F 분포

\sim \operatorname{F}(2,2) 이다.
* $X\backslash sim\; F(n,m)$이면, $\backslash tfrac\{\backslash log\{X\}\}\{2\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{FisherZ\}(n,m)$(피셔의 z-분포)이다.
* 비중심 F-분포는 $\backslash lambda=0$이면 F-분포로 단순화된다.
* 이중 비중심 F-분포는 $\backslash lambda\_1\; =\; \backslash lambda\_2\; =\; 0$이면 F-분포로 단순화된다.
* $\backslash operatorname\{Q\}\_X(p)$가 $X\backslash sim\; F(d\_1,d\_2)$에 대한 분위수 p이고 $\backslash operatorname\{Q\}\_Y(1-p)$가 $Y\backslash sim\; F(d\_2,d\_1)$에 대한 분위수 $1-p$이면, $\backslash operatorname\{Q\}\_X(p)=\backslash frac\{1\}\{\backslash operatorname\{Q\}\_Y(1-p)\}$이다.
* F-분포는 비율 분포의 예시이다.
* W-분포는 F-분포의 고유한 매개변수화이다.

4.1. 카이제곱 분포와의 관계

F 분포는 분산 분석에서 사용될 수 있는데, 예를 들어 $U\_1$과 $U\_2$(위에서 정의됨)의 독립성은 코크란의 정리를 적용하여 입증할 수 있다.

카이제곱 분포는 독립적인 표준 정규 분포 확률 변수의 제곱 합이므로, F 분포의 확률 변수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$X\; =\; \backslash frac\{s\_1^2\}\{\backslash sigma\_1^2\}\; \backslash div\; \backslash frac\{s\_2^2\}\{\backslash sigma\_2^2\},$

여기서 $s\_1^2\; =\; \backslash frac\{S\_1^2\}\{d\_1\}$과 $s\_2^2\; =\; \backslash frac\{S\_2^2\}\{d\_2\}$이고, $S\_1^2$은 정규 분포 $N(0,\backslash sigma\_1^2)$에서 $d\_1$개의 확률 변수의 제곱 합이며, $S\_2^2$는 정규 분포 $N(0,\backslash sigma\_2^2)$에서 $d\_2$개의 확률 변수의 제곱 합이다.

빈도주의 맥락에서, 스케일링된 F 분포는 확률 $p(s\_1^2/s\_2^2\; \backslash mid\; \backslash sigma\_1^2,\; \backslash sigma\_2^2)$을 제공하며, F 분포 자체는 $\backslash sigma\_1^2$이 $\backslash sigma\_2^2$와 같다고 가정되는 경우에 적용된다. 이것이 F 분포가 F-검정에서 가장 일반적으로 나타나는 맥락이다. 즉, 귀무 가설이 두 개의 독립적인 정규 분산이 같다는 것이고, 적절하게 선택된 제곱의 관측된 합의 비율이 이 귀무 가설과 유의하게 일치하지 않는지 검사하는 것이다.

$X$는 베이즈 통계에서, 비정보적이고 스케일링 불변인 제프리스 사전 확률이 $\backslash sigma\_1^2$과 $\backslash sigma\_2^2$의 사전 확률에 대해 취해지는 경우 동일한 분포를 갖는다. 이 맥락에서, 스케일링된 F 분포는 관측된 합 $s^2\_1$과 $s^2\_2$가 알려진 것으로 간주되는 경우 사후 확률 $p(\backslash sigma^2\_2\; /\backslash sigma\_1^2\; \backslash mid\; s^2\_1,\; s^2\_2)$을 제공한다.

4.2. 일반적인 관계

* $X\; \backslash sim\; \backslash chi^2\_\{d\_1\}$이고 $Y\; \backslash sim\; \backslash chi^2\_\{d\_2\}$ (카이 제곱 분포)가 독립이면, $\backslash frac\{X\; /\; d\_1\}\{Y\; /\; d\_2\}\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{F\}(d\_1,\; d\_2)$이다.
* $X\_k\; \backslash sim\; \backslash Gamma(\backslash alpha\_k,\backslash beta\_k)\backslash ,$ (감마 분포)가 독립이면, $\backslash frac\{\backslash alpha\_2\backslash beta\_1\; X\_1\}\{\backslash alpha\_1\backslash beta\_2\; X\_2\}\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{F\}(2\backslash alpha\_1,\; 2\backslash alpha\_2)$이다.
* $X\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{Beta\}(d\_1/2,d\_2/2)$ (베타 분포)이면, $\backslash frac\{d\_2\; X\}\{d\_1(1-X)\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{F\}(d\_1,d\_2)$이다.
* 만약 $X\; \backslash sim\; F(d\_1,\; d\_2)$이면, $\backslash frac\{d\_1\; X/d\_2\}\{1+d\_1\; X/d\_2\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{Beta\}(d\_1/2,d\_2/2)$이다.
* $X\; \backslash sim\; F(d\_1,\; d\_2)$이면, $\backslash frac\{d\_1\}\{d\_2\}X$는 베타 소수 분포를 가지며, $\backslash frac\{d\_1\}\{d\_2\}X\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{\backslash beta^\backslash prime\}\backslash left(\backslash tfrac\{d\_1\}\{2\},\backslash tfrac\{d\_2\}\{2\}\backslash right)$이다.
* $X\; \backslash sim\; F(d\_1,\; d\_2)$이면, $Y\; =\; \backslash lim\_\{d\_2\; \backslash to\; \backslash infty\}\; d\_1\; X$는 카이 제곱 분포 $\backslash chi^2\_\{d\_1\}$를 가진다.
* $F(d\_1,\; d\_2)$는 스케일링된 호텔링의 T 제곱 분포 $\backslash frac\{d\_2\}\{d\_1(d\_1+d\_2-1)\}\; \backslash operatorname\{T\}^2\; (d\_1,\; d\_1\; +d\_2-1)$와 동일하다.
* $X\; \backslash sim\; F(d\_1,\; d\_2)$이면, $X^\{-1\}\; \backslash sim\; F(d\_2,\; d\_1)$이다.
* $X\backslash sim\; t\_\{(n)\}$ (스튜던트 t-분포)이면, $X^\{2\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{F\}(1,\; n)$ 이고 $X^\{-2\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{F\}(n,\; 1)$이다.
* F-분포는 유형 6 피어슨 분포의 특수한 경우이다.
* $X$와 $Y$가 독립이고, $X,Y\backslash sim$ 라플라스(μ, b)이면, $\backslash frac$

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📌 열 고정 해제

\sim \operatorname{F}(2,2) 이다.
* $X\backslash sim\; F(n,m)$이면, $\backslash tfrac\{\backslash log\{X\}\}\{2\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{FisherZ\}(n,m)$ (피셔의 z-분포)이다.
* 비중심 F-분포는 $\backslash lambda=0$이면 F-분포로 단순화된다.
* 이중 비중심 F-분포는 $\backslash lambda\_1\; =\; \backslash lambda\_2\; =\; 0$이면 F-분포로 단순화된다.
* $\backslash operatorname\{Q\}\_X(p)$가 $X\backslash sim\; F(d\_1,d\_2)$에 대한 분위수 p이고 $\backslash operatorname\{Q\}\_Y(1-p)$가 $Y\backslash sim\; F(d\_2,d\_1)$에 대한 분위수 $1-p$이면, $\backslash operatorname\{Q\}\_X(p)=\backslash frac\{1\}\{\backslash operatorname\{Q\}\_Y(1-p)\}$이다.
* F-분포는 비율 분포의 예시이다.
* W-분포는 F-분포의 고유한 매개변수화이다.

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