F 분포

3. 성질

F(''d''₁, ''d''₂) 분포에 대한 기댓값, 분산 및 기타 세부 정보는 사이드 박스에 제공되어 있다. ''d''₂ > 8인 경우, 초과 첨도는 다음과 같다.

:$\backslash gamma\_2\; =\; 12\backslash frac\{d\_1(5d\_2-22)(d\_1+d\_2-2)+(d\_2-4)(d\_2-2)^2\}\{d\_1(d\_2-6)(d\_2-8)(d\_1+d\_2-2)\}.$

F(''d''₁, ''d''₂) 분포의 ''k''차 모멘트는 2''k'' < ''d''₂일 때만 존재하고 유한하며, 다음과 같다.^[6]

:$\backslash mu\; \_X(k)\; =\backslash left(\; \backslash frac\{d\_2\}\{d\_1\}\backslash right)^k\; \backslash frac\{\backslash Gamma\; \backslash left(\backslash tfrac\{d\_1\}\{2\}+k\backslash right)\; \}\{\backslash Gamma\; \backslash left(\backslash tfrac\{d\_1\}\{2\}\backslash right)\}\; \backslash frac\{\backslash Gamma\; \backslash left(\backslash tfrac\{d\_2\}\{2\}-k\backslash right)\; \}\{\backslash Gamma\; \backslash left(\; \backslash tfrac\{d\_2\}\{2\}\backslash right)\; \}.$

''F''-분포는 베타 소수 분포의 특정 매개변수화이며, 이는 제2종 베타 분포라고도 한다.

특성 함수는 많은 표준 참고 문헌에서 잘못 나열되어 있다.^[3] 올바른 식은 다음과 같다.^[7]

:$\backslash varphi^F\_\{d\_1,\; d\_2\}(s)\; =\; \backslash frac\{\backslash Gamma\backslash left(\backslash frac\{d\_1+d\_2\}\{2\}\backslash right)\}\{\backslash Gamma\backslash left(\backslash tfrac\{d\_2\}\{2\}\backslash right)\}\; U\; \backslash !\; \backslash left(\backslash frac\{d\_1\}\{2\},1-\backslash frac\{d\_2\}\{2\},-\backslash frac\{d\_2\}\{d\_1\}\; \backslash imath\; s\; \backslash right)$

여기서 ''U''(''a'', ''b'', ''z'')는 제2종 합류 초기하 함수이다.

4. 관련 분포

F 분포는 다음과 같은 다른 분포들과 관련이 있다.

• $X\; \backslash sim\; \backslash chi^2\_\{d\_1\}$(카이제곱 분포)이고 $Y\; \backslash sim\; \backslash chi^2\_\{d\_2\}$가 독립이면, $\backslash frac\{X\; /\; d\_1\}\{Y\; /\; d\_2\}\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{F\}(d\_1,\; d\_2)$이다.
• $X\_k\; \backslash sim\; \backslash Gamma(\backslash alpha\_k,\backslash beta\_k)\backslash ,$(감마 분포)가 독립이면, $\backslash frac\{\backslash alpha\_2\backslash beta\_1\; X\_1\}\{\backslash alpha\_1\backslash beta\_2\; X\_2\}\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{F\}(2\backslash alpha\_1,\; 2\backslash alpha\_2)$이다.
• $X\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{Beta\}(d\_1/2,d\_2/2)$(베타 분포)이면, $\backslash frac\{d\_2\; X\}\{d\_1(1-X)\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{F\}(d\_1,d\_2)$이다.
• $X\; \backslash sim\; F(d\_1,\; d\_2)$이면, $\backslash frac\{d\_1\; X/d\_2\}\{1+d\_1\; X/d\_2\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{Beta\}(d\_1/2,d\_2/2)$이다.
• $X\; \backslash sim\; F(d\_1,\; d\_2)$이면, $\backslash frac\{d\_1\}\{d\_2\}X$는 베타 소수 분포를 가지며, $\backslash frac\{d\_1\}\{d\_2\}X\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{\backslash beta^\backslash prime\}\backslash left(\backslash tfrac\{d\_1\}\{2\},\backslash tfrac\{d\_2\}\{2\}\backslash right)$이다.
• $X\; \backslash sim\; F(d\_1,\; d\_2)$일 때, $Y\; =\; \backslash lim\_\{d\_2\; \backslash to\; \backslash infty\}\; d\_1\; X$는 카이제곱 분포 $\backslash chi^2\_\{d\_1\}$를 가진다.
• $F(d\_1,\; d\_2)$는 스케일링된 호텔링의 T 제곱 분포 $\backslash frac\{d\_2\}\{d\_1(d\_1+d\_2-1)\}\; \backslash operatorname\{T\}^2\; (d\_1,\; d\_1\; +d\_2-1)$와 동일하다.
• $X\; \backslash sim\; F(d\_1,\; d\_2)$이면, $X^\{-1\}\; \backslash sim\; F(d\_2,\; d\_1)$이다.
• $X\backslash sim\; t\_\{(n)\}$(스튜던트 t-분포)이면, $X^\{2\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{F\}(1,\; n)$ 이고 $X^\{-2\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{F\}(n,\; 1)$이다.
• ''F''-분포는 유형 6 피어슨 분포의 특수한 경우이다.
• $X$와 $Y$가 독립이고, $X,Y\backslash sim$ 라플라스(''μ'', ''b'')이면, $\backslash frac$

  \sim \operatorname{F}(2,2) 이다.

  $X\backslash sim\; F(n,m)$이면, $\backslash tfrac\{\backslash log\{X\}\}\{2\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{FisherZ\}(n,m)$(피셔의 z-분포)이다.

  비중심 ''F''-분포는 $\backslash lambda=0$이면 ''F''-분포로 단순화된다.

  이중 비중심 ''F''-분포는 $\backslash lambda\_1\; =\; \backslash lambda\_2\; =\; 0$이면 ''F''-분포로 단순화된다.

  $\backslash operatorname\{Q\}\_X(p)$가 $X\backslash sim\; F(d\_1,d\_2)$에 대한 분위수 ''p''이고 $\backslash operatorname\{Q\}\_Y(1-p)$가 $Y\backslash sim\; F(d\_2,d\_1)$에 대한 분위수 $1-p$이면, $\backslash operatorname\{Q\}\_X(p)=\backslash frac\{1\}\{\backslash operatorname\{Q\}\_Y(1-p)\}$이다.

  ''F''-분포는 비율 분포의 예시이다.

  W-분포^[9]는 F-분포의 고유한 매개변수화이다.

  4. 1. 카이제곱 분포와의 관계

  F 분포는 분산 분석에서 사용될 수 있는데, 예를 들어 $U\_1$과 $U\_2$(위에서 정의됨)의 독립성은 코크란의 정리를 적용하여 입증할 수 있다.
  
  카이제곱 분포는 독립적인 표준 정규 분포 확률 변수의 제곱 합이므로, F 분포의 확률 변수는 다음과 같이 쓸 수 있다.
  
  :$X\; =\; \backslash frac\{s\_1^2\}\{\backslash sigma\_1^2\}\; \backslash div\; \backslash frac\{s\_2^2\}\{\backslash sigma\_2^2\},$
  
  여기서 $s\_1^2\; =\; \backslash frac\{S\_1^2\}\{d\_1\}$과 $s\_2^2\; =\; \backslash frac\{S\_2^2\}\{d\_2\}$이고, $S\_1^2$은 정규 분포 $N(0,\backslash sigma\_1^2)$에서 $d\_1$개의 확률 변수의 제곱 합이며, $S\_2^2$는 정규 분포 $N(0,\backslash sigma\_2^2)$에서 $d\_2$개의 확률 변수의 제곱 합이다.
  
  빈도주의 맥락에서, 스케일링된 F 분포는 확률 $p(s\_1^2/s\_2^2\; \backslash mid\; \backslash sigma\_1^2,\; \backslash sigma\_2^2)$을 제공하며, F 분포 자체는 $\backslash sigma\_1^2$이 $\backslash sigma\_2^2$와 같다고 가정되는 경우에 적용된다. 이것이 F 분포가 F-검정에서 가장 일반적으로 나타나는 맥락이다. 즉, 귀무 가설이 두 개의 독립적인 정규 분산이 같다는 것이고, 적절하게 선택된 제곱의 관측된 합의 비율이 이 귀무 가설과 유의하게 일치하지 않는지 검사하는 것이다.
  
  $X$는 베이즈 통계에서, 비정보적이고 스케일링 불변인 제프리스 사전 확률이 $\backslash sigma\_1^2$과 $\backslash sigma\_2^2$의 사전 확률에 대해 취해지는 경우 동일한 분포를 갖는다.^[8] 이 맥락에서, 스케일링된 F 분포는 관측된 합 $s^2\_1$과 $s^2\_2$가 알려진 것으로 간주되는 경우 사후 확률 $p(\backslash sigma^2\_2\; /\backslash sigma\_1^2\; \backslash mid\; s^2\_1,\; s^2\_2)$을 제공한다.
  

  4. 2. 일반적인 관계

  
  
  • $X\; \backslash sim\; \backslash chi^2\_\{d\_1\}$이고 $Y\; \backslash sim\; \backslash chi^2\_\{d\_2\}$ (카이 제곱 분포)가 독립이면, $\backslash frac\{X\; /\; d\_1\}\{Y\; /\; d\_2\}\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{F\}(d\_1,\; d\_2)$이다.
  • $X\_k\; \backslash sim\; \backslash Gamma(\backslash alpha\_k,\backslash beta\_k)\backslash ,$ (감마 분포)가 독립이면, $\backslash frac\{\backslash alpha\_2\backslash beta\_1\; X\_1\}\{\backslash alpha\_1\backslash beta\_2\; X\_2\}\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{F\}(2\backslash alpha\_1,\; 2\backslash alpha\_2)$이다.
  • $X\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{Beta\}(d\_1/2,d\_2/2)$ (베타 분포)이면, $\backslash frac\{d\_2\; X\}\{d\_1(1-X)\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{F\}(d\_1,d\_2)$이다.
  • 만약 $X\; \backslash sim\; F(d\_1,\; d\_2)$이면, $\backslash frac\{d\_1\; X/d\_2\}\{1+d\_1\; X/d\_2\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{Beta\}(d\_1/2,d\_2/2)$이다.
  • $X\; \backslash sim\; F(d\_1,\; d\_2)$이면, $\backslash frac\{d\_1\}\{d\_2\}X$는 베타 소수 분포를 가지며, $\backslash frac\{d\_1\}\{d\_2\}X\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{\backslash beta^\backslash prime\}\backslash left(\backslash tfrac\{d\_1\}\{2\},\backslash tfrac\{d\_2\}\{2\}\backslash right)$이다.
  • $X\; \backslash sim\; F(d\_1,\; d\_2)$이면, $Y\; =\; \backslash lim\_\{d\_2\; \backslash to\; \backslash infty\}\; d\_1\; X$는 카이 제곱 분포 $\backslash chi^2\_\{d\_1\}$를 가진다.
  • $F(d\_1,\; d\_2)$는 스케일링된 호텔링의 T 제곱 분포 $\backslash frac\{d\_2\}\{d\_1(d\_1+d\_2-1)\}\; \backslash operatorname\{T\}^2\; (d\_1,\; d\_1\; +d\_2-1)$와 동일하다.
  • $X\; \backslash sim\; F(d\_1,\; d\_2)$이면, $X^\{-1\}\; \backslash sim\; F(d\_2,\; d\_1)$이다.
  • $X\backslash sim\; t\_\{(n)\}$ (스튜던트 t-분포)이면, $X^\{2\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{F\}(1,\; n)$ 이고 $X^\{-2\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{F\}(n,\; 1)$이다.
  • ''F''-분포는 유형 6 피어슨 분포의 특수한 경우이다.
  • $X$와 $Y$가 독립이고, $X,Y\backslash sim$ 라플라스(''μ'', ''b'')이면, $\backslash frac$

  \sim \operatorname{F}(2,2) 이다.

  $X\backslash sim\; F(n,m)$이면, $\backslash tfrac\{\backslash log\{X\}\}\{2\}\; \backslash sim\; \backslash operatorname\{FisherZ\}(n,m)$ (피셔의 z-분포)이다.

  비중심 ''F''-분포는 $\backslash lambda=0$이면 ''F''-분포로 단순화된다.

  이중 비중심 ''F''-분포는 $\backslash lambda\_1\; =\; \backslash lambda\_2\; =\; 0$이면 ''F''-분포로 단순화된다.

  $\backslash operatorname\{Q\}\_X(p)$가 $X\backslash sim\; F(d\_1,d\_2)$에 대한 분위수 ''p''이고 $\backslash operatorname\{Q\}\_Y(1-p)$가 $Y\backslash sim\; F(d\_2,d\_1)$에 대한 분위수 $1-p$이면, $\backslash operatorname\{Q\}\_X(p)=\backslash frac\{1\}\{\backslash operatorname\{Q\}\_Y(1-p)\}$이다.

  ''F''-분포는 비율 분포의 예시이다.

  W-분포^[9]는 F-분포의 고유한 매개변수화이다.

  참조

  _[1] 논문 On the entropy of continuous probability distributions IEEE
  _[2] 서적 Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27) Wiley
  _[3] 간행물 Abramowitz Stegun ref
  _[4] 웹사이트 Engineering Statistics Handbook – F Distribution http://www.itl.nist.[...] NIST 2006
  _[5] 서적 Introduction to the Theory of Statistics McGraw-Hill
  _[6] 웹사이트 The F distribution http://www.statlect.[...]
  _[7] 뉴스 The true characteristic function of the F distribution
  _[8] 서적 Bayesian Inference in Statistical Analysis Addison-Wesley
  _[9] 논문 Probabilistic Approach to Multi-Stage Supplier Evaluation: Confidence Level Measurement in Ordinal Priority Approach 2022-10
  _[10] 논문 The Modified-Half-Normal distribution: Properties and an efficient sampling scheme https://figshare.com[...] 2021-06-22
  

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