준층
1. 개요
준층은 작은 범주 C에 대한 집합 값 함자, 즉 Cop에서 집합의 범주로 가는 함자를 의미한다. 준층의 범주는 데카르트 닫힌 범주이며, 요네다 매장을 통해 범주 C를 준층 범주에 포함시킨다. 모든 준층은 표현 가능 준층의 여극한으로 나타낼 수 있으며, 이는 C가 여극한 완비임을 의미한다. 또한, 모든 함자는 요네다 매장과 여극한 보존 함자를 통해 인수분해될 수 있다. 단체 집합과 단순 집합은 준층의 예시이며, 공간들의 준층과 공준층과 같은 변형된 개념도 존재한다.
-
함자 -
자연 변환
자연 변환은 두 함자 사이의 사상으로, 모든 대상에 대해 사상을 포함하며, 사상에 대해 특정 조건을 만족시키고, 자연 동형 사상과 수직 및 수평 합성을 가지며 다양한 분야에 응용된다. -
함자 -
함자 (수학)
함자는 범주 C와 D 사이의 관계를 정의하는 수학적 개념으로, C의 대상과 사상을 각각 D의 대상과 사상에 대응시키며 항등 사상과 사상의 합성을 보존하고 다양한 종류와 성질을 가지며, 대수적 위상수학 등에서 발전했다. -
층론 -
토포스
토포스는 유한 완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이며 부분 대상 분류자를 갖는 특정한 조건을 만족하는 범주로서, 일계 논리 또는 일계 정의가 있는 대상의 부분 대상 개념을 갖는 데카르트 닫힌 범주로 이해될 수 있고, 위상 공간의 일반화이자 집합론에 대한 범주론적 일반화로서 수학의 공리적 기초를 제공한다. -
층론 -
층 (수학)
층은 위상 공간의 열린 부분집합에 정보를 대응시켜 국소적 데이터를 전역적으로 다루는 구조로, 준층, 분리 준층, 층의 세 단계로 정의되며, 대역적 데이터가 국소적 데이터로부터 결정되고 국소적 데이터를 이어붙이는 조건까지 갖춘 수학적 도구이다.
2. 성질
작은 범주 에 대한 집합 값 준층들의 범주 는 데카르트 닫힌 범주이다. 의 대상 의 부분 대상들의 부분 순서 집합은 헤이팅 대수를 이룬다. 의 사상 에 대해, 부분 대상의 당김 함수 는 오른쪽 수반 함자 와 왼쪽 수반 함자 를 갖는다. 이들은 각각 보편 양화사와 존재 양화사에 대응된다. 국소적으로 작은 범주 는 요네다 매장을 통해 집합 값 준층 범주 에 충만하고 충실하게 매장된다. 는 작은 극한과 여극한을 갖는다. 조밀성 정리에 따르면, 모든 준층은 표현 가능 준층의 여극한으로 나타낼 수 있다. 즉, 는 의 여극한 완비이다.
3. 보편 성질
구성은 의 여극한 완비라고 불리며, 다음과 같은 보편 성질을 만족한다.
* 가 작은 범주일 때, 함자 범주 는 데카르드 닫힌 범주이다.
* 가 작은 에 대한 의 대상일 때, 의 부분 대상의 부분 순서 집합은 헤이팅 대수를 형성한다.
* 의 모든 사상 에 대해, 부분 대상의 당김 함수 는 로 나타내는 오른쪽 수반 함자와 왼쪽 수반 함자 를 가진다. 이들은 보편적이고 실존적인 양화사이다.
* 국소적으로 작은 범주 는 의 모든 대상 를 hom 함자 와 연결짓는 요네다 매장을 통해 집합 값 준층 범주에 충만하고 충실하게 매장된다.
* 범주 는 작은 극한과 작은 여극한을 인정한다.
* 조밀성 정리는 모든 준층이 표현 가능한 준층의 여극한임을 나타낸다.
명제
가 범주이고 가 작은 여극한을 허용한다고 할 때, 각 함자 는 요네다 매장 y와 여극한 보존 함자(요네다 확장) 를 통해 다음과 같이 인수분해된다.
:
(요네다 확장에 대한 자세한 내용은 하위 섹션을 참고)
이 명제는 구성이 함자적이라는 따름 정리를 갖는다. 즉, 각 함자 는 함자 를 결정한다.