데카르트 닫힌 범주

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 지수 대상
- 2.2. 국소 데카르트 닫힌 범주
3. 성질
- 3.1. 방정식 이론
4. 예시
- 4.1. 닫힌 모노이드 범주
5. 응용
6. 역사
7. 관련 인물
참조

1. 개요

데카르트 닫힌 범주는 곱에 대한 닫힌 모노이드 범주로 정의되며, 종단 대상, 곱, 지수 대상을 갖는 범주이다. 데카르트 닫힌 범주는 유한 곱을 가지며, 국소 데카르트 닫힌 범주는 모든 슬라이스 범주가 데카르트 닫힌 범주인 범주이다. 데카르트 닫힌 범주는 지수 법칙을 만족하며, 집합과 함수의 범주, 유한 집합의 범주, 토포스 등이 이에 해당한다. 데카르트 닫힌 범주는 컴퓨터 과학의 커링, 람다 계산, 커리-하워드-램벡 대응 등에 응용되며, 르네 데카르트의 해석기하학에서 비롯된 개념이다.

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데카르트 닫힌 범주
기본 정보
데카르트 닫힌 범주
분야	범주론
다른 이름	지수 범주 함수 공간 범주
영어 이름	Cartesian closed category
정의
조건	유한 곱을 가짐 내부 호문 대상을 가짐
성질
응용	람다 대수 프로그래밍 언어 의미론
관련 개념
관련 개념	닫힌 범주

2. 정의

범주 '''C'''가 데카르트 닫힌 범주^[2]가 되기 위한 조건은 다음과 같다.

종단 대상을 갖는다.
'''C'''의 임의의 두 대상 ''X''와 ''Y''는 '''C'''에서 곱 ''X''×''Y''를 갖는다.
'''C'''의 임의의 두 대상 ''Y''와 ''Z''는 '''C'''에서 지수 ''Z^Y''를 갖는다.

처음 두 조건은 '''C'''의 모든 유한(비어 있을 수도 있는) 대상 집합이 '''C'''에서 곱을 허용한다는 단일 요구 사항으로 결합될 수 있다. 이는 범주적 곱의 자연스러운 결합성과 범주에서 공집합 곱이 해당 범주의 종단 대상이기 때문이다.

세 번째 조건은 함자 –×''Y''가 '''C'''의 모든 대상 ''Y''에 대해 오른쪽 수반자를 갖는다는 요구 사항과 동일하다. 일반적으로 –^''Y''로 표기한다. 국소적으로 작은 범주의 경우, 이는 다음 전단사의 존재로 표현할 수 있다.

:

\mathrm{Hom}(X\times Y,Z) \cong \mathrm{Hom}(X,Z^Y)

이것은 ''X'', ''Y'', ''Z''에 대해 자연스러운 변환이다.^[3]

국소 데카르트 닫힌 범주는 모든 슬라이스 범주가 데카르트 닫힌 범주인 범주이다.^[4]

2. 1. 지수 대상

모노이드 범주

(\mathcal C,\otimes)

에서, 두 대상

Y, Z\in\mathcal C

의 '''지수 대상'''(exponential object^영어)

(Z^Y\in\mathcal C,\operatorname{eval}\colon Z^Y\otimes Y\to Z)

은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 대상이다. 임의의 대상

X\in\mathcal C

및 사상

g\colon X\otimes Y\to Z

에 대하여, 다음 그림을 가환하게 만드는 유일한 사상

\lambda g\colon X\to Z^Y

이 존재한다.

:

\begin{matrix}X\otimes Y\\{\scriptstyle\lambda g\otimes \operatorname{id}_Y}\downarrow&\searrow\scriptstyle g\\Z^Y\otimes Y&\xrightarrow[\operatorname{eval}]{}&Z\end{matrix}

데카르트 닫힌 범주는 곱

\times

에 대한 닫힌 모노이드 범주이다. 국소적으로 작은 범주의 경우, 데카르트 닫힌 범주는 다음 전단사의 존재로 표현할 수 있다.

:

\mathrm{Hom}(X\times Y,Z) \cong \mathrm{Hom}(X,Z^Y)

이것은 ''X'', ''Y'', ''Z''에 대해 자연스러운 변환이다.^[3]

2. 2. 국소 데카르트 닫힌 범주

유한 완비 범주

\mathcal C

에서 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유한 완비 범주를 '''국소 데카르트 닫힌 범주'''(locally Cartesian closed category^영어)라고 한다.

임의의 대상 $X\in\mathcal C$ 에 대하여, 조각 범주 $\mathcal C/X$ 는 데카르트 닫힌 범주이다.
임의의 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 조각 범주 사이의 함자 $f^*\colon\mathcal C/Y\to\mathcal C/X$ 는 오른쪽 수반 함자 $f_*\colon\mathcal C/X\to\mathcal C/Y$ 를 갖는다.

끝 대상

1\in\mathcal C

에 대한 조각 범주

\mathcal C/1

은

\mathcal C

와 동형이므로, 모든 (유한 완비) 국소 데카르트 닫힌 범주는 데카르트 닫힌 범주이다.

국소 데카르트 닫힌 범주에서, 사상

f\colon X\to Y

에 대하여 존재하는 오른쪽 수반 함자

f_*\colon\mathcal C/X\to\mathcal C/Y

는 '''의존곱'''(依存-, dependent product^영어)이라고 한다. 대략, 사상

\pi \colon E\to X

이 주어졌을 때 이를

X

위의 "다발"로 해석하고, "밑공간"

X

위의

Y

-점에 대하여 그 "올"

E_x

을 정의할 수 있다. 그렇다면, 의존곱은 이를 다발

E\to X

의 "단면"들의 모임으로 대응시킨다. 이러한 해석은 임의의 범주에서는 적용되지 않지만, 집합의 범주나 다른 토포스에서는 성립한다.

범주

\mathcal C

위의 사상

f\colon X\to Y

에 대하여, 두 조각 범주 사이에 자연스러운 함자

:

f_!\colon\mathcal C/X\to\mathcal C/Y

:

f_!\colon g\mapsto f\circ g

가 존재한다. 만약

\mathcal C

가 유한 완비 범주라면 밑 변환(base change^영어) 함자

:

f^*\colon\mathcal C/Y\to\mathcal C/X

:

f^*\colon (g\colon A\to Y)\mapsto (g_X\colon A\times_YX\to X)

의 왼쪽 수반 함자

f_!

가 존재한다.

f_!

함자를 '''의존합'''(依存合, dependent sum^영어)이라고 부른다.

모든 토포스와 모든 준토포스는 국소 데카르트 닫힌 범주이다. 토포스의 조각 범주 역시 토포스이며, 토포스

\mathcal T

속의 사상

f\colon X\to Y

에 의하여 수반 함자

:

f_!\dashv f^*\dashv f_*

가 유도된다. 이는 토포스의 본질적 기하학적 사상을 이룬다.

특히, 집합과 함수의 토포스

\operatorname{Set}

는 국소 데카르트 범주이다. 집합의 범주에서, 함수

f\colon X\to I

에 대한 의존곱은 함수

\pi\colon E\to X

를

:

\bigsqcup_{i\in I} \Gamma_{X_i}(E_i)

로 대응시킨다. 여기서

:

X_i=f^{-1}(i)

:

E_i=(f\circ\pi)^{-1}(i)

이며,

:

\Gamma_{X_i}(E_i)=\left\{f\in E^{X_i}\colon\forall x\in X_i\colon \pi(f(x))=x\right\}

는 "단면 집합"이다.

만약

I

가 끝 대상인 한원소 집합이라면,

f\colon X\to\{\bullet\}

에 대한 의존곱은

\pi\colon E\to X

를 단면 집합

\Gamma_X(E)

으로 대응시킨다.

''C''를 국소 데카르트 닫힌 범주라고 하자. 그러면 ''C''는 모든 풀백을 갖는다. 왜냐하면 공역이 ''Z''인 두 사상의 풀백은 ''C''/''Z''에서 곱으로 주어지기 때문이다.

모든 사상 ''p'' : ''X'' → ''Y''에 대해, ''P''를 ''C/Y''의 해당 객체라고 하자. ''p''를 따라 풀백을 취하면 함자 ''p''^* : ''C''/''Y'' → ''C''/''X''가 생성되며, 이 함자는 왼쪽 및 오른쪽 수반을 모두 갖는다.

왼쪽 수반

\Sigma_p : C/X \to C/Y

는 '''의존 합'''이라고 하며, 합성

p \circ (-)

으로 주어진다.

오른쪽 수반

\Pi_p : C/X \to C/Y

는 '''의존 곱'''이라고 한다.

''C''/''Y''에서 ''P''에 의한 지수는 공식

Q^P \cong \Pi_p(p^*(Q))

를 통해 의존 곱으로 표현될 수 있다.

이러한 이름이 붙은 이유는 ''P''를 의존 형식

y : Y \vdash P(y) : \mathrm{Type}

로 해석할 때, 함자

\Sigma_p

와

\Pi_p

가 각각 형식 구성

\Sigma_{x : P(y)}

및

\Pi_{x : P(y)}

에 해당하기 때문이다.

3. 성질

데카르트 닫힌 범주에서는 커링이 가능하다. 즉, 두 변수 함수 ''f'': ''X'' × ''Y'' → ''Z''를 한 변수 함수 λ''f'': ''X'' → ''Z''^''Y''로 나타낼 수 있다.

데카르트 닫힌 범주에서는 함수 합성을 내부적으로 표현할 수 있다. '''Set''' 범주의 경우, 이는 일반적인 함수 합성 연산이다.

: $c_{X,Y,Z}(g,f) = g \circ f.$

여기서 $c_{X,Y,Z} : Z^Y \times Y^X \to Z^X$ 는 (내부) 합성 맵이다.

3. 1. 방정식 이론

모든 데카르트 닫힌 범주에서, 지수 표기법을 사용하면 (''X''^''Y'')^''Z''와 (''X''^''Z'')^''Y''는 모든 대상 ''X'', ''Y'', ''Z''에 대해 동형이다. 이를 다음과 같은 방정식으로 표현할 수 있다.

:(''x''^''y'')^''z'' = (''x''^''z'')^''y''.

이러한 방정식 외에 모든 데카르트 닫힌 범주에서 유효한 다른 방정식이 있는지 질문할 수 있다. 결론적으로, 모든 방정식은 다음 공리로부터 논리적으로 도출된다.^[8]

''x''×(''y''×''z'') = (''x''×''y'')×''z''
''x''×''y'' = ''y''×''x''
''x''×1 = ''x'' (여기서 1은 ''C''의 끝 대상)
1^''x'' = 1
''x''¹ = ''x''
(''x''×''y'')^''z'' = ''x''^''z''×''y''^''z''
(''x''^''y'')^''z'' = ''x''^{(''y''×''z'')}

4. 예시

다음은 데카르트 닫힌 범주의 예시이다.

이름	대상	사상	곱	지수 대상
$\operatorname{Set}$	집합	함수	곱집합 $X\times Y$	함수의 집합 $Y^X=\operatorname{Hom}(X,Y)$
$\operatorname{FinSet}$	유한 집합	함수	곱집합 $X\times Y$	함수의 집합 $Y^X=\operatorname{Hom}(X,Y)$
$\operatorname{Set}^G$
$\operatorname{Set}^{\mathcal C}$
조각 범주 $\operatorname{Set}/A$
$\operatorname{Cat}$	작은 범주	함자	곱 범주	함자 범주 $\mathcal D^{\mathcal C}$
$\operatorname{CGHaus}$ ^[12]	콤팩트 생성 하우스도르프 공간	연속 함수	$k(X\times_{\operatorname{Top}}Y)$

일반적인 위상 공간의 범주 $\operatorname{Top}$ 에서는 곱 및 끝 대상이 존재하지만, 지수 대상은 일반적으로 존재하지 않는다.
모든 토포스와 모든 준토포스는 국소 데카르트 닫힌 범주이다. 토포스의 조각 범주 역시 토포스이며, 토포스 $\mathcal T$ 속의 사상 $f\colon X\to Y$ 에 의하여 수반 함자가 유도된다.
특히, 집합과 함수의 토포스 $\operatorname{Set}$ 는 국소 데카르트 범주이다.

4. 1. 닫힌 모노이드 범주

체 위의 벡터 공간의 범주는 텐서곱에 대해 닫힌 모노이드 범주를 이룬다.^[13]^[14] 아벨 군의 범주는 텐서곱에 대해 닫힌 모노이드 범주를 이루며, 두 아벨 군 사이의 군 준동형들의 집합은 점별 합에 대하여 자연스럽게 아벨 군을 이룬다.

5. 응용

데카르트 닫힌 범주에서 "두 변수의 함수" (사상 ''f'' : ''X''×''Y'' → ''Z'')는 항상 "한 변수의 함수" (사상 λ''f'' : ''X'' → ''Z''^''Y'')로 표현될 수 있다. 컴퓨터 과학 분야의 응용에서 이는 커링으로 알려져 있으며, 단순 타입 람다 계산이 모든 데카르트 닫힌 범주에서 해석될 수 있다는 것을 보여준다.

커리-하워드-램벡 대응은 직관 논리, 단순 타입 람다 계산, 데카르트 닫힌 범주 사이의 깊은 동형 관계를 보여준다.^[7]

특정 데카르트 닫힌 범주인 토포스는 전통적인 집합론 대신 수학의 일반적인 환경으로 제안되었다.

컴퓨터 과학자 존 바커스는 변수가 없는 표기법, 즉 함수 수준 프로그래밍을 옹호했는데, 이는 되돌아보면 데카르트 닫힌 범주의 내부 언어와 어느 정도 유사하다. CAML은 데카르트 닫힌 범주를 의식적으로 모델링했다.

6. 역사

르네 데카르트(1596–1650)는 프랑스의 철학자이자 수학자, 과학자로서, 그의 해석기하학적 공식화는 데카르트 곱 개념을 낳았으며, 이는 나중에 범주론적 곱 개념으로 일반화되었다.^[1]

7. 관련 인물

윌리엄 로워
데이넘 스콧

참조

_[1] 서적 New Structures for Physics Springer 2011
_[2] 서적 Categories for the Working Mathematician Springer 1978
_[3] 웹사이트 cartesian closed category in nLab https://ncatlab.org/[...] 2017-09-17
_[4] 간행물 Locally cartesian closed category
_[5] 서적 The Lambda Calculus North-Holland 1984
_[6] 웹사이트 Ct.category theory - is the category commutative monoids cartesian closed? https://mathoverflow[...]
_[7] conference Proceedings of the 1981 conference on Functional programming languages and computer architecture - FPCA '81 ACM Press
_[8] 저널 The category of finite sets and Cartesian closed categories 1983
_[9] 저널 Remarks on isomorphisms in typed lambda calculi with empty and sum types https://core.ac.uk/d[...] 2006
_[10] 서적 The Lambda Calculus North-Holland 1984
_[11] 간행물 Category of Finite Sets and Cartesian Closed Categories 1983
_[12] 저널 A convenient category of topological spaces 1967
_[13] 저널 On a ‘good’ dense class of topological spaces 1986-10
_[14] 서적 Categorical homotopy theory http://www.math.harv[...] Cambridge University Press 2016-02-11

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