Hom 함자

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1. 개요

Hom 함자는 범주론에서 사용되는 개념으로, 두 대상 사이의 사상들의 집합을 나타내는 함자이다. 구체적으로, Hom(A, B)는 대상 A에서 대상 B로 가는 모든 사상들의 집합을 의미하며, 이 함자는 공변 및 반변 함자 형태로 정의될 수 있다. Hom 함자는 요네다 보조정리와 내부 Hom 함자와 같은 중요한 개념과 연결되며, 범주의 내부 언어를 형성하는 데 기여한다. 또한, Hom 함자는 아벨 범주와 가군 범주에서 특정 성질을 가지며, 층, 여준층, 표현 가능 함자와 같은 개념과도 관련된다.

Hom 함자

일반 정보

유형	수학적 대상
분야	범주론

정의

정의	어떤 범주에서 다른 범주로 가는 함수

속성

속성	공변성 반변성

관련 개념	쌍대 함자

2. 공식적인 정의

국소적으로 작은 범주 C에 대해, Hom 함자는 C의 대상 A, B에 대하여 두 대상 사이의 모든 사상들의 집합을 나타낸다.

C의 모든 대상 A와 B에 대해, 다음과 같이 두 개의 집합의 범주로의 함자를 정의할 수 있다.

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좌우로 밀어서 보기

Hom(A, –) : C → Set	Hom(–, B) : C → Set
공변 함자	반변 함자

함자 Hom(–, B)는 대상 B의 점의 함자라고도 불린다.

Hom의 첫 번째 인수를 고정하면 공변 함자가, 두 번째 인수를 고정하면 반변 함자가 자연스럽게 생성된다.

함자 쌍 Hom(A, –)와 Hom(–, B)는 자연스러운 방식으로 관련된다. 임의의 사상 쌍 f : B → B′ 및 h : A′ → A에 대해 다음 가환도가 성립한다.

두 경로는 모두 g : A → B를 f∘g∘h : A′ → B′로 보낸다.

2.1. Hom(A, -) : C → Set

Hom(A, -)^영어는 C의 대상 A를 고정하고, 다른 대상 X로 가는 모든 사상들의 집합 Hom(A, X)^영어를 반환하는 공변 함자이다. 이 함자는 사상 f: X → Y를 Hom(A, X)^영어의 각 원소 g를 f와 g의 합성 사상 f∘g로 보낸다.

2.2. Hom(-, B) : C → Set

Hom(-, B) : C → Set는 다음과 같이 주어지는 반변 함자이다.
* Hom(-,B)는 C의 각 대상 X를 사상들의 집합 Hom(X,B)로 보낸다.
* Hom(-,B)는 각 사상 h:X→Y를 각 g∈Hom(Y,B)에 대해 $g \mapsto g \circ h$ 로 주어지는 함수 Hom(h, B):Hom(Y,B)→Hom(X, B)로 보낸다.

2.3. Hom(-, -) : C<sup>op</sup> × C → Set

Hom(-, -)는 첫 번째 인수에 대해 반변이고 두 번째 인수에 대해 공변인 쌍함자(bifunctor)이다. 이는 C의 반대 범주(opposite category) C^op를 사용하여 Hom(-, -) : C^op × C → Set으로 표현할 수 있다. 정의역을 형성하는 범주를 강조하기 위해 Hom(-, -)에 Hom_C(-, -) 표기법이 사용되는 경우가 있다.

3. 요네다 보조정리

모든 사상 $h:A'\rightarrow A$ 은 자연 변환 $\text{Hom}(h, -):\text{Hom}(A, -)\rightarrow \text{Hom}(A', -)$ 을 유도한다. 모든 사상 $f:B'\rightarrow B$ 은 자연 변환 $\text{Hom}(-, f):\text{Hom}(-, B)\rightarrow \text{Hom}(-, B')$ 을 유도한다. 요네다 보조정리는 $\text{Hom}$ 함자 사이의 모든 자연 변환이 이러한 형태임을 보여준다. 즉, $\text{Hom}$ 함자는 함자 범주 $\textbf{Set}^{C^{\text{op}}}$ (사용되는 $\text{Hom}$ 함자에 따라 공변 또는 반변)에 범주 $C$ 를 완전하고 충실하게 매장(embedding)한다.

4. 내부 Hom 함자

일부 범주에서는 Hom 함자처럼 동작하지만, 집합 범주(Set)가 아닌 원래 범주 C의 값을 가지는 함자가 있을 수 있다. 이러한 함자를 내부 Hom 함자라고 하며, 다음과 같이 표기한다.

* $\left[-\ -\right] : C^\text{op} \times C \to C$ (곱의 성질을 강조)
* $\mathop\Rightarrow : C^\text{op} \times C \to C$ (함자적 성질을 강조)
* $\operatorname{hom}(-, -) : C^\text{op} \times C \to C$ (소문자로 표기)

내부 Hom 함자를 갖는 범주를 닫힌 범주라고 한다. 닫힌 범주에서는 다음이 성립한다.

: $\operatorname{Hom}(I, \operatorname{hom}(-, -)) \simeq \operatorname{Hom}(-, -)$

여기서 I는 닫힌 범주의 단위 대상이다.

내부 Hom은 함께 연결될 때 범주의 내부 언어를 형성한다. 대표적인 예는 다음과 같다.

* 단순 유형 람다 계산: 데카르트 닫힌 범주의 내부 언어
* 선형 타입 시스템: 닫힌 대칭 모노이드 범주의 내부 언어

4.1. 닫힌 모노이드 범주

닫힌 모노이드 범주에서 내부 Hom 함자는 내부 곱 함자와 수반 관계를 갖는다. 즉, 다음이 성립한다.

: $\operatorname{Hom}(X, Y \Rightarrow Z) \simeq \operatorname{Hom}(X\otimes Y, Z)$

여기서 $\otimes$ 는 모노이드 범주를 정의하는 쌍함자인 내부 곱 함자이다. 이 동형 사상은 $X$ 와 $Z$ 모두에서 자연스럽다. 대상 $Y \Rightarrow Z$ 는 내부 Hom이라고 불린다. $\otimes$ 가 데카르트 곱 $\times$ 일 때, 대상 $Y \Rightarrow Z$ 는 지수 대상이라고 하며 종종 $Z^Y$ 로 나타낸다.

5. 내부 언어

내부 Hom은 함께 연결될 때 범주의 내부 언어를 형성한다. 이들 중 가장 유명한 것은 데카르트 닫힌 범주의 내부 언어인 단순 유형 람다 계산과 닫힌 대칭 모노이드 범주의 내부 언어인 선형 타입 시스템이다.

6. Hom 함자의 성질

Hom^영어 함자는 $\text{Hom}(-, A):C^{\text{op}}\rightarrow \textbf{Set}$ 는 준층(presheaf)이고, $\text{Hom}(A, -)$ 는 여준층(copresheaf)이다. 어떤 C의 A에 대해 $\text{Hom}(A, -)$ 와 자연 동형인 함자 $F:C\rightarrow \textbf{Set}$ 는 표현 가능 함자라고 한다. 마찬가지로, $\text{Hom}(-, A)$ 에 자연 동형인 반변 함자는 여표현 가능이라고 한다.

$\text{Hom}(-, -):C^{\text{op}}\times C\rightarrow \textbf{Set}$ 는 프로함자(profunctor)이며, 특히 항등 프로함자 $\operatorname{id}_C \colon C \nrightarrow C$ 이다.

내부 Hom 함자는 극한을 보존한다. 즉, $\operatorname{hom}(X, -) \colon C \to C$ 는 극한을 극한으로 보내는 반면, $\operatorname{hom}(-, X) \colon C^\text{op} \to C$ 는 $C^\text{op}$ 에서의 극한, 즉 $C$ 에서의 여극한(쌍대극한)을 극한으로 보낸다. 어떤 의미에서 이것은 극한 또는 여극한의 정의로 간주될 수 있다.

국소적으로 작은 범주 C의 모든 대상 A와 B에 대해, 다음과 같이 두 개의 집합의 범주로의 함자를 정의할 수 있다.

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좌우로 밀어서 보기

Hom(A, –) : C → Set	Hom(–, B) : C^op → Set
공변 함자 Hom(A, –)는 C의 각 대상 X를 사상의 집합 Hom(A, X)에 사상시키고, 각 사상 f : X → Y를 함수 Hom(A, f) : Hom(A, X) → Hom(A, Y) (각 g ∈ Hom(A, X)에 대해 $g \mapsto f \circ g$ )에 사상시킨다.	반변 함자 Hom(–, B)는 C의 각 대상 X를 사상의 집합 Hom(X, B)에 사상시키고, 각 사상 h : X → Y를 함수 Hom(h, B) : Hom(Y, B) → Hom(X, B) (각 g ∈ Hom(Y, B)에 대해 $g \mapsto g \circ h$ )에 사상시킨다.

함자 Hom(–, B)는 대상 B의 점의 함자라고도 불린다.

Hom의 첫 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 공변 함자가 생성되고, 두 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 반변 함자가 생성된다.

함자 쌍 Hom(A, –)와 Hom(–, B)는 자연스럽게 변환된다. 모든 사상 쌍 f : B → B′ 및 h : A′ → A에 대해 다음 가환도가 성립한다.

6.1. 아벨 범주에서의 Hom 함자

A가 아벨 범주이고 A가 A의 대상인 경우, Hom^영어_A(A, –)는 A에서 아벨 군의 범주 Ab로 가는 공변 왼쪽 완전 함자이다. Hom^영어_A(A, –)가 완전 함자인 것과 A가 사영 대상인 것은 필요충분 조건이다.

6.2. 가군 범주에서의 Hom 함자

환 R과 왼쪽 R-가군 M에 대해, 함자 Hom_R(M, -): Mod-R → Ab는 텐서곱 함자 - ⊗_R M : Ab → Mod-R의 오른쪽 수반 함자이다.