범주 (수학)

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1. 개요

범주(Category)는 수학적 구조를 추상화하는 데 사용되는 개념으로, 대상(object)과 사상(morphism)으로 구성된다. 범주는 대상들의 모임과, 대상 간의 사상들의 모임, 사상의 합성 연산, 그리고 각 대상에 대한 항등 사상으로 정의된다. 이러한 구조는 결합 법칙과 항등원 조건을 만족해야 한다. 범주는 작은 범주, 국소적으로 작은 범주, 큰 범주 등으로 분류되며, 반대 범주와 같은 파생 개념도 존재한다. 범주는 집합과 함수, 군과 준동형 사상 등 다양한 수학적 구조를 포괄하며, 함자, 자연 변환과 같은 개념을 통해 범주 간의 관계를 설명한다. 아벨 범주, 완비 범주, 데카르트 닫힌 범주, 토포스와 같은 다양한 종류의 범주가 존재하며, 고차 범주로의 확장도 가능하다. 범주론은 1940년대에 대수적 위상수학에서 시작되었으며, 현재는 다양한 수학 분야와 컴퓨터 과학 분야에서 활용되고 있다.

범주 (수학)

개요

분야	수학
하위 분야	추상대수학, 위상수학, 논리학
유형	수학적 구조
연구	대상과 사상의 모임, 사상의 합성, 대수 구조의 일반화

역사

기원	1940년대 초
창시자	사무엘 에일렌베르크, 손더스 맥레인

기본 개념

대상	범주에 속하는 개체
사상	대상 간의 관계를 나타내는 함수 또는 변환
합성	사상들을 연결하여 새로운 사상을 만드는 연산
항등 사상	각 대상을 자기 자신으로 보내는 특별한 사상
함자	범주 사이의 구조를 보존하는 사상
자연 변환	함자 사이의 관계를 나타내는 사상

응용

수학	대수학, 기하학, 위상수학, 해석학 등 다양한 분야의 구조 연구
컴퓨터 과학	프로그래밍 언어, 데이터베이스, 인공지능 등의 모델링 및 추론
물리학	양자역학, 끈 이론 등의 수학적 기초 제공

집합론	대상의 모임을 정의하는 기초 이론
군론	대수적 구조를 갖는 집합 연구
환론	덧셈과 곱셈이 정의된 대수적 구조 연구
모형 이론	형식 언어와 수학적 구조 사이의 관계 연구

구체적 범주	대상이 집합이고 사상이 함수인 범주
추상적 범주	대상과 사상이 구체적으로 정의되지 않은 범주
작은 범주	대상과 사상의 모임이 집합인 범주
큰 범주	대상과 사상의 모임이 고유 모임인 범주
완비 범주	모든 극한이 존재하는 범주
아벨 범주	덧셈 구조와 핵, 여핵을 갖는 범주

합성	두 사상 f: A → B 와 g: B → C 가 주어졌을 때, 합성 사상 g ∘ f: A → C 를 정의할 수 있음
곱	두 범주 C 와 D 가 주어졌을 때, 곱 범주 C × D 를 정의할 수 있음
멱	두 범주 C 와 D 가 주어졌을 때, 멱 범주 D^C 를 정의할 수 있음

Set (집합의 범주)	대상은 집합, 사상은 함수
Grp (군의 범주)	대상은 군, 사상은 군 준동형 사상
Top (위상 공간의 범주)	대상은 위상 공간, 사상은 연속 함수
Vect (벡터 공간의 범주)	대상은 벡터 공간, 사상은 선형 변환

관련 항목	범주론, 사무엘 에일렌베르크, 손더스 맥레인, 대수 구조, 모나드, 아벨 범주, 쌍대성, Hom

2. 정의

범주(範疇, category^영어)는 대상(對象, object^영어)과 사상(寫像, morphism^영어)으로 구성되며, 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

* 대상들의 모임 $\operatorname{ob}(\mathcal C)$
* 임의의 두 대상 $a,b\in\operatorname{ob}(\mathcal C)$ 에 대하여, $a$ 를 정의역으로, $b$ 를 공역으로 하는 사상들의 모임 $\hom(a,b)$ . $f\in\hom(a,b)$ 는 $f\colon a\to b$ 로 쓰고, ' $a$ 에서 $b$ 로 가는 사상'이라고 한다.
* 임의의 세 대상 $a,b,c\in\operatorname{ob}(\mathcal C)$ 에 대하여, 사상의 합성(合成, composition^영어)이라고 불리는 이항 연산 $\hom(a,b)\times\hom(b,c)\to\hom(a,c)$ 이 주어져 있다. $f\colon a\to b$ 와 $g\colon b\to c$ 의 합성은 $g\circ f$ 또는 $gf$ 로 나타낸다.
* 임의의 대상 $a\in\operatorname{ob}(\mathcal C)$ 에 대하여, $a$ 의 항등 사상(恒等寫像, identity morphism^영어)이라고 불리는 특별한 사상 $\operatorname{id}_a\in\hom(a,a)$ 이 주어져 있다.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* (결합 법칙) 임의의 대상 $a,b,c,d\in\operatorname{ob}(\mathcal C)$ 및 사상 $a\xrightarrow fb\xrightarrow gc\xrightarrow hd$ 에 대하여, $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
* (항등원) 임의의 대상 $a,b\in\operatorname{ob}(\mathcal C)$ 및 사상 $f\colon a\to b$ 에 대하여, $\operatorname{id}_b\circ f=f\circ\operatorname{id}_a=f$

범주를 정의할 때, 일부 문헌에서는 각 대상을 그에 대응하는 항등 사상과 동일시하여 대상의 존재를 명시적으로 가정하지 않기도 한다.

2.1. 작은 범주

범주 $\mathcal C$ 에 대하여, 다음을 정의한다.

* 만약 $\operatorname{ob}(\mathcal C)$ 와 $\hom(\mathcal C)$ 가 둘 다 집합인 경우(즉, 고유 모임이 아닌 경우), $\mathcal C$ 를 작은 범주라고 한다.
* 만약 임의의 $X,Y\in \operatorname{ob}(\mathcal C)$ 에 대하여 $\hom(X,Y)$ 가 집합인 경우(즉, 고유 모임이 아닌 경우), $\mathcal C$ 를 국소적으로 작은 범주(locally small category^영어)라고 하며, 사상 모임을 사상 집합(寫像集合, hom-set^영어)이라고 한다.

작은 범주가 아닌 범주를 큰 범주(large category^영어)라고 한다. 집합과 함수의 범주를 비롯해, 수학에서 중요하게 쓰이는 대부분의 범주는 국소적으로 작은 범주이다.

만약 그로텐디크 전체를 사용하는 경우, 그로텐디크 전체 $\mathcal U$ 에 대하여, 다음과 같이 정의한다.

* 만약 $\operatorname{ob}(\mathcal C)\in\mathcal U$ 이며 $\hom(\mathcal C)\in\mathcal U$ 인 경우, $\mathcal C$ 를 $\mathcal U$ -작은 범주라고 한다.
* 만약 임의의 $X,Y\in \operatorname{ob}(\mathcal C)$ 에 대하여 $\hom(X,Y)\in\mathcal U$ 인 경우, $\mathcal C$ 를 $\mathcal U$ -국소적으로 작은 범주라고 한다.

범주 C가 ob(C)와 hom(C) 모두 집합이고 진 클래스가 아니면 작다고 하고, 그렇지 않으면 크다고 한다. 국소적으로 작은 범주는 모든 대상 a와 b에 대해 hom-클래스 hom(a, b)가 집합인 범주로, 이를 homset이라고 한다. 수학의 많은 중요한 범주(예: 집합의 범주)는 작지는 않지만 적어도 국소적으로 작다. 작은 범주에서 대상은 집합을 형성하므로, 작은 범주는 모노이드와 유사한 대수적 구조로 볼 수 있지만, 닫힘 속성은 필요하지 않다. 반면에 큰 범주는 대수적 구조의 "구조"를 만드는 데 사용될 수 있다.

2.2. 반대 범주

범주 $\mathcal C$ 가 주어졌을 때, 다음과 같은 반대 범주(opposite category^영어) $\mathcal C^{\operatorname{op}}$ 를 정의할 수 있다.

* $\mathcal C^{\operatorname{op}}$ 의 대상은 $\mathcal C$ 의 대상과 같다.
* $\mathcal C^{\operatorname{op}}$ 에서, 대상 $X$ 에서 $Y$ 로 가는 사상은 $\mathcal C$ 에서, $Y$ 에서 $X$ 로 가는 사상이다. 즉, $\hom_{\mathcal C^{\operatorname{op}}}(X,Y)=\hom_{\mathcal C}(Y,X)$ 이다.

반대 범주에서는 전사 사상이 단사 사상으로, 곱이 쌍대곱으로, 극한이 쌍대극한으로 바뀐다. 만약 모노이드나 군, 환을 하나의 대상을 갖는 범주로 간주할 경우, 반대 범주의 개념은 반대 모노이드 · 반대군 · 반대환의 개념의 일반화이다.

어떤 범주 C는 다른 방식으로 새로운 범주로 간주될 수 있다. 대상은 원래 범주와 동일하지만, 화살표는 원래 범주의 화살표를 반전시킨 것이다. 이를 쌍대 범주 또는 반대 범주라고 하며, C^op로 표기한다.

3. 예

각 범주는 대상이 무엇인지, 사상이 무엇인지, 그리고 사상들이 어떻게 합성되는지에 의해 결정된다.

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좌우로 밀어서 보기

기호	대상	사상	사상 합성	항등 사상
$\text{Set}$	집합	함수	함수의 합성	항등 함수
$\text{Ord}$	원순서 집합	단조함수	함수의 합성	항등 함수
$\text{Mag}$	마그마	마그마 준동형	함수의 합성	항등 준동형
$\text{Grp}$	군	군 준동형 사상	함수의 합성	항등 준동형
$\text{Ab}$	아벨 군	군 준동형 사상	함수의 합성	항등 준동형
$\text{Ring}$	환	환 준동형 사상	함수의 합성	항등 준동형
$\text{CRing}$	가환환	환 준동형 사상	함수의 합성	항등 준동형
$\text{Rng}$	유사환	유사환 준동형 사상	함수의 합성	항등 준동형
$R\text{-Mod}$ ( $R$ 은 환)	$R$ 위의 (왼쪽) 가군	(왼쪽) 가군 준동형 사상	함수의 합성	항등 준동형
$\text{Vect}_K$ ( $K$ 는 체)	$K$ 위의 벡터 공간	선형 변환	함수의 합성	항등 선형 변환
$\text{Top}$	위상 공간	연속 함수	함수의 합성	항등 함수
$\text{Man}^\infty$	매끄러운 다양체	매끄러운 함수	함수의 합성	항등 함수
$\text{Cat}$	작은 범주	함자	함자의 합성	항등 함자
$\text{Rel}$	집합	관계	$a\operatorname{({\sim}_2\circ{\sim}_1)}b\iff\exists c\colon a\sim_1 c\sim_2 b$	등호 $=$
부분 순서 집합 $(P,\le)$	$P$ 의 원소	$x\le y$ 이면 $\operatorname{hom}(x,y)=\{(x,y)\}$ , 아니면 $\operatorname{hom}(x,y)=\varnothing$	$(y,z)\circ(x,y)=(x,z)$	$\operatorname{Id}_x=(x,x)$
모노이드 $(M,\cdot,1_M)$	$\operatorname{ob}(M)=\{\bullet\}$ (임의의 유일한 대상)	$M$ 의 원소	모노이드 이항 연산 $m\circ n=m\cdot n$	모노이드 항등원 $1_M$
$\mathcal C^{\operatorname{op}}$ ( $\mathcal C$ 는 임의의 범주) \|\| $\mathcal C$ 의 대상 \|\| $\hom_{\mathcal C^{\operatorname{op}}}(X,Y)=\hom_{\mathcal C}(Y,X)$ \|\| $f\circ_{\mathcal C^{\operatorname{op}}} g=g\circ_{\mathcal C} f$ \|\| $\mathcal C$ 의 항등 사상
$\mathcal D^{\mathcal C}$ ( $\mathcal C$ , $\mathcal D$ 는 임의의 범주)	$\mathcal C$ 에서 $\mathcal D$ 로 가는 함자	함자들 사이의 자연 변환	자연 변환의 합성	항등 자연 변환
$\mathbb 0$	없음 (공집합)	없음 (공집합)
$\mathbb 1$	$\bullet$ (하나의 대상)	$\operatorname{id}_\bullet$ (하나의 사상)		$\operatorname{id}_\bullet$
$\mathbb 2$	$\{0,1\}$ (두 개의 대상)	$a\colon 0\to1$ , $\operatorname{id}_0$ , $\operatorname{id}_1$ (세 개의 사상)		$\operatorname{id}_0$ , $\operatorname{id}_1$

범주 C가 ob(C)와 hom(C) 모두 집합이고 진 클래스가 아니면 작다고 하고, 그렇지 않으면 크다고 한다. 국소적으로 작은 범주는 모든 대상 a와 b에 대해 hom-클래스 hom(a, b)가 집합인 범주로, 이를 homset이라고 한다. 수학의 많은 중요한 범주(예: 집합의 범주)는 작지는 않지만 적어도 국소적으로 작다.

모든 집합(대상)과 그 사이의 모든 함수(사상)을 모은 class는 큰 범주인 Set을 형성한다.

모든 class는 항등 사상만을 갖는 범주로 볼 수 있다. 이러한 범주는 이산 범주라고 한다. 주어진 집합 I에 대해, I 위의 이산 범주는 I의 원소를 대상으로 갖고, 항등 사상만을 사상으로 갖는 작은 범주이다.

모든 전순서 집합 (P, ≤)은 작은 범주를 형성하며, 여기서 대상은 P의 구성원이고, 사상은 x ≤ y일 때 x에서 y를 가리키는 화살표이다. 같은 논리로, 모든 부분 순서 집합과 모든 동치 관계는 작은 범주로 볼 수 있다. 모든 서수는 전순서 집합으로 볼 때 범주로 볼 수 있다.

모든 모노이드는 단일 대상 x를 갖는 작은 범주를 형성한다. x에서 x로의 사상은 정확히 모노이드의 원소이고, x의 항등 사상은 모노이드의 항등원이며, 사상의 범주론적 합성은 모노이드 연산에 의해 주어진다.

마찬가지로 모든 군은 모든 사상이 invertible, 즉, 모든 사상 f에 대해 합성 하에서 f의 왼쪽 및 오른쪽 역원인 사상 g가 있는 단일 대상을 갖는 범주로 볼 수 있다. 이러한 의미에서 가역적인 사상은 동형 사상이라고 한다.

groupoid는 모든 사상이 동형 사상인 범주이다. Groupoid는 군, 군 작용 및 동치 관계의 일반화이다.

모든 유향 그래프는 작은 범주를 생성한다. 대상은 그래프의 정점이고, 사상은 그래프의 경로이다(필요에 따라 루프가 추가됨). 여기서 사상의 합성은 경로의 연결이다. 이러한 범주는 그래프에 의해 생성된 자유 범주라고 한다.

순서를 보존하는 함수(즉, 단조 증가 함수)를 사상으로 갖는 모든 전순서 집합의 class는 범주 Ord를 형성한다. 이것은 구체적 범주이며, 즉, Set에 어떤 종류의 구조를 추가하고 사상이 이 추가된 구조를 존중하는 함수여야 하는 범주이다.

군 준동형을 사상으로 하고 함수 합성을 합성 연산으로 하는 모든 군의 class는 큰 범주 Grp를 형성한다. Ord와 마찬가지로, Grp는 구체적 범주이다. 모든 아벨 군과 그 군 준동형으로 구성된 범주 Ab는 Grp의 full 부분 범주이며, 아벨 범주의 프로토타입이다.

모든 그래프의 class는 또 다른 구체적 범주를 형성하며, 여기서 사상은 그래프 준동형(즉, 정점을 정점으로, 변을 변으로 보내는 그래프 간의 매핑이며, 모든 인접성 및 발생 관계를 보존하는 방식)이다.

구체적 범주의 다른 예는 다음 표에 나와 있다.

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좌우로 밀어서 보기

범주	대상	사상
Set	집합	함수
Ord	전순서 집합	단조 증가 함수
Mon	모노이드	모노이드 준동형
Grp	군	군 준동형
Grph	그래프	그래프 준동형
Ring	환	환 준동형
Field	체	체 준동형
R-Mod	R-module, 여기서 R은 환이다.	R-module 준동형
Vect_K	벡터 공간 over 체 K	K-선형 사상
Met	거리 공간	단축 사상
Meas	측도 공간	가측 함수
Top	위상 공간	연속 함수
Man^p	매끄러운 다양체	p-times 연속적으로 미분 가능한 사상

섬유 다발과 그 사이의 다발 사상은 구체적 범주를 형성한다.

범주 Cat는 모든 작은 범주로 구성되며, 그 사이의 함자를 사상으로 한다.
다음은 범주의 예이다.

* 체 K 위의 에탈 대수를 대상으로 하고, K-대수로서의 준동형을 사상으로 하는 Etale_K.
* 코볼디즘은 범주로 볼 수 있다.

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좌우로 밀어서 보기

분류	범주와 기호	대상의 종류	사상의 종류	합성	크기	비고
구체적 범주	집합의 범주 Set	모든 집합	모든 사상	사상의 합성	크다
	마그마의 범주	모든 마그마	모든 마그마 준동형
	반군의 범주	모든 반군	모든 반군 준동형
	모노이드의 범주	모든 모노이드	모든 모노이드 준동형
	군의 범주	모든 군	모든 군 준동형
	아벨 군의 범주	모든 아벨 군	모든 군 준동형			군의 범주의 충만 부분 범주 -가군의 범주와 동일
	유사환의 범주	모든 유사환	모든 유사환 준동형
	환의 범주	모든 단위적 환	모든 단위적 환 준동형
	가군의 범주	모든 -가군	모든 -가군 준동형			는 임의로 고정된 환 비가환환의 경우 왼쪽/오른쪽/양쪽 가군의 범주를 고려할 수 있음
	벡터 공간의 범주	모든 -벡터 공간	모든 -선형 사상			는 임의로 고정된 가환체 -가군의 범주와 동일
	위상 공간의 범주	모든 위상 공간	모든 연속 사상
이산 범주	이산 범주	종류 (임의)	항등 사상만		경우에 따름
이산 범주	위의 이산 범주	집합	항등 사상만		작다
		집합	,	추이율	작다	반사율은 사상의 단위율에 해당 반순서 관계, 전순서 집합, 서수 등에서도 동일
	동치 관계 를 갖는 집합	집합	,	추이율	작다	은 위의 고정된 동치 관계
단일 대상 범주	모노이드	* (임의)		주어진 연산	작다
	군
						임의의 사상이 동형 사상
	유향 그래프		(루프가 있어도 무방)	경로의 연결	작다	자유 범주와 동일하게 볼 수 있음 에이버도 참조
2-범주	작은 범주의 범주	모든 작은 범주	모든 함자	함자의 합성	크다	자연 변환도 고려하면 의 예가 됨
	함자 범주	범주 사이의 모든 함자	함자 사이의 모든 자연 변환	자연 변환의 수직 합성	크다

4. 범주의 구성

만약 C와 D가 범주라면, 곱범주 C × D를 구성할 수 있다. 곱범주의 대상은 C에서 하나, D에서 하나씩 가져온 쌍으로 구성되며, 사상 또한 C와 D에서 각각 하나씩 가져온 쌍으로 구성된다. 이러한 쌍들은 성분별로 합성될 수 있다.

5. 사상의 종류

* 단사 사상(또는 단사)은 왼쪽에서 소거 가능할 경우, 즉 모든 사상 g₁, g₂ : x → a에 대해 fg₁ = fg₂가 g₁ = g₂를 함의할 경우이다.
* 전사 사상(또는 전사)은 오른쪽에서 소거 가능할 경우, 즉 모든 사상 g₁, g₂ : b → x에 대해 g₁f = g₂f가 g₁ = g₂를 함의할 경우이다.
* 쌍사상은 단사 사상이면서 전사 사상인 경우이다.
* retraction은 오른쪽 역을 가질 경우, 즉 fg = 1_b를 만족하는 사상 g : b → a가 존재할 경우이다.
* section은 왼쪽 역을 가질 경우, 즉 gf = 1_a를 만족하는 사상 g : b → a가 존재할 경우이다.
* 동형 사상은 역을 가질 경우, 즉 fg = 1_b이고 gf = 1_a를 만족하는 사상 g : b → a가 존재할 경우이다.
* 자기 사상은 a = b인 경우이다. a의 자기 사상의 모임은 end(a)로 표기한다. 국소적으로 작은 범주에 대해, end(a)는 집합이며 사상 합성 하에서 모노이드를 이룬다.
* 자기 동형 사상은 f가 자기 사상이면서 동형 사상인 경우이다. a의 자기 동형 사상의 모임은 aut(a)로 표기한다. 국소적으로 작은 범주에 대해, 이는 사상 합성 하에서 a의 자기 동형 군이라고 불리는 군을 이룬다.

모든 retraction은 전사 사상이다. 모든 section은 단사 사상이다. 다음 세 명제는 동치이다.

* f는 단사 사상이며 retraction이다.
* f는 전사 사상이며 section이다.
* f는 동형 사상이다.

사상 간의 관계 (예: fg = h)는 가환도표를 사용하여 가장 편리하게 나타낼 수 있으며, 여기서 대상은 점으로, 사상은 화살표로 표현된다.

영 대상을 갖는 범주에서 추가로 정의되는 사상은 다음과 같다.

* 영 사상 0 : X → Y - 사상 X → 0과 0 → Y의 합성
* 핵 i : W → X - 더 정확히는, 사상 f : X → Y의 핵은 ƒi = 0이고, ƒu = 0을 만족하는 임의의 사상 u : U → X에 대해 u = i v가 되는 사상 v : U → W가 유일하게 존재하는 사상 i
* 여핵 p : Y → Z - 더 정확히는, 사상 f : X → Y의 여핵은 pƒ = 0이고, uƒ = 0을 만족하는 임의의 사상 u : Y → U에 대해 u = v p가 되는 사상 v : Z → U가 유일하게 존재하는 사상 p

6. 함자

두 범주 C, D가 있을 때,

* C의 대상 X에 대해 D의 대상 F(X)를 부여하고,
* 사상 f : X → Y에 대해 사상 F(f) : F(X) → F(Y)를 부여하는

대응 F로, 사상의 합성 및 항등 사상을 보존하는 것을 (공변) 함자 F라고 부른다. 한편, 유사한 대응으로 사상의 정의역과 공역을 서로 바꾸고, 합성의 순서를 반대로 하는 대응은 C에서 D로의 반변함자라고 부른다. C에서 D로의 반변함자를 고려하는 것은 C의 쌍대 범주 C^op에서 D로의 공변함자를 고려하는 것과 같다.

7. 자연 변환

자연 변환(natural transformation)은 두 개의 관 사이의 관계이다. 관은 종종 "자연스러운 구성"을 나타내며, 자연 변환은 그러한 두 구성 사이의 "자연스러운 준동형"을 나타낸다. 때로는 두 개의 전혀 다른 구성이 "유사한" 결과를 가져올 수 있는데, 이는 두 관 사이의 자연 동형(natural isomorphism)으로 표현된다.

두 관 F, G에 대해, F에서 G로의 자연 변환이 존재하고 η_x가 C에 포함된 모든 대상 x에 대해 동형 사상일 때, 이 자연 변환은 자연 동형이라고 한다.

8. 범주의 종류

많은 범주, 예를 들어 Ab 또는 Vect_K에서, hom 집합 hom(a, b)은 단순히 집합이 아니라 실제 아벨 군이며, 사상의 합성은 이러한 군 구조와 호환된다. 즉, 쌍선형이다. 이러한 범주를 전가법적 범주라고 한다. 게다가 범주가 모든 유한 곱과 쌍대곱을 가지면 가법 범주라고 한다. 모든 사상이 핵과 쌍대핵을 가지고, 모든 전사 사상이 쌍대핵이고, 모든 단사 사상이 핵이면, 이를 아벨 범주라고 한다. 아벨 범주의 전형적인 예는 아벨 군의 범주이다.

범주는 모든 작은 극한이 존재하면 완비 범주라고 한다. 집합, 아벨 군, 위상 공간의 범주는 완비 범주이다.

범주는 유한 직접곱을 가지고, 유한 곱에 정의된 사상이 항상 인자 중 하나에 정의된 사상으로 표현될 수 있으면 데카르트 닫힌 범주라고 한다. 예로는 Set와 완비 부분 순서와 스콧 연속 함수의 범주인 CPO가 있다.

토포스는 모든 수학을 공식화할 수 있는 특정한 유형의 데카르트 닫힌 범주이다 (고전적으로 모든 수학이 집합 범주에서 공식화되는 것처럼). 토포스는 논리 이론을 나타내는 데에도 사용될 수 있다.

9. 고차 범주

고차원 범주는 주어진 범주로부터 생각할 수 있다. 두 대상 사이의 사상을 "한 대상에서 다른 대상으로의 대응 관계"로 간주한다면, 고차원 범주에서 "고차원적인 대응 관계"를 고려함으로써 더욱 유용한 일반화가 가능하다.

예를 들어, "2차원 범주"인 2-범주는 "사상 간의 사상", 즉 어떤 사상을 다른 사상으로 변환하는 대응 관계에 의해 얻어지는 범주이다. 이러한 "2-사상"(2-cell)은 수평 및 수직으로 "합성"할 수 있으며, 이러한 두 개의 합성 법칙에서는 2차원의 "교환 법칙"이 성립한다. 가장 표준적인 예는 Cat(모든 (작은) 범주로 구성된 2-범주)이며, 이 예에서 사상에는 관수(functor)가, 2-사상에는 관수의 자연 변환이 해당한다. 또 다른 기본적인 예로는 대상 1개로 구성된 2-범주가 있는데, 이것은 (협의의) 모노이드 범주이다.

이 기법을 임의의 자연수 n으로 확장하여 n-범주(n차 범주)를 정의할 수 있다. 또한 서수 ω에 대한 ω-범주라고 불리는 고차원 범주도 있다.

10. 공간을 범주로 표현

순서 집합 (O, ≤)가 있을 때, 이를 다음과 같은 범주 C_O와 동일시할 수 있다. C_O의 대상(obj(C_O))은 O의 원소이고, O의 원소 p, q에 대해 p ≤ q일 때, 그리고 그럴 때에만 p에서 q로 가는 사상이 유일하게 존재한다. 여기서 순서 관계의 추이율은 사상의 합성에 대응되고, 반사율은 항등 사상에 대응된다. 특히 위상 공간 X에 대해 그 열린 집합들의 모임 O(X)를 범주로 간주할 수 있다.

군 G는 대상이 하나뿐인 범주로 생각할 수 있는데, 이 유일한 대상을 Y라고 하면 Hom (Y, Y) ≡ G가 성립한다. 또한, 위상 공간의 기본 준군이나 "덮개"의 홀로노미 준군 등, 다양한 준군을 통해 기하학적 정보를 표현할 수 있다.

11. 역사

범주의 개념은 사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1942~1945년 사이에 대수적 위상수학에서 영감을 얻어 도입하였다. 에일렌베르크와 매클레인은 "범주를 정의한 이유는 함자를 정의하기 위해서이고, 함자를 정의한 이유는 자연 변환을 정의하기 위해서이다."라고 적었다.

1945년 사무엘 아이렌베르그와 소너스 맥레인은 대수적 위상수학에서 직관적/조합론적으로 정의되었던 호몰로지・코호몰로지를 공리화하는 연구를 진행했고, 이 과정에서 범주, 함자 및 자연 변환이 실제로 정의되었다. 아이렌베르그와 맥레인의 목적은 위상 공간의 이론과 가환군의 이론과 같은 서로 다른 수학적 체계 사이의 자연 변환을 이해하는 것이었는데, 이를 위해서는 함자의 개념이 필요했고, 함자를 정의하기 위해서는 범주의 개념이 필요했던 것이다.

그 후 알렉산드르 그로텐디크 등에 의한 호몰로지・코호몰로지 이론을 범주론에 기초하여 정식화하는 시도 속에서, 아벨 범주・삼각 범주 등, 함자를 계산하는 데에 기대되는 중요한 성질을 가진 클래스의 범주가 공리화되었다. 한편, 갈루아 이론의 범주론화를 통해, 군이 작용하는 집합의 범주와 일반적인 위상 공간을 범주론의 틀 안에서 포괄적으로 파악하는 것과 같은 토포스의 개념이 얻어졌다.