G₂

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 역사
5. 응용
참조

1. 개요

G₂는 여러 가지로 정의할 수 있는 리 군이다. 팔원수의 자기 동형군, SO(7) 스피너, 구의 회전을 통해 정의되며, 콤팩트 형식과 분할 형식의 두 가지 실수 형식을 갖는다. G₂는 Spin(7)의 부분군이며, SU(3)와 SO(4)를 부분군으로 갖는다. 콤팩트 실수 형식 G₂는 14차원 콤팩트 연결 단일 연결 매끄러운 다양체이며, G₂의 근계는 6개의 긴 근과 6개의 짧은 근으로 구성된다. G₂의 기약 표현의 차원은 1, 7, 14, 27, 64, 77, 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714 등이며, 기본 표현은 7과 14이다. 대수기하학적으로 G₂는 유한체에 대한 슈발레 군으로 정의할 수 있으며, 리만 다양체의 홀로노미 분류에 등장하여 G₂-다양체로 불린다. 빌헬름 킬링에 의해 처음 발견되었으며, 엘리 카르탕, 프리드리히 엥겔 등에 의해 연구되었다.

2. 정의

G₂는 여러 가지 방법으로 정의될 수 있다.

1887년 5월 23일, 빌헬름 킬링은 프리드리히 엥겔에게 보낸 편지에서 14차원 단순 리 대수를 발견했다고 밝혔는데, 이것이 현재 $\mathfrak{g}_2$ 로 불린다.^[1]

1893년, 엘리 카르탕은 2차원 분포를 갖춘 $\mathbb{C}^5$ 의 열린 집합을 설명하는 노트를 발표했는데, 여기서 리 대수 $\mathfrak{g}_2$ 가 무한소 대칭으로 나타난다.^[2] 같은 해, 엥겔이 동일한 내용을 언급했다. 이후 이 2차원 분포는 다른 공 위를 구르는 공과 밀접하게 관련되어 있다는 사실이 밝혀졌다.^[3]^[4]

1900년, 엥겔은 7차원 복소 벡터 공간에서의 일반적인 반대칭 삼선형 형식이 G₂의 복소 형태와 동형인 그룹에 의해 보존된다는 것을 발견했다.^[5]

1908년 카르탕은 팔원수의 자기 동형 사상 그룹이 14차원 단순 리 군이라고 언급했다.^[6] 1914년, 그는 이것이 G₂의 콤팩트한 실수 형태라고 밝혔다.^[7]

오래된 책과 논문에서는 G₂를 때때로 E₂로 표기하기도 한다.

2. 1. 팔원수를 통한 정의

G₂의 콤팩트 실수 형식은 팔원수의 자기 동형군이다. 팔원수 대수

\mathbb O

의 자기 동형은 다음을 만족하는

\mathbb R

-선형 변환

\phi\colon\mathbb O\to\mathbb O

를 말한다.

:

\phi(a)\phi(b)=\phi(ab)

팔원수 자기 동형군

\operatorname{Aut}(\mathbb O)

는 G₂의 컴팩트 실수 형식과 동형이라는 사실을 보일 수 있다. 이로부터, (

\phi(1)=1

이고, 팔원수 노름을 보존하므로) G₂의 컴팩트 형식은 SO(7)의 부분군임을 알 수 있고, 이에 따라 7차원 기본표현이 존재함을 알 수 있다.

2. 2. SO(7) 스피너를 통한 정의

7차원 공간

\mathbb R^7

위의 8차원 마요라나 스피너를 생각하자. 이 경우, 0이 아닌 임의의 마요라나 스피너에 대한, Spin(7)의 안정자군은 G₂와 동형이다.

7차원에서 마요라나 스피너가 존재하는 계량 부호수는 (7,0), (4,3) 두 개 밖에 없다. 이들은 각각 G₂의 콤팩트 형식 및 분할 형식을 정의한다.

2. 3. 구를 통한 정의

반지름 비가 1:3인 두 구가 주어졌고, 더 작은 구가 더 큰 구 위에서 미끄러짐이나 회전 없이 구른다고 하자. 이 경우, 두 구로 구성된 계의 무한소 대칭은 실수 리 대수

\mathfrak g_{2(2)}

를 이룬다.^[11]^[12]

2. 4. 실수 형식

G₂는 두 가지 실수 형식을 갖는다. 이들은 다음과 같다(중심이 없는 형태).^[11]^[12]

기호	다른 기호	설명	기본군	외부자기동형군	사타케 도표	보건 도표
G_2(-14)		콤팩트 형식	1	1	$\bullet\Rrightarrow\bullet$	$\circ\Rrightarrow\circ$
G₂₍₂₎	GⅠ	갈린(split) 형식	$\mathbb Z/2\mathbb Z$	1	$\circ\Rrightarrow\circ$	$\bullet\Rrightarrow\circ$

3. 성질

G₂는 14차원 콤팩트 연결 단일 연결 매끄러운 다양체인 콤팩트 실수 형식과, 14차원 비콤팩트 연결 매끄러운 다양체이며 기본군이 2차 순환군인 갈린 실수 형식 G₂(2)로 나타낼 수 있다.

콤팩트 형식의 15차 이하의 고차 호모토피 군은 다음 표와 같다.^[14]

차수	호모토피 군
3	$\operatorname{Cyc}(\infty)$
6	$\operatorname{Cyc}(3)$
8	$\operatorname{Cyc}(2)$
9	$\operatorname{Cyc}(6)$
11	$\operatorname{Cyc}(\infty)\oplus\operatorname{Cyc}(2)$
14	$\operatorname{Cyc}(168)\oplus\operatorname{Cyc}(2)$
15	$\operatorname{Cyc}(2)$

위에 수록되지 않은 15 이하의 차수의 호모토피 군은 자명군이다. 여기서 $\operatorname{Cyc}(k)$ 는 $k$ 차 순환군을 뜻한다.

콤팩트 형식의 특이 코호몰로지 환은 다음과 같다.^[15]^[16]

: $\operatorname H^\bullet(G_2;\mathbb Z) \cong \frac{\mathbb Z\langle x_3,x_{11}\rangle}{(x_3x_{11}+x_{11}x_3,x_3^4,x_{11}^2,x_3^2x_{11},2x_3^2)}$

: $\deg x_i = i$

여기서 $\mathbb Z\langle\dotso\rangle$ 은 비가환 다항식환을 뜻한다. 즉, 각 등급별로 코호몰로지 군은 다음 표와 같다. (푸앵카레 쌍대성으로 호몰로지 군이 주어진다.)

$i$	코호몰로지 군
0, 3, 11, 14	$\operatorname{Cyc}(\infty)$
6, 9	$\operatorname{Cyc}(2)$
1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13	0

리 대수 $\mathfrak g_2$ 의 두 불변 다항식의 차수는 2와 6이다. 이들은 리 군의 코호몰로지 환의 생성원 $x_3$ 과 $x_{11}$ 에 대응된다. 2차 불변 다항식은 킬링 형식이며, 6차 불변 다항식 역시 구체적으로 알려져 있다.^[17]

G₂의 근계는 6개의 긴 근과 6개의 짧은 근으로 구성된다. 긴 근의 길이는 √2^영어이며, 짧은 근의 길이는 √(2/3)^영어이다.

G₂의 단순근은 여러가지로 잡을 수 있다. 그 바일 군은 정이면체군 D₆이다.

G₂의 딘킨 도표는 아래와 같이 두 개의 꼭짓점으로 구성되며, 그 사이에 3겹 변이 존재한다.

G₂의 아핀 딘킨 도표의 경우, 짧은 단순근 쪽에 새 근이 추가된다.

카르탕 행렬

정팔면체의 12개 꼭지점의 A₂ 콕세터 평면 투영은 동일한 2차원 벡터 배열을 포함

F4 및 E8의 부분 집합으로서 G2의 그래프가 콕세터 평면에 투영됨

3. 1. 군론적 성질

콤팩트 실수 형식 G₂의 중심은 자명하다.^[10]

3. 1. 1. G₂를 포함하는 군

콤팩트 실수 형식 G₂는 Spin(7)의 부분군이며, 이에 대한 동차 공간은 7차원 초구이다.^[13]G₂는 SO(8)의 부분군이다.^[13] SO(8)의 딘킨 도표는 Z/3 대칭을 가지는데, 이를 대칭에 따라서 접으면 G₂ 딘킨 도표를 얻는다.

3. 1. 2. G₂의 부분군

SU(3)^[10]와 SO(4)^[10]를 부분군으로 갖는다. SU(3)에 대한 동차 공간은 6차원 초구이다.^[10]:

G_2/\operatorname{SU}(3)\cong\mathbb S^6

팔원수로서

\operatorname{SU}(3)\le G_2

는 다음과 같이 이해할 수 있다. 팔원수 대수

\mathbb O

의 기저가

\{1,e_1,e_2,\dots,e_7\}

이라고 하자. 자기 동형

f\colon\mathbb O\to\mathbb O

가 주어졌을 때, 단위 허수 원소

e_1

의 상

f(e_1)

은

\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{e_1,\dots,e_7\}

속의 6차원 초구

\mathbb S^6

의 원소이다. 이 원소를 고르게 되면, 이는

\mathbb O\cong\mathbb R^8

위의 복소수 구조를 정의한다. 따라서, 나머지 6차원 공간

(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1,e_1\})^\perp

의 자기 동형군은

\mathbb R^6\cong\mathbb C^3

의 자기 동형군

\operatorname{SU}(3)

가 된다. 즉, 다음과 같은 올다발을 얻는다.

:

\mathbb S^6\hookrightarrow G_2\twoheadrightarrow \operatorname{SU}(3)

이는 딘킨 도표로도 이해할 수 있다. G₂의 딘킨 도표에 꼭짓점

\scriptstyle\otimes

을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤,

\circ

로 표시한 꼭짓점을 제거하면 SU(3) 딘킨 도표를 얻는다.

:

\bullet\Rrightarrow\circ\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet\Rrightarrow\circ\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet

마찬가지로, G₂의 SO(4) 부분군은 딘킨 도표로 이해할 수 있다. G₂의 딘킨 도표에 꼭짓점

\scriptstyle\otimes

을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤,

\circ

로 표시한 꼭짓점을 제거하면

\operatorname{SO}(4)

딘킨 도표를 얻는다.

:

\circ\Rrightarrow\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\circ\Rrightarrow\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}\qquad\bullet

갈린 실수 형식

G_{2(2)}

의 극대 콤팩트 부분군은

\operatorname{SO}(4)\cong(\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2))/(\mathbb Z/2)

이다. 그 2겹 범피복군은 행렬군으로 나타낼 수 없다.

3. 2. 위상수학적 성질

콤팩트 실수 형식 G₂는 14차원 콤팩트 연결 단일 연결 매끄러운 다양체이다.

갈린 실수 형식 G₂(2)는 14차원 비콤팩트 연결 매끄러운 다양체이며, 기본군은 2차 순환군이다.

콤팩트 형식의 15차 이하의 고차 호모토피 군은 다음과 같다.^[14]

차수	호모토피 군
3	$\operatorname{Cyc}(\infty)$
6	$\operatorname{Cyc}(3)$
8	$\operatorname{Cyc}(2)$
9	$\operatorname{Cyc}(6)$
11	$\operatorname{Cyc}(\infty)\oplus\operatorname{Cyc}(2)$
14	$\operatorname{Cyc}(168)\oplus\operatorname{Cyc}(2)$
15	$\operatorname{Cyc}(2)$

위에 수록되지 않은 15 이하의 차수의 호모토피 군은 자명군이다. 여기서 $\operatorname{Cyc}(k)$ 는 $k$ 차 순환군이다.

콤팩트 형식의 특이 코호몰로지 환은 다음과 같다.^[15]^[16]

: $\operatorname H^\bullet(G_2;\mathbb Z) \cong \frac{\mathbb Z\langle x_3,x_{11}\rangle}{(x_3x_{11}+x_{11}x_3,x_3^4,x_{11}^2,x_3^2x_{11},2x_3^2)}$

: $\deg x_i = i$

여기서 $\mathbb Z\langle\dotso\rangle$ 은 비가환 다항식환을 뜻한다.

즉, 각 등급별로 코호몰로지 군은 다음과 같다. (푸앵카레 쌍대성으로 호몰로지 군이 주어진다.)

$i$	코호몰로지 군
0, 3, 11, 14	$\operatorname{Cyc}(\infty)$
6, 9	$\operatorname{Cyc}(2)$
1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13	0

리 대수 $\mathfrak g_2$ 의 두 불변 다항식의 차수는 2와 6이다. 이들은 리 군의 코호몰로지 환의 생성원 $x_3$ 과 $x_{11}$ 에 대응된다. 2차 불변 다항식은 킬링 형식이며, 6차 불변 다항식 역시 구체적으로 알려져 있다.^[17]

3. 3. 근계

G₂의 근계는 6개의 긴 근과 6개의 짧은 근으로 구성된다. 긴 근의 길이는 √2^영어이며, 짧은 근의 길이는 √(2/3)^영어이다. 근계를 2차원 벡터로 쓰면 다음과 같다.

긴 근: √2(cos(2nπ/6),sin(2nπ/6))^영어, n=0,1,…,5^영어
짧은 근: √(2/3)(cos(2(n+1/2)π/6),sin(2(n+1/2)π/6))^영어, n=0,1,…,5^영어

G₂는 B₃=Spin(7)^영어의 부분군이므로, B₃^영어의 3차원 근계의 부분 근계로도 나타낼 수 있다. 이 경우, 근은 다음과 같다.

이 가운데 단순근은 여러가지로 잡을 수 있다. 한 가지 방법은 다음과 같다.

:(0,1,−1), (1,−2,1)

그 바일 군은 정이면체군 D₆이다. 그 카르탕 행렬은 다음과 같다.

: $\begin{pmatrix}2&-3\\$

1&2

\end{pmatrix}

G₂의 딘킨 도표는 아래와 같이 두 개의 꼭짓점으로 구성되며, 그 사이에 3겹 변이 존재한다.

:

\bullet\Rrightarrow\bullet

G₂의 아핀 딘킨 도표의 경우, 짧은 단순근 쪽에 새 근

\scriptstyle\otimes

이 추가된다.

:

{\scriptstyle\otimes}-\bullet\Rrightarrow\bullet

카르탕 행렬

width=160px

'''단순 근''' 집합은 위 카르탕 행렬에서 직접 읽을 수 있다. 이들은 (2, −3)과 (−1, 2)이지만, 이들에 의해 생성된 정수 격자는 위에 그림으로 나타낸 것과는 다르다(명백한 이유: 평면의 육각형 격자는 정수 벡터로 생성될 수 없다). 위의 그림은 다른 한 쌍의 근에서 얻어진 것이다: α = ( 1, 0 )^영어 및 β = √3(cos) = 1/2(-3,√3)}}.나머지 (양) 근은 A = α + β^영어, B = 3α + β^영어, α + A = 2α + β^영어 및 β + B = 3α + 2β^영어이다.그들이 그림과 같이 2차원 공간을 생성하지만, 그들을 3차원 공간의 2차원 부분 공간의 벡터로 고려하는 것이 훨씬 더 대칭적이다. 이러한 식별에서 α는 e₁−e₂에, β는 −e₁ + 2e₂−e₃에, A는 e₂−e₃ 등에 해당한다. 유클리드 좌표에서 이러한 벡터는 다음과 같이 보인다.

해당하는 '''단순 근''' 집합은 다음과 같다.:e₁−e₂ = (1,−1,0), 및 −e₁+2e₂−e₃ = (−1,2,−1)참고: α와 A는 함께 A₂와 ''동일한'' 근계를 형성하며, β와 B로 형성된 시스템은 A₂와 ''동형''이다.바일/콕서터 군 G = W(G₂)^영어는 이산면체군 D₆^영어이며, 차수는 12이다. 최소 충실 차수는 μ(G) = 5^영어이다.

3. 4. 표현론

G₂의 기약 표현의 차원은 다음과 같다.:1, 7, 14, 27, 64, 77 (두 개), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (두 개), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (두 개), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090….이 가운데 기본 표현은 '''7'''과 '''14'''이다. '''7'''은 G₂의 허수 팔원수 위의 작용과 같으며, '''14'''는 딸림표현이다. 기본 표현들은 딘킨 도표의 꼭짓점에 다음과 같이 대응한다.:

\underset{\mathbf{14}}\bullet\Rrightarrow\underset{\mathbf7}\bullet

'''7'''과 '''14'''는 둘 다 실수 표현이다. 보다 일반적으로, G₂의 바일 군은 원소

v\mapsto-v

를 포함하며, 따라서 모든 표현은 스스로의 켤레와 동형이다. (위 목록에서 77, 2079 따위가 중복되는 것은 복소수 켤레와 상관없다.) G₂는 사원수 표현을 갖지 않으며, 모든 표현은 실수 표현이다.

Spin(7)의 기본 표현 '''7''' 및 스피너 표현 '''8''' 및 딸림표현 '''21'''은 G₂의 표현으로 분해하였을 때, 다음과 같다.

:

\mathbf7_{\operatorname{Spin}(7)}\to\mathbf7_{G_2}

:

\mathbf8_{\operatorname{Spin}(7)}\to\mathbf7_{G_2}\oplus\mathbf1_{G_2}

:

\mathbf{21}_{\operatorname{Spin}(7)}\to\mathbf{14}_{G_2}\oplus\mathbf7_{G_2}

G₂의 표현을 부분군의 표현으로 분해하였을 때, 다음과 같다.

:

\mathbf7_{G_2}\to\mathbf3_{\operatorname{SU}(3)}\oplus\bar{\mathbf3}_{\operatorname{SU}(3)}\oplus\mathbf1_{\operatorname{SU}(3)}

:

\mathbf{14}_{G_2}\to\mathbf8_{\operatorname{SU}(3)}\oplus\mathbf3_{\operatorname{SU}(3)}\oplus\bar{\mathbf3}_{\operatorname{SU}(3)}

:

\mathbf7_{G_2}\to(\mathbf2,\mathbf2})_{\operatorname{SO}(4)}\oplus(\mathbf3,\mathbf1})_{\operatorname{SO}(4)}

:

\mathbf{14}_{G_2}\to(\mathbf3,\mathbf1})_{\operatorname{SO}(4)}\oplus(\mathbf1,\mathbf3})_{\operatorname{SO}(4)}\oplus(\mathbf4,\mathbf2})_{\operatorname{SO}(4)}

실수 및 복소수 리 대수와 리 군의 유한 차원 표현의 문자들은 모두 바일 문자 공식에 의해 주어진다. 가장 작은 기약 표현의 차원은 다음과 같다.

:1, 7, 14, 27, 64, 77 (두 번), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (두 번), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (두 번), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090....

14차원 표현은 수반 표현이며, 7차원 표현은 G₂가 허수 팔원수에 작용하는 것이다.

차원이 77, 2079, 4928, 30107 등인 두 개의 비동형 기약 표현이 있다. 기본 표현은 차원이 14와 7인 표현이며 (딘킨 다이어그램에서 세 개의 화살표가 첫 번째에서 두 번째로 향하는 순서로) 두 개의 노드에 해당한다.

3. 5. 대수기하학적 성질

슈발레 기저를 사용하여 정수 계수의 리 대수

\mathfrak g_2(\mathbb Z)

및 군

G_2(\mathbb Z)

을 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 이는 임의의 가환환

R

에 대하여 대수군으로 정의할 수 있다.

특히, 유한체

\mathbb F_q

에 대한 계수의 슈발레 군

G_2(\mathbb F_q)

의 크기는 다음과 같다.

:

|G_2(\mathbb F_q)|=q^6(q^6-1)(q^2-1)

이는

q\ne2

일 경우 유한 단순군을 이룬다.

q=2

일 경우,

G_2(\mathbb F_2)

는 단순군이 아니지만, 그 교환자 부분군은 지표 2의 정규 부분군이자 단순군이다.

:

G_2(\mathbb F_2)'\cong\operatorname{SU}(3;\mathbb F_3)

:

|G_2(\mathbb F_2):G_2(\mathbb F_2)'|=2

유한체 위의 G₂ 슈발레 군은 발견자 레너드 유진 딕슨^[20]의 이름을 따 '''딕슨 군'''(Dickson group^영어)이라고 불리기도 한다.^[20]

처음 몇 개의 G₂ 슈발레 군들의 크기는 다음과 같다.

체	크기
$\mathbb F_2$	$12\,096$
$\mathbb F_3$	$4\,245\,696$
$\mathbb F_4$	$\approx2.52\times10^8$

이 밖에도, G₂는 표수 3의 체 위에서 추가 대칭을 갖는다. G₂ 딘킨 도표

: $\bullet\Rrightarrow\bullet$

는 3겹 변에 화살표가 붙어 있어 대칭이 없지만, 표수 3의 체 위에서는 화살표의 방향이 사라져

: $\bullet\equiv\bullet$

가 되어, 딘킨 도표가 추가 $\mathbb Z/2$ 대칭을 갖기 때문이다. 특히 체의 크기가 $3^{2n+1}$ 의 꼴인 경우, 이 대칭을 체의 프로베니우스 자기 동형으로 뒤틀어 대수군 ${}^2G_2(\mathbb F_{3^{2n+1}})$ 을 정의할 수 있다. 이 군들은 발견자 이임학^[21]의 이름을 따 '''이임학 군'''(Ree group^영어)이라고 한다. 이 군들의 크기는 다음과 같다.

: $|{}^2G_2(\mathbb F_q)|= q^3(q^3+1)(q-1)\qquad(q=3^{2n+1})$

이들은 $q=3$ 인 경우를 제외하면 모두 유한 단순군을 이룬다. $q=3$ 일 경우 이는 단순군이 아니며, 다음과 같다.

: ${}^2G_2(\mathbb F_3)\cong\operatorname{Aut}(\operatorname{SL}(2;\mathbb F_8))$

그 교환자 부분군은 다음과 같은 지표 3의 단순 부분군이다.

: ${}^2G_2(\mathbb F_3)'\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb F_8)$

: $|{}^2G_2(\mathbb F_3):{}^2G_2(\mathbb F_3)'|=3$

4. 역사

리 대수 $\mathfrak g_2$ 는 빌헬름 킬링이 복소수 단순 리 대수를 분류하면서 1887년 5월에 발견하였다.^[18]^[12] $G_2$ 의 콤팩트 형태는 프리드리히 엥겔(Friedrich Engel^영어)이 1900년 6월 11일 발표하였다.^[18]^[19]

유한체 위의 G₂는 레너드 유진 딕슨이 1905년에 발견하였다.^[20] 표수가 3인 체 위의 뒤틀린 형태 ²G₂는 이임학이 1960년에 발견하였다.^[21]

리 대수 $\mathfrak{g}_2$ 는 가장 작은 예외적인 단순 리 대수로서, 단순 리 대수를 분류하려는 시도에서 처음 발견되었다. 1887년 5월 23일, 빌헬름 킬링은 프리드리히 엥겔에게 보낸 편지에서 그가 14차원 단순 리 대수를 발견했다고 밝혔는데, 이것이 현재 $\mathfrak{g}_2$ 로 불린다.^[1]

1893년, 엘리 카르탕은 2차원 분포—즉, 접공간의 2차원 부분 공간의 부드럽게 변하는 장—을 갖춘 $\mathbb{C}^5$ 의 열린 집합을 설명하는 노트를 발표했는데, 여기서 리 대수 $\mathfrak{g}_2$ 가 무한소 대칭으로 나타난다.^[2] 같은 해, 같은 저널에서 엥겔이 동일한 내용을 언급했다. 이후 2차원 분포가 다른 공 위를 구르는 공과 밀접하게 관련되어 있다는 사실이 밝혀졌다. 구르는 공의 구성 공간은 5차원이며, 미끄러지거나 비틀림 없이 구르는 공의 움직임을 설명하는 2차원 분포를 갖는다.^[3]^[4]

1900년, 엥겔은 7차원 복소 벡터 공간에서의 일반적인 반대칭 삼선형 형식(또는 3-형식)이 G₂의 복소 형태와 동형인 그룹에 의해 보존된다는 것을 발견했다.^[5]

1908년 카르탕은 옥토니언의 자기 동형 사상 그룹이 14차원 단순 리 군이라고 언급했다.^[6] 1914년, 그는 이것이 G₂의 콤팩트한 실수 형태라고 밝혔다.^[7]

오래된 책과 논문에서는 G₂를 때때로 E₂로 표기하기도 한다.

5. 응용

G₂는 리만 다양체의 홀로노미 분류에 등장한다. G₂ 홀로노미를 갖는 다양체는 G₂-다양체라고도 한다.

참조

_[1] 논문 Old and new on the exceptional group ''G''₂ https://www.ams.org/[...]
_[2] 논문 Sur la structure des groupes simples finis et continus
_[3] 논문 G₂ and the "rolling distribution"
_[4] 논문 G₂ and the rolling ball
_[5] 논문 Ein neues, dem linearen Komplexe analoges Gebilde
_[6] 서적 Encyclopedie des Sciences Mathematiques Gauthier-Villars
_[7] 간행물 Les groupes reels simples finis et continus
_[8] 웹사이트 Construction of G2 using Clifford Algebra https://github.com/G[...]
_[9] 서적 http://press.uchicag[...] 1996-12-01
_[10] 저널 2009-02-01
_[11] 저널 2009-01-01
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