보렐-베유-보트 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 예시
- 3.1. SL(2, C)의 표현론
4. 양의 표수(Positive characteristic)
5. 보렐-베유 정리 (Borel–Weil theorem)
- 5.1. 정리의 내용 (Statement of the theorem)
- 5.2. 구체적인 설명 (Concrete description)
6. 역사
참조

1. 개요

보렐-베유-보트 정리는 복소수 반단순 리 군의 표현론에 관한 중요한 정리로, 층 코호몰로지를 통해 리 군의 기약 표현을 설명한다. 이 정리는 보렐-베유 정리(우세 무게에 대한 경우)와 보트의 일반화(임의의 정수 무게에 대한 경우)로 구성된다. 특히, 보렐-베유-보트 정리는 층 코호몰로지 군의 차원을 계산하고, 기약 표현을 구체적으로 모델링하는 데 기여한다.

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보렐-베유-보트 정리

2. 정의

'''보렐-베유-보트 정리'''는 복소수 반단순 리 군 $G$ 와 관련된 특정 층 코호몰로지 군들을 계산하는 정리이다. 이 정리는 $G$ 의 기약 표현을 층 코호몰로지 군의 형태로 구성하며, 그 역도 성립한다.

정의에 필요한 기본적인 설정은 다음과 같다.

$G$ : 복소수 반단순 리 군
$T$ : $G$ 의 극대 원환면
$B$ : $T$ 를 포함하는 보렐 부분군
$U$ : $B$ 의 멱일 근기 (특히, $B/U=T$ )
$\lambda$ : $T$ 의 정수 무게 (군 표현 $T\to\operatorname{GL}(1;\mathbb C)$ 에 해당)

이 설정을 바탕으로, 보렐-베유-보트 정리는

B

의 군 표현

C_\lambda

로부터 유도되는 복소수 선다발인 연관 벡터 다발

L_{-\lambda}

를 이용하여 층 코호몰로지 군

\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})

을 다음과 같이 두 가지 경우로 나누어 설명한다.

정리의 핵심은 바일 군의 작용에 있다.

\rho

를

G

의 모든 양근들의 합의 절반이라고 하고, 정수 무게

\lambda

와 바일 군

\operatorname W(G)

의 원소

w

에 대해

w\lambda = w(\lambda + \rho) - \rho

로 정의한다.

이제 두 가지 경우는 다음과 같다.

1.

\lambda

의 안정자군이 자명군이 아닌 경우, 즉

w\lambda = \lambda

인 항등원이 아닌

w

가 존재하는 경우. 이 경우, 모든

i

에 대해

\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda}) = 0

이다.

2.

w\lambda

가 우세 무게가 되는 유일한 바일 군 원소

w

가 존재하는 경우. 이 원소를

w_\lambda

라고 하자. 이 경우,

i \ne \operatorname{length}(w_\lambda)

이면

\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda}) = 0

이고,

i = \operatorname{length}(w_\lambda)

이면

\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})

는

w_\lambda\lambda

에 대응하는

G

의 기약 표현의 쌍대 공간과 같다.

특히,

\lambda

가 이미 우세 무게이면 항상 두 번째 경우가 성립하고,

w_\lambda

는 항등원이며

\operatorname{length}(w_\lambda) = 0

이다. 이 경우를 '''보렐-베유 정리'''라고 한다.

2. 1. 기본 설정

다음과 같은 데이터 및 기호들이 주어졌다고 하자.

복소수 반단순 리 군 $G$
$G$ 의 극대 원환면 $T\le G$
보렐 부분군 $T\le B\le G$
$B$ 의 멱일 근기 $U\le B\le G$ . 특히 $B/U=T$ 이다.
:

::

\begin{matrix}T&\subset&B&\subset&G\\&&\cup\\&&U\end{matrix}

$T$ 의 정수 무게 $\lambda\colon\operatorname{Lie}(T)^*\to\mathbb C$ . 즉, 군 표현 $T\to\operatorname{GL}(1;\mathbb C)=\operatorname{Unit}(\mathbb C)$ .

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

사영 사상 $B\twoheadrightarrow B/U=T$ 을 통한 $B$ 의 군 표현 $C_\lambda\colon B\to\operatorname{GL}(1;\mathbb C)$
$B$ -주다발 $G\twoheadrightarrow G/B$ 에 대한, $C_\lambda$ 의 연관 벡터 다발 $(G\times\mathbb C)/B=L_{-\lambda}$ . 이는 복소수 선다발이다.
$L_{-\lambda}$ 계수의 층 코호몰로지 군 $\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})$ . 이는 각 자연수 $i$ 에 대한 복소수 벡터 공간이다.
또한, $G$ 가 $(G\times\mathbb C)/B=L_{-\lambda}$ 위에 (왼쪽에서) 작용하므로, $G$ 는 층 코호몰로지 군 $\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})$ 위에 작용한다. 즉, 층 코호몰로지 군들은 군 대수 $\mathbb C[G]$ 의 왼쪽 가군을 이룬다.

또한, 다음을 정의할 수 있다.

$\rho$ 가 $G$ 의 모든 양근들의 합 ×½이라고 하자.
정수 무게 $\lambda$ 및 바일 군 $\operatorname W(G)$ 의 임의의 원소 $w\in\operatorname W(G)$ 에 대하여, 작용 $w\lambda=w(\lambda+\rho)-\rho$ . 이에 따라 바일 군은 정수 무게 격자 위의 왼쪽 군의 작용을 갖는다.
$\operatorname{length}\colon\operatorname W(G)\to\mathbb N$ 은 콕서터 군의 원소에 대한 길이 함수이다.

2. 2. 층 코호몰로지

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

복소수 반단순 리 군 $G$
극대 원환면 $T\le G$
보렐 부분군 $T\le B\le G$
$B$ 의 멱일 근기 $U\le B\le G$ . 특히 $B/U=T$ 이다.
: $\begin{matrix}$

T&\subset&B&\subset&G\\&&\cup\\&&U\end{matrix}

$T$ 의 정수 무게 $\lambda\colon\operatorname{Lie}(T)^*\to\mathbb C$ . 즉, 군 표현 $T\to\operatorname{GL}(1;\mathbb C)=\operatorname{Unit}(\mathbb C)$ .

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

사영 사상 $B\twoheadrightarrow B/U=T$ 을 통한 $B$ 의 군 표현 $C_\lambda\colon B\to\operatorname{GL}(1;\mathbb C)$
$B$ -주다발 $G\twoheadrightarrow G/B$ 에 대한, $C_\lambda$ 의 연관 벡터 다발 $(G\times\mathbb C)/B=L_{-\lambda}$ . 이는 복소수 선다발이다.
$L_{-\lambda}$ 계수의 층 코호몰로지 군 $\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})$ . 이는 각 자연수 $i$ 에 대한 복소수 벡터 공간이다.
$G$ 가 $(G\times\mathbb C)/B=L_{-\lambda}$ 위에 (왼쪽에서) 작용하므로, $G$ 는 층 코호몰로지 군 $\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})$ 위에 작용한다. 즉, 층 코호몰로지 군들은 군 대수 $\mathbb C[G]$ 의 왼쪽 가군을 이룬다.

L_{-\lambda}

을 정칙 단면의 층과 동일시하여, 층 코호몰로지 군

H^i( G/B, \, L_\lambda )

를 고려한다.^[1]

G

는 다발 자기 동형에 의해 다발

L_\lambda

의 전체 공간에 작용하므로, 이 작용은 자연스럽게 이러한 군에

G

-가군 구조를 부여한다.^[1]

2. 3. 바일 군의 작용

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

복소수 반단순 리 군 $G$
극대 원환면 $T\le G$
보렐 부분군 $T\le B\le G$

이때, 정수 무게

\lambda

및 바일 군

\operatorname W(G)

의 임의의 원소

w\in\operatorname W(G)

에 대하여, 작용

w\lambda=w(\lambda+\rho)-\rho

를 정의할 수 있다. 여기서

\rho

는

G

의 모든 양근들의 합 ×½이다. 이에 따라 바일 군은 정수 무게 격자 위에 왼쪽 군의 작용을 갖는다.

또한,

\operatorname{length}\colon\operatorname W(G)\to\mathbb N

은 콕서터 군의 원소에 대한 길이 함수이다.

이제, 다음과 같은 두 가지 경우 가운데 하나가 성립한다.

# 바일 군 작용에 대한,

\lambda

의 안정자군은 자명군이 아니다 (

\exists w\ne 1\colon w\lambda=\lambda

). 이는 임의의

w\in\operatorname W(G)

에 대하여

w\lambda

가 항상 우세 무게가 아닌 것과 동치이다. 이는 또한 어떤 양근

\beta

에 대하여

\langle\lambda|\beta^\vee\rangle=0

인 것과 동치이다.

#

w\lambda

가 우세 무게가 되는 바일 군 원소

w\in\operatorname W(G)

가 유일하게 존재한다. 이를

w_\lambda

라고 하자.

보렐-베유-보트 정리는 각 경우에 따라 층 코호몰로지 군을 설명한다. 첫 번째 경우(

\lambda

의 안정자군이 자명군이 아닌 경우)에는 모든

i

에 대해

\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})=0

이다. 두 번째 경우(

w\lambda

가 우세 무게가 되는 유일한

w

가 존재하는 경우)에는

i\ne\operatorname{length}(w_\lambda)

일 때

\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})=0

이고,

i=\operatorname{length}(w_\lambda)

일 때

\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})

는

w\lambda

에 대응하는 기약 표현의 쌍대와 같다.

2. 4. 정리의 내용

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

복소수 반단순 리 군 $G$
극대 원환면 $T\le G$
보렐 부분군 $T\le B\le G$
$B$ 의 멱일 근기 $U\le B\le G$ . 특히 $B/U=T$ 이다.
: $\begin{matrix}$

T&\subset&B&\subset&G\\&&\cup\\&&U\end{matrix}

$T$ 의 정수 무게 $\lambda\colon\operatorname{Lie}(T)^*\to\mathbb C$ . 즉, 군 표현 $T\to\operatorname{GL}(1;\mathbb C)=\operatorname{Unit}(\mathbb C)$ .

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

사영 사상 $B\twoheadrightarrow B/U=T$ 을 통한 $B$ 의 군 표현 $C_\lambda\colon B\to\operatorname{GL}(1;\mathbb C)$
$B$ -주다발 $G\twoheadrightarrow G/B$ 에 대한, $C_\lambda$ 의 연관 벡터 다발 $(G\times\mathbb C)/B=L_{-\lambda}$ . 이는 복소수 선다발이다.
$L_{-\lambda}$ 계수의 층 코호몰로지 군 $\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})$ . 이는 각 자연수 $i$ 에 대한 복소수 벡터 공간이다.
또한, $G$ 가 $(G\times\mathbb C)/B=L_{-\lambda}$ 위에 (왼쪽에서) 작용하므로, $G$ 는 층 코호몰로지 군 $\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})$ 위에 작용한다. 즉, 층 코호몰로지 군들은 군 대수 $\mathbb C[G]$ 의 왼쪽 가군을 이룬다.

또한, 다음을 정의할 수 있다.

$\rho$ 가 $G$ 의 모든 양근들의 합 ×½이라고 하자.
정수 무게 $\lambda$ 및 바일 군 $\operatorname W(G)$ 의 임의의 원소 $w\in\operatorname W(G)$ 에 대하여, 작용 $w\lambda=w(\lambda+\rho)-\rho$ . 이에 따라 바일 군은 정수 무게 격자 위의 왼쪽 군의 작용을 갖는다.
$\operatorname{length}\colon\operatorname W(G)\to\mathbb N$ 은 콕서터 군의 원소에 대한 길이 함수이다.

이제, 다음과 같은 두 가지 경우 가운데 하나가 성립한다.

1. 바일 군 작용에 대한,

\lambda

의 안정자군은 자명군이 아니다 (

\exists w\ne 1\colon w\lambda=\lambda

). 이는 임의의

w\in\operatorname W(G)

에 대하여

w\lambda

가 항상 우세 무게가 아닌 것과 동치이다. 이는 또한 어떤 양근

\beta

에 대하여

\langle\lambda|\beta^\vee\rangle=0

인 것과 동치이다.

2.

w\lambda

가 우세 무게가 되는 바일 군 원소

w\in\operatorname W(G)

가 유일하게 존재한다. 이를

w_\lambda

라고 하자. 또한, 우세 무게

w\lambda

에 대응하는

G

의 기약 표현이

G\to \operatorname{GL}(V)

라고 하자.

그렇다면, 각 경우에 대하여 '''보렐-베유-보트 정리'''에 따르면 층 코호몰로지 군

\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})

는 다음과 같다.

1.

\forall i\in\mathbb N\colon \operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})=0

2.

\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})=\begin{cases}0&i\ne\operatorname{length}(w_\lambda)\\V^*&i=\operatorname{length}(w_\lambda)\end{cases}

특히, 이미

\lambda

가 우세 무게인 경우, 항상 경우 2가 성립하며,

w_\lambda=1

이자

\operatorname{length}(w_\lambda)=0

이다. 이 경우를 '''보렐-베유 정리'''라고 한다.

3. 예시

$G = \operatorname{SL}(2; \mathbb C)$ (2×2 복소수 특수 선형군)인 경우를 생각해보자. 이 때,

$B$ 는 상삼각 행렬로 구성된 부분군이다.
$U$ 는 $B$ 의 부분군이다.
$T = B/U \cong \mathbb C^\times$ 이다.
$G/B \cong \operatorname{\mathbb CP}^1$ 는 리만 구와 같다.

깃발 다양체

G/B

는 복소 사영 직선

\mathbb{CP}^1

과 같고, 동차 좌표

X, Y

로 식별할 수 있다. 선다발

L_n

의 전역 단면 공간은

\mathbb{C}^2

에 대한 차수

n

의 동차 다항식 공간으로 식별된다.

n \ge 0

에 대해 이 공간은 차원이

n+1

이고,

G

의 다항식 대수

\mathbb{C}[X,Y]

에 대한 표준 작용 하에서 기약 표현을 형성한다. 가중치 벡터는 단항식

X^iY^{n-i}

(

0 \le i \le n

)으로 주어지며, 가중치는

2i-n

이다. 최고 가중치 벡터

X^n

는 가중치

n

을 갖는다.

3. 1. SL(2, C)의 표현론

SL(2, C)^영어의 표현론은 보렐-베유-보트 정리를 통해 이해할 수 있다. SL(2, C)^영어는 2×2 복소수 특수 선형군을 의미한다. 이 경우, 다음과 같은 요소들이 중요하다.

$G/B\cong\operatorname{\mathbb CP}^1$ 는 리만 구와 같다.
정수 무게 $\lambda$ 는 정수 $n\in\mathbb Z$ 에 대하여 $\mathbb C^\times\to\mathbb C^\times$ , $z\mapsto z^n$ 으로 주어진다.
선다발 $L_{-\lambda}$ 는 리만 구의 표준 선다발의 거듭제곱 $\mathcal O(n)$ 이다.

보렐-베유-보트 정리에 따르면,

:

\operatorname H^0(\operatorname{\mathbb CP}^1;\mathcal O(n))=\Gamma(\operatorname{\mathbb CP}^1;\mathcal O(n))\cong\operatorname{Sym}^n(\mathbb C^2)^*

는 표준 (2차원) 표현의

n

차 대칭 거듭제곱이다. 즉,

\Gamma(\mathcal O(1))

는 표준 표현이고,

\Gamma(\mathcal O(n))

는 그

n

번째 대칭 멱이다.

이러한 관계는 리 대수의 작용에 대한 통일된 설명을 제공하며, 리만 구의 벡터장으로 실현에서 파생되었다. 만약

H

,

X

,

Y

가

\mathfrak{sl}_2(\mathbf{C})

의 표준 생성자라면, 다음과 같이 표현된다.

:

\begin{align}H & = x\frac{\partial}{\partial x}-y\frac{\partial}{\partial y}, \\[5pt]X & = x\frac{\partial}{\partial y}, \\[5pt]Y & = y\frac{\partial}{\partial x}.\end{align}

4. 양의 표수(Positive characteristic)

양의 표수에서도 이 정리의 약한 형태가 존재한다. 즉, 가 표수 $p > 0$ 인 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 대수군이라고 하자. 그러면 가 모든 $w \in W$ 에 대해 $w*\lambda$ 가 비지배적인 가중치이면서 가 "0에 가깝다"면 모든 에 대해 $H^i( G/B, \, L_\lambda ) = 0$ 이 유지된다.^[1] 이것은 Kempf 소멸 정리로 알려져 있다. 그러나 이 설정에서는 정리의 다른 진술이 유효하지 않다.

더 구체적으로, 가 지배적 정수 가중치라고 하자. 그러면 모든 $i > 0$ 에 대해 $H^i( G/B, \, L_\lambda ) = 0$ 이 여전히 참이지만, 이 -가군이 일반적으로 단순하다는 것은 더 이상 참이 아니다. 비록 이 가군은 최고 가중치 를 갖는 유일한 최고 가중치 가군을 -부분 가군으로 포함하지만 말이다. 만약 가 임의의 정수 가중치라면, 일반적으로 코호몰로지 가군 $H^i( G/B, \, L_\lambda )$ 을 설명하는 것은 표현론에서 해결되지 않은 큰 문제이다. 멈포드(Mumford)는 $\mathbb{C}$ 에서와 달리, 고정된 에 대해 이 가군들이 단일 차수 를 제외하고 모두 0일 필요는 없다는 예를 제시했다.

5. 보렐-베유 정리 (Borel–Weil theorem)

복소수 위의 반단순 리 군(semisimple Lie group) 또는 선형 대수 군(algebraic group) 를, 를 극대 원환면(maximal torus), 를 포함하는 보렐 부분군(Borel subgroup)으로 고정한다. 의 가중치 (표현론)(integral weight) 는 를 의 1차원 표현으로 자연스럽게 정의한다.

사영 사상 를 주다발(principal bundle) -다발로 생각할 수 있으므로, 각 에 대해 위에 연관된 벡터 다발(associated fiber bundle) 을 얻는다. 이는 선다발(line bundle)이다.

보렐-베유 정리는 콤팩트 리 군의 기약 표현과 복소수 반단순 리 군의 기약 정칙 표현에 대한 구체적인 모델을 제공한다. 이러한 표현은 그룹의 깃발 다양체에 대한 정칙 선다발의 전역 단면 공간에서 실현된다. 이 정리는 1950년대 초 세레(Serre^프랑스어)^[1]와 티츠(Tits^프랑스어)의 연구에서 찾아볼 수 있다.

5. 1. 정리의 내용 (Statement of the theorem)

복소수 위의 반단순 리 군(semisimple Lie group) 또는 그 콤팩트 형식 를 생각하자. 를 연결된 복소수 반단순 리 군, 를 의 보렐 부분군(Borel subgroup), 를 플래그 다양체(flag variety)라고 하자. 이 경우, 는 복소다양체이자 비특이 대수 다양체이다. 플래그 다양체는 또한 콤팩트 균질 공간(homogeneous space) 로 설명할 수 있으며, 여기서 는 의 (콤팩트) 카르탕 부분군이다. 정수 가중치 는 위에 정칙 선형 다발 를 결정하며, 군 는 이 선형 다발의 전역 단면 공간에 작용한다.

:

\Gamma(G/B,L_\lambda).\

보렐-베유-보트 정리는 가 ''지배적인'' 정수 가중치이면 이 표현이 최고 가중치 를 갖는 ''정칙'' 기약 최고 가중치 표현이라고 명시한다. 로의 제한은 최고 가중치 를 갖는 의 기약 유니타리 표현이며, 의 각 기약 유니타리 표현은 의 유일한 값에 대해 이 방식으로 얻어진다. 복소수 리 군의 정칙 표현은 해당 리 대수 표현이 ''복소수'' 선형인 표현이다.

5. 2. 구체적인 설명 (Concrete description)

가중치 는 보렐 부분군(Borel subgroup) 의 문자(1차원 표현)를 발생시키며, 이는 로 표기된다. 위에 있는 정칙 선형 다발 의 정칙 단면은 다음과 같은 정칙 함수로 더 구체적으로 설명될 수 있다.

:

f: G\to \mathbb{C}_{\lambda}: f(gb)=\chi_{\lambda}(b^{-1})f(g)

모든 와 에 대해.

이러한 단면에 대한 의 작용은 다음과 같다.

:

g\cdot f(h)=f(g^{-1}h)

에 대해.

6. 역사

아르망 보렐과 앙드레 베유가 우세 무게에 대한 경우(즉, 0차 층 코호몰로지에 대응하는 경우)를 증명하였다. 이후 라울 보트가 이를 일반적 정수 무게에 대한 경우(즉, 고차 코호몰로지에 대응하는 경우)로 일반화하였다.

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