범주 (수학)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 작은 범주
- 2.2. 반대 범주
3. 예
4. 범주의 구성
5. 사상의 종류
6. 함자
7. 자연 변환
8. 범주의 종류
9. 고차 범주
10. 공간을 범주로 표현
11. 역사
참조

1. 개요

범주(Category)는 수학적 구조를 추상화하는 데 사용되는 개념으로, 대상(object)과 사상(morphism)으로 구성된다. 범주는 대상들의 모임과, 대상 간의 사상들의 모임, 사상의 합성 연산, 그리고 각 대상에 대한 항등 사상으로 정의된다. 이러한 구조는 결합 법칙과 항등원 조건을 만족해야 한다. 범주는 작은 범주, 국소적으로 작은 범주, 큰 범주 등으로 분류되며, 반대 범주와 같은 파생 개념도 존재한다. 범주는 집합과 함수, 군과 준동형 사상 등 다양한 수학적 구조를 포괄하며, 함자, 자연 변환과 같은 개념을 통해 범주 간의 관계를 설명한다. 아벨 범주, 완비 범주, 데카르트 닫힌 범주, 토포스와 같은 다양한 종류의 범주가 존재하며, 고차 범주로의 확장도 가능하다. 범주론은 1940년대에 대수적 위상수학에서 시작되었으며, 현재는 다양한 수학 분야와 컴퓨터 과학 분야에서 활용되고 있다.

더 읽어볼만한 페이지

범주론 - 작은 범주
그로텐디크 전체 $\mathcal{U}$ 가 주어졌을 때, $\mathcal{U}$ -작은 범주는 대상과 사상의 모임이 모두 $\mathcal{U}$ 의 원소인 범주를 의미하며, 이는 함자와 자연 변환과 함께 완비 범주이자 쌍대 완비 범주인 2-범주를 이룬다.
범주론 - 토포스
토포스는 유한 완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이며 부분 대상 분류자를 갖는 특정한 조건을 만족하는 범주로서, 일계 논리 또는 일계 정의가 있는 대상의 부분 대상 개념을 갖는 데카르트 닫힌 범주로 이해될 수 있고, 위상 공간의 일반화이자 집합론에 대한 범주론적 일반화로서 수학의 공리적 기초를 제공한다.

범주 (수학)
개요
분야	수학
하위 분야	추상대수학, 위상수학, 논리학
유형	수학적 구조
연구	대상과 사상의 모임, 사상의 합성, 대수 구조의 일반화
역사
기원	1940년대 초
창시자	사무엘 에일렌베르크, 손더스 맥레인
기본 개념
대상	범주에 속하는 개체
사상	대상 간의 관계를 나타내는 함수 또는 변환
합성	사상들을 연결하여 새로운 사상을 만드는 연산
항등 사상	각 대상을 자기 자신으로 보내는 특별한 사상
함자	범주 사이의 구조를 보존하는 사상
자연 변환	함자 사이의 관계를 나타내는 사상
응용
수학	대수학, 기하학, 위상수학, 해석학 등 다양한 분야의 구조 연구
컴퓨터 과학	프로그래밍 언어, 데이터베이스, 인공지능 등의 모델링 및 추론
물리학	양자역학, 끈 이론 등의 수학적 기초 제공
관련 개념
집합론	대상의 모임을 정의하는 기초 이론
군론	대수적 구조를 갖는 집합 연구
환론	덧셈과 곱셈이 정의된 대수적 구조 연구
모형 이론	형식 언어와 수학적 구조 사이의 관계 연구
범주의 종류
구체적 범주	대상이 집합이고 사상이 함수인 범주
추상적 범주	대상과 사상이 구체적으로 정의되지 않은 범주
작은 범주	대상과 사상의 모임이 집합인 범주
큰 범주	대상과 사상의 모임이 고유 모임인 범주
완비 범주	모든 극한이 존재하는 범주
아벨 범주	덧셈 구조와 핵, 여핵을 갖는 범주
연산
합성	두 사상 f: A → B 와 g: B → C 가 주어졌을 때, 합성 사상 g ∘ f: A → C 를 정의할 수 있음
곱	두 범주 C 와 D 가 주어졌을 때, 곱 범주 C × D 를 정의할 수 있음
멱	두 범주 C 와 D 가 주어졌을 때, 멱 범주 D^C 를 정의할 수 있음
예시
Set (집합의 범주)	대상은 집합, 사상은 함수
Grp (군의 범주)	대상은 군, 사상은 군 준동형 사상
Top (위상 공간의 범주)	대상은 위상 공간, 사상은 연속 함수
Vect (벡터 공간의 범주)	대상은 벡터 공간, 사상은 선형 변환
참고
관련 항목	범주론, 사무엘 에일렌베르크, 손더스 맥레인, 대수 구조, 모나드, 아벨 범주, 쌍대성, Hom

2. 정의

범주(範疇, category^영어)는 대상(對象, object^영어)과 사상(寫像, morphism^영어)으로 구성되며, 다음과 같은 데이터로 이루어진다.^[1]

'''대상'''들의 모임 $\operatorname{ob}(\mathcal C)$
임의의 두 대상 $a,b\in\operatorname{ob}(\mathcal C)$ 에 대하여, $a$ 를 정의역으로, $b$ 를 공역으로 하는 '''사상'''들의 모임 $\hom(a,b)$ . $f\in\hom(a,b)$ 는 $f\colon a\to b$ 로 쓰고, ' $a$ 에서 $b$ 로 가는 사상'이라고 한다.
임의의 세 대상 $a,b,c\in\operatorname{ob}(\mathcal C)$ 에 대하여, 사상의 '''합성'''(合成, composition^영어)이라고 불리는 이항 연산 $\hom(a,b)\times\hom(b,c)\to\hom(a,c)$ 이 주어져 있다. $f\colon a\to b$ 와 $g\colon b\to c$ 의 합성은 $g\circ f$ 또는 $gf$ 로 나타낸다.
임의의 대상 $a\in\operatorname{ob}(\mathcal C)$ 에 대하여, $a$ 의 '''항등 사상'''(恒等寫像, identity morphism^영어)이라고 불리는 특별한 사상 $\operatorname{id}_a\in\hom(a,a)$ 이 주어져 있다.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

(결합 법칙) 임의의 대상 $a,b,c,d\in\operatorname{ob}(\mathcal C)$ 및 사상 $a\xrightarrow fb\xrightarrow gc\xrightarrow hd$ 에 대하여, $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
(항등원) 임의의 대상 $a,b\in\operatorname{ob}(\mathcal C)$ 및 사상 $f\colon a\to b$ 에 대하여, $\operatorname{id}_b\circ f=f\circ\operatorname{id}_a=f$

범주를 정의할 때, 일부 문헌에서는 각 대상을 그에 대응하는 항등 사상과 동일시하여 대상의 존재를 명시적으로 가정하지 않기도 한다.

2. 1. 작은 범주

범주

\mathcal C

에 대하여, 다음을 정의한다.

만약 $\operatorname{ob}(\mathcal C)$ 와 $\hom(\mathcal C)$ 가 둘 다 집합인 경우(즉, 고유 모임이 아닌 경우), $\mathcal C$ 를 '''작은 범주'''라고 한다.
만약 임의의 $X,Y\in \operatorname{ob}(\mathcal C)$ 에 대하여 $\hom(X,Y)$ 가 집합인 경우(즉, 고유 모임이 아닌 경우), $\mathcal C$ 를 '''국소적으로 작은 범주'''(locally small category^영어)라고 하며, 사상 모임을 '''사상 집합'''(寫像集合, hom-set^영어)이라고 한다.

작은 범주가 아닌 범주를 '''큰 범주'''(large category^영어)라고 한다. 집합과 함수의 범주를 비롯해, 수학에서 중요하게 쓰이는 대부분의 범주는 국소적으로 작은 범주이다.

만약 그로텐디크 전체를 사용하는 경우, 그로텐디크 전체

\mathcal U

에 대하여, 다음과 같이 정의한다.

만약 $\operatorname{ob}(\mathcal C)\in\mathcal U$ 이며 $\hom(\mathcal C)\in\mathcal U$ 인 경우, $\mathcal C$ 를 ''' $\mathcal U$ -작은 범주'''라고 한다.
만약 임의의 $X,Y\in \operatorname{ob}(\mathcal C)$ 에 대하여 $\hom(X,Y)\in\mathcal U$ 인 경우, $\mathcal C$ 를 ''' $\mathcal U$ -국소적으로 작은 범주'''라고 한다.

범주 ''C''가 ob(''C'')와 hom(''C'') 모두 집합이고 진 클래스가 아니면 '''작다'''고 하고, 그렇지 않으면 '''크다'''고 한다. '''국소적으로 작은 범주'''는 모든 대상 ''a''와 ''b''에 대해 hom-클래스 hom(''a'', ''b'')가 집합인 범주로, 이를 '''homset'''이라고 한다. 수학의 많은 중요한 범주(예: 집합의 범주)는 작지는 않지만 적어도 국소적으로 작다. 작은 범주에서 대상은 집합을 형성하므로, 작은 범주는 모노이드와 유사한 대수적 구조로 볼 수 있지만, 닫힘 속성은 필요하지 않다. 반면에 큰 범주는 대수적 구조의 "구조"를 만드는 데 사용될 수 있다.

2. 2. 반대 범주

범주

\mathcal C

가 주어졌을 때, 다음과 같은 '''반대 범주'''(opposite category^영어)

\mathcal C^{\operatorname{op}}

를 정의할 수 있다.

$\mathcal C^{\operatorname{op}}$ 의 대상은 $\mathcal C$ 의 대상과 같다.
$\mathcal C^{\operatorname{op}}$ 에서, 대상 $X$ 에서 $Y$ 로 가는 사상은 $\mathcal C$ 에서, $Y$ 에서 $X$ 로 가는 사상이다. 즉, $\hom_{\mathcal C^{\operatorname{op}}}(X,Y)=\hom_{\mathcal C}(Y,X)$ 이다.

반대 범주에서는 전사 사상이 단사 사상으로, 곱이 쌍대곱으로, 극한이 쌍대극한으로 바뀐다. 만약 모노이드나 군, 환을 하나의 대상을 갖는 범주로 간주할 경우, 반대 범주의 개념은 반대 모노이드 · 반대군 · 반대환의 개념의 일반화이다.

어떤 범주 ''C''는 다른 방식으로 새로운 범주로 간주될 수 있다. 대상은 원래 범주와 동일하지만, 화살표는 원래 범주의 화살표를 반전시킨 것이다. 이를 ''쌍대 범주'' 또는 ''반대 범주''라고 하며, ''C''^op로 표기한다.

3. 예

가군의 범주와 동일유사환의 범주모든 유사환모든 유사환 준동형환의 범주모든 단위적 환모든 단위적 환 준동형가군의 범주모든 -가군모든 -가군 준동형는 임의로 고정된 환
비가환환의 경우 왼쪽/오른쪽/양쪽 가군의 범주를 고려할 수 있음벡터 공간의 범주모든 -벡터 공간모든 -선형 사상는 임의로 고정된 가환체
-가군의 범주와 동일위상 공간의 범주모든 위상 공간모든 연속 사상이산 범주이산 범주종류 (임의)항등 사상만rowspan="2" |경우에 따름위의 이산 범주집합작다rowspan="2" |집합,
추이율작다반사율은 사상의 단위율에 해당
반순서 관계, 전순서 집합, 서수 등에서도 동일동치 관계 를 갖는 집합집합,
은 위의 고정된 동치 관계단일 대상 범주모노이드* (임의)주어진 연산작다군rowspan="2" |임의의 사상이 동형 사상유향 그래프(루프가 있어도 무방)경로의 연결작다자유 범주와 동일하게 볼 수 있음
에이버도 참조2-범주작은 범주의 범주모든 작은 범주모든 함자함자의 합성크다자연 변환도 고려하면 의 예가 됨함자 범주범주 사이의 모든 함자함자 사이의 모든 자연 변환자연 변환의 수직 합성크다

범주 (수학)

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