대칭 공간

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

대칭 공간은 특정 조건을 만족하는 동차 공간으로, 기하학적, 대수적 정의를 통해 설명된다. 리만 다양체에서 측지 대칭이 등거리 사상일 경우 국소 리만 대칭 공간이며, 전역적으로 확장될 경우 대칭 공간이 된다. 대칭 공간은 리 군과 대합을 사용하여 대수적으로 정의될 수 있으며, 리 대수의 직합으로 표현된다. 대칭 공간은 콤팩트, 비콤팩트, 유클리드형으로 분류되며, 콤팩트 대칭 공간은 엘리 카르탕에 의해 분류되었다. 일반화된 개념으로 유사-리만 대칭 공간과 아핀 대칭 공간이 있으며, 로렌츠 대칭 공간은 일반 상대성 이론에서 중요한 역할을 한다. 약대칭 공간은 대칭 공간의 일반화로, 셀버그와 아키에저, 빈베르크에 의해 연구되었다. 대칭 공간은 홀로노미, 에르미트 대칭 공간, 사원수-켈러 대칭 공간 등 다양한 특수 경우를 가지며, 초구, 유클리드 공간, 쌍곡 공간 등이 대칭 공간의 예시이다.

대칭 공간

📚 더 읽어볼만한 페이지

리 군 - 리 대수
리 대수는 가환환 위의 가군과 리 괄호 연산으로 구성되며 쌍선형성, 교대성, 야코비 항등식을 만족하고, 리 군 연구와 분류, 표현 이론에 중요한 역할을 한다.
리 군 - 보렐-베유-보트 정리
보렐-베유-보트 정리는 복소수 반단순 리 군의 표현론에서 층 코호몰로지를 사용하여 리 군의 기약 표현을 설명하며, 보렐-베유 정리와 보트의 일반화를 포함한다.
리만 기하학 - 등각 사상
등각 사상은 각도를 보존하는 사상으로, 2차원에서는 도함수가 0이 아닌 정칙 함수인 복소 함수가 해당되며, 3차원 이상에서는 상사 변환, 등거리 변환, 특수 등각 변환 등으로 분류되어 지도 제작, 항공우주 공학 등 다양한 분야에 응용된다.
리만 기하학 - 편평도
편평도는 아직 내용이 없어 정의를 내릴 수 없는 위키백과 페이지이다.

2. 정의

대칭 공간 $G/H$ 는 동차 공간의 한 종류로, 다음 조건을 만족시킨다.

* $H$ 는 어떤 대합 $\sigma\colon G\to G$ 에 대하여, $G^\sigma$ 의 열린집합이다. 여기서 $G^\sigma=\{g\in G\colon\sigma g=g\}$ 는 $\sigma$ 에 의한 고정점들의 부분 공간이다.

대칭 공간의 계수(階數, rank^영어)는 접공간의 부분 벡터 공간 가운데 곡률이 0인 것의 최대 차원이다.

$G$ 의 리 대수가 $\mathfrak g$ 일 때, 대합 $\sigma\colon\mathfrak g\to\mathfrak g$ 는 $\sigma^2=1$ 이므로 고윳값 $\pm1$ 을 갖는다. 이에 따라 $\mathfrak g$ 는 두 부분 공간의 직합으로 나타낼 수 있다. 고윳값이 $+1$ 인 부분 대수는 $H$ 의 리 대수 $\mathfrak h$ 와 같고, 고윳값이 $-1$ 인 부분 대수는 $\mathfrak m$ 으로 표기한다.

: $\mathfrak g=\mathfrak h\oplus\mathfrak m$
: $[\mathfrak h,\mathfrak h]\subset\mathfrak h$
: $[\mathfrak h,\mathfrak m]\subset\mathfrak m$
: $[\mathfrak m,\mathfrak m]\subset\mathfrak h$

2.1. 기하학적 정의

M을 연결된 리만 다양체라 하고, p를 M의 한 점이라고 하자. p 근처에서 정의된 미분 동형 사상 f가 p를 고정하고 p를 지나는 측지선을 반전시킨다면, 즉 $\gamma(0)=p$ 인 측지선 γ에 대해 $f(\gamma(t))=\gamma(-t)$ 를 만족하면 f를 측지 대칭이라고 한다. 이때 p에서 f의 도함수는 p의 접공간에서 음의 항등 사상과 같다. 일반적인 리만 다양체에서 f는 등거리 사상이 아니며, 보통 p 근처에서만 정의되고 M 전체로 확장되지 않는다.

만약 M에서 모든 측지 대칭이 등거리 사상이면 M을 국소 리만 대칭 공간이라고 부른다. 이는 곡률 텐서의 공변 미분이 0이라는 조건과 동치이다. 국소 대칭 공간에서 모든 측지 대칭이 M 전체의 등거리 사상으로 확장될 수 있으면 M을 (전역) 대칭 공간이라고 한다.

2.2. 대수적 정의

리 군 $G$ 에 대한 대칭 공간은 점의 안정자 $H$ 가 Aut(G)에서의 대합 σ의 고정점 집합의 열린 부분군인 동차 공간 G/H이다. 따라서 σ는 σ² = id_G를 만족하는 G의 자기 동형 사상이고, H는 불변 집합의 열린 부분군이다.

: $G^\sigma=\{ g\in G: \sigma(g) = g\}.$

H는 열려 있으므로 G^σ의 성분(항등원 성분 포함)의 합집합이다.

G의 자기 동형 사상으로서 σ는 항등원을 고정하므로, 항등원에서 미분하여, 제곱이 항등원인, σ로도 표기되는 리 대수 $\mathfrak g$ 의 자기 동형 사상을 유도한다. 따라서 σ의 고윳값은 ±1이다. +1 고유 공간은 H의 리 대수 $\mathfrak h$ 이고(이것이 G^σ의 리 대수이므로), -1 고유 공간은 $\mathfrak m$ 으로 표기한다. σ는 $\mathfrak g$ 의 자기 동형 사상이므로, 이는 직합 분해를 제공한다.

: $\mathfrak g = \mathfrak h\oplus\mathfrak m$

: $[\mathfrak h,\mathfrak h]\subset \mathfrak h,\; [\mathfrak h,\mathfrak m]\subset \mathfrak m,\; [\mathfrak m,\mathfrak m]\subset \mathfrak h.$

첫 번째 조건은 모든 균질 공간에 대해 자동적으로 성립한다. 이는 무한소 안정자 $\mathfrak h$ 가 $\mathfrak g$ 의 리 부분 대수임을 나타낸다. 두 번째 조건은 $\mathfrak m$ 이 $\mathfrak g$ 에서 $\mathfrak h$ 에 대한 $\mathfrak h$ -불변 여집합임을 의미한다. 따라서 모든 대칭 공간은 환원적 균질 공간이지만, 대칭 공간이 아닌 많은 환원적 균질 공간이 있다. 대칭 공간의 핵심 특징은 $\mathfrak m$ 이 $\mathfrak h$ 로 괄호로 묶이는 세 번째 조건이다.

반대로, 이 세 가지 조건을 만족하는 직합 분해를 갖는 리 대수 $\mathfrak g$ 가 주어지면, $\mathfrak h$ 에서 항등원이고 $\mathfrak m$ 에서 마이너스 항등원과 같은 선형 사상 σ는 대합 자기 동형 사상이다.

3. 성질

카르탕-앰브로스-힉스 정리에 따르면, 어떤 다양체 M의 곡률 텐서가 공변적으로 상수일 필요충분조건은 M이 국소 리만 대칭 공간이라는 것이며, 더 나아가 모든 단일 연결 완비 국소 리만 대칭 공간은 실제로 리만 대칭 공간이다.

모든 리만 대칭 공간 M은 완비이며, 리만 균질 공간이다. 이는 M의 등거리 변환군이 M에 추이적으로 작용한다는 의미이다. 사실, 등거리 변환군의 항등 요소만으로도 M에 추이적으로 작용한다. (M이 연결되어 있기 때문이다.)

리만 대칭 공간이 아닌 국소 리만 대칭 공간은 고정점이 없는 이산 등거리 변환군으로 리만 대칭 공간을 나눈 몫 공간과 (국소) 리만 대칭 공간의 열린 부분 집합으로 구성될 수 있다.

3.1. 함의 관계

리 군 $G$ 의 닫힌 부분군 $H\le G$ 가 주어졌고, 이들에 대응하는 리 대수는 각각 $\mathfrak h\subseteq\mathfrak g$ 라고 하자. 또한, 항상
: $\mathfrak g = \mathfrak h + \mathfrak m$
이 되는 실수 벡터 공간 $\mathfrak m\subseteq\mathfrak g$ 를 찾을 수 있다. 이제, $\mathfrak m$ 이 가질 수 있는 다음과 같은 일련의 조건들을 정의할 수 있으며, 이 조건들은 다음과 같은 동차 공간들을 정의한다.

👆

좌우로 밀어서 보기

공간	조건
동차 공간	(없음)
가약 동차 공간	$\operatorname{Ad}(H)\mathfrak h\subseteq\mathfrak m$
대칭 공간	$\operatorname{Ad}(H)\mathfrak m \subseteq\mathfrak m$ , $[\mathfrak m,\mathfrak m]\subseteq\mathfrak h$
리만 대칭 공간	대칭 공간이며, $\mathfrak m$ 위에 $\operatorname{Ad}(H)$ -불변 내적이 존재

여기서

\operatorname{Ad}(H)\mathfrak m\subseteq\mathfrak m

인 조건은
:

[\mathfrak h,\mathfrak m]\subseteq\mathfrak m

을 함의한다. (만약

H

의 중심이 자명하다면 이는 리 대수 조건과 동치이다.)

리만 대칭 공간의 경우,

\mathfrak m

은

G/H

의 접공간과 동형이므로,

\mathfrak m

위의 내적은

G/H

위의 리만 계량을 정의한다.

3.2. 리만 대칭 공간의 성질

리 군 $G$ 의 닫힌 부분군 $H\le G$ 가 주어졌을 때, 이들에 대응하는 리 대수는 각각 $\mathfrak h\subseteq\mathfrak g$ 이다. $\mathfrak g = \mathfrak h + \mathfrak m$ 이 되는 실수 벡터 공간 $\mathfrak m\subseteq\mathfrak g$ 를 찾을 수 있다. $\mathfrak m$ 이 가질 수 있는 조건에 따라 다음과 같은 동차 공간들이 정의된다.

👆

좌우로 밀어서 보기

공간	조건
동차 공간	(없음)
가약 동차 공간	$\operatorname{Ad}(H)\mathfrak h\subseteq\mathfrak m$
대칭 공간	$\operatorname{Ad}(H)\mathfrak m \subseteq\mathfrak m$ , $[\mathfrak m,\mathfrak m]\subseteq\mathfrak h$
리만 대칭 공간	대칭 공간이며, $\mathfrak m$ 위에 $\operatorname{Ad}(H)$ -불변 내적이 존재

\operatorname{Ad}(H)\mathfrak m\subseteq\mathfrak m

인 조건은

[\mathfrak h,\mathfrak m]\subseteq\mathfrak m

을 함의한다.

리만 대칭 공간의 경우,

\mathfrak m

은

G/H

의 접공간과 동형이므로,

\mathfrak m

위의 내적은

G/H

위의 리만 계량을 정의한다.

4. 분류

엘리 카르탕은 콤팩트 대칭 공간을 모두 분류하였다.

모든 연결 단일 연결 콤팩트 대칭 공간은 아래 표에 있는 군들의 직접곱으로 나타낼 수 있다.

👆

좌우로 밀어서 보기

이름	G	H	차원	계수	켈러 다양체 여부
A_I	$\operatorname{SU}(n)$	$\operatorname{SO}(n)$	$(n-1)(n+2)/2$	$n-1$
A_II	$\operatorname{SU}(2n)$	$\operatorname{USp}(2n)$	$(n-1)(2n+1)$	$n-1$
A_III	$\operatorname{SU}(p+q)$	$\operatorname{S}(\operatorname{U}(p) \times \operatorname{U}(q))$	$2pq$	$\min\{p,q\}$	켈러 다양체
BD_I	$\operatorname{SO}(p+q)$	$\operatorname{SO}(p) \times \operatorname{SO}(q)$	$pq$	$\min\{p,q\}$	$q=2$ 인 경우는 켈러 다양체
D_III	$\operatorname{SO}(2n)$	$\operatorname{U}(n)$	$n(n-1)$	$\lfloor n/2\rfloor$	켈러 다양체
C_I	$\operatorname{USp}(2n)$	$\operatorname{U}(n)$	$n(n+1)$	$n$	켈러 다양체
C_II	$\operatorname{USp}(2p+2q)$	$\operatorname{USp}(2p) \times \operatorname{USp}(2q)$	$4pq$	$\min\{p,q\}$
E_I	$E_6$	$\operatorname{PUSp}(8)$	42	6
E_II	$E_6$	$\operatorname{SU}(6)\times\operatorname{SU}(2)$	40	4
E_III	$E_6$	$\operatorname{SO}(10)\times\operatorname{U}(1)$	32	2	켈러 다양체
E_IV	$E_6$	$F_4$	26	2
E_V	$E_7$	$\operatorname{SU}(8)/\{\pm I\}$	70	7
E_VI	$E_7$	$\operatorname{SO}(12)\times\operatorname{SU}(2)$	64	4
E_VII	$E_7$	$E_6\cdot\operatorname{U}(1)$	54	3	켈러 다양체
E_VIII	$E_8$	$\operatorname{PSpin}(16)$	128	8
E_IX	$E_8$	$E_7\cdot\operatorname{SU}(2)$	112	4
F_I	$F_4$	$\operatorname{USp}(6)\times \operatorname{SU}(2)$	28	4
F_II	$F_4$	$\operatorname{Spin}(9)$	16	1
G	$G_2$	$\operatorname{SO}(4)$	8	2

엘리 카르탕은 1926년에 리만 대칭 공간에 대한 완전한 분류를 얻었다.

4.1. 분류 체계

엘리 카르탕에 의하여 모든 콤팩트 대칭 공간이 분류되었다.

모든 연결 단일 연결 콤팩트 대칭 공간은 아래 군들의 직접곱이다.

👆

좌우로 밀어서 보기

이름	G	H	차원	계수	켈러 다양체 여부
A_I	$\operatorname{SU}(n)$	$\operatorname{SO}(n)$	$(n-1)(n+2)/2$	$n-1$
A_II	$\operatorname{SU}(2n)$	$\operatorname{USp}(2n)$	$(n-1)(2n+1)$	$n-1$
A_III	$\operatorname{SU}(p+q)$	$\operatorname{S}(\operatorname{U}(p) \times \operatorname{U}(q))$	$2pq$	$\min\{p,q\}$	켈러 다양체
BD_I	$\operatorname{SO}(p+q)$	$\operatorname{SO}(p) \times \operatorname{SO}(q)$	$pq$	$\min\{p,q\}$	$q=2$ 인 경우는 켈러 다양체
D_III	$\operatorname{SO}(2n)$	$\operatorname{U}(n)$	$n(n-1)$	$\lfloor n/2\rfloor$	켈러 다양체
C_I	$\operatorname{USp}(2n)$	$\operatorname{U}(n)$	$n(n+1)$	$n$	켈러 다양체
C_II	$\operatorname{USp}(2p+2q)$	$\operatorname{USp}(2p) \times \operatorname{USp}(2q)$	$4pq$	$\min\{p,q\}$
E_I	$E_6$	$\operatorname{PUSp}(8)$	42	6
E_II	$E_6$	$\operatorname{SU}(6)\times\operatorname{SU}(2)$	40	4
E_III	$E_6$	$\operatorname{SO}(10)\times\operatorname{U}(1)$	32	2	켈러 다양체
E_IV	$E_6$	$F_4$	26	2
E_V	$E_7$	$\operatorname{SU}(8)/\{\pm I\}$	70	7
E_VI	$E_7$	$\operatorname{SO}(12)\times\operatorname{SU}(2)$	64	4
E_VII	$E_7$	$E_6\cdot\operatorname{U}(1)$	54	3	켈러 다양체
E_VIII	$E_8$	$\operatorname{PSpin}(16)$	128	8
E_IX	$E_8$	$E_7\cdot\operatorname{SU}(2)$	112	4
F_I	$F_4$	$\operatorname{USp}(6)\times \operatorname{SU}(2)$	28	4
F_II	$F_4$	$\operatorname{Spin}(9)$	16	1
G	$G_2$	$\operatorname{SO}(4)$	8	2

엘리 카르탕은 1926년에 리만 대칭 공간에 대한 완전한 분류를 얻었다.

기약 단순 연결 리만 대칭 공간은 다음 세 가지 유형으로 분류된다.

# 유클리드형: 곡률이 0이며, 유클리드 공간과 등거리이다.
# 콤팩트형: 0이 아닌 단면 곡률을 갖는다.
# 비콤팩트형: 0이 아닌 단면 곡률을 갖는다.

콤팩트형 및 비콤팩트형의 기약 단순 연결 리만 대칭 공간은 두 가지 클래스로 분류된다.

A. G는 (실수) 단순 리 군이다.

B. G는 콤팩트 단순 리 군 자체의 곱(콤팩트형)이거나 그러한 리 군의 복소수화(비콤팩트형)이다.

4.2. 콤팩트 대칭 공간 목록

엘리 카르탕에 의하여 모든 콤팩트 대칭 공간이 분류되었다.

모든 연결 단일 연결 콤팩트 대칭 공간은 아래 군들의 직접곱이다. 아래 목록에서, 켈러 다양체가 되는 것은 특별히 표시하였다.

👆

좌우로 밀어서 보기

이름	G	H	차원	계수	켈러 다양체
A_I	$\operatorname{SU}(n)$	$\operatorname{SO}(n)$	$(n-1)(n+2)/2$	$n-1$
A_II	$\operatorname{SU}(2n)$	$\operatorname{USp}(2n)$	$(n-1)(2n+1)$	$n-1$
A_III	$\operatorname{SU}(p+q)$	$\operatorname{S}(\operatorname{U}(p) \times \operatorname{U}(q))$	$2pq$	$\min\{p,q\}$	켈러 다양체
BD_I	$\operatorname{SO}(p+q)$	$\operatorname{SO}(p) \times \operatorname{SO}(q)$	$pq$	$\min\{p,q\}$	$q=2$ 인 경우는 켈러 다양체
D_III	$\operatorname{SO}(2n)$	$\operatorname{U}(n)$	$n(n-1)$	$\lfloor n/2\rfloor$	켈러 다양체
C_I	$\operatorname{USp}(2n)$	$\operatorname{U}(n)$	$n(n+1)$	$n$	켈러 다양체
C_II	$\operatorname{USp}(2p+2q)$	$\operatorname{USp}(2p) \times \operatorname{USp}(2q)$	$4pq$	$\min\{p,q\}$
E_I	$E_6$	$\operatorname{PUSp}(8)$	42	6
E_II	$E_6$	$\operatorname{SU}(6)\times\operatorname{SU}(2)$	40	4
E_III	$E_6$	$\operatorname{SO}(10)\times\operatorname{U}(1)$	32	2	켈러 다양체
E_IV	$E_6$	$F_4$	26	2
E_V	$E_7$	$\operatorname{SU}(8)/\{\pm I\}$	70	7
E_VI	$E_7$	$\operatorname{SO}(12)\times\operatorname{SU}(2)$	64	4
E_VII	$E_7$	$E_6\cdot\operatorname{U}(1)$	54	3	켈러 다양체
E_VIII	$E_8$	$\operatorname{PSpin}(16)$	128	8
E_IX	$E_8$	$E_7\cdot\operatorname{SU}(2)$	112	4
F_I	$F_4$	$\operatorname{USp}(6)\times \operatorname{SU}(2)$	28	4
F_II	$F_4$	$\operatorname{Spin}(9)$	16	1
G	$G_2$	$\operatorname{SO}(4)$	8	2

4.3. 리만 대칭 공간의 분류

엘리 카르탕에 의해 모든 콤팩트 대칭 공간이 분류되었다.

모든 연결 단일 연결 콤팩트 대칭 공간은 아래 군들의 직접곱이다. 아래 목록에서, 켈러 다양체가 되는 것은 특별히 표시하였다.

👆

좌우로 밀어서 보기

이름	G	H	차원	계수	켈러 다양체
A_I	$\operatorname{SU}(n)$	$\operatorname{SO}(n)$	$(n-1)(n+2)/2$	$n-1$
A_II	$\operatorname{SU}(2n)$	$\operatorname{USp}(2n)$	$(n-1)(2n+1)$	$n-1$
A_III	$\operatorname{SU}(p+q)$	$\operatorname{S}(\operatorname{U}(p) \times \operatorname{U}(q))$	$2pq$	$\min\{p,q\}$	켈러 다양체
BD_I	$\operatorname{SO}(p+q)$	$\operatorname{SO}(p) \times \operatorname{SO}(q)$	$pq$	$\min\{p,q\}$	$q=2$ 인 경우는 켈러 다양체
D_III	$\operatorname{SO}(2n)$	$\operatorname{U}(n)$	$n(n-1)$	$\lfloor n/2\rfloor$	켈러 다양체
C_I	$\operatorname{USp}(2n)$	$\operatorname{U}(n)$	$n(n+1)$	$n$	켈러 다양체
C_II	$\operatorname{USp}(2p+2q)$	$\operatorname{USp}(2p) \times \operatorname{USp}(2q)$	$4pq$	$\min\{p,q\}$
E_I	$E_6$	$\operatorname{PUSp}(8)$	42	6
E_II	$E_6$	$\operatorname{SU}(6)\times\operatorname{SU}(2)$	40	4
E_III	$E_6$	$\operatorname{SO}(10)\times\operatorname{U}(1)$	32	2	켈러 다양체
E_IV	$E_6$	$F_4$	26	2
E_V	$E_7$	$\operatorname{SU}(8)/\{\pm I\}$	70	7
E_VI	$E_7$	$\operatorname{SO}(12)\times\operatorname{SU}(2)$	64	4
E_VII	$E_7$	$E_6\cdot\operatorname{U}(1)$	54	3	켈러 다양체
E_VIII	$E_8$	$\operatorname{PSpin}(16)$	128	8
E_IX	$E_8$	$E_7\cdot\operatorname{SU}(2)$	112	4
F_I	$F_4$	$\operatorname{USp}(6)\times \operatorname{SU}(2)$	28	4
F_II	$F_4$	$\operatorname{Spin}(9)$	16	1
G	$G_2$	$\operatorname{SO}(4)$	8	2

엘리 카르탕은 1926년에 리만 대칭 공간에 대한 완전한 분류를 얻을 수 있게 하였다.

리만 A급 대칭 공간 및 콤팩트형의 특수화에서, 카르탄은 다음과 같은 7개의 무한 수열과 12개의 예외적인 리만 대칭 공간 G/K를 발견했다. 이들은 기하학적 해석과 함께, 가능한 경우 G와 K의 관점에서 여기에 제공된다. 이러한 공간의 레이블은 카르탄이 주었다.

👆

좌우로 밀어서 보기

레이블	G	K	차원	랭크	기하학적 해석
AI	$\mathrm{SU}(n)\,$	$\mathrm{SO}(n)\,$	$(n-1)(n+2)/2$	$n-1$	$\mathbb{C}^n$ 위의 복소수 행렬식을 불변으로 유지하는 실수 구조 공간
AII	$\mathrm{SU}(2n)\,$	$\mathrm{Sp}(n)\,$	$(n-1)(2n+1)$	$n-1$	에르미트 계량과 호환되는 $\mathbb{C}^{2n}$ 위의 사원수 구조 공간
AIII	$\mathrm{SU}(p+q)\,$	$\mathrm{S}(\mathrm{U}(p) \times \mathrm{U}(q))\,$	$2pq$	$\min(p,q)$	$\mathbb{C}^{p+q}$ 의 복소수 p차원 부분 공간의 그라스만 다양체
BDI	$\mathrm{SO}(p+q)\,$	$\mathrm{SO}(p) \times \mathrm{SO}(q)\,$	$pq$	$\min(p,q)$	$\mathbb{R}^{p+q}$ 의 배향된 실수 p차원 부분 공간의 그라스만 다양체
DIII	$\mathrm{SO}(2n)\,$	$\mathrm{U}(n)\,$	$n(n-1)$	$[n/2]$	$\mathbb{R}^{2n}$ 위의 직교 복소 구조 공간
CI	$\mathrm{Sp}(n)\,$	$\mathrm{U}(n)\,$	$n(n+1)$	$n$	내적과 호환되는 $\mathbb{H}^n$ 위의 복소 구조 공간
CII	$\mathrm{Sp}(p+q)\,$	$\mathrm{Sp}(p) \times \mathrm{Sp}(q)\,$	$4pq$	$\min(p,q)$	$\mathbb{H}^{p+q}$ 의 사원수 p차원 부분 공간의 그라스만 다양체
EI	$E_6\,$	$\mathrm{Sp}(4)/\{\pm I\}\,$	42	6
EII	$E_6\,$	$\mathrm{SU}(6)\cdot\mathrm{SU}(2)\,$	40	4	$(\mathbb C\otimes\mathbb O)P^2$ 의 $(\mathbb C\otimes \mathbb H)P^2$ 에 등거리인 대칭 부분 공간의 공간
EIII	$E_6\,$	$\mathrm{SO}(10)\cdot\mathrm{SO}(2)\,$	32	2	복소화된 케일리 사영 평면 $(\mathbb C\otimes\mathbb O)P^2$
EIV	$E_6\,$	$F_4\,$	26	2	$(\mathbb C\otimes\mathbb O)P^2$ 의 $\mathbb{OP}^2$ 에 등거리인 대칭 부분 공간의 공간
EV	$E_7\,$	$\mathrm{SU}(8)/\{\pm I\}\,$	70	7
EVI	$E_7\,$	$\mathrm{SO}(12)\cdot\mathrm{SU}(2)\,$	64	4	$\mathbb H\otimes\mathbb O$ 위의 로젠펠트 사영 평면 $(\mathbb H\otimes\mathbb O)P^2$
EVII	$E_7\,$	$E_6\cdot\mathrm{SO}(2)\,$	54	3	$(\mathbb{H}\otimes\mathbb O)P^2$ 의 $(\mathbb{C}\otimes\mathbb O)P^2$ 에 동형인 대칭 부분 공간의 공간
EVIII	$E_8\,$	$\mathrm{Spin}(16)/\{\pm \mathrm{vol}\}\,$	128	8	로젠펠트 사영 평면 $(\mathbb O\otimes\mathbb O)P^2$
EIX	$E_8\,$	$E_7\cdot\mathrm{SU}(2)\,$	112	4	$(\mathbb{O}\otimes\mathbb O)P^2$ 의 $(\mathbb{H}\otimes\mathbb O)P^2$ 에 동형인 대칭 부분 공간의 공간
FI	$F_4\,$	$\mathrm{Sp}(3)\cdot \mathrm{SU}(2)\,$	28	4	$\mathbb{O}P^2$ 의 $\mathbb{H}P^2$ 에 동형인 대칭 부분 공간의 공간
FII	$F_4\,$	$\mathrm{Spin}(9)\,$	16	1	케일리 사영 평면 $\mathbb{O}P^2$
G	$G_2\,$	$\mathrm{SO}(4)\,$	8	2	팔원수 대수 $\mathbb{O}$ 의 사원수 대수 $\mathbb{H}$ 에 동형인 부분 대수 공간

4.4. 그라스만 다양체로서의 대칭 공간

Freudenthal magic square^영어 구성을 통해 콤팩트 및 비콤팩트 리만 대칭 공간을 통일적으로 분류할 수 있다. 기약 콤팩트 리만 대칭 공간은 유한 덮개를 제외하고, 콤팩트 단순 리 군, 그래스만 다양체, 라그랑지안 그래스만 다양체, 또는 노름 나눗셈 대수 A와 B에 대해 $(\mathbf A \otimes \mathbf B)^n$ 의 부분 공간의 이중 라그랑지안 그래스만 다양체이다. 유사한 구성으로 기약 비콤팩트 리만 대칭 공간이 생성된다.

5. 일반 대칭 공간

리만 대칭 공간을 일반화한 유사-리만 대칭 공간에서는 리만 계량이 유사-리만 계량으로 대체된다. 이 중 로렌츠 대칭 공간은 일반 상대성 이론에서 중요하게 다루어진다.

5.1. 로렌츠 대칭 공간

유사-리만 계량으로 대체된다(각 접공간에서 양의 정부호가 아닌 비퇴화). 특히, 로렌츠 대칭 공간(즉, 시그니처가 (n − 1,1)인 n차원 유사-리만 대칭 공간)은 일반 상대성 이론에서 중요하며, 가장 주목할 만한 예는 민코프스키 공간, 드 시터 공간 및 반 드 시터 공간이다(각각 0, 양수 및 음의 곡률을 가짐). n차원 드 시터 공간은 n + 1차원 민코프스키 공간에서 단엽 쌍곡면과 동일시될 수 있다.

5.2. 아핀 대칭 공간

일반적으로 대칭 공간 및 국소 대칭 공간은 아핀 대칭 공간으로 간주될 수 있다. M^영어 = G^영어/H^영어가 대칭 공간이면 노미주는 M^영어에 G^영어-불변 비틀림이 없는 아핀 접속(즉, 비틀림 텐서가 사라지는 아핀 접속)이 존재하며, 이 접속의 곡률은 평행 이동된다. 반대로, 이러한 접속을 가진 다양체는 국소 대칭적이다(즉, 보편 피복은 대칭 공간이다). 이러한 다양체는 측지선 대칭이 모두 전역적으로 정의된 아핀 미분 동형 사상인 아핀 다양체로 설명될 수도 있으며, 리만 및 유사-리만 경우를 일반화한다.

5.3. 분류 결과

리만 대칭 공간의 분류는 일반적인 대칭 공간으로 쉽게 확장되지 않는다. 그 이유는 대칭 공간을 기약적 인수의 곱으로 분해하는 것이 불가능하기 때문이다. 여기서 리 대수 $\mathfrak g = \mathfrak h\oplus \mathfrak m$ 을 갖는 대칭 공간 G/H는 $\mathfrak m$ 이 $\mathfrak h$ 의 기약 표현인 경우 기약적이라고 한다. 일반적으로 $\mathfrak h$ 가 반단순(또는 환원적)이 아니기 때문에, 기약적이지 않은 비분해 표현을 가질 수 있다.

그러나 기약 대칭 공간은 분류할 수 있다. 노미즈 가쓰미가 보여준 바와 같이, 기약 대칭 공간 G/H는 평탄(아핀 공간)하거나 $\mathfrak g$ 가 반단순이다. 이는 유클리드 공간과 컴팩트 또는 비컴팩트 유형의 공간 사이의 리만 이분법과 유사하며, M. Berger가 반단순 대칭 공간( $\mathfrak g$ 가 반단순인 공간)을 분류하고 이들 중 어떤 것이 기약적인지 결정하도록 동기를 부여했다. $\mathfrak g$ 가 단순하더라도 G/H는 기약적이지 않을 수 있다.

리만 경우와 마찬가지로 G = H × H인 반단순 대칭 공간이 있다. 모든 반단순 대칭 공간은 $\mathfrak g$ 가 단순한 대칭 공간과 이러한 형태의 대칭 공간의 곱이다. $\mathfrak g^c$ 가 단순하지 않으면 $\mathfrak g$ 는 복소 단순 리 대수이며, 해당 대칭 공간은 G/H 형식을 갖는다. 여기서 H는 G의 실수 형태이다. 이는 복소 단순 리 군 G와 K가 최대 컴팩트 부분군인 리만 대칭 공간 G/K의 유사이다.

$\mathfrak g^c$ 가 단순하다고 가정하면, 실수 부분 대수 $\mathfrak g$ 는 $\mathfrak g^c$ 의 복소 반선형 대합 τ의 고정점 집합으로 볼 수 있으며, σ는 τ와 교환하는 $\mathfrak g^c$ 의 복소 반선형 대합으로 확장되므로 복소 선형 대합 σ∘τ도 확장된다.

따라서 분류는 복소 리 대수의 반선형 대합의 교환 쌍 분류로 축소된다. 복합 σ∘τ는 복소 대칭 공간을 결정하고, τ는 실수 형태를 결정한다. 이를 통해 주어진 $\mathfrak g^c$ 에 대한 대칭 공간 표를 쉽게 구성할 수 있으며, σ와 τ를 교환하여 제공되는 명백한 이중성이 있다. 이것은 σ 또는 τ가 카르탕 대합인 리만 경우에서 컴팩트/비컴팩트 이중성을 확장한다.

다음 표는 각 고전적이고 예외적인 복소 단순 리 군에 대한 복소 대칭 공간과 실수 형식을 기준으로 실수 대칭 공간을 색인화한다.

👆

좌우로 밀어서 보기

G^c = SL(n,C)	G^c/SO(n,C)	G^c/S(GL(k,C)×GL(ℓ,C)), k + ℓ = n	G^c/Sp(n,C), n 짝수
G = SL(n,R)	G/SO(k,l)	G/S(GL(k,R)×GL(l,R)) 또는 G/GL(n/2,C), n 짝수	G/Sp(n,R), n 짝수
G = SU(p,q), p + q = n	G/SO(p,q) 또는 SU(p,p)/Sk(p,H)	G/S(U(k_p,k_q)×U(l_p,l_q)) 또는 SU(p,p)/GL(p,C)	G/Sp(p/2,q/2), p,q 짝수 또는 SU(p,p)/Sp(2p,R)
G = SL(n/2,H), n 짝수	G/Sk(n/2,H)	G/S(GL(k/2,H)×GL(ℓ/2,H)), k,ℓ 짝수 또는 G/GL(n/2,C)	G/Sp(k/2,ℓ/2), k,ℓ 짝수, k + ℓ = n

👆

좌우로 밀어서 보기

G^c=SO(n,C)	G^c/SO(k,C)×SO(ℓ,C), k + ℓ = n	G^c/GL(n/2,C), n 짝수
G=SO(p,q)	G/SO(k_p,k_q)×SO(ℓ_p,l_q) 또는 SO(n,n)/SO(n,C)	G/U(p/2,q/2), p,q 짝수 또는 SO(n,n)/GL(n,R)
G = Sk(n/2,H), n 짝수	G/Sk(k/2,ℓ/2), k,ℓ 짝수 또는 G/SO(n/2,C)	G/U(k/2,ℓ/2), k,ℓ 짝수 또는 G/SL(n/4,H)

👆

좌우로 밀어서 보기

G^c = Sp(2n,C)	G^c/Sp(2k,C)×Sp(2ℓ,C), k + ℓ = n	G^c/GL(n,C)
G = Sp(p,q), p + q = n	G/Sp(k_p,k_q)×Sp(ℓ_p,ℓ_q) 또는 Sp(n,n)/Sp(n,C)	G/U(p,q) 또는 Sp(p,p)/GL(p,H)
G = Sp(2n,R)	G/Sp(2k,R)×Sp(2l,R) 또는 G/Sp(n,C)	G/U(k,ℓ), k + ℓ = n 또는 G/GL(n,R)

예외적인 단순 리 군의 경우, 리만 다양체는 아래에 명시되어 있으며, 여기서 σ는 항등 대합이다.

👆

좌우로 밀어서 보기

G₂^c	–	G₂^c/SL(2,C)× SL(2,C)
G₂	–	G₂/SU(2)×SU(2)
G₂₍₂₎	G₂₍₂₎/SU(2)×SU(2)	G₂₍₂₎/SL(2,R)× SL(2,R)

👆

좌우로 밀어서 보기

F₄^c	–	F₄^c/Sp(6,C)×Sp(2,C)	F₄^c/SO(9,C)
F₄	–	F₄/Sp(3)×Sp(1)	F₄/SO(9)
F₄₍₄₎	F₄₍₄₎/Sp(3)×Sp(1)	F₄₍₄₎/Sp(6,R)×Sp(2,R) 또는 F₄₍₄₎/Sp(2,1)×Sp(1)	F₄₍₄₎/SO(5,4)
F₄₍₋₂₀₎	F₄₍₋₂₀₎/SO(9)	F₄₍₋₂₀₎/Sp(2,1)×Sp(1)	F₄₍₋₂₀₎/SO(8,1)

👆

좌우로 밀어서 보기

E₆^c	–	E₆^c/Sp(8,C)	E₆^c/SL(6,C)×SL(2,C)	E₆^c/SO(10,C)×SO(2,C)	E₆^c/F₄^c
E₆	–	E₆/Sp(4)	E₆/SU(6)×SU(2)	E₆/SO(10)×SO(2)	E₆/F₄
E₆₍₆₎	E₆₍₆₎/Sp(4)	E₆₍₆₎/Sp(2,2) 또는 E₆₍₆₎/Sp(8,R)	E₆₍₆₎/SL(6,R)×SL(2,R) 또는 E₆₍₆₎/SL(3,H)×SU(2)	E₆₍₆₎/SO(5,5)×SO(1,1)	E₆₍₆₎/F₄₍₄₎
E₆₍₂₎	E₆₍₂₎/SU(6)×SU(2)	E₆₍₂₎/Sp(3,1) 또는 E₆₍₂₎/Sp(8,R)	E₆₍₂₎/SU(4,2)×SU(2) 또는 E₆₍₂₎/SU(3,3)×SL(2,R)	E₆₍₂₎/SO(6,4)×SO(2) 또는 E₆₍₂₎/Sk(5,H)×SO(2)	E₆₍₂₎/F₄₍₄₎
E₆₍₋₁₄₎	E₆₍₋₁₄₎/SO(10)×SO(2)	E₆₍₋₁₄₎/Sp(2,2)	E₆₍₋₁₄₎/SU(4,2)×SU(2) 또는 E₆₍₋₁₄₎/SU(5,1)×SL(2,R)	E₆₍₋₁₄₎/SO(8,2)×SO(2) 또는 Sk(5,H)×SO(2)	E₆₍₋₁₄₎/F₄₍₋₂₀₎
E₆₍₋₂₆₎	E₆₍₋₂₆₎/F₄	E₆₍₋₂₆₎/Sp(3,1)	E₆₍₋₂₆₎/SL(3,H)×Sp(1)	E₆₍₋₂₆₎/SO(9,1)×SO(1,1)	E₆₍₋₂₆₎/F₄₍₋₂₀₎

👆

좌우로 밀어서 보기

E₇^c	–	E₇^c/SL(8,C)	E₇^c/SO(12,C)×Sp(2,C)	E₇^c/E₆^c×SO(2,C)
E₇	–	E₇/SU(8)	E₇/SO(12)× Sp(1)	E₇/E₆× SO(2)
E₇₍₇₎	E₇₍₇₎/SU(8)	E₇₍₇₎/SU(4,4) 또는 E₇₍₇₎/SL(8,R) 또는 E₇₍₇₎/SL(4,H)	E₇₍₇₎/SO(6,6)×SL(2,R) 또는 E₇₍₇₎/Sk(6,H)×Sp(1)	E₇₍₇₎/E₆₍₆₎×SO(1,1) 또는 E₇₍₇₎/E₆₍₂₎×SO(2)
E₇₍₋₅₎	E₇₍₋₅₎/SO(12)× Sp(1)	E₇₍₋₅₎/SU(4,4) 또는 E₇₍₋₅₎/SU(6,2)	E₇₍₋₅₎/SO(8,4)×SU(2) 또는 E₇₍₋₅₎/Sk(6,H)×SL(2,R)	E₇₍₋₅₎/E₆₍₂₎×SO(2) 또는 E₇₍₋₅₎/E₆₍₋₁₄₎×SO(2)
E₇₍₋₂₅₎	E₇₍₋₂₅₎/E₆× SO(2)	E₇₍₋₂₅₎/SL(4,H) 또는 E₇₍₋₂₅₎/SU(6,2)	E₇₍₋₂₅₎/SO(10,2)×SL(2,R) 또는 E₇₍₋₂₅₎/Sk(6,H)×Sp(1)	E₇₍₋₂₅₎/E₆₍₋₁₄₎×SO(2) 또는 E₇₍₋₂₅₎/E₆₍₋₂₆₎×SO(1,1)

👆

좌우로 밀어서 보기

E₈^c	–	E₈^c/SO(16,C)	E₈^c/E₇^c×Sp(2,C)
E₈	–	E₈/SO(16)	E₈/E₇×Sp(1)
E₈₍₈₎	E₈₍₈₎/SO(16)	E₈₍₈₎/SO(8,8) 또는 E₈₍₈₎/Sk(8,H)	E₈₍₈₎/E₇₍₇₎×SL(2,R) 또는 E₈₍₈₎/E₇₍₋₅₎×SU(2)
E₈₍₋₂₄₎	E₈₍₋₂₄₎/E₇×Sp(1)	E₈₍₋₂₄₎/SO(12,4) 또는 E₈₍₋₂₄₎/Sk(8,H)	E₈₍₋₂₄₎/E₇₍₋₅₎×SU(2) 또는 E₈₍₋₂₄₎/E₇₍₋₂₅₎×SL(2,R)

6. 약대칭 리만 공간

1950년대에 아틀 셀버그는 카르탄의 대칭 공간 정의를 확장하여 약대칭 리만 공간, 즉 약대칭 공간을 정의하였다. 이는 리만 다양체 M에 대해 정의되며, 특정 조건을 만족하는 등거리 변환들이 존재한다. 셀버그는 약대칭 공간이 겔판트 쌍을 생성하며, 유니타리 표현이 중복성이 없음을 증명했다. 또한, 측지 대칭의 일반화를 통해서도 약대칭 공간을 정의할 수 있다. s가 X에 의존하지 않으면 M은 대칭 공간이 된다.

세미 심플 리 대수의 주기적 자기 동형 사상의 분류를 기반으로 하는 아키에저와 빈베르크의 약대칭 공간에 대한 설명과 분류는 에 제시되어 있다.

6.1. 셀버그의 정의

1950년대에 아틀 셀버그는 카르탄의 대칭 공간 정의를 약대칭 리만 공간, 또는 현재 용어로는 약대칭 공간으로 확장했다. 이는 리만 다양체 M에 대해 정의되며, 등거리 변환의 전이 연결 리 군 G와 G를 정규화하는 등거리 변환 σ가 존재하여 M의 x, y에 대해 sx = σy이고 sy = σx인 G의 등거리 변환 s가 존재한다. (σ²가 G의 원소여야 한다는 셀버그의 가정은 나중에 에르네스트 빈베르크에 의해 불필요한 것으로 밝혀졌다.) 셀버그는 약대칭 공간이 겔판트 쌍을 생성하여, 특히 G의 L²(M)에 대한 유니타리 표현이 중복성이 없음을 증명했다.

셀버그의 정의는 측지 대칭의 일반화 측면에서도 동등하게 표현될 수 있다. M의 모든 점 x와 x에서의 접선 벡터 X에 대해 다음 조건을 만족하는, x와 X에 의존하는 M의 등거리 변환 s가 존재해야 한다.
* s는 x를 고정한다.
* s의 x에서의 미분은 X를 −X로 보낸다.

s가 X에 의존하지 않을 때, M은 대칭 공간이다.

7. 성질 (Properties)

리만 다양체 M 위의 계량 텐서는 킬링 형식과 결합하여 G 위의 스칼라 곱으로 올릴 수 있다. 접선 공간 $\mathfrak{m}$ 은 킬링 형식에 의해 분류된 고유 공간으로 더 분해될 수 있다.

7.1. 계량 텐서의 올림

리만 다양체 M 위의 계량 텐서는 이를 킬링 형식과 결합하여 G 위의 스칼라 곱으로 올릴 수 있다. 이는 다음과 같이 정의된다.

: $\langle X,Y\rangle_\mathfrak{g}=\begin{cases}\langle X,Y\rangle_p \quad & X,Y\in T_pM\cong \mathfrak{m} \\-B(X,Y) \quad & X,Y\in \mathfrak{h} \\0 & \mbox{otherwise}\end{cases}$

여기서, $\langle\cdot,\cdot\rangle_p$ 는 $T_pM$ 위에 정의된 리만 계량이고, $B(X,Y)=\operatorname{trace} ( \operatorname{ad} X \circ \operatorname{ad} Y)$ 는 킬링 형식이다. 킬링 형식이 $\mathfrak{h}$ 위에서 음의 정부호이므로 음수 부호가 나타난다. 이는 $\langle \cdot,\cdot\rangle_\mathfrak{g}$ 를 양의 정부호로 만든다.

7.2. 분해 (Factorization)

접선 공간 $\mathfrak{m}$ 은 킬링 형식에 의해 분류된 고유 공간으로 더 분해될 수 있다. 이는 $Y\mapsto Y^\#$ 를 취하는 수반 사상 $\mathfrak{m}\to\mathfrak{m}$ 을 정의하여 수행된다.

: $\langle X,Y^\# \rangle = B(X,Y)$

여기서 $\langle \cdot,\cdot \rangle$ 는 $\mathfrak{m}$ 에 대한 리만 계량이고, $B(\cdot,\cdot)$ 는 킬링 형식이다. 이 사상은 때때로 '일반화된 전치'라고 불리는데, 이는 직교군에 대한 전치와 유니타리군에 대한 에르미트 켤레에 해당하기 때문이다. 이것은 선형 범함수이고 자기 수반적이므로, 다음과 같은 정규 직교 기저 $Y_1,\ldots,Y_n$ 이 존재한다는 결론을 내릴 수 있다.

: $Y^\#_i=\lambda_iY_i$

이들은 계량에 대해 직교하며,

: $\langle Y^\#_i,Y_j \rangle = \lambda_i \langle Y_i,Y_j \rangle = B(Y_i,Y_j) = \langle Y^\#_j,Y_i \rangle = \lambda_j \langle Y_j,Y_i \rangle$

킬링 형식이 대칭이기 때문이다. 이것은 $\mathfrak{m}$ 을 고유 공간으로 분해한다.

: $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_1\oplus\cdots\oplus\mathfrak{m}_d$

이며

: $[\mathfrak{m}_i,\mathfrak{m}_j]=0$

$i\ne j$ 인 경우이다. $\mathfrak{g}$ 가 반단순이어서 킬링 형식이 비퇴화인 경우, 계량 역시 다음과 같이 분해된다.

: $\langle\cdot,\cdot\rangle=\frac{1}{\lambda_1}\left.B\right|_{\mathfrak{m}_1}+\cdots +\frac{1}{\lambda_d}\left.B\right|_{\mathfrak{m}_d}$

특정 실제 응용 분야에서 이 분해는 연산자의 스펙트럼, 예 수소 원자의 스펙트럼으로 해석될 수 있으며, 킬링 형식의 고유값은 궤도의 각운동량의 서로 다른 값에 해당한다(즉, 킬링 형식은 서로 다른 궤도가 변환되는 서로 다른 표현을 분류할 수 있는 카시미르 연산자이다).

8. 응용 및 특수 경우

에르미트 다양체이면서 동시에 켈러 다양체를 이루는 대칭 공간을 에르미트 대칭 공간이라고 한다. 일반적인 리만 계량을 갖는 복소 벡터 공간과 복소 사영 공간이 그 예이다. 복소 단위 구 또한 적절한 계량을 통해 완전하고 리만 대칭 공간이 될 수 있다.

기약 대칭 공간 G/K가 에르미트 공간이 되려면 K는 중심 원을 포함해야 한다. 에르미트 대칭 공간은 AIII, BDI, DIII, CI 네 가지 무한 수열과 EIII, EVII 두 가지 예외적인 공간으로 분류할 수 있다. 비콤팩트 에르미트 대칭 공간은 복소 벡터 공간의 유계 대칭 영역으로 나타낼 수 있다.

사원수-켈러 대칭 공간은 각 지점에서 허수 사원수와 동형인 End(TM)의 평행 부분다발을 갖추고 리만 계량과 호환되는 리만 대칭 공간을 말한다. 기약 대칭 공간 G/K가 사원수-켈러 대칭 공간이 되기 위해서는 K의 등방 표현이 단위 사원수처럼 사원수 벡터 공간에서 작용하는 Sp(1) 성분을 포함해야 한다. 콤팩트 및 비콤팩트 경우 모두에서 각 복소 단순 리 군에 대해 정확히 하나씩 존재하며, 그 목록은 다음과 같다.

* AI with p=2 or q=2 (이들은 동형)
* BDI with p=4 or q=4
* CII with p=1 or q=1
* EII, EVI, EIX, FI 및 G

보트 주기성 정리에서 안정 직교군의 루프 공간은 환원 가능 대칭 공간으로 해석될 수 있다.

8.1. 대칭 공간과 홀로노미

어떤 점에서 리만 다양체의 홀로노미 군의 항등 요소가 접 공간에서 기약적으로 작용하면, 다양체는 국소적으로 리만 대칭 공간이거나 7개의 부류 중 하나에 속한다.

8.2. 에르미트 대칭 공간

에르미트 다양체인 대칭 공간은 항상 자동적으로 켈러 다양체를 이루며, 이를 에르미트 대칭 공간이라고 한다.

리만 계량을 갖는 대칭 공간에, 추가적으로 리만 계량과 호환되는 평행 복소 구조가 부여된 경우를 에르미트 대칭 공간이라고 한다. 몇 가지 예로는 복소 벡터 공간과 복소 사영 공간이 있으며, 둘 다 일반적인 리만 계량을 갖는다. 또한, 복소 단위 구는 완전하고 리만 대칭 공간이 되도록 적절한 계량을 갖는다.

기약 대칭 공간 G/K가 에르미트 공간이 되려면, K가 중심 원을 포함해야 한다. 이 원에 의한 4분의 1 회전은 항등 코셋에서의 접공간에 i를 곱하는 것과 같다. 따라서, 에르미트 대칭 공간은 분류에서 쉽게 읽을 수 있다. 콤팩트 및 비콤팩트 경우 모두에서, AIII, BDI, DIII, CI의 네 가지 무한 수열과 EIII 및 EVII의 두 가지 예외적인 공간이 존재한다. 비콤팩트 에르미트 대칭 공간은 복소 벡터 공간의 유계 대칭 영역으로 실현될 수 있다.

8.3. 사원수-켈러 대칭 공간

추가적으로 각 지점에서 허수 사원수와 동형인 End(TM)의 평행 부분다발을 갖추고 리만 계량과 호환되는 리만 대칭 공간을 사원수-켈러 대칭 공간이라고 한다.

기약 대칭 공간 G/K가 사원수-켈러 대칭 공간일 필요충분조건은 K의 등방 표현이 단위 사원수처럼 사원수 벡터 공간에서 작용하는 Sp(1) 성분을 포함하는 것이다. 따라서 사원수-켈러 대칭 공간은 분류에서 쉽게 읽을 수 있다. 콤팩트 및 비콤팩트 경우 모두에서 각 복소 단순 리 군에 대해 정확히 하나씩 존재하며, 그 목록은 다음과 같다.

* AI with p=2 or q=2 (이들은 동형)
* BDI with p=4 or q=4
* CII with p=1 or q=1
* EII, EVI, EIX, FI 및 G

8.4. 보트 주기성 정리

보트 주기성 정리에서, 안정 직교군의 루프 공간은 환원 가능 대칭 공간으로 해석될 수 있다.

9. 예

초구와 유클리드 공간, 쌍곡 공간은 모두 대칭 공간이다. 초구는 다음과 같이 표현된다.
: $\mathbb S^n = \operatorname{SO}(n+1)/\operatorname{SO}(n)$
이는 BD_I의 특별한 경우이다. 유클리드 공간은 다음과 같다.
: $\mathbb R^n = \operatorname{ISO}(n)/\operatorname{SO}(n)$
쌍곡 공간은 다음과 같이 표현된다.
: $\mathbb H^n = \operatorname{SO}(n,1) / \operatorname{SO}(n)$

더 시터르 공간과 반 더 시터르 공간은 준리만 대칭 공간이다. 표준 리만 계량을 갖는 유클리드 공간, 구, 사영 공간, 쌍곡 공간은 리만 대칭 공간의 기본적인 예시이다.

1보다 큰 종수를 갖는 모든 콤팩트 리만 곡면(상수 곡률 −1의 일반적인 계량)은 국소 대칭 공간이지만 대칭 공간은 아니다.

모든 렌즈 공간은 국소 대칭이지만 대칭은 아니며, $L(2,1)$ 은 대칭이다. 렌즈 공간은 고정점이 없는 이산 등거리 변환에 의한 3차원 구의 몫이다.