6차원 초구

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1. 개요

6차원 초구는 7차원 유클리드 공간 내 단위 노름의 벡터로 구성된 매끄러운 다양체이며, 표준적인 리만 계량을 가진다. 이는 대칭 공간 SO(7) / SO(6) 및 G₂/SU(3)으로 표현될 수 있으며, 순허수 팔원수 중 절댓값이 1인 것들의 공간으로도 간주할 수 있다. 6차원 초구는 SU(3)의 작용으로 개복소다양체를 이루지만, 복소다양체는 아니다. 또한, 6차원 초구는 특정 호모토피 군을 가지며, 1955년 후카미 데쓰조와 이시하라 시게루에 의해 G₂/SU(3)이며 개복소다양체임이 증명되었다.

6차원 초구

개요

차원	6차원
공간	유클리드 공간
종류	초구

기하학적 속성

표면적 공식	'A = (16π^3 * r^6) / 15'
부피 공식	'V = (π^3 * r^7) / 10'
대칭군	O(7)
쌍대군	자기 쌍대

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 대칭 공간 표현
- 2.2. 팔원수를 이용한 표현
3. 성질
- 3.1. 개복소구조
- 3.2. 호모토피 군
4. 역사

2. 정의

6차원 초구는 7차원 유클리드 공간에서 단위 노름을 갖는 벡터들로 구성된 매끄러운 다양체이다. 6차원 초구에는 표준적인 리만 계량이 존재한다.

2.1. 대칭 공간 표현

6차원 초구는 다음과 같이 대칭 공간을 이룬다.

: $\mathbb S^6 \cong \operatorname{SO}(7) / \operatorname{SO}(6)$
: $\mathbb S^6 \cong G_2/\operatorname{SU}(3)$

6차원 초구는 또한 순허수 팔원수 가운데 절댓값이 1인 것들의 공간으로 여길 수 있다.
: $\mathbb S^6 \cong \{x\in\mathbb O\colon \bar x = -x,\;|x|=1\}$

2.2. 팔원수를 이용한 표현

6차원 초구는 순허수 팔원수 가운데 절댓값이 1인 것들의 공간으로 여길 수 있다.

: $\mathbb S^6 \cong \{x\in\mathbb O\colon \bar x = -x,\;|x|=1\}$

3. 성질

6차원 초구는 SU(3)의 작용으로 표준적인 개복소다양체를 이룬다. 그러나 네이엔하위스 텐서장이 0이 아니어서 복소다양체는 아니다. 6차원 초구가 복소다양체를 이룰 수 있는지는 현재 (2019년) 유명한 미해결 난제이다.

6차원 초구의 15차 이하의 호모토피 군 가운데 자명군이 아닌 것은 다음과 같다. 여기서 $\operatorname{Cyc}(k)$ 는 $k$ 차 순환군이다.

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좌우로 밀어서 보기

차수	호모토피 군
6	$\pi_6(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(\infty)$
7	$\pi_7(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(2)$
8	$\pi_8(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(2)$
9	$\pi_9(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(24)$
11	$\pi_{11}(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(\infty)$
12	$\pi_{12}(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(2)$
13	$\pi_{13}(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(60)$
14	$\pi_{14}(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(24)\oplus\operatorname{Cyc}(2)$
15	$\pi_{15}(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)$

3.1. 개복소구조

SU(3)의 작용으로 인해, 6차원 초구는 표준적으로 개복소다양체를 이룬다. 즉, 대칭 공간 $\mathbb S^6 \cong G_2/\operatorname{SU}(3)$ 에 의하여, 임의의 점 $x\in \mathbb S^6$ 에서 포함 관계 $\operatorname{SU}(3) \hookrightarrow \operatorname{SO}(\mathrm T_x\mathbb S^6) \cong \operatorname{SO}(6)$ 가 존재하며, 이는 각 접공간 위에 복소수 내적 공간의 구조를 정의한다. 그러나 이 경우 네이엔하위스 텐서장이 0이 아니어서 이는 복소다양체가 아니다.

팔원수로서, 점 $x \in \mathbb O$ 에서의 접다발은 순허수 팔원수 가운데 $x$ 와 수직인 것의 공간이다. 이 경우 개복소구조는 $x$ 에 의한 곱셈에 해당한다.

6차원 초구가 복소다양체를 이룰 수 있는지 여부는 현재 (2019년) 유명한 미해결 난제이다.

3.2. 호모토피 군

6차원 초구의 15차 이하의 호모토피 군 가운데 자명군이 아닌 것은 다음과 같다.

: $\pi_6(\mathbb S^6) \cong \pi_{11}(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(\infty)$
: $\pi_7(\mathbb S^6) \cong \pi_8(\mathbb S^6) \cong \pi_{12}(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(2)$
: $\pi_9(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(24)$
: $\pi_{13}(\mathbb S^7) \cong\operatorname{Cyc}(60)$
: $\pi_{14}(\mathbb S^7) \cong \operatorname{Cyc}(24)\oplus\operatorname{Cyc}(2)$
: $\pi_{15}(\mathbb S^7) \cong \operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)$

여기서 $\operatorname{Cyc}(k)$ 는 $k$ 차 순환군이다.

4. 역사

1955년에 후카미 데쓰조(深見哲造^일본어)와 이시하라 시게루(石原繁^일본어)가 6차원 초구가 G₂/SU(3)이며, 개복소다양체를 이룬다는 것을 증명하였다.