요네다 보조정리

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1. 개요
2. 보조정리
3. 요네다 매장
4. 귀결
5. 전가법 범주, 환 및 가군
6. 케일리 정리와의 관계
7. 역사
참조

1. 개요

요네다 보조정리는 국소적으로 작은 범주에서 집합의 범주로 가는 함자에 대한 정리이다. 이 정리는 범주의 각 대상에 대해 존재하는 함자를 통해 범주의 구조를 파악하고, 함자 간의 관계를 이해하는 데 도움을 준다. 요네다 보조정리는 자연 변환과 함자 간의 관계를 설명하며, 특히 요네다 매장과 표현 가능 함자와 같은 개념을 이끌어낸다. 이 정리는 범주론의 중요한 도구로, 케일리 정리와 같은 다른 수학적 개념과도 연관되어 있다.

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요네다 보조정리
일반 정보
이름	요네다 보조정리
분야	범주론
명명자	요네다 노부오
내용
내용	임의의 작은 범주 C에 대해, 범주 C에서 집합으로 가는 함자 범주 Set^Cop로의 '요네다 매장'이라고 불리는 사상이 존재한다. "요네다 매장" Y : C → Set^Cop는 C의 대상 A를 A에서 표현 가능한 함자 hom(A , _)에 대응시키는 사상이다. Y는 C의 사상 f : A → B를 hom(C, f) : hom(B, _ ) → hom(A, _)에 대응시킨다. 요네다 보조정리는, Y가 완전히 충실한 함자임을 말한다. Y의 완전성은 임의의 두 대상 A와 B에 대해, Y가 사상 hom(C(A, B)) : hom(A, B) → Hom(Y(A), Y(B))를 전단사로 만드는 것을 의미한다. 여기서 Hom(Y(A), Y(B))는 함자 hom(A , _ )에서 hom(B, _)로의 자연 변환의 모임이다. Y의 충실성은 Y가 사상 hom(C(A, B)) : hom(A, B) → Hom(Y(A), Y(B))를 단사로 만드는 것을 의미한다.
요네다 보조정리의 공식	Hom(hom(A , _), F) ≅ F(A)
요네다 보조정리의 의미	범주 C에서 대상 A에 의해 표현되는 함자 hom(A , _)에서 함자 F로의 자연 변환은 F(A)의 원소와 같다.
따름 정리	hom함자 hom(A , _)와 hom(_, A)는 A를 결정한다. 특히, hom(A , _) ≅ hom(B, _) 이면 A ≅ B이다. 함자 hom(A , _)는 A의 모든 정보를 담고 있다.
참고 문헌
참고 문헌	Nobuo Yoneda, On Ext and exactness of sequences of groups

2. 보조정리

$\mathcal C$ 가 국소적으로 작은 범주(임의의 두 대상 사이의 사상들의 모임이 항상 집합인 범주)라고 하자. 각 대상 $A\in\mathcal C$ 에 대해, 다음과 같은 함자가 존재한다 ( $\operatorname{Set}$ 는 집합의 범주).

: $\hom(A,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}$

: $\hom(A,-)\colon B\mapsto\hom(A,B)$

이 함자에서, 사상 $f\colon B\to C$ 의 상은 다음과 같다.

: $\hom(A,f)\colon\hom(A,B)\to\hom(A,C)$

: $\hom(A,f)\colon g\mapsto f\circ g$

마찬가지로, 다음과 같은 함자가 존재한다 ( $^\operatorname{op}$ 는 반대 범주).

: $\hom(-,A)\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}$

: $\hom(-,A)\colon B\mapsto\hom(B,A)$

: $\hom(f,A)\colon\hom(C,A)\to\hom(B,A)\qquad(f\colon B\to C)$

: $\hom(f,A)\colon g\mapsto g\circ f$

그리고 함자 $F\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}$ 가 주어졌다고 하자. '''요네다 보조정리'''에 따르면, 모든 대상 $A\in\mathcal C$ 에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다.

: $\operatorname{Nat}(\hom(A,-),F) \cong F(A)$

이 때,

$\operatorname{Nat}(\hom(A,-),F)$ 은 모든 자연 변환 $\Phi\colon\hom(A,-)\Rightarrow F$ 들의 집합이다.
$F(A)\in\operatorname{Set}$ 는 $A$ 의 상이다.

위의 일대일 대응은 구체적으로 다음과 같다.

:

\Phi\mapsto\Phi_A(\operatorname{id}_A)\in F(A)

마찬가지로, 모든 함자

F\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}

및 대상

A\in\mathcal C

에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다.

:

\operatorname{Nat}(\hom(-,A),F) \cong F(A)

이 때

$\operatorname{Nat}(\hom(-,A),F)$ 는 자연 변환 $\Phi\colon\hom(-,A)\Rightarrow F$ 들의 집합이다.
$F(A)$ 는 $A$ 의 상이다.

이 일대일 대응

:

\Phi\mapsto\Phi_A(\operatorname{id}_A)\in F(A)

요네다 보조정리는 국소적으로 작은 범주

\mathcal{C}

를 연구하는 대신,

\mathcal{C}

에서

\mathbf{Set}

(집합 범주로 함수가 사상인 범주)로 가는 모든 함자의 범주를 연구해야 함을 시사한다.

\mathbf{Set}

은 우리가 잘 이해한다고 생각하는 범주이며,

\mathcal{C}

에서

\mathbf{Set}

으로 가는 함자는 알려진 구조 측면에서

\mathcal{C}

의 "표현"으로 볼 수 있다. 원래 범주

\mathcal{C}

는 이 함자 범주에 포함되지만,

\mathcal{C}

에는 존재하지 않고 "숨겨져" 있던 새로운 대상이 함자 범주에 나타난다. 이 새로운 대상을 예전 대상과 똑같이 취급하면 종종 이론이 통일되고 단순해진다.

이 접근 방식은 환을 해당 환 위의 가군을 조사하여 연구하는 일반적인 방법과 유사하며(사실 일반화한다). 환은 범주

\mathcal{C}

의 자리를 차지하며, 환 위의 가군의 범주는

\mathcal{C}

에서 정의된 함자의 범주이다.

요네다 보조정리는 고정된 범주

\mathcal{C}

에서 집합 범주

\mathbf{Set}

로 가는 함자에 관한 것이다. 만약

\mathcal{C}

가 국소적으로 작은 범주라면,

\mathcal{C}

의 각 대상

A

는 hom-함자라고 하는

\mathbf{Set}

로 가는 함자를 발생시킨다. 이 함자는 다음과 같이 표기된다.

:

h_A = \mathrm{Hom}(A,-)

.

공변 hom-함자

h_A

는

X \in \mathcal{C}

를 사상 집합

\mathrm{Hom}(A,X)

로 보내고, 사상

f \colon X \to Y

(여기서

Y \in \mathcal{C}

)를 사상

f \circ -

(왼쪽에서

f

와의 합성)로 보내는데, 이 사상은

\mathrm{Hom}(A,X)

의 사상

g

를

\mathrm{Hom}(A,Y)

의 사상

f \circ g

로 보낸다. 즉,

:

h_A(f) = \mathrm{Hom}(A,f), \text{ or}

:

h_A(f)(g) = f \circ g

요네다 보조정리는 다음과 같다.

:

\mathrm{Nat}(h_A,F) \cong F(A).

여기서 표기

\mathbf{Set}^\mathcal{C}

는

\mathcal{C}

에서

\mathbf{Set}

로 가는 함자의 범주를 나타낸다.

h_A

에서

F

로 가는 자연 변환

\Phi

가 주어지면,

F(A)

에 해당하는 원소는

u = \Phi_A(\mathrm{id}_A)

이고,

F(A)

의 원소

u

가 주어지면, 해당 자연 변환은

\Phi_{X}(f) = F(f)(u)

로 주어지며, 이는 사상

f \colon A \to X

에

F(X)

의 값을 할당한다.

요네다 보조정리의 반변 버전이 있는데, 이는

\mathcal{C}

에서

\mathbf{Set}

으로의 반변 함자와 관련이 있다. 이 버전은 반변 홈-함자

:

h^A = \mathrm{Hom}(-, A),

를 포함하며, 이는

X

를 홈-집합

\mathrm{Hom}(X,A)

로 보낸다.

\mathcal{C}

에서

\mathbf{Set}

으로의 임의의 반변 함자

G

가 주어지면, 요네다 보조정리는 다음과 같다.

:

\mathrm{Nat}(h^A,G) \cong G(A).

2. 1. 요네다 사상

'''C'''를 국소적으로 작은 범주라고 하자. 즉, '''C'''의 각 대상 , 에 대해 는 집합이다. 대상 를 고정할 때, 공변 hom 함자 는 대상 에 대해 집합 를 할당하고, 사상 에 대해 사상 를 할당하는 함자이다. 또한, 를 집합 값 함자라고 하고, 에서 로의 모든 자연 변환 클래스 에 대해 생각한다.

이때, '''요네다 사상'''(Yoneda map)이라고 불리는 전단사

y:\mathop{\mathrm{Nat}}(H^A,F)\cong F(A)

가 존재하며, 이 동형은 와 에 대해 자연스럽다는 주장이 요네다 보조정리이다. 또한, 가 반변 함자 인 경우에도, 반변 hom 함자 와의 사이에

y:\mathop{\mathrm{Nat}}(H_A,F)\cong F(A)

라는 전단사가 존재하고, 이는 와 에 대해 자연스럽게 된다. 이 두 가지 모두를 요네다 보조정리라고 한다.

관수 가 공변()이라고 하자. 이때, 공변 hom 관수 에서 로의 자연 변환 는 임의의 의 사상 에 대해

\tau_Y\circ H^A(f)=Ff\circ\tau_X

가 정의로부터 성립한다. 이제, 의 경우에, 에서의 항등 사상 가 어떻게 사상되는지를 추적함으로써, 등식

\tau_Y(f)=Ff(\tau_X(\mathrm{id}_A))

을 얻는다. 여기에서, 자연 변환 의 정보는

\tau_X(\mathrm{id}_A)\in F(A)

로부터 모두 얻을 수 있다는 것을 알 수 있다.

2. 2. 표준적 일대일 대응 (자연 동형)

\mathcal C

가 국소적으로 작은 범주라고 할 때, 요네다 보조정리는 모든 대상

A\in\mathcal C

와 함자

F\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}

에 대하여 다음 두 집합 사이의 표준적인 일대일 대응(자연 동형)이 존재함을 보장한다.^[19]

:

\operatorname{Nat}(\hom(A,-),F) \cong F(A)

여기서,

$\operatorname{Nat}(\hom(A,-),F)$ 는 자연 변환 $\Phi\colon\hom(A,-)\Rightarrow F$ 들의 집합이다. 즉, $\hom(A,-)$ 에서 $F$ 로 가는 모든 자연 변환들의 모임이다.
$F(A)\in\operatorname{Set}$ 는 함자 $F$ 에 대한 $A$ 의 상이다. 즉, $F$ 에 의해 $A$ 에 대응되는 집합이다.

이 일대일 대응은 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

:

\Phi\mapsto\Phi_A(\operatorname{id}_A)\in F(A)

즉, 자연 변환

\Phi

는

A

에서의 항등 사상

\operatorname{id}_A

를

F(A)

의 원소로 보내는 함수

\Phi_A

의 값으로 대응된다.

이 대응이 "표준적"이라는 것은, 이 일대일 대응이 다음 두 함자 사이의 자연 동형을 이룬다는 의미이다.^[1]

:

\operatorname{Nat}(\hom(-,-),-)\colon\mathcal C\times\operatorname{Set}^{\mathcal C}\to\operatorname{Set}

:

\operatorname{Nat}(\hom(-,-),-)\colon(A,F)\mapsto\operatorname{Nat}(\hom(A,-),F)

:

-(-)\colon\mathcal C\times\operatorname{Set}^{\mathcal C}\to\operatorname{Set}

:

-(-)\colon(A,F)\mapsto F(A)

여기서

\operatorname{Set}^{\mathcal C}

는

\mathcal C

에서

\operatorname{Set}

으로 가는 함자들과 자연 변환들의 범주를 나타낸다.

첫 번째 함자

\operatorname{Nat}(\hom(-,-),-)

에서, 사상

(f\colon A\to B,\Phi\colon F\Rightarrow G)

의 상은 다음과 같다.

:

\operatorname{Nat}(\hom(f,-),\Phi)\colon\operatorname{Nat}(\hom(A,-),F)\to\operatorname{Nat}(\hom(B,-),G)

:

\operatorname{Nat}(\hom(f,-),\Phi)\colon\Psi\mapsto\Phi\circ\Psi\circ\hom(f,-)

두 번째 함자

-(-)

에서, 사상

(f\colon A\to B,\Phi\colon F\Rightarrow G)

의 상은 다음과 같다.

:

\Phi_f\colon F(A)\to G(B)

:

\Phi_f=\Phi_B\circ F(f)=G(f)\circ\Phi_A

마찬가지로, 반변 함자

F\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}

에 대해서도 비슷한 일대일 대응이 존재한다.

:

\operatorname{Nat}(\hom(-,A),F) \cong F(A)

이 경우에도 위와 같은 자연 동형이 성립한다.

요네다 사상은 전단사

y:\mathop{\mathrm{Nat}}(H^A,F)\cong F(A)

로 표현 될 수 있다.

2. 3. 증명

쌍대성에 따라, 함자

F

가

\mathcal C\to\operatorname{Set}

인 경우를 증명하면 충분하다. (

F\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}

의 경우,

\mathcal C

를 그 반대 범주로 대체한다.)

임의의 자연 변환

\Phi\colon\hom(A,-)\Rightarrow F

에 대해

\Phi_A(\operatorname{id}_A)

를 생각할 수 있다.

\Phi_A

는

A\to A

함자를

F(A)

의 원소로 옮겨야 하고,

\operatorname{id}_A\colon A\to A

이므로,

\Phi_A(\operatorname{id}_A)\in F(A)

임을 알 수 있다.

이제, 모든

u \in F(A)

에 대해

\Phi_A(\operatorname{id}_A)=u

인 유일한 자연 변환

\Phi

를 대응할 수 있다는 것만 증명하면 된다. 이는 다음과 같은 가환 그림과 그림 쫓기(diagram chasing|다이어그램 체이싱^영어)를 사용하여 증명할 수 있다.

자연 변환

:

\Phi_X(f) = (F f)u

은 자명하게

\Phi_A(\operatorname{id}_A)=u

를 만족한다. 반대로, 자연 변환의 정의에 따라 위 가환이 성립하므로,

\Phi_A(\operatorname{id}_A)=u

를 만족하는 자연 변환은 위 자연 변환밖에 없다. 다시 말해,

u \in F(A)

의 선택에 따라 자연 변환이 결정되므로 증명이 완성된다.^[2]

다른 증명 방법으로는 요네다 사상

y

를 자연 변환

\tau

에 대해

y(\tau)=\tau_A(\mathrm{id}_A)

로 정의하고,

y

가 전단사임을 보이는 방법이 있다.

'''단사성''' :

a \in F(A)

에 대해, 자연 변환

\tau : H^A \Rightarrow F

가 존재하여

y(\tau) = a

라고 가정한다. 이때, 임의의 사상

f : A \to Y

에 대해

\tau

는

\tau_Y(a)=Ff(a)

를 만족한다. 이로 인해

\tau

의 모든 컴포넌트가 유일하게 결정된다. 즉, 그러한

\tau

는 유일하게 결정되므로

y

는 단사이다.

'''전사성''' :

a \in F(A)

를 임의로 고정한다.

\mathbf{C}

의 대상

X

각각에 대해, 사상

\tau_X : \hom(A, X) \to F(X)

를

\tau_X(f)=Ff(a)

로 정의한다. 이때,

f : X \to Y

와

g : A \to X

에 대해

Ff(\tau_X(g))=F(f\circ g)(a)=\tau_Y(f\circ g)

가 성립하므로,

\tau_X

는 어떤 자연 변환

\tau : H^A \Rightarrow F

의 컴포넌트이다. 정의로부터

\tau_A(\mathrm{id}_A) = a

이므로

y(\tau) = a

가 성립한다. 즉,

y

는 전사이다.

3. 요네다 매장

국소적으로 작은 범주 $\mathcal C$ 에 대하여, 요네다 보조정리는 대상 $A\in\mathcal C$ 와 함자 $F=\hom(-,B)\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}$ 에 대해 다음 전단사 함수를 제공한다.^[1]

: $\hom(A,B)\cong\operatorname{Nat}(\hom(-,A),\hom(-,B))$

: $f\mapsto\hom(-,f)$

이는 함자 범주 $\operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op}}}$ 로 가는 함자

: $\hom(-,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op}}}$

: $\hom(-,-)\colon A\mapsto\hom(-,A)$

: $\hom(-,-)\colon f\mapsto\hom(-,f)$

를 임의의 사상 집합으로 제한한 것이다. 이 함자는 충실충만한 함자이며, 범주 $\mathcal C$ 를 $\operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op}}}$ 안에 그대로 옮기는 역할을 한다. 이 함자를 '''요네다 매장'''([米田]埋藏, Yoneda embedding^영어)이라고 부른다.

마찬가지로, 요네다 보조정리에 따라 다음 전단사 함수가 성립하며,^[1]

: $\hom(A,B)\cong\operatorname{Nat}(\hom(B,-),\hom(A,-))$

: $f\mapsto\hom(f,-)$

다음과 같은 충실충만한 함자가 존재한다.

: $\hom(-,-)'\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}^{\mathcal C}$

: $\hom(-,-)'\colon A\mapsto\hom(A,-)$

: $\hom(-,-)'\colon f\mapsto\hom(f,-)$

요네다 보조정리는 고정된 범주 $\mathcal{C}$ 에서 집합 범주 $\mathbf{Set}$ 로 가는 함자에 관한 것이다. $\mathcal{C}$ 가 국소적으로 작은 범주이면, $\mathcal{C}$ 의 각 대상 $A$ 는 hom-함자 $h_A = \mathrm{Hom}(A,-)$ 를 발생시킨다.

공변 hom-함자 $h_A$ 는 $X \in \mathcal{C}$ 를 $\mathrm{Hom}(A,X)$ 로 보내고, 사상 $f \colon X \to Y$ ( $Y \in \mathcal{C}$ )를 $f \circ -$ (왼쪽에서 $f$ 와의 합성)로 보낸다. 즉,

: $h_A(f) = \mathrm{Hom}(A,f)$

: $h_A(f)(g) = f \circ g$

요네다 보조정리에 따르면, 국소적으로 작은 범주 $\mathcal{C}$ 에서 $\mathbf{Set}$ 으로 가는 함자 $F$ 에 대해, $\mathcal{C}$ 의 각 대상 $A$ 에 대해 다음이 성립한다.^[1]

: $\mathrm{Nat}(h_A,F) \cong F(A).$

요네다 보조정리의 반변 버전은 $\mathcal{C}$ 에서 $\mathbf{Set}$ 으로의 반변 함자와 관련이 있으며, 반변 홈-함자 $h^A = \mathrm{Hom}(-, A)$ 를 포함한다. $\mathcal{C}$ 에서 $\mathbf{Set}$ 으로의 임의의 반변 함자 $G$ 가 주어지면, 요네다 보조정리는 다음과 같다.^[1]

: $\mathrm{Nat}(h^A,G) \cong G(A).$

요네다 보조정리의 중요한 특수한 경우는 $F$ 가 $h_B$ 일 때이다. 이 경우, 요네다 보조정리의 공변 버전은 다음과 같다.^[1]

: $\mathrm{Nat}(h_A,h_B) \cong \mathrm{Hom}(B,A).$

즉, hom-함자 간의 자연 변환은 관련 객체 간의 사상(반대 방향)과 일대일 대응을 이룬다.

$h_{\bullet}$ 는 $\mathcal{C}$ 에서 $\mathbf{Set}$ 으로 가는 모든 (공변) 함자의 함자 범주인 $\mathbf{Set}^\mathcal{C}$ 로 가는 반변 함자이다. $h_{\bullet}$ 를 공변 함자로 해석하면,

: $h_{\bullet}\colon \mathcal{C}^{\text{op}} \to \mathbf{Set}^\mathcal{C}.$

이다. 요네다 보조정리는 함자 $h_{\bullet}$ 가 충실하고 완전하며, 따라서 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 을 $\mathbf{Set}$ 으로 가는 함자의 범주에 포함시킨다는 것을 의미한다.

요네다 보조정리의 반변 버전은 다음과 같다.^[1]

: $\mathrm{Nat}(h^A,h^B) \cong \mathrm{Hom}(A,B).$

따라서, $h^{\bullet}$ 은 $\mathcal{C}$ 에서 $\mathbf{Set}$ 으로 가는 반변 함자의 범주로 가는 공변 함자를 생성한다.

: $h^{\bullet}\colon \mathcal{C} \to \mathbf{Set}^{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}.$

요네다 매장은 때때로 よ, 즉 히라가나 요로 표시된다.^[3]

4. 귀결

요네다 보조정리는 국소적으로 작은 범주 $\mathcal{C}$ 를 연구하는 대신, $\mathcal{C}$ 에서 집합 범주( $\mathbf{Set}$ )로 가는 모든 함자의 범주를 연구해야 함을 시사한다. $\mathbf{Set}$ 은 우리가 잘 이해하는 범주이며, $\mathcal{C}$ 에서 $\mathbf{Set}$ 으로 가는 함자는 알려진 구조 측면에서 $\mathcal{C}$ 의 "표현"으로 볼 수 있다. 원래 범주 $\mathcal{C}$ 는 이 함자 범주에 포함되지만, $\mathcal{C}$ 에는 존재하지 않고 "숨겨져" 있던 새로운 대상이 함자 범주에 나타난다. 이 새로운 대상을 예전 대상과 똑같이 취급하면 종종 이론이 통일되고 단순해진다.

이는 환을 해당 환 위의 가군을 조사하여 연구하는 방법과 유사하다. 환은 범주 $\mathcal{C}$ 의 자리를 차지하며, 환 위의 가군의 범주는 $\mathcal{C}$ 에서 정의된 함자의 범주이다.

요네다 보조정리에 따르면, 국소적으로 작은 범주 $\mathcal{C}$ 의 각 대상 $A$ 에 대해, hom-함자 $h_A = \mathrm{Hom}(A,-)$ 에서 $\mathcal{C}$ 에서 $\mathbf{Set}$ 로 가는 함자 $F$ 로 가는 자연 변환은 $F(A)$ 의 원소와 일대일 대응을 이룬다. 즉,

: $\mathrm{Nat}(h_A,F) \cong F(A).$

이 동형사상은 $A$ 와 $F$ 에서 자연 동형사상이다.

요네다 매립은 모든 (국소적으로 작은) 범주에 대해 해당 범주의 객체가 표현가능 함자에 의해 전층으로, 완전하고 충실한 방식으로 표현될 수 있음을 보여준다. 즉, 전층 ''P''에 대해

: $\mathrm{Nat}(h^A,P) \cong P(A)$

가 성립한다. 많은 일반적인 범주는 전층의 범주이며, 자세히 살펴보면 층의 범주임이 밝혀진다. 따라서 일반적으로 토포스로 간주될 수 있으며, 요네다 보조정리는 범주의 위상적 구조를 연구하고 이해할 수 있는 지렛대 역할을 한다.

4. 1. 표현 가능 함자

집합 값 함자 ''F'' : '''C''' → '''Set'''^영어가 어떤 1=''H''^''A'' = hom(''A'', _)^영어와 자연 동형일 때, F^영어를 표현 가능 함자(representable functor)라고 하며, A^영어는 F^영어의 표현 대상 (representing object) 또는 단순히 F^영어의 표현이라고 한다.^[13] F^영어가 표현 가능 함자일 때, 요네다 보조정리의 결과로 다음 주장이 성립한다.

범주 가 국소적으로 작고, 함자 ''F'' : '''C''' → '''Set'''^영어는 표현 가능하다 하자. 이 때, F^영어의 표현은 다음 조건이 성립하는 의 대상 A^영어와 ''u'' ∈ ''F''(''A'')^영어의 쌍으로 구성된다.

임의의 ''B'' ∈ '''C'''^영어와 ''x'' ∈ ''F''(''B'')^영어의 쌍에 대해, 의 사상 가 유일하게 존재하여, ''F''가 성립한다.

역으로, 위 정리의 조건을 만족하는 A^영어와 ''u'' ∈ ''F''(''A'')^영어의 쌍을 F^영어의 보편 원소 (universal element)라고 부른다.^[13] 더 일반적으로, 함자 ''F'' : '''C''' → '''D'''^영어와 ''d'' ∈ '''D'''^영어에 대해, d^영어의 F^영어로의 보편성(universality)은, ''A'' ∈ '''C'''^영어와 의 사상 ''u'' : ''d'' → ''FA''^영어의 쌍으로서, 임의의 ''B'' ∈ '''C'''^영어와 의 사상 ''x'' : ''d'' → ''FB''^영어에 대해, 의 사상 가 유일하게 존재하여, 1=''F''가 성립하는 것을 말한다.

보편 원소의 성질은 한 점 집합으로부터의 보편성이라고 말할 수 있으며, 보편성은 '''D'''(''d'', ''F''_) : '''C''' → '''Set'''^영어의 보편 원소로 표현할 수 있으므로, 보편성, 보편 원소, 표현 가능 함자는 각각 서로의 개념을 포함한다.^[13]

4. 2. 보편성

집합 값 함자 가 어떤 와 자연 동형일 때, 를 표현 가능 함자라고 하며, 는 의 표현 대상 또는 단순히 의 표현이라고 한다. 가 표현 가능 함자일 때, 요네다 보조정리의 귀결로서 다음 주장이 성립한다.

범주 가 국소적으로 작고, 함자 는 표현 가능하다 하자. 이 때, 의 표현은 다음 조건이 성립하는 의 대상 와 의 쌍으로 구성된다.

임의의 와 의 쌍에 대해, 의 사상 가 유일하게 존재하여, 가 성립한다.

역으로, 위 정리의 조건을 만족하는 와 의 쌍을 의 보편 원소 (universal element)라고 부른다. 더 일반적으로, 함자 와 에 대해, 의 로의 보편성은, 와 의 사상 의 쌍으로서, 임의의 와 의 사상 에 대해, 의 사상 가 유일하게 존재하여, 가 성립하는 것을 말한다.

보편 원소의 성질은 한 점 집합으로부터의 보편성이라고 말할 수 있으며, 보편성은 의 보편 원소로 표현할 수 있으므로, 보편성, 보편 원소, 표현 가능 함자는 각각 서로의 개념을 포함한다.^[13]

4. 3. 전층의 부분 대상 분류자

유한 극한을 갖는 범주 위의 전층이란 로부터의 반변관수 를 말하며, 이때 전층의 범주를 로 나타낸다. 범주 의 부분 대상 분류자란 (존재한다면) 의 대상 와 모노 사상 (은 종 대상)이며, 임의의 모노 사상 에 대해, 이고 그 가환도가 당김이 되도록 하는

\chi_j:X\to\Omega

가 유일하게 존재하는 것을 말한다.

전층의 범주 로의 요네다 매장을 로 나타낸다고 하자. 이제, 에 부분 대상 분류자 가 존재한다면, 특히 ()에 대해

\mathrm{Hom}_{\hat{\mathbf{C}}}(YC,\Omega)=\mathop{\mathrm{Nat}}(\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(\_,C),\Omega)\cong\Omega(C)

가 성립한다 (오른쪽의 동형성은 요네다 보조정리에서 따른다). 부분 대상 분류자의 정의로부터, 좌변의 집합은 의 부분 대상의 집합과 일대일 대응한다. 따라서, 등식 전체가 에 대해 자연스럽다는 것으로부터, 는 반드시 부분 대상 분류자를 가지며, 그것은 표현 가능한 전층 의 부분 대상을 조사하면 된다는 것을 알 수 있다^[18].

4. 4. (co)end calculus

두 범주

\mathbf{C}

와

\mathbf{D}

가 주어지고 두 개의 함자

F, G : \mathbf{C} \to \mathbf{D}

가 주어지면, 이들 사이의 자연 변환은 다음의 끝으로 쓸 수 있다.

:

\mathrm{Nat}(F, G) = \int_{c \in \mathbf{C}} \mathrm{Hom}_\mathbf{D}(Fc, Gc)

임의의 함자

K \colon \mathbf{C}^{op} \to \mathbf{Sets}

와

H \colon \mathbf{C} \to \mathbf{Sets}

에 대해 다음 공식들은 모두 요네다 보조정리의 공식이다.

:

K \cong \int^{c \in \mathbf{C}} Kc \times \mathrm{Hom}_\mathbf{C}(-,c),\qquadK \cong \int_{c \in \mathbf{C}} (Kc)^{\mathrm{Hom}_\mathbf{C}(c,-)},

:

H \cong \int^{c \in \mathbf{C}} Hc \times \mathrm{Hom}_\mathbf{C}(c,-),\qquadH \cong \int_{c \in \mathbf{C}} (Hc)^{\mathrm{Hom}_\mathbf{C}(-,c)}.

5. 전가법 범주, 환 및 가군

요네다 보조정리는 국소적으로 작은 범주 $\mathcal{C}$ 를 연구하는 대신, $\mathcal{C}$ 에서 집합 범주 $\mathbf{Set}$ (함수가 사상인 범주)로 가는 모든 함자의 범주를 연구해야 함을 시사한다. 이 접근 방식은 환을 해당 환 위의 가군을 조사하여 연구하는 일반적인 방법과 유사하며(사실 일반화한다).

''전가법 범주''는 사상 집합이 아벨 군을 이루고 사상의 합성이 쌍선형 연산자인 범주이다. 아벨 군이나 가군 범주가 그 예시이다. 전가법 범주에서, 사상의 "곱셈"과 "덧셈"이 모두 존재하는데, 이것이 전가법 범주가 환의 일반화로 간주되는 이유이다. 환은 하나의 대상만 가지는 전가법 범주이다.

요네다 보조정리는 원래 범주에서 아벨 군 범주로 가는 ''가법 함자'' 반변 함자 범주를 확장으로 선택하면 전가법 범주에서도 유효하다. 이 함자는 사상의 덧셈과 호환되며 원래 범주에 대한 ''가군 범주''를 형성하는 것으로 생각해야 한다. 요네다 보조정리는 전가법 범주를 확장하여 확장된 버전이 전가법 범주로 유지되도록 하는 자연스러운 절차를 제공한다. 환 $R$ 의 경우, 확장된 범주는 $R$ 위의 모든 오른쪽 가군의 범주이며, 요네다 보조정리의 명제는 다음의 잘 알려진 동형 사상으로 축소된다.

: $M \cong \mathrm{Hom}_R(R,M)$ ( $R$ 위의 모든 오른쪽 가군 $M$ 에 대해).

6. 케일리 정리와의 관계

요네다 보조정리는 군론의 케일리 정리를 광범위하게 일반화한 것으로 볼 수 있다. 이를 확인하기 위해 모든 사상이 동형 사상(하나의 대상이 있는 군 범주)인 단일 대상 {*}가 있는 범주 $\mathcal{C}$ 를 생각해보자. 그러면 $G = \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(*,*)$ 는 합성 연산에 대해 군을 형성하며, 임의의 군은 이러한 방식으로 범주로 나타낼 수 있다.

이 맥락에서, 공변성 함자 $\mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ 는 집합 $X$ 와 군 준동형 사상 $G \to \mathrm{Perm}(X)$ 로 구성되며, 여기서 $\mathrm{Perm}(X)$ 는 $X$ 의 순열 군이다. 즉, $X$ 는 G-집합이다. 이러한 함자 간의 자연 변환은 $G$ -집합 간의 등변 사상과 동일하다. 모든 $G$ 의 $g$ 와 $X$ 의 $x$ 에 대해 $\alpha(g \cdot x) = g \cdot \alpha(x)$ 의 속성을 가진 집합 함수 $\alpha \colon X \to Y$ 이다. (이 방정식의 왼쪽에서 $\cdot$ 는 $G$ 의 $X$ 에 대한 작용을 나타내고, 오른쪽에서는 $Y$ 에 대한 작용을 나타낸다.)

이제 공변성 hom-함자 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(*,-)$ 는 자신에 대한 $G$ 의 좌곱셈에 의한 작용에 해당한다(반변성 버전은 우곱셈에 해당한다). $F = \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(*,-)$ 를 사용한 요네다 보조정리는 다음과 같다.

: $\mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(*,-), \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(*,-)) \cong \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(*,*)$

즉, 이 $G$ -집합에서 자신으로의 등변 사상은 $G$ 와 일대일 대응된다. 그러나 (1) 이러한 사상이 합성 연산에 대해 군을 형성하며, 이는 $\mathrm{Perm}(G)$ 의 부분군이고, (2) 일대일 대응을 제공하는 함수가 군 준동형 사상이라는 것을 쉽게 알 수 있다. (반대 방향으로 가면, 모든 $G$ 의 $g$ 에 대해 $g$ 에 의한 우곱셈의 등변 사상을 연관시킨다.) 따라서 $G$ 는 $\mathrm{Perm}(G)$ 의 부분군과 동형이며, 이는 케일리 정리의 내용이다.

7. 역사

요네다 노부오가 1954년에 발표하였다.^[20] 1996년 키노시타 요시키(木下喜貴)는 "요네다 보조정리"라는 용어가 손더스 매클레인에 의해 만들어졌으며, 손더스 매클레인이 파리 북역에서 요네다 노부오(米田信夫)와 인터뷰한 후에 이루어졌다고 밝혔다.

참조

_[1] 서적 Categories for the working mathematician Springer 1998
_[2] 서적 Category Theory in Context http://www.math.jhu.[...] Dover 2017
_[3] 웹사이트 Yoneda embedding https://ncatlab.org/[...] 2019-07-06
_[4] 웹사이트 Prof. Nobuo Yoneda passed away http://www.mta.ca/~c[...] 1996-04-23
_[5] 웹사이트 le lemme de la Gare du Nord http://www.neverendi[...] 2016-11-18
_[6] 문서 Kinoshita 1996
_[7] 문서 Kinoshita 1998
_[8] 문서 MacLane 1998
_[9] 문서 Mac Lane 1998
_[10] 문서 Riehl 2016
_[11] 문서 Riehl 2016
_[12] 문서 Awodey 2010
_[13] 문서 Mac Lane 1998
_[14] 문서 Mac Lane 1998
_[15] 저널 (Op)lax natural transformations, twisted quantum field theories, and “even higher” Morita categories https://www.scienced[...] 2017-02-05
_[16] 서적 (Co)end Calculus https://www.cambridg[...] Cambridge University Press 2022-10-01
_[17] 문서 Adámek 2010
_[18] 문서 Mac Lane 1992
_[19] 서적
_[20] 저널 On the homology theory of modules 1954

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