호모토피 군

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1. 개요

호모토피 군은 위상 공간의 모양을 분류하는 데 사용되는 대수적 불변량이다. n차원 초구에서 주어진 공간으로 가는 연속 함수들의 호모토피류로 정의되며, 호모토피 불변량이다. 호모토피 군은 호모토피 이론의 기본이며, 모델 범주의 발전을 이끌었다. 계산 방법으로는 세르 섬유화, 후레비치 정리, 세르 스펙트럼 열 등이 사용되며, 한국의 수학자들도 이 분야에서 활발한 연구를 진행하고 있다.

호모토피 군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 계산 방법
5. 예시
6. 응용
7. 한국과의 관련성

2. 정의

두 위상 공간 $X$ , $Y$ 에 대하여, $[X,Y]$ 는 $X\to Y$ 연속 함수들의 호모토피류들의 집합이다. 마찬가지로, 점을 가진 공간 $(X,\bullet_X)$ , $(Y,\bullet_Y)$ 에 대하여, $[X,Y]_\bullet$ 는 점을 보존하는 $X\to Y$ 연속 함수들의 호모토피류들의 집합이다.

임의의 점을 가진 공간 $(X,\bullet_X)$ 의 $n$ 차 호모토피 군( $n$ th homotopy group of $X$ ^영어) $\pi_n(X,\bullet_X)$ 은 다음과 같다.
: $\pi_n(X,\bullet_X)=[\mathbb S^n,X]_\bullet$
여기서 $\mathbb S^n$ 은 (임의로 밑점을 준) $n$ 차원 초구이다.

n \ge 1

일 경우 군 안에서의 연산은 다음과 같이 정의한다. 먼저 초구

\mathbb S^n

을 하이퍼큐브

[0,1]^n

의 경계를 한 점으로 이어붙인 공간으로 본다.

:

\mathbb S^n\cong[0,1]^n/\partial([0,1]^n)

\bullet_{\mathbb S^n}=\partial([0,1]^n)

그렇다면 호모토피 군에 속하는 두 연속 함수

f,g \colon \mathbb S^n\to X

는 하이퍼큐브를 정의역으로 하는 함수들의 호모토피류

\tilde f,\tilde g\colon{[0,1]}^n\to X

로 나타낼 수 있다. 호모토피 군에서의 연산은 다음과 같은 연산으로부터 정의할 수 있다.
:

\tilde f \cdot \tilde g\colon(t_1,t_2,\dots,t_n)\mapsto\begin{cases}f(2t_1,t_2,\dots,t_n)&0\le t_1\le1/2\\g(2t_1-1,t_2,\dots,t_n)&1/2\le t_1\le1.\end{cases}

이 연산은 호모토피 불변이며, 또한 군의 구조를 만족한다는 사실을 보일 수 있다.

정수 계수의 1차 호모토피 군을 특별히 ‘기본군’이라고 부른다.
아벨 군

G

및 양의 정수

n\in\mathbb Z^+

에 대하여, 피터슨 공간

P(G,n)

은 n차원에서만 유일하게 축소 코호몰로지 G를 갖는 위상 공간이다.
:

\operatorname{\tilde H}^k(P(G,n))=\begin{cases}G&k=n\\0&k\ne0\end{cases}

M(G,n)

에 임의로 밑점을 잡았을 때, $G$ 계수의 $n$ 차 호모토피 군(

n

th homotopy group of

X

with coefficients in

G

^영어)

\pi_n(X,\bullet_X;G)

는 다음과 같다.
:

\pi_n(X,\bullet_X;G)=[P(G,n),X]_\bullet

n\ge1

일 경우 초구

\mathbb S^n

은 피터슨 공간

P(\mathbb Z,n)

이므로,

\pi_n(X)=\pi_n(X;\mathbb Z)

이다. 따라서 이 정의는 위의 정의의 일반화라고 할 수 있다.

--

위상수학과 군 사이의 연결을 통해 수학자는 군론의 통찰력을 위상수학에 적용할 수 있다. 예를 들어, 두 개의 위상적 대상이 서로 다른 호모토피 군을 가지면, 그것들은 같은 위상적 구조를 가지고 있지 않다(이것은 위상적인 방법만을 사용하여 증명하기 어려울 수 있다). 예를 들어, 토러스는 구와는 다르다. 토러스에는 "구멍"이 있지만 구에는 없기 때문이다. 그러나, 연속성(위상수학의 기본적인 개념)은 국소적인 구조만을 다루므로, 명백한 대역적인 차이를 형식적으로 정의하는 것은 어려울 수 있다. 하지만 호모토피 군은, 대역적인 구조에 대한 정보를 가지고 있다.

예를 들어, 토러스 T의 1차 호모토피 군은
:

\pi_1(T) = \mathbb{Z}^2

이다. 왜냐하면 토러스의 보편 피복은 복소 평면

\mathbb{C}

이고, 토러스

T \cong \mathbb{C} / \mathbb{Z}^2

로 사영되기 때문이다. 여기서 몫은 군이나 환의 범주가 아닌 위상 공간의 범주에서의 것이다. 반면에 구

S^2

는
:

\pi_1(S^2) = 0

을 만족한다. 왜냐하면 모든 루프는 상수 함수로 수축할 수 있기 때문이다(이것과 더 복잡한 호모토피 군의 예는 구의 호모토피 군 참조).

따라서 토러스는 구와 위상동형이 아니다.
n차원 구 Sⁿ에서, 밑점 a를 선택한다. 밑점 b를 갖는 공간 X에 대해,

\pi_n(X)

를, 밑점 a를 밑점 b로 사상하는 사상
:f : Sⁿ → X
의 호모토피류 전체의 집합으로 정의한다. 특히, 동치류는 구면의 밑점상 상수인 호모토피에 의해 주어진다. 동치인 것으로,

\pi_n(X)

를 n차원 입방체에서 X로의, n차원 입방체의 경계를 b로 사상하는 사상 g: [0,1]ⁿ → X의 호모토피류의 군으로 정의할 수 있다.

thumb
n ≥ 1에 대해, 호모토피류 전체는 군을 이룬다. 군 연산을 정의하기 위해, 다음을 기억하자. 기본군에서, 두 루프 f와 g의 곱 f ∗ g는 다음과 같이 정의된다.
:

f \ast g =\begin{cases}f(2t) & \text{if } t \in [0,1/2] \\g(2t-1), & \text{if } t \in [1/2,1]\end{cases}

기본군에서의 합성 아이디어는, 첫 번째 길을 따라가고 이어서 두 번째 길을 따른다는 것, 또는 같은 의미로, 이들 두 개의 정의역을 함께 한다는 것이다. n차 호모토피 군에 대해 원하는 합성 개념은 다음 점을 제외하고 같다. 지금 정의역은 입방체이며, 면을 따라 붙여야 한다. 따라서 사상 f, g: [0,1]ⁿ → X의 합을 다음 식으로 정의한다.
:(

f+g

)(

t_1, t_2, \dots, t_n

) =

f

(

2t_1, t_2, \dots, t_n

) for

t_1

in [0, 1/2]
:(

f+g

)(

t_1, t_2, \dots, t_n

) =

g

(

2t_1 - 1, t_2, \dots, t_n

) for

t_1

in [1/2, 1].
구면의 경우에 대응하는 정의는 다음과 같다. 사상 f, g: Sⁿ → X의 합 f + g를,

\Psi

를 h와 합성한 것으로 정의한다. 여기서

\Psi

는 적도를 찌그러뜨리는 Sⁿ에서 두 개의 n차원 구면의 쐐기 합으로의 사상이고, h는 첫 번째 구면상에서는 f, 두 번째 구면상에서는 g로 정의된, 두 개의 n차원 구면의 웨지 합에서 X로의 사상이다.

n ≥ 2이면,

\pi_n

는 아벨 군이다. 또한, 기본군과 마찬가지로, 호상 연결 공간에 대해서는 밑점을 어디로 잡든 동형인

\pi_n

이 생긴다.

밑점을 생략함으로써 호모토피 군의 정의를 단순화하려는 것은 매력적이지만, 이것은 단연결이 아닌 공간에 대해서는, 호상 연결 공간에 대해서도, 일반적으로 잘 되지 않는다. 구면에서 호상 연결 공간으로의 사상의 호모토피류 전체의 집합은, 호모토피 군이 아니라, 본질적으로 호모토피 군상의 기본군의 궤도의 집합이며, 일반적으로 자연스러운 군 구조를 갖지 않는다.

A를 X의 부분 공간으로 할 때, 쌍 (X, A)에 대해 상대 호모토피 군

\pi_n(X, A)

도 있다. 이러한 군의 원소는 경계 Sⁿ⁻¹을 A 안에 사상하는 based map Dⁿ → X의 호모토피류이다. 두 사상 f, g가 상대적으로 A에 대해 호모토픽하다는 것은, 각 p ∈ Sⁿ⁻¹와 t ∈ [0, 1]에 대해 원소 F(p, t)가 A에 들어가는 기점을 보존하는 호모토피 F: Dⁿ × [0,1] → X에 의해 호모토픽하다는 것을 의미한다. 일반적인 호모토피 군은 A가 기점인 특별한 경우이다.

이러한 군은 n ≥ 3에 대해 가환이지만, n = 2에 대해서는 bottom group

\pi_1(A)

의 top group을 이룬다.

상대 호모토피 군의 긴 완전열이 있다.

3. 성질

* 호모토피 군은 호모토피 불변량이다. 즉, 같은 호모토피 유형을 가진 두 점을 가진 공간의 호모토피 군은 서로 동형이다.
* 호모토피 군 $\pi_k(X,b)$ 은 일반적으로 원점 $b$ 에 의존하나, $k=0$ 이거나 공간이 경로 연결 공간이라면 원점에 의존하지 않는다.
* 0차 호모토피 ‘군’ $\pi_0(X,b)$ 은 $X$ 의 경로 연결 성분들의 집합과 같고 일반적으로 군의 구조가 없다. 다만 $X$ 가 리 군의 구조를 갖는다면, $\pi_0(X)$ 는 자연스럽게 군의 구조를 갖는다.
* 2차 이상의 정수 계수 호모토피 군은 항상 아벨 군이다.
* 유한 생성 아벨 군 $G$ 및 $n\ge3$ 에 대하여, 피터슨 공간 $P(G,n)$ 은 쌍대 H-군을 이루므로, 계수를 가진 호모토피 군 $\pi_n(X,\bullet_X;G)$ 은 자연스럽게 군의 구조를 가진다. 만약 추가로 $n\ge4$ 라면 이는 아벨 군을 이룬다.
* 위상 공간 $X$ 와 $Y$ 가 주어지면, 다음이 성립한다.
: $\pi_k(X\times Y)=\pi_k(X)\times\pi_k(Y)$

특이 호몰로지는 쐐기합과 같은 당김에 대하여 간단하지만, 밂에 대해서는 복잡하다. 반면 호모토피 군은 밂에 대하여 간단하지만 당김에 대하여 복잡하다. 특히, 공간들의 쐐기합의 호모토피 군은 일반적으로 복잡하다. 다만, 기본군의 경우, 쐐기합의 기본군은 군의 자유곱이다. 초구의 쐐기합의 기본군은 힐튼 정리(Hilton’s theorem^영어)에 의하여 주어진다.

보다 일반적으로, 존 밀너는 힐튼 정리를 힐튼-밀너 정리(Hilton–Milnor theorem^영어)로 일반화하였다. 이에 따르면, 연결 CW 복합체 $X_1,\dots,X_n$ 이 주어졌을 때, 그 쐐기합 $\textstyle\bigvee_{i=1}^nX_n$ 의 현수 $\textstyle\operatorname S(\bigvee_{i=1}^nX_n)$ 의 고리 공간
: $L\left(\operatorname S(\bigvee_{i=1}^nX_n)\right)$
은 $X_i$ 들의 분쇄곱의 고리 공간들의 특정한 무한 곱공간과 호모토피 동치이다.

4. 계산 방법

세르 올뭉치(Serre fibration) $F\hookrightarrow E\twoheadrightarrow B$ 에서 밑점 $\bullet\in B$ 을 고르고, $B$ 가 경로 연결 공간이라고 가정하면, 호모토피 군에 대한 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.
: $\cdots\to\pi_n(F)\to\pi_n(E)\to\pi_n(B)\to\pi_{n-1}(F)\to\cdots\to\pi_0(E)\to0$
여기서 $\pi_0$ 에 대한 사상들은 군 준동형이 아니라 단순히 함수이지만, 여전히 완전열을 이룬다 (즉, 상이 핵과 일치한다).

예를 들어 호프 섬유화(Hopf fibration)에서 $B$ 를 $S^2$ , $E$ 를 $S^3$ 으로 두고, $p$ 를 호프 섬유화로 두면 섬유는 $S^1$ 이다. 긴 완전열
: $\cdots \to \pi_n(S^1) \to \pi_n(S^3) \to \pi_n(S^2) \to \pi_{n-1} (S^1) \to \cdots$
과 $n \geq 2$ 일 때 $\pi_n(S^1) = 0$ 라는 사실로부터, $n \geq 3$ 일 때 $\pi_n(S^3) = \pi_n(S^2)$ 임을 알 수 있다. 특히, $\pi_3(S^2) = \pi_3(S^3) = \mathbb Z$ 이다.

덮개 공간의 경우, 섬유가 이산적일 때, $n > 1$ 에 대해 $\pi_n(E)$ 는 $\pi_n(B)$ 와 동형이고, 모든 양의 $n$ 에 대해 $\pi_n(E)$ 는 단사적으로 $\pi_n(B)$ 에 포함되며, $\pi_1(E)$ 의 포함에 해당하는 $\pi_1(B)$ 의 부분군은 섬유의 원소와 전단사하는 잉여류를 갖는다.

호모토피 군은 특이 호몰로지 $\operatorname H_n$ 과 관련이 있다. 후레비치 준동형(Hurewicz homomorphism^영어)이라는 자연스러운 함수
: $h_n\colon\pi_n(X)\to\operatorname H_n(X;\mathbb Z)$
가 존재하며, $n\ge1$ 일 경우 이는 군 준동형을 이룬다. n-연결 공간의 어떤 호모토피 군은 후레비츠 정리를 이용하여 호몰로지 군과 비교하여 계산할 수 있다.

세르 스펙트럼 열은 올뭉치의 전체 공간의 호모토피 군을 밑공간과 올의 호모토피 군을 이용하여 계산하는 도구이다.

경로 연결 공간 $X$ 의 호모토피 군들 위에는 화이트헤드 괄호(Whitehead bracket^영어)라는 연산이 존재한다.
: $[-,-]\colon \pi_k(X)\times\pi_l(X)\to \pi_{k+l-l}(X)$
이는 야코비 항등식을 만족시킨다.

기본군은 자이페르트-판 캄펜 정리를 사용하여 쉽게 계산할 수 있는 반면, 고차 호모토피 군의 계산은 (심지어 초구와 같은 간단한 경우에도) 일반적으로 매우 어렵다.

5. 예시

* 한원소 공간 $\{\bullet\}$ 의 경우, 모든 호모토피 군은 자명군이다.
: $\pi_n(\{\bullet\})=0\qquad\forall n\in\mathbb N$
* 이산 공간 $S$ 에서 임의의 점 $s\in S$ 을 밑점으로 잡으면, 이산 공간 $S$ 위의 호모토피 군 $\pi_n(S,s)$ 은 다음과 같다.
: $\pi_0(S,s)=S$
: $\pi_n(S,s)=1\qquad\forall n>0$
* 원환면 $T^k$ 의 호모토피 군은 다음과 같다.
: $\pi_1(T^k)=\mathbb Z^n$
: $\pi_n(T^k)=1$ (자명군) ( $n>1$ )
* 초구 $S^k$ 의 호모토피 군들은 매우 복잡하며, 심지어 2차원 구의 경우도 아직 완전히 알려져 있지 않다. 낮은 차수의 경우는 다음과 같다.

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	π₁	π₂	π₃	π₄	π₅	π₆	π₇	π₈	π₉	π₁₀	π₁₁	π₁₂	π₁₃	π₁₄	π₁₅
S⁰	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S¹	ℤ	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S²	0	ℤ	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₁₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃	ℤ₁₅	ℤ₂	ℤ₂²	ℤ₁₂×ℤ₂	ℤ₈₄×ℤ₂²	ℤ₂²
S³	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₁₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃	ℤ₁₅	ℤ₂	ℤ₂²	ℤ₁₂×ℤ₂	ℤ₈₄×ℤ₂²	ℤ₂²
S⁴	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ×ℤ₁₂	ℤ₂²	ℤ₂²	ℤ₂₄×ℤ₃	ℤ₁₅	ℤ₂	ℤ₂³	ℤ₁₂₀×ℤ₁₂×ℤ₂	ℤ₈₄×ℤ₂⁵
S⁵	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃₀	ℤ₂	ℤ₂³	ℤ₇₂×ℤ₂
S⁶	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₆₀	ℤ₂₄×ℤ₂	ℤ₂³
S⁷	0	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	0	0	ℤ₂	ℤ₁₂₀	ℤ₂³
S⁸	0	0	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	0	0	ℤ₂	ℤ×ℤ₁₂₀

* 연결 리 군

G

의 호모토피 군은 다음과 같다.
$\pi_0(G)=0$ (자명군)

\pi_1(G)

는 유한 생성 아벨 군
$\pi_2(G)=0$ (자명군)

\pi_3(G)

는 자유 유한 생성 아벨 군 (즉,

\mathbb Z^k

의 꼴)
* 흔히 쓰이는 리 군의 호모토피 군은 다음과 같다.

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군	π₁	π₃	π₄	π₅	π₆	π₇	π₈	π₉	π₁₀	π₁₁	π₁₂
U(1)	ℤ	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
U(2)	ℤ	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₁₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃	ℤ₁₅	ℤ₂	(ℤ₂)²
U(3)	ℤ	ℤ	0	ℤ	ℤ₆
U(4)	ℤ	ℤ	0	ℤ	0	ℤ
U(5)	ℤ	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ
U(6)	ℤ	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ

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좌우로 밀어서 보기

군	π₀	π₁	π₃	π₄	π₅	π₆	π₇	π₈	π₉
O(1)	ℤ₂	0	0	0	0	0	0	0	0
O(2)	ℤ₂	ℤ	0	0	0	0	0	0	0
O(3)	ℤ₂	ℤ₂	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₁₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃
O(4)	ℤ₂	ℤ₂	ℤ²	(ℤ₂)²	(ℤ₂)²	(ℤ₁₂)²	(ℤ₂)²	(ℤ₂)²	(ℤ₃)²
O(5)	ℤ₂	ℤ₂	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	0	ℤ	0	0
O(6)	ℤ₂	ℤ₂	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	ℤ₂₄	ℤ₂
O(7)	ℤ₂	ℤ₂	ℤ	0	0
O(8)	ℤ₂	ℤ₂	ℤ	0	0	0
O(9)	ℤ₂	ℤ₂	ℤ	0	0	0	ℤ
O(10)	ℤ₂	ℤ₂	ℤ	0	0	0	ℤ	ℤ₂
O(11)	ℤ₂	ℤ₂	ℤ	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂

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좌우로 밀어서 보기

군	π₃	π₄	π₅	π₆	π₇	π₈	π₉	π₁₀	π₁₁	π₁₂	π₁₃
Sp(1)	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₁₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃	ℤ₁₅	ℤ₂	(ℤ₂)²
Sp(2)	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	0	ℤ	0	0	ℤ₁₂₀	ℤ₂	(ℤ₂)²
Sp(3)	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	0	ℤ	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂

6. 응용

호모토피 군은 위상 공간을 분류하는 데 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 토러스와 구는 서로 다른 호모토피 군을 가지므로 위상 동형이 아니다. 토러스의 첫 번째 호모토피 군은 $\pi_1(T) = \Z^2$ 이고, 구의 첫 번째 호모토피 군은 $\pi_1\left(S^2\right) = 0$ 이다. 이는 토러스에는 "구멍"이 있고, 구에는 없다는 사실을 반영한다.

--

호모토피 군은 호모토피 이론의 기본이며, 단순 집합에 대해 추상적인 호모토피 군을 정의하는 것도 가능하다. 호모토피 군은 호몰로지 군과 유사하게 위상 공간의 "구멍"을 나타낼 수 있지만, 호몰로지 군과 달리 가환군이 아니어서 계산하기 더 어려운 경우가 많다.

7. 한국과의 관련성

대한민국의 수학자들은 호모토피 이론 분야에서 세계적인 연구 성과를 내고 있다. 한국의 대수적 위상수학 연구는 국제적으로 인정받고 있으며, 여러 학술 대회와 연구 교류가 활발하게 이루어지고 있다. 고등과학원(KIAS), 국가수리과학연구소(NIMS) 등에서 호모토피 이론 관련 연구가 활발히 진행되고 있다.