6차원 초구

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 대칭 공간 표현
- 2.2. 팔원수를 이용한 표현
3. 성질
- 3.1. 개복소구조
- 3.2. 호모토피 군
4. 역사
참조

1. 개요

6차원 초구는 7차원 유클리드 공간 내 단위 노름의 벡터로 구성된 매끄러운 다양체이며, 표준적인 리만 계량을 가진다. 이는 대칭 공간 SO(7) / SO(6) 및 G₂/SU(3)으로 표현될 수 있으며, 순허수 팔원수 중 절댓값이 1인 것들의 공간으로도 간주할 수 있다. 6차원 초구는 SU(3)의 작용으로 개복소다양체를 이루지만, 복소다양체는 아니다. 또한, 6차원 초구는 특정 호모토피 군을 가지며, 1955년 후카미 데쓰조와 이시하라 시게루에 의해 G₂/SU(3)이며 개복소다양체임이 증명되었다.

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6차원 초구
개요
차원	6차원
공간	유클리드 공간
종류	초구
기하학적 속성
표면적 공식	'A = (16π^3 * r^6) / 15'
부피 공식	'V = (π^3 * r^7) / 10'
대칭군	O(7)
쌍대군	자기 쌍대

2. 정의

'''6차원 초구'''는 7차원 유클리드 공간에서 단위 노름을 갖는 벡터들로 구성된 매끄러운 다양체이다. 6차원 초구에는 표준적인 리만 계량이 존재한다.

2. 1. 대칭 공간 표현

6차원 초구는 다음과 같이 대칭 공간을 이룬다.

:

\mathbb S^6 \cong \operatorname{SO}(7) / \operatorname{SO}(6)

:

\mathbb S^6 \cong G_2/\operatorname{SU}(3)

^[1]^[4]

6차원 초구는 또한 순허수 팔원수 가운데 절댓값이 1인 것들의 공간으로 여길 수 있다.

:

\mathbb S^6 \cong \{x\in\mathbb O\colon \bar x = -x,\;|x|=1\}

2. 2. 팔원수를 이용한 표현

6차원 초구는 순허수 팔원수 가운데 절댓값이 1인 것들의 공간으로 여길 수 있다.

:

\mathbb S^6 \cong \{x\in\mathbb O\colon \bar x = -x,\;|x|=1\}

^[1]

3. 성질

6차원 초구는 SU(3)의 작용으로 표준적인 개복소다양체를 이룬다. 그러나 네이엔하위스 텐서장이 0이 아니어서 복소다양체는 아니다.^[2] 6차원 초구가 복소다양체를 이룰 수 있는지는 현재 (2019년) 유명한 미해결 난제이다.^[3]

6차원 초구의 15차 이하의 호모토피 군 가운데 자명군이 아닌 것은 다음과 같다.^[1] 여기서 $\operatorname{Cyc}(k)$ 는 $k$ 차 순환군이다.

차수	호모토피 군
6	$\pi_6(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(\infty)$
7	$\pi_7(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(2)$
8	$\pi_8(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(2)$
9	$\pi_9(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(24)$
11	$\pi_{11}(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(\infty)$
12	$\pi_{12}(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(2)$
13	$\pi_{13}(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(60)$
14	$\pi_{14}(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(24)\oplus\operatorname{Cyc}(2)$
15	$\pi_{15}(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)$

3. 1. 개복소구조

SU(3)의 작용으로 인해, 6차원 초구는 표준적으로 개복소다양체를 이룬다.^[2] 즉, 대칭 공간

\mathbb S^6 \cong G_2/\operatorname{SU}(3)

에 의하여, 임의의 점

x\in \mathbb S^6

에서 포함 관계

\operatorname{SU}(3) \hookrightarrow \operatorname{SO}(\mathrm T_x\mathbb S^6) \cong \operatorname{SO}(6)

가 존재하며, 이는 각 접공간 위에 복소수 내적 공간의 구조를 정의한다. 그러나 이 경우 네이엔하위스 텐서장이 0이 아니어서 이는 복소다양체가 아니다.

팔원수로서, 점

x \in \mathbb O

에서의 접다발은 순허수 팔원수 가운데

x

와 수직인 것의 공간이다. 이 경우 개복소구조는

x

에 의한 곱셈에 해당한다.

6차원 초구가 복소다양체를 이룰 수 있는지 여부는 현재 (2019년) 유명한 미해결 난제이다.^[3]

3. 2. 호모토피 군

6차원 초구의 15차 이하의 호모토피 군 가운데 자명군이 아닌 것은 다음과 같다.^[1]

:

\pi_6(\mathbb S^6) \cong \pi_{11}(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(\infty)

:

\pi_7(\mathbb S^6) \cong \pi_8(\mathbb S^6) \cong \pi_{12}(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(2)

:

\pi_9(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(24)

:

\pi_{13}(\mathbb S^7) \cong\operatorname{Cyc}(60)

:

\pi_{14}(\mathbb S^7) \cong \operatorname{Cyc}(24)\oplus\operatorname{Cyc}(2)

:

\pi_{15}(\mathbb S^7) \cong \operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)

여기서

\operatorname{Cyc}(k)

는

k

차 순환군이다.

4. 역사

1955년에 후카미 데쓰조(深見哲造|ふかみてつぞ^일본어)와 이시하라 시게루(石原繁|いしはらしげる^일본어)가 6차원 초구가 G₂/SU(3)이며, 개복소다양체를 이룬다는 것을 증명하였다.^[4]

참조

_[1] 저널 Exceptional Lie groups 2009-02
_[2] 저널 "''S''⁶ and the geometry of nearly Kähler 6-manifolds" 2018-04
_[3] 저널 S.-S. Chern’s study of almost-complex structures on the six-sphere 2014
_[4] 저널 Almost Hermitian structure on S⁶ 1955

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