기서 I_n는 항등 행렬이다.

모든 심플렉틱 행렬은 행렬식이 이므로, 심플렉틱 군은 특수 선형군 의 부분군이다. 일 때, 행렬에 대한 심플렉틱 조건은 행렬식이 1일 때 유일하게 만족되므로, 이다. 의 경우, 는 의 진부분군이다.

일반적으로, 체 는 실수 또는 복소수 체이다. 이러한 경우, 는 각각 실수 또는 복소수 차원 을 갖는 실수 또는 복소수 리 군이다. 이러한 군은 연결되어 있지만 비콤팩트하다.

의 중심은 체의 표수가 가 아닌 경우 행렬 와 로 구성된다. 의 중심이 이산적이고 중심에 대한 몫이 단순군이므로, 는 단순 리 군으로 간주된다.

심플렉틱 기하학은 심플렉틱 다양체에 대한 연구이다. 심플렉틱 다양체의 임의의 점에서의 접공간은 심플렉틱 벡터 공간이다. 심플렉틱 벡터 공간의 구조를 보존하는 변환은 군을 형성하며, 이 군은 공간의 차원과 정의된 체에 따라 이다. 심플렉틱 벡터 공간 자체는 심플렉틱 다양체이다. 따라서 심플렉틱 군의 작용 하에서의 변환은 어떤 의미에서 심플렉틱 다양체에서의 더 일반적인 구조 보존 변환인 심플렉틱 동형사상의 선형화된 버전이다.

체 F 위의 2n차 심플렉틱 군 Sp(2n, F)은 F의 원소를 갖는 2n × 2n 심플렉틱 행렬 전체의 집합이며, 행렬의 곱셈을 군 연산으로 갖는다. 모든 심플렉틱 행렬의 행렬식은 1이므로, 심플렉틱 군은 특수 선형군 SL(2n, F)의 부분군이다.

심플렉틱 군은 F 위의 2n 차원 벡터 공간의 선형 변환 중 비퇴화 반대칭 쌍선형 형식을 보존하는 것 전체의 집합으로 정의할 수 있다. 이러한 벡터 공간은 심플렉틱 벡터 공간이라고 불린다. 추상 심플렉틱 벡터 공간 V의 심플렉틱 군은 Sp(V)로도 쓴다.

n = 1일 때, 행렬의 심플렉틱 조건은 행렬식이 1인 것과 동치이며, 따라서 Sp(2, F) = SL(2, F)이다. n > 1일 때에는 추가적인 조건이 필요하다.

전형적으로, F는 실수체 R 또는 복소수체 C이다. 이 경우, Sp(2n, F)는 실수 또는 복소수 차원 n(2n + 1)의 실수 또는 복소수 리 군이다. 이들 군은 연결되어 있지만 콤팩트하지 않다. Sp(2n, C)는 단일 연결이지만, Sp(2n, R)는 Z에 동형인 기본군을 갖는다.

2.1. 심플렉틱 군 Sp(2''n''; ''K'')

체 K 위에서 정의되는 심플렉틱 군 Sp(2n; K)는 특정한 반대칭 쌍선형 형식을 보존하는 2n × 2n 행렬들의 곱셈군이다. 이들은 심플렉틱 행렬이라고 불린다. 즉, 다음을 만족한다.

: $\operatorname{Sp}(2n;K)=\{M\in\operatorname{GL}(2n;K)|M^\top\Omega M=\Omega\}$ .

여기서 $\Omega$ 는 다음과 같이 정의되는 $2n\times2n$ 행렬이다.

: $\Omega=\begin{pmatrix}0&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0\end{pmatrix}\in\operatorname{GL}(2n;K)$

$1_{n\times n}$ 은 $n\times n$ 단위 행렬이다.

심플렉틱 군은 체 위의 차원 벡터 공간의 선형 변환들의 집합으로 정의될 수도 있으며, 이는 비퇴화 반대칭 쌍선형 형식을 보존한다. 이러한 벡터 공간을 심플렉틱 벡터 공간이라고 한다.

$n=1$ 일 때, 행렬의 심플렉틱 조건은 행렬식이 1인 것과 동치이므로, $\operatorname{Sp}(2,F) = \operatorname{SL}(2,F)$ 이다. $n>1$ 의 경우, $\operatorname{Sp}(2n,F)$ 는 $\operatorname{SL}(2n,F)$ 의 진부분군이다.

일반적으로 체 $F$ 는 실수 $\mathbb{R}$ 또는 복소수 $\mathbb{C}$ 체이다. 이 경우, $\operatorname{Sp}(2n,F)$ 는 실수 또는 복소수 차원 $n(2n+1)$ 을 갖는 실수 또는 복소수 리 군이다.

2.2. 유니터리 심플렉틱 군 USp(2''n'')

유니터리 심플렉틱 군( $\operatorname{USp}(2n)$ )은 $2n\times2n$ 유니터리이면서 동시에 심플렉틱 복소수 행렬인 리 군이다. 즉, 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname{USp}(2n)=\operatorname U(2n)\cap\operatorname{Sp}(2n,\mathbb C)$

간혹 $\operatorname{USp}(2n)$ 을 $\operatorname{Sp}(n)$ 으로 쓰기도 하지만, 이는 $\operatorname{Sp}(n, \mathbb F)$ 와는 다른 군이다.

유니터리 심플렉틱 군 $\operatorname{USp}(2n)$ 은 사원수의 유니터리 군과 동형이다.

: $\operatorname{USp}(2n)\cong\operatorname U(n;\mathbb H)=\{M\in\operatorname{GL}(n;\mathbb H)\colon M^{-1}=M^\dagger\}$

$\operatorname{USp}(2n)$ 은 $\operatorname{Sp}(2n;\mathbf C)$ 와 $2n\times 2n$ 유니터리 군의 교집합으로도 정의된다.

: $\operatorname{Sp}(n):=\operatorname{Sp}(2n;\mathbf C)\cap\operatorname{U}(2n)=\operatorname {Sp}(2n;\mathbf C)\cap\operatorname {SU} (2n).$

때때로 $\operatorname{USp}(2n)$ 으로 표기하기도 한다.

$\operatorname{Sp}(n)$ 은 $\operatorname{GL}(n, \mathbb H)$ (가역 사원수 행렬)의 부분군으로서, $\mathbb H^n$ 에 대한 표준 에르미트 형식을 보존하는 군으로 설명할 수 있다.

: $\langle x, y\rangle = \bar x_1 y_1 + \cdots + \bar x_n y_n.$

즉, $\operatorname{Sp}(n)$ 은 단순히 사원수 유니터리 군 $\operatorname U(n, \mathbb H)$ 이다. 실제로, 때때로 초유니타리 군이라고도 불린다.

또한 $\operatorname{Sp}(1)$ 은 노름이 $1$ 인 사원수의 군이며, 이는 $SU(2)$ 와 동등하며 위상적으로 -구 $S^3$ 이다.

$\operatorname{Sp}(n)$ 은 $\mathbb H^n$ 에 대한 비퇴화 왜대칭 $\mathbb H$ -쌍선형 형식을 보존하지 않는다. (영 형식을 제외하고 그러한 형식은 없다)

$\operatorname{Sp}(n)$ 은 (실수) 차원이 $n(2n + 1)$ 인 실수 리 군이다. 이는 콤팩트이며 단일 연결이다.

$\operatorname{Sp}(n)$ 의 리 대수는 사원수 왜에르미트 행렬로 주어지며, 이는 다음을 만족하는 $n$ -by- $n$ 사원수 행렬의 집합이다.

: $A+A^{\dagger} = 0$

여기서 $A^{\dagger}$ 는 $A$ 의 켤레 전치 행렬이다 (여기서는 사원수 켤레를 취한다). 리 브래킷은 교환자로 주어진다.

2.3. 리 대수

$\operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)$ 에 대응하는 리 대수 $\mathfrak{sp}(2n;\mathbb R)$ 는 해밀턴 행렬(Hamiltonian matrix^영어), 즉 $\Omega M$ 이 대칭 행렬인 행렬 $M$ 들로 구성된다.
: $\mathfrak{sp}(2n;\mathbb R)=\{M\in\mathfrak{gl}(2n;\mathbb R)\colon \Omega M=(\Omega M)^\top\}$

복소수체의 경우에도 마찬가지이다.
: $\mathfrak{sp}(2n;\mathbb C)=\{M\in\mathfrak{gl}(2n;\mathbb C)\colon \Omega M=(\Omega M)^\top\}$

유니터리 심플렉틱 군의 리 대수 $\mathfrak{usp}(2n)$ 는 $n\times n$ 사원수 반에르미트 행렬로 구성된다. 또한, 이는 $2n\times2n$ 복소수 에르미트 행렬이자 $2n\times2n$ 해밀턴 행렬인 것들로 구성할 수도 있다.
: $\mathfrak{usp}(2n)=\{M\in\mathfrak{gl}(n;\mathbb H)\colon M=-M^\dagger\}\cong\mathfrak{sp}(2n;\mathbb C)\cap\mathfrak{u}(2n)$

심플렉틱 리 대수의 원소는 해밀턴 행렬이다.

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심플렉틱 군 비교표
	리 군	리 대수
Sp(2n, R)	$\mathfrak{sp}(2n,R) = \{X \in M_{2n \times 2n}(F) : \Omega X + X^\mathrm{T} \Omega = 0\}$
Sp(2n, C)	$\mathfrak{sp}(2n,F) = \{X \in M_{2n \times 2n}(F) : \Omega X + X^\mathrm{T} \Omega = 0\}$
Sp(n)	$A + A^\dagger = 0$ 을 만족하는 n×n 사원수 행렬의 집합. 여기서, $A^\dagger$ 는 $A$ 의 수반 행렬

3. 성질

심플렉틱 군은 체 $\mathbb{F}$ 위의 $2n$ 차원 벡터 공간에서 정의되며, 비퇴화 반대칭 쌍선형 형식을 보존하는 선형 변환들의 집합이다. 이러한 벡터 공간을 심플렉틱 벡터 공간이라고 하며, 추상적인 심플렉틱 벡터 공간 $V$ 의 심플렉틱 군은 $\operatorname{Sp}(V)$ 로 표기한다. $V$ 에 대한 기저를 고정하면, 심플렉틱 군은 $\mathbb{F}$ 를 원소로 갖는 $2n \times 2n$ 심플렉틱 행렬들의 군이 되며, 행렬 곱셈 연산을 따른다. 이 군은 $\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F})$ 또는 $\operatorname{Sp}(n, \mathbb{F})$ 로 표기한다.

쌍선형 형식이 비특이 반대칭 행렬 $\Omega$ 로 표현될 때, 심플렉틱 군은 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname{Sp}(2n, F) = \{M \in M_{2n \times 2n}(F) : M^\mathrm{T} \Omega M = \Omega\},$

여기서 $M^\mathrm{T}$ 는 $M$ 의 전치 행렬이다. 종종 $\Omega$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\Omega = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{pmatrix},$

여기서 $I_n$ 는 항등 행렬이다. 이 경우, $\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F})$ 는 $(\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix})$ 형태의 블록 행렬로 표현될 수 있으며, 여기서 $A, B, C, D \in M_{n \times n}(F)$ 이고, 다음 세 가지 방정식을 만족한다.

: $\begin{align}-C^\mathrm{T}A + A^\mathrm{T}C &= 0, \\-C^\mathrm{T}B + A^\mathrm{T}D &= I_n, \\-D^\mathrm{T}B + B^\mathrm{T}D &= 0.\end{align}$

모든 심플렉틱 행렬은 행렬식이 1이므로, 심플렉틱 군은 특수 선형군 $\operatorname{SL}(2n, \mathbb{F})$ 의 부분군이다. $n = 1$ 일 때, 행렬에 대한 심플렉틱 조건은 행렬식이 1일 때 유일하게 만족되므로, $\operatorname{Sp}(2, \mathbb{F}) = \operatorname{SL}(2, \mathbb{F})$ 이다. $n > 1$ 의 경우, 추가적인 조건이 있으며, 즉, $\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F})$ 는 $\operatorname{SL}(2n, \mathbb{F})$ 의 진부분군이다.

일반적으로 체 $\mathbb{F}$ 는 실수 $\mathbb{R}$ 또는 복소수 $\mathbb{C}$ 체이다. 이러한 경우, $\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F})$ 는 각각 실수 또는 복소수 차원 $n(2n + 1)$ 을 갖는 실수 또는 복소수 리 군이다. 이러한 군은 연결되어 있지만 비콤팩트하다.

$\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F})$ 의 중심은 체의 표수가 2가 아닌 경우 행렬 $I_{2n}$ 와 $-I_{2n}$ 로 구성된다. $\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F})$ 의 중심이 이산적이고 중심에 대한 몫군이 단순군이므로, $\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F})$ 는 단순 리 군으로 간주된다.

대응하는 리 대수, 따라서 리 군 $\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F})$ 의 실수 랭크는 $n$ 이다.

$\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F})$ 의 리 대수는 다음과 같은 집합이다.

: $\mathfrak{sp}(2n,F) = \{X \in M_{2n \times 2n}(F) : \Omega X + X^\mathrm{T} \Omega = 0\},$

이를 교환자를 리 괄호로 갖는다. 표준 반대칭 쌍선형 형식 $\Omega = (\begin{smallmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{smallmatrix})$ 에 대해, 이 리 대수는 다음 조건을 만족하는 모든 블록 행렬 $(\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix})$ 의 집합이다.

: $\begin{align}A &= -D^\mathrm{T}, \\B &= B^\mathrm{T}, \\C &= C^\mathrm{T}.\end{align}$

$\operatorname{Sp}(2n,\mathbf{R})$ 은 생성자를 사용하여 상당히 명확하게 기술될 수 있다. $\operatorname{Sym}(n)$ 을 대칭 $n\times n$ 행렬이라고 하면, $\operatorname{Sp}(2n,\mathbf{R})$ 은 $D(n)\cup N(n) \cup \{\Omega\}$ 에 의해 생성되며, 여기서

: $\begin{align}D(n) &= \left\{ \left. \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & (A^T)^{-1} \end{bmatrix} \,\right| \, A \in \operatorname{GL}(n, \mathbf{R})\right\} \\[6pt]N(n) &= \left\{ \left. \begin{bmatrix} I_n & B \\ 0 & I_n \end{bmatrix} \, \right| \, B \in \operatorname{Sym}(n)\right\}\end{align}$

는 $\operatorname{Sp}(2n,\mathbf{R})$ 의 부분군이다^173쪽^2쪽.

심플렉틱 군 Sp(n)은 GL(n, H) (가역 사원수 행렬 전체)의 부분군으로, Hⁿ 상의 표준 에르미트 형식

: $\langle x, y\rangle = \bar x_1 y_1 + \cdots + \bar x_n y_n$

을 보존하는 것이다. 즉, Sp(n)은 단순한 사원수 유니터리 군 U(n, H)이다. 실제로, 때로는 초 유니터리 군(hyperunitary group)이라고 불리기도 한다. 또한 Sp(1)은 단위 길이를 갖는 사원수 전체의 집합, 즉 3차원 초구 S³이다. Sp(n)은 앞 절의 의미에서 심플렉틱 군이 아닌 것에 주의해야 한다. 왜냐하면 Hⁿ 상의 반대칭 형식을 보존하지 않기 때문이다(실제로 이러한 형식은 존재하지 않는다).

Sp(n)은 n(2n + 1)차원의 실수 리 군이다. 이는 콤팩트, 연결이며 단일 연결이다. Sp(n)의 리 대수는

:A + A^† = 0

을 만족하는 n×n 사원수 행렬의 집합이다. 여기서, A^†는 A의 수반 행렬이다(켤레는 사원수 켤레를 취한다). 리 괄호곱은 교환자에 의해 주어진다.

3.1. 군론적 성질

$\operatorname{USp}(2n)$ 의 중심은 ±1 (단위행렬)로 구성된 Z/2와 동형이다.
: $\operatorname Z(\operatorname{USp}(2n))=\{\pm1_{2n\times2n}\}\cong\mathbb Z/2$

표수가 2가 아닌 체 $K$ 에 대해, $\operatorname{Sp}(2n;K)$ 의 중심은 역시 ±1 (단위행렬)로 구성된 Z/2와 동형이다.
: $\operatorname Z(\operatorname{Sp}(2n;K))=\{\pm1_{2n\times2n}\}\cong\mathbb Z/2$

$K$ 의 표수가 2인 경우, $\operatorname{Sp}(2n;K)$ 의 중심은 자명군이다.

(유니터리) 심플렉틱 군의 중심에 대한 몫군은 사영 (유니터리) 심플렉틱 군(projective (unitary) symplectic group^영어)이라고 한다.
: $\operatorname{Sp}(2n;K)/\operatorname Z(\operatorname{Sp}(2n;K))=\operatorname{PSp}(2n;K)$
: $\operatorname{USp}(2n)/\operatorname Z(\operatorname{USp}(2n))=\operatorname{PUSp}(2n)$

유한체에 대한 심플렉틱 군의 크기는 다음과 같이 주어진다.
: $|\operatorname{Sp}(2n;\mathbb F_q)|=q^{n^2}\prod_{k=1}^n(q^{2k}-1)$

3.2. 리 이론적 성질

심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(2n;\mathbb C)$ 는 계수가 $n$ 인 단순 리 군이며, 단순 리 군의 분류에서 $C_n$ 에 해당한다. 콤팩트 실수 형태는 $\operatorname{USp}(2n)$ 이며, 분해 실수 형태는 $\operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)$ 이다.

$\operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)$ 의 최대 콤팩트 부분군은 유니터리 군 $\operatorname{U}(n)$ 이다.

$\operatorname{USp}(2n)$ 을 $n\times n$ 사원수 유니터리 행렬들의 군으로 생각한다면, $\operatorname{USp}(2n)$ 의 극대 원환면은 다음과 같다.
: $\{\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\colon\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb C\subset\mathbb H,\,|\lambda_1|=\cdots=|\lambda_n|=1\}$
위 식에서는 사원수 대수 $\mathbb H$ 속에서, 복소수체와 동형인 부분 대수를 임의로 골랐다.

$\operatorname{USp}(2n)$ 의 바일 군은 $\operatorname{SO}(2n+1)$ 의 바일 군과 같으며, 다음과 같다.
: $\operatorname{Weyl}(\operatorname{USp}(2n))\cong(\mathbb Z/2)^n\rtimes\operatorname{Sym}(n)$
이는 구체적으로 다음과 같이 작용한다. 각 $\epsilon_i\in\{\pm1\}$ 는 $\lambda_i$ 를
: $+1\colon\lambda_i\mapsto\lambda_i$
: $-1\colon\lambda_i\mapsto\bar\lambda_i$
와 같이 대응시키며, $\sigma\in\operatorname{Sym}(n)$ 은 극대 원환면의 기저에 대하여 순열로 작용한다.

3.3. 위상수학적 성질

복소수 심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(2n;\mathbb C)$ 는 $n(2n+1)$ 복소수 차원의 연결 단일 연결 리 군이며, 콤팩트하지 않다. 실수 심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)$ 은 $n(2n+1)$ (실수) 차원의 연결 리 군이며, 콤팩트하지 않다. 그 기본군은 정수군과 동형이다. 유니터리 심플렉틱 군 $\operatorname{USp}(2n)$ 은 $n(2n + 1)$ (실수) 차원의 콤팩트 연결 단일 연결 리 군이다.

3.4. 포함 관계

유니터리 심플렉틱 군은 다음과 같은 포함 관계를 갖는다.

* $\operatorname{SU}(2n)\supset\operatorname{USp}(2n) \supset \operatorname{SU}(n)$
* $F_4 \supset \operatorname{USp}(8)$
* $G_2 \supset \operatorname{USp}(2)$

낮은 차수의 유니터리 심플렉틱 군에서는 다음과 같은 예외적 동형(exceptional isomorphism^영어)이 나타난다.

* $\operatorname{USp}(2)\cong\operatorname{Spin}(3)\cong\operatorname{SU}(2)$
* $\operatorname{PUSp}(2)\cong\operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{SO}(3)$
* $\operatorname{USp}(4)\cong\operatorname{Spin}(5)$
* $\operatorname{PUSp}(4)\cong\operatorname{SO}(5)$

모든 체 $K$ 에 대하여, $\operatorname{Sp}(2;K)=\operatorname{SL}(2;K)$ 가 성립한다.

유한체에 대한 심플렉틱 군의 경우 다음과 같은 동형이 존재한다.

* $\operatorname{Sp}(2;\mathbb F_2)\cong\operatorname{Sym}(3)$
* $\operatorname{Sp}(4;\mathbb F_2)\cong\operatorname{Sym}(6)$
* $\operatorname{PSp}(2;\mathbb F_3)\cong\operatorname{Alt}(4)$

여기서 $\operatorname{Sym}(n)$ 및 $\operatorname{Alt}(n)$ 은 각각 대칭군과 교대군을 뜻한다.

4. 심플렉틱 군 간의 관계

Sp(2n, ℝ), Sp(2n, ℂ), Sp(n) 사이의 관계는 그들의 리 대수에서 가장 명확하게 나타난다. 이들은 실수 리 군으로 간주했을 때 동일한 복소화를 갖는다. 카르탕의 단순 리 대수 분류에서 이 리 대수는 C_n으로 표기한다.

복소 리 대수 C_n은 복소 리 군 Sp(2n, ℂ)의 리 대수 𝔖𝔭(2n, ℂ) 자체이다. 이 리 대수는 두 가지 실수 형식을 갖는다.

* 콤팩트 형식 𝔖𝔭(n): Sp(n)의 리 대수이다.
* 정규 형식 𝔖𝔭(2n, ℝ): Sp(2n, ℝ)의 리 대수이다.

다음은 심플렉틱 군들을 비교한 표이다.

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심플렉틱 군 비교표
	행렬	리 군	실수 차원	복소 차원	콤팩트	기본군 π₁
Sp(2n, ℝ)	ℝ	실수	n(2n + 1)	-	×	ℤ
Sp(2n, ℂ)	ℂ	복소	2n(2n + 1)	n(2n + 1)	×	1
Sp(n)	ℍ	실수	n(2n + 1)	-	○	1

5. 물리학적 응용

비콤팩트 심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{R})$은 고전 역학에서 푸아송 괄호를 보존하는 정준 좌표의 대칭으로 나타나며, 이는 해밀턴 역학의 형태를 보존하는 정준 변환과 관련된다.

위상 공간에서 주어진 시간에 해밀턴 역학에 따라 진화하는 $n$개의 입자계를 생각해 보자. 이때 위치는 정준 좌표의 벡터로 표시된다.

:$\mathbf{z} = (q^1, \ldots, q^n, p_1, \ldots, p_n)^\mathrm{T}.$

$\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{R})$ 군의 원소는 이 벡터에 대한 정준 변환으로 볼 수 있다.

리만 다양체의 특수한 경우, 해밀턴 방정식은 해당 다양체의 측지선을 설명한다. 좌표 $q^i$는 기본 다양체에 존재하고, 운동량 $p_i$는 공변접다발에 존재한다. 해당 해밀토니안은 순전히 운동 에너지로 구성된다. 즉, $H = \frac{1}{2} g^{ij}(q) p_i p_j$이고 여기서 $g^{ij}$는 리만 다양체의 계량 텐서 $g_{ij}$의 역이다.

양자 역학에서 위치 및 운동량 연산자의 진화는 하이젠베르크 방정식을 따르며, 정준 교환 관계는 심플렉틱 군을 통해 표현될 수 있다. 정준 좌표 벡터는 다음과 같다.

:$\mathbf{\hat{z}} = (\hat{q}^1, \ldots , \hat{q}^n, \hat{p}_1, \ldots , \hat{p}_n)^\mathrm{T}.$

정준 교환 관계는 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.

:$ [\mathbf{\hat{z}},\mathbf{\hat{z}}^\mathrm{T}] = i\hbar\Omega $

여기서

:$ \Omega = \begin{pmatrix} \mathbf{0} & I_n \\ -I_n & \mathbf{0}\end{pmatrix} $

이고 $I_n$은 $n\times n$ 항등 행렬이다.

많은 물리적 상황에서는 2차 해밀토니안, 즉 다음과 같은 형태의 해밀토니안이 필요하다.

:$\hat{H} = \frac{1}{2}\mathbf{\hat{z}}^\mathrm{T} K\mathbf{\hat{z}}$

여기서 $K$는 $2n\times 2n$ 실수, 대칭 행렬이다. 이 시스템의 시간 진화는 위상 공간에서 실 심플렉틱 군의 작용과 동일하다.

5.1. 고전 역학

비콤팩트 심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{R})$ 은 고전 역학에서 푸아송 괄호를 보존하는 정준 좌표의 대칭으로 나타난다. 이는 해밀턴 역학의 형태를 보존하는 정준 변환과 관련된다.

위상 공간에서 주어진 시간에 해밀턴 역학에 따라 진화하는 $n$ 개의 입자계를 생각해 보자. 이때 위치는 정준 좌표의 벡터로 표시된다.

: $\mathbf{z} = (q^1, \ldots, q^n, p_1, \ldots, p_n)^\mathrm{T}.$

$\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{R})$ 군의 원소는 이 벡터에 대한 정준 변환으로 볼 수 있다. 만약

: $\mathbf{Z} = \mathbf{Z}(\mathbf{z}, t) = (Q^1, \ldots, Q^n, P_1, \ldots, P_n)^\mathrm{T}$

가 새로운 정준 좌표라면, 점은 시간에 대한 미분을 나타내며, 다음이 성립한다.

: $\dot{\mathbf{Z}} = M(\mathbf{z}, t) \dot{\mathbf{z}},$

여기서

: $M(\mathbf{z}, t) \in \operatorname{Sp}(2n, \mathbb{R})$

는 모든 $t$ 와 위상 공간의 모든 $\mathbf{z}$ 에 대해 성립한다.

리만 다양체의 특수한 경우, 해밀턴 방정식은 해당 다양체의 측지선을 설명한다. 좌표 $q^i$ 는 기본 다양체에 존재하고, 운동량 $p_i$ 는 공변접다발에 존재한다. 이것이 바로 이들이 일반적으로 위첨자와 아래첨자로 쓰이는 이유이다. 해당 해밀토니안은 순전히 운동 에너지로 구성된다. 즉, $H = \frac{1}{2} g^{ij}(q) p_i p_j$ 이고 여기서 $g^{ij}$ 는 리만 다양체의 계량 텐서 $g_{ij}$ 의 역이다. 실제로, 어떤 매끄러운 다양체의 공변접다발도 심플렉틱 다양체의 형태로, 심플렉틱 형식은 자명한 1-형식의 외미분으로 정의될 수 있다.

5.2. 양자 역학

Quantum mechanics^영어에서 위치 및 운동량 연산자의 진화는 하이젠베르크 방정식을 따르며, 정준 교환 관계는 심플렉틱 군을 통해 표현될 수 있다. 정준 좌표 벡터는 다음과 같다.

: $\mathbf{\hat{z}} = (\hat{q}^1, \ldots , \hat{q}^n, \hat{p}_1, \ldots , \hat{p}_n)^\mathrm{T}.$

정준 교환 관계는 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.

: $[\mathbf{\hat{z}},\mathbf{\hat{z}}^\mathrm{T}] = i\hbar\Omega$

여기서

: $\Omega = \begin{pmatrix} \mathbf{0} & I_n \\ -I_n & \mathbf{0}\end{pmatrix}$

이고 은 항등 행렬이다.

많은 물리적 상황에서는 2차 해밀토니안, 즉 다음과 같은 형태의 해밀토니안이 필요하다.

: $\hat{H} = \frac{1}{2}\mathbf{\hat{z}}^\mathrm{T} K\mathbf{\hat{z}}$

여기서 는 실수, 대칭 행렬이다. 이것은 유용한 제약 조건이며 하이젠베르크 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

: $\frac{d\mathbf{\hat{z}}}{dt} = \Omega K \mathbf{\hat{z}}$

이 방정식의 해는 정준 교환 관계를 보존해야 한다. 이 시스템의 시간 진화는 위상 공간에서 실 심플렉틱 군의 작용과 동일하다.

6. 역사

닐스 헨리크 아벨이 심플렉틱 군을 도입하였다.

헤르만 바일은 1939년에 "심플렉틱 군"이라는 이름을 도입하였다. 바일은 이전에 이 군을 선복합체(line complex^영어)를 따서 ‘복합군’(complex group^영어)으로 부를 것을 제안하였다. 그러나 ‘복소수’(complex number^영어)의 ‘복소’와 혼동될 수 있어, 대응하는 그리스어 단어 ‘심플렉틱’(symplectic^영어)으로 대체하였다. 딕슨은 이 군을 최초로 연구한 아벨의 이름을 따 ‘아벨 선형군’이라고 불렀다.

다른 저자에 따르면, 2세기 전에는 ‘심플렉틱 기하학’이라는 용어가 없었고, ‘심플렉틱’(symplectic bone^영어)은 생선 머리뼈의 일종이었다. 바일은 수학 용어 ‘심플렉틱’을 고안, 라틴어 어근 complex-^라틴어를 그리스어 어근으로 치환하여 심플렉틱 군을 지칭하였다. 이를 통해 복소수와의 혼동 및 아벨 군과의 혼동을 피하였다.