준층

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1. 개요
2. 성질
3. 보편 성질
- 3.1. 요네다 확장
4. 예
5. 변형
참조

1. 개요

준층은 작은 범주 C에 대한 집합 값 함자, 즉 C^op에서 집합의 범주로 가는 함자를 의미한다. 준층의 범주는 데카르트 닫힌 범주이며, 요네다 매장을 통해 범주 C를 준층 범주에 포함시킨다. 모든 준층은 표현 가능 준층의 여극한으로 나타낼 수 있으며, 이는 C가 여극한 완비임을 의미한다. 또한, 모든 함자는 요네다 매장과 여극한 보존 함자를 통해 인수분해될 수 있다. 단체 집합과 단순 집합은 준층의 예시이며, 공간들의 준층과 공준층과 같은 변형된 개념도 존재한다.

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준층

2. 성질

작은 범주 $C$ 에 대한 집합 값 준층들의 범주 $\widehat{C} = \mathbf{Set}^{C^\mathrm{op}}$ 는 데카르트 닫힌 범주이다. $\widehat{C}$ 의 대상 $P$ 의 부분 대상들의 부분 순서 집합은 헤이팅 대수를 이룬다. $\widehat{C}$ 의 사상 $f: X \to Y$ 에 대해, 부분 대상의 당김 함수 $f^*: \mathrm{Sub}_{\widehat{C}}(Y) \to \mathrm{Sub}_{\widehat{C}}(X)$ 는 오른쪽 수반 함자 $\forall_f$ 와 왼쪽 수반 함자 $\exists_f$ 를 갖는다. 이들은 각각 보편 양화사와 존재 양화사에 대응된다. 국소적으로 작은 범주 $C$ 는 요네다 매장을 통해 집합 값 준층 범주 $\widehat{C}$ 에 충만하고 충실하게 매장된다. $\widehat{C}$ 는 작은 극한과 여극한을 갖는다.^[8]^[2] 조밀성 정리에 따르면, 모든 준층은 표현 가능 준층의 여극한으로 나타낼 수 있다. 즉, $\widehat{C}$ 는 $C$ 의 여극한 완비이다.

3. 보편 성질

$C \mapsto \widehat{C} = \mathbf{Fct}(C^{\text{op}}, \mathbf{Set})$ 구성은 $C$ 의 '''여극한 완비'''라고 불리며, 다음과 같은 보편 성질을 만족한다.

$C$ 가 작은 범주일 때, 함자 범주 $\widehat{C}=\mathbf{Set}^{C^\mathrm{op}}$ 는 데카르드 닫힌 범주이다.
$P$ 가 작은 $C$ 에 대한 $\widehat{C}=\mathbf{Set}^{C^\mathrm{op}}$ 의 대상일 때, $P$ 의 부분 대상의 부분 순서 집합은 헤이팅 대수를 형성한다.
$\widehat{C}$ 의 모든 사상 $f:X\to Y$ 에 대해, 부분 대상의 당김 함수 $f^*:\mathrm{Sub}_{\widehat{C}}(Y)\to\mathrm{Sub}_{\widehat{C}}(X)$ 는 $\forall_f$ 로 나타내는 오른쪽 수반 함자와 왼쪽 수반 함자 $\exists_f$ 를 가진다. 이들은 보편적이고 실존적인 양화사이다.
국소적으로 작은 범주 $C$ 는 $C$ 의 모든 대상 $A$ 를 hom 함자 $C(-,A)$ 와 연결짓는 요네다 매장을 통해 집합 값 준층 $\widehat{C}$ 범주에 충만하고 충실하게 매장된다.
범주 $\widehat{C}$ 는 작은 극한과 작은 여극한을 인정한다.^[8]
조밀성 정리는 모든 준층이 표현 가능한 준층의 여극한임을 나타낸다.

명제^[9]

C, D

가 범주이고

D

가 작은 여극한을 허용한다고 할 때, 각 함자

\eta: C \to D

는 요네다 매장 ''y''와 여극한 보존 함자(요네다 확장)

\widetilde{\eta}: \widehat{C} \to D

를 통해 다음과 같이 인수분해된다.

:

C \overset{y}\longrightarrow \widehat{C} \overset{\widetilde{\eta}}\longrightarrow D

(요네다 확장에 대한 자세한 내용은 하위 섹션을 참고)

이 명제는

C \mapsto \widehat{C}

구성이 함자적이라는 따름 정리를 갖는다. 즉, 각 함자

C \to D

는 함자

\widehat{C} \to \widehat{D}

를 결정한다.

3. 1. 요네다 확장

범주 ''C'', ''D''가 주어지고, ''D''가 작은 여극한을 갖는다고 하자. 그러면 모든 함자

\eta: C \to D

는 요네다 매장 ''y''와 여극한 보존 함자

\widetilde{\eta}: \widehat{C} \to D

('''요네다 확장''')를 통해 다음과 같이 인수분해된다.^[3]

:

C \overset{y}\longrightarrow \widehat{C} \overset{\widetilde{\eta}}\longrightarrow D

간단히 말해,

\widetilde{\eta}

는 ''y''를 따라

\eta

의 왼쪽 칸 확장이다.

4. 예

단체 집합은 단체 범주 $C=\Delta$ 의 집합 값 준층이다.

5. 변형

∞-범주 ''C'' 위의 공간들의 준층은 ''C''에서 공간 ∞-범주로 가는 반변 함자이다(예: CW-복합체 범주의 신경).^[10] 이는 "집합"이 "공간"으로 대체된 집합 준층의 ∞-범주 버전이다. 이 개념은 요네다 보조정리의 ∞ 범주 공식화에 사용된다. : $C \to PShv(C)$ 는 완전히 충실하다.(여기서 ''C''는 단체 집합일 수 있다.)^[11]

참조

_[1] Nlab co-Yoneda lemma
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 웹사이트 copresheaf https://ncatlab.org/[...] 2024-09-04
_[7] Nlab co-Yoneda lemma
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 서적

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