LSZ 축약 공식

1. 개요

LSZ 축약 공식은 해리 레만, 쿠르트 쥐만치크, 볼프하르트 치머만이 1955년에 도입한 양자장론의 중요한 공식이다. 이 공식은 산란 행렬의 원소, 즉 입자들의 상호작용과 관련된 확률 진폭을 계산하는 데 사용된다. LSZ 축약 공식은 입사 및 출사 입자의 상태를 나타내는 'in' 및 'out' 장을 도입하고, 이를 통해 산란 진폭을 상관 함수의 푸리에 변환과 관련시킨다. 또한, 장의 세기 정규화 인자 Z의 필요성을 설명하며, 스칼라장 및 디랙 장(페르미온)에 대한 축약 공식을 제공한다.

2. 역사

독일의 해리 레만(Harry Lehmann^독일어)과 쿠르트 쥐만치크(Kurt Symanzik), 볼프하르트 치머만(Wolfhart Zimmermann^독일어)이 1955년에 도입하였다. 이름의 "LSZ"는 발견자의 이름의 머리글자다.

3. 상세 설명

LSZ 축약 공식은 질량 m을 가진 스칼라장 φ에서 입자들의 산란 과정을 기술한다. 초기 운동량 $k\_1,\backslash dots,k\_m$을 가진 m개의 입자가 산란하여 나중 운동량 $p\_1,\backslash dots,p\_n$을 가진 n개의 입자가 튕겨 나오는 경우, 이에 해당하는 산란행렬의 원소는 다음과 같이 표현된다.

:$$
\prod_i^n\frac{i\sqrt Z}{p_i^2-m^2+i\epsilon}\prod_1^m\frac{i\sqrt Z}{k_i^2-m^2+\mathrm i\epsilon}\langle\mathbf p_1,\dots,\mathbf p_n|S|\mathbf k_1,\dots,\mathbf k_m\rangle

:$\backslash sim$
\prod_1^n\int d^4x_i\;\exp(ip_i\cdot x_i)\prod_1^m\int d^4y_j\;\exp(-ik_j\cdot y_j)\langle0|\mathrm T\{\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)\phi(y_1)\cdots\phi(y_m)\}|0\rangle


여기서 $\backslash sim$은 양변의 4차원 운동량 $p\_i$와 $k\_i$를 질량껍질로 보내는 극한을 취할 때 성립하는 관계이다. 이 극한에서 양변은 모두 발산하지만, 유수(residue)를 추출하여 비교하면 산란 행렬의 값을 얻을 수 있다. ε은 윅 회전의 방향을 명확하게 하기 위한 무한소이며, Z는 장세기 재규격화 인자이다.

3.1. In/Out Field

S-행렬 요소는 in 상태와 out 상태 간의 전이 진폭이다. in 상태 $|\backslash \{p\backslash \}\backslash \; \backslash mathrm\{in\}\backslash rangle$은 멀리 떨어진 과거에 상호 작용하기 전에, 확실한 운동량을 가지고 자유롭게 움직였던 입자들의 시스템의 상태를 설명하고, 반대로 out 상태 $|\backslash \{p\backslash \}\backslash \; \backslash mathrm\{out\}\backslash rangle$은 상호 작용 후 오랫동안, 확실한 운동량을 가지고 자유롭게 움직일 입자 시스템의 상태를 설명한다.

In 상태와 out 상태는 하이젠베르크 그림의 상태이므로 특정 시간에 입자를 설명하는 것으로 생각해서는 안 되며, 대신 S-행렬 요소가 다음과 같이 전체 진화에서 입자 시스템을 설명하는 것으로 생각해야 한다.

:$S\_\{\backslash rm\; fi\}=\backslash langle\; \backslash \{q\backslash \}\backslash \; \backslash mathrm\{out\}|\; \backslash \{p\backslash \}\backslash \; \backslash mathrm\{in\}\backslash rangle$

는 확실한 운동량으로 준비된 입자 집합이 상호 작용하여 나중에 운동량을 가진 새로운 입자 집합으로 측정될 확률 진폭이다.

in 및 out 상태를 구축하는 쉬운 방법은 적절한 생성 소멸 연산자를 제공하는 적절한 장 연산자를 찾는 것이다. 이러한 장은 각각 in 및 out 장이라고 한다.

아이디어를 고정하기 위해, 우리와 관련 없는 방식으로 상호 작용하는 클라인-고든 장을 다룬다고 가정해 보자.

:$\backslash mathcal\; L=\; \backslash frac\; 1\; 2\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash varphi\backslash partial^\backslash mu\; \backslash varphi\; -\; \backslash frac\; 1\; 2\; m\_0^2\; \backslash varphi^2\; +\backslash mathcal\; L\_\{\backslash mathrm\{int\}\}$

$\backslash mathcal\; L\_\{\backslash mathrm\{int\}\}$는 자기 상호 작용 또는 유카와 상호 작용 $g\backslash \; \backslash varphi\backslash bar\backslash psi\backslash psi$과 같은 다른 장과의 상호 작용을 포함할 수 있다. 이 라그랑지안에서 오일러-라그랑주 방정식을 사용하면 운동 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash left(\backslash partial^2+m\_0^2\backslash right)\backslash varphi(x)=j\_0(x)$

여기서, $\backslash mathcal\; L\_\{\backslash mathrm\{int\}\}$가 유도 결합을 포함하지 않으면:

:$j\_0=\backslash frac\{\backslash partial\backslash mathcal\; L\_\{\backslash mathrm\{int\}\}\}\{\backslash partial\; \backslash varphi\}$

우리는 in 장이 에서 자유 장의 점근적 거동과 유사할 것으로 예상할 수 있으며, 입자가 서로 멀리 떨어져 있기 때문에, 먼 과거에 에 의해 설명된 상호 작용이 무시할 수 있다는 가정을 한다. 이 가설은 단열 가설이라고 한다. 그러나 자기 상호 작용은 절대 사라지지 않으며, 다른 많은 효과 외에도, 라그랑지안 질량 와 보손의 물리적 질량 사이에 차이를 유발한다. 이 사실은 운동 방정식을 다음과 같이 다시 작성하여 고려해야 한다.

:$\backslash left(\backslash partial^2+m^2\backslash right)\backslash varphi(x)=j\_0(x)+\backslash left(m^2-m\_0^2\backslash right)\backslash varphi(x)=j(x)$

이 방정식은 클라인-고든 연산자 $\backslash partial^2+m^2$의 지연된 그린 함수를 사용하여 형식적으로 풀 수 있다.

:$\backslash Delta\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}(x)=i\backslash theta\backslash left(x^0\backslash right)\backslash int\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^3k\}\{(2\backslash pi)^3\; 2\backslash omega\_k\}\; \backslash left(e^\{-ik\backslash cdot\; x\}-e^\{ik\backslash cdot\; x\}\backslash right)\_\{k^0=\backslash omega\_k\}\backslash qquad\; \backslash omega\_k=\backslash sqrt\{\backslash mathbf\{k\}^2+m^2\}$

상호 작용을 점근적 거동에서 분리할 수 있다. 해는 다음과 같다.

:$\backslash varphi(x)=\backslash sqrt\; Z\; \backslash varphi\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(x)\; +\backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^4y\; \backslash Delta\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}(x-y)j(y)$

요인 는 나중에 편리하게 사용될 정규화 요인이고, 장 은 운동 방정식과 관련된 동차 방정식의 해이다.

:$\backslash left(\backslash partial^2+m^2\backslash right)\; \backslash varphi\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(x)=0,$

따라서 자유 장이며, 입사된 비섭동파를 설명하고, 해의 마지막 항은 상호 작용으로 인한 파동의 섭동을 제공한다.

장 은 실제로 우리가 찾고 있던 in 장으로, 에서 상호 작용하는 장의 점근적 거동을 설명하지만, 이 명제는 나중에 더 정확하게 만들어질 것이다. 자유 스칼라장이므로 평면파로 확장될 수 있다.

:$\backslash varphi\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(x)=\backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^3k\; \backslash left\backslash \{f\_k(x)\; a\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(\backslash mathbf\{k\})+f^*\_k(x)\; a^\backslash dagger\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(\backslash mathbf\{k\})\backslash right\backslash \}$

여기서:

:$f\_k(x)=\backslash left.\backslash frac\{e^\{-ik\backslash cdot\; x\}\}\{(2\backslash pi)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}(2\backslash omega\_k)^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}\backslash right|\_\{k^0=\backslash omega\_k\}$

장의 관점에서 계수에 대한 역함수는 쉽게 얻을 수 있으며 우아한 형태로 넣을 수 있다.

:$a\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(\backslash mathbf\{k\})=i\backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^3x\; f^*\_k(x)\backslash overleftrightarrow\{\backslash partial\_0\}\backslash varphi\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(x)$

여기서:

:$\{\backslash mathrm\{g\}\}\backslash overleftrightarrow\{\backslash partial\_0\}\; f\; =\; \backslash mathrm\{g\}\backslash partial\_0\; f\; -f\backslash partial\_0\; \backslash mathrm\{g\}.$

푸리에 계수는 생성 소멸 연산자의 대수를 만족한다.

:$[a\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(\backslash mathbf\{p\}),a\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(\backslash mathbf\{q\})]=0;\backslash quad\; [a\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(\backslash mathbf\{p\}),a^\backslash dagger\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(\backslash mathbf\{q\})]=\backslash delta^3(\backslash mathbf\{p\}-\backslash mathbf\{q\});$

그리고 그것들은 일반적인 방식으로 in 상태를 구축하는 데 사용할 수 있다.

:$\backslash left|k\_1,\backslash ldots,k\_n\backslash \; \backslash mathrm\{in\}\backslash right\backslash rangle=\backslash sqrt\{2\backslash omega\_\{k\_1\}\}a\_\{\backslash mathrm\{in\}\}^\backslash dagger(\backslash mathbf\{k\}\_1)\backslash ldots\; \backslash sqrt\{2\backslash omega\_\{k\_n\}\}a\_\{\backslash mathrm\{in\}\}^\backslash dagger(\backslash mathbf\{k\}\_n)|0\backslash rangle$

상호 작용하는 장과 in 장 사이의 관계는 사용하기가 매우 쉽지 않고, 지연된 그린 함수의 존재는 다음과 같은 것을 쓰고 싶게 한다.

:$\backslash varphi(x)\backslash sim\backslash sqrt\; Z\backslash varphi\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(x)\backslash qquad\; \backslash mathrm\{as\}\backslash quad\; x^0\backslash to-\backslash infty$

입자 간의 모든 상호 작용이 서로 멀리 떨어져 있을 때 무시할 수 있다는 가정을 암묵적으로 한다. 그러나 전류 는 에서 으로의 질량 변화를 생성하는 것과 같은 자기 상호 작용도 포함한다. 이러한 상호 작용은 입자가 분리되면서 사라지지 않으므로 상호 작용하는 장과 in 장 사이에 점근 관계를 설정할 때 많은 주의를 기울여야 한다.

Lehmann, Symanzik 및 Zimmermann이 개발한 올바른 처방은 두 개의 정규화 가능한 상태 $|\backslash alpha\backslash rangle$ 및 $|\backslash beta\backslash rangle$와 클라인-고든 방정식 $(\backslash partial^2+m^2)f(x)=0$의 정규화 가능한 해 을 필요로 한다. 이들을 통해 올바르고 유용하지만 매우 약한 점근 관계를 설명할 수 있다.

:$\backslash lim\_\{x^0\backslash to-\backslash infty\}\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^3x\; \backslash langle\backslash alpha|f(x)\backslash overleftrightarrow\{\backslash partial\_0\}\backslash varphi(x)|\backslash beta\backslash rangle=\; \backslash sqrt\; Z\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^3x\; \backslash langle\backslash alpha|f(x)\backslash overleftrightarrow\{\backslash partial\_0\}\backslash varphi\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(x)|\backslash beta\backslash rangle$

두 번째 구성원은 실제로 시간과 무관하며, 이는 양쪽 모두 과 가 클라인-고든 방정식을 만족한다는 것을 기억하면서 미분하여 보여줄 수 있다.

적절한 변경으로 동일한 단계를 따라 out 상태를 구축하는 out 장을 구성할 수 있다. 특히 out 장의 정의는 다음과 같다.

:$\backslash varphi(x)=\backslash sqrt\; Z\; \backslash varphi\_\{\backslash mathrm\{out\}\}(x)\; +\backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^4y\; \backslash Delta\_\{\backslash mathrm\{adv\}\}(x-y)j(y)$

여기서 는 클라인-고든 연산자의 고급 그린 함수이다. out 장과 상호 작용하는 장 사이의 약한 점근적 관계는 다음과 같다.

:$\backslash lim\_\{x^0\backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^3x\; \backslash langle\backslash alpha|f(x)\backslash overleftrightarrow\{\backslash partial\_0\}\backslash varphi(x)|\backslash beta\backslash rangle=\; \backslash sqrt\; Z\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^3x$
\langle\alpha|f(x)\overleftrightarrow{\partial_0}\varphi_{\mathrm{out}}(x)|\beta\rangle

3.2. 스칼라장의 축약 공식

질량 m을 가진 스칼라장 φ에서 m개의 입자가 초기 4차원 운동량 $k\_1,\backslash dots,k\_m$을 가지며 산란하여 n개의 입자가 튕겨나와 나중 운동량 $p\_1,\backslash dots,p\_n$을 가질 때, 이에 해당하는 산란행렬의 원소는 다음과 같다.

:$$
\prod_i^n\frac{i\sqrt Z}{p_i^2-m^2+i\epsilon}\prod_1^m\frac{i\sqrt Z}{k_i^2-m^2+\mathrm i\epsilon}\langle\mathbf p_1,\dots,\mathbf p_n|S|\mathbf k_1,\dots,\mathbf k_m\rangle

:$\backslash sim$
\prod_1^n\int d^4x_i\;\exp(ip_i\cdot x_i)\prod_1^m\int d^4y_j\;\exp(-ik_j\cdot y_j)\langle0|\mathrm T\{\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)\phi(y_1)\cdots\phi(y_m)\}|0\rangle


여기서 $\backslash sim$은 양변의 4차원 운동량 $p\_i$와 $k\_i$를 질량껍질로 보내는 경우에 해당하며, 양변은 모두 발산한다. 이때 유수를 추출하여 비교하면 산란 행렬의 값을 얻을 수 있다. ε은 윅 회전의 방향을 명확히 하기 위한 무한소이며 Z는 장세기 재규격화 인자이다.

클라인-고든 스칼라에 대한 LSZ 축약 공식은 다음과 같다.

:$\backslash langle\; p\_1,\backslash ldots,p\_n\backslash \; \backslash mathrm\{out\}|q\_1,\backslash ldots,q\_m\backslash \; \backslash mathrm\{in\}\backslash rangle=\backslash int\; \backslash prod\_\{i=1\}^\{m\}\; \backslash left\backslash \{\backslash mathrm\{d\}^4x\_i\; \backslash frac\{i\; e^\{-iq\_i\backslash cdot\; x\_i\}\; \backslash left(\backslash Box\_\{x\_i\}+m^2\backslash right)\}\{(2\backslash pi)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\; Z^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}\; \backslash right\backslash \}\; \backslash prod\_\{j=1\}^\{n\}\; \backslash left\backslash \{\; \backslash mathrm\{d\}^4y\_j\; \backslash frac\{i\; e^\{ip\_j\backslash cdot\; y\_j\}\backslash left(\backslash Box\_\{y\_j\}+m^2\backslash right)\}\{(2\backslash pi)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\; Z^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}\; \backslash right\backslash \}\; \backslash langle\; \backslash Omega|\backslash mathrm\{T\}\; \backslash varphi(x\_1)\backslash ldots\backslash varphi(x\_m)\backslash varphi(y\_1)\backslash ldots\backslash varphi(y\_n)|\backslash Omega\backslash rangle$

상관 함수의 푸리에 변환을 사용하여 작성하면 다음과 같다.

:$\backslash Gamma\; \backslash left\; (p\_1,\backslash ldots,p\_n\; \backslash right\; )=\backslash int\; \backslash prod\_\{i=1\}^\{n\}\; \backslash left\backslash \{\backslash mathrm\{d\}^4x\_i\; e^\{i\; p\_i\backslash cdot\; x\_i\}\; \backslash right\backslash \}\; \backslash langle\; \backslash Omega|\backslash mathrm\{T\}\backslash \; \backslash varphi(x\_1)\backslash ldots\backslash varphi(x\_n)|\backslash Omega\backslash rangle$

역변환을 사용하여 LSZ 축약 공식에 대입하면 다음 결과를 얻을 수 있다.

:$\backslash langle\; p\_1,\backslash ldots,p\_n\backslash \; \backslash mathrm\{out\}|q\_1,\backslash ldots,q\_m\backslash \; \backslash mathrm\{in\}\backslash rangle=\; \backslash prod\_\{i=1\}^\{m\}\; \backslash left\backslash \{-\backslash frac\{i\backslash left(p\_i^2-m^2\backslash right)\}\{(2\backslash pi)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\; Z^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}\; \backslash right\backslash \}\; \backslash prod\_\{j=1\}^\{n\}\; \backslash left\backslash \{\; -\backslash frac\{i\backslash left(q\_j^2-m^2\backslash right)\}\{(2\backslash pi)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\; Z^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}\; \backslash right\backslash \}\; \backslash Gamma\; \backslash left\; (p\_1,\backslash ldots,p\_n;-q\_1,\backslash ldots,-q\_m\; \backslash right\; )$

이 공식은 S-행렬 요소가 4-운동량이 껍질에 놓일 때 상관 함수의 푸리에 변환에서 발생하는 극의 잔류물이라고 주장한다.

3.3. 디랙 장 (페르미온)의 축약 공식

양자화된 자유 디랙 방정식의 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash Psi(x)=\backslash sum\_\{s=\backslash pm\}\backslash int\backslash !\backslash mathrm\{d\}\backslash tilde\{p\}\backslash big(b^s\_\backslash textbf\{p\}u^s\_\backslash textbf\{p\}\backslash mathrm\{e\}^\{ip\backslash cdot\; x\}+d^\{\backslash dagger\; s\}\_\backslash textbf\{p\}v^s\_\backslash textbf\{p\}\backslash mathrm\{e\}^\{-ip\backslash cdot\; x\}\backslash big),$

여기서 메트릭 시그니처는 대부분 플러스이고, $b^s\_\backslash textbf\{p\}$는 운동량 $\backslash textbf\{p\}$와 스핀 $s=\backslash pm$을 가진 b형 입자에 대한 소멸 연산자이고, $d^\{\backslash dagger\; s\}\_\backslash textbf\{p\}$는 스핀 $s$를 가진 d형 입자에 대한 생성 연산자이다. 스피너 $u^s\_\backslash textbf\{p\}$와 $v^s\_\backslash textbf\{p\}$는 $(p\backslash !\backslash !\backslash !/+m)u^s\_\backslash textbf\{p\}=0$와 $(p\backslash !\backslash !\backslash !/-m)v^s\_\backslash textbf\{p\}\; =\; 0$을 만족한다. 로렌츠 불변 측정은 $\backslash mathrm\{d\}\backslash tilde\{p\}:=\backslash mathrm\{d\}^3\; p/(2\backslash pi)^3\; 2\backslash omega\_\backslash textbf\{p\}$로 쓰여지며, $\backslash omega\_\backslash textbf\{p\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash textbf\{p\}^2+m^2\}$이다.

$n$개의 b형 입자가 $n\text{'}$개의 b형 입자로 산란되는 경우, in 상태는 운동량 $\backslash \{\backslash textbf\{p\}\_1,...,\backslash textbf\{p\}\_n\backslash \}$와 스핀 $\backslash \{s\_1,...,s\_\{n\}\backslash \}$을 가지고, out 상태는 운동량 $\backslash \{\backslash textbf\{k\}\_1,...,\backslash textbf\{k\}\_\{n\text{'}\}\backslash \}$와 스핀 $\backslash \{\backslash sigma\_1,...,\backslash sigma\_\{n\text{'}\}\backslash \}$을 가진다고 가정하면 in 상태와 out 상태는 다음과 같다.

:$|\backslash alpha\backslash \; \backslash mathrm\{in\}\backslash rangle\; =\; |\backslash textbf\{p\}\_1^\{s\_1\},...,\backslash textbf\{p\}\_n^\{s\_n\}\backslash rangle\backslash quad\backslash text\{and\}\backslash quad|\backslash beta\backslash \; \backslash mathrm\{out\}\backslash rangle\; =\; |\backslash textbf\{k\}\_1^\{\backslash sigma\_1\},...,\backslash textbf\{k\}\_\{n\text{'}\}^\{\backslash sigma\_\{n\text{'}\}\}\backslash rangle.$

이때 산란 진폭은 다음과 같이 축약될 수 있다.

:$\backslash langle\; \backslash beta\backslash \; \backslash mathrm\{out\}|\backslash alpha\backslash \; \backslash mathrm\{in\}\backslash rangle=\backslash int\backslash !\backslash prod\_\{j=1\}^n\; \backslash mathrm\{d\}^4\; x\_j\; \backslash frac\{i\backslash mathrm\{e\}^\{-ip\_j\; x\_j\}\}\{\backslash sqrt\{Z\}\}\; [(i\{\backslash partial\backslash !\backslash !\backslash !/\}\_\{x\_j\}+m)u^\{s\_j\}\_\{\backslash textbf\{p\}\_j\}]\_\{\backslash alpha\_j\}\backslash prod\_\{l=1\}^\{n\text{'}\}\backslash mathrm\{d\}^4\; y\_l\backslash frac\{i\backslash mathrm\{e\}^\{ik\_l\; y\_l\}\}\{\backslash sqrt\{Z\}\}[\backslash bar\{u\}^\{\backslash sigma\_l\}\_\{\backslash textbf\{k\}\_l\}(-i\{\backslash partial\backslash !\backslash !\backslash !/\}\_\{y\_l\}+m)]\_\{\backslash beta\_l\}\; \backslash langle\; 0|\; \backslash mathrm\{T\}[\backslash Psi\_\{\backslash beta\_1\}(y\_1)...\backslash Psi\_\{\backslash beta\_\{n\text{'}\}\}(y\_\{n\text{'}\})\backslash bar\{\backslash Psi\}\_\{\backslash alpha\_1\}(x\_1)...\backslash bar\{\backslash Psi\}\_\{\backslash alpha\_n\}(x\_n)]|0\backslash rangle.$

d형 입자의 산란에 대해서도 동일한 절차를 수행할 수 있으며, 이 경우 $u^s\_\backslash textbf\{p\}$는 $v^s\_\backslash textbf\{p\}$로 대체되고, $\backslash Psi$와 $\backslash bar\{\backslash Psi\}$가 교환된다.

3.4. 장의 세기 정규화 (Field Strength Normalization)

레만(Lehmann), 지만치크(Symanzik), 침머만(Zimmermann)이 개발한 처방은 두 개의 정규화 가능한 상태 $|\backslash alpha\backslash rangle$ 및 $|\backslash beta\backslash rangle$와 클라인-고든 방정식 $(\backslash partial^2+m^2)f(x)=0$의 정규화 가능한 해 $f(x)$를 필요로 한다. 이들을 통해 올바르고 유용하지만 매우 약한 점근 관계를 설명할 수 있다.

:$\backslash lim\_\{x^0\backslash to-\backslash infty\}\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^3x\; \backslash langle\backslash alpha|f(x)\backslash overleftrightarrow\{\backslash partial\_0\}\backslash varphi(x)|\backslash beta\backslash rangle=\; \backslash sqrt\; Z\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^3x\; \backslash langle\backslash alpha|f(x)\backslash overleftrightarrow\{\backslash partial\_0\}\backslash varphi\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(x)|\backslash beta\backslash rangle$

두 번째 구성원은 실제로 시간과 무관하며, 이는 양쪽 모두 $\backslash varphi\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(x)$과 $f(x)$가 클라인-고든 방정식을 만족한다는 것을 기억하면서 미분하여 보여줄 수 있다.

적절한 변경으로 동일한 단계를 따라 out 상태를 구축하는 out 장을 구성할 수 있다. 특히 out 장의 정의는 다음과 같다.

:$\backslash varphi(x)=\backslash sqrt\; Z\; \backslash varphi\_\{\backslash mathrm\{out\}\}(x)\; +\backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^4y\; \backslash Delta\_\{\backslash mathrm\{adv\}\}(x-y)j(y)$

여기서 $\backslash Delta\_\{\backslash mathrm\{adv\}\}(x-y)$는 클라인-고든 연산자의 고급 그린 함수이다. out 장과 상호 작용하는 장 사이의 약한 점근적 관계는 다음과 같다.

:$\backslash lim\_\{x^0\backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^3x\; \backslash langle\backslash alpha|f(x)\backslash overleftrightarrow\{\backslash partial\_0\}\backslash varphi(x)|\backslash beta\backslash rangle=\; \backslash sqrt\; Z\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^3x$
\langle\alpha|f(x)\overleftrightarrow{\partial_0}\varphi_{\mathrm{out}}(x)|\beta\rangle

진공과 질량껍질 위에 있는 사중운동량 $|p\backslash rangle$를 가진 단일 입자 상태 간의 관계를 이용하여, in 및 out 장 정의에 있는 정규화 인자 $Z$의 이유를 이해할 수 있다.

:$\backslash langle\; 0|\backslash varphi(x)|p\backslash rangle=\; \backslash sqrt\; Z\; \backslash langle\; 0|\backslash varphi\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(x)|p\backslash rangle\; +\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^4y\; \backslash Delta\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}(x-y)\; \backslash langle\; 0|j(y)|p\backslash rangle$

$\backslash varphi(x)$와 $\backslash varphi\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(x)$ 모두 다음과 같이 로렌츠 변환에 따라 변환되는 스칼라 장임을 기억하라.

:$\backslash varphi(x)=e^\{iP\backslash cdot\; x\}\backslash varphi(0)e^\{-iP\backslash cdot\; x\}$

여기서 $P^\backslash mu$는 사중운동량 연산자이므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$e^\{-ip\backslash cdot\; x\}\backslash langle\; 0|\backslash varphi(0)|p\backslash rangle=\; \backslash sqrt\; Z\; e^\{-ip\backslash cdot\; x\}\; \backslash langle\; 0|\backslash varphi\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(0)|p\backslash rangle\; +\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^4y\; \backslash Delta\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}(x-y)\backslash langle\; 0|j(y)|p\backslash rangle$

사중운동량 $p$가 질량 껍질 위에 있고 $\backslash Delta\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}(x-y)$가 연산자의 그린 함수임을 기억하면서, 클라인-고든 연산자 $\backslash partial^2\; +\; m^2$를 양쪽에 적용하면 다음을 얻는다.

:$0=0\; +\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^4y\; \backslash delta^4(x-y)\; \backslash langle\; 0|j(y)|p\backslash rangle;\; \backslash quad\backslash Leftrightarrow\backslash quad\; \backslash langle\; 0|j(x)|p\backslash rangle=0$

따라서 다음 관계에 도달한다.

:$\backslash langle\; 0|\backslash varphi(x)|p\backslash rangle=\; \backslash sqrt\; Z\; \backslash langle\; 0|\backslash varphi\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(x)|p\backslash rangle$

이 관계는 인자 $Z$의 필요성을 설명한다. in 장은 자유 장이므로 진공과 한 입자 상태만 연결할 수 있다. 즉, 진공과 다중 입자 상태 사이의 기댓값은 0이다. 반면에, 상호작용 장은 상호작용 덕분에 다중 입자 상태를 진공과 연결할 수도 있으므로, 마지막 방정식의 양변의 기댓값은 다르며, 그 사이에 정규화 인자가 필요하다. 오른쪽 항은 in 장을 생성 및 소멸 연산자로 확장하여 명시적으로 계산할 수 있다.

:$\backslash langle\; 0|\backslash varphi\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(x)|p\backslash rangle=\; \backslash int\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^3q\}\{(2\backslash pi)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}(2\backslash omega\_q)^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}\; e^\{-iq\backslash cdot\; x\}\; \backslash langle\; 0|a\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(\backslash mathbf\; q)|p\backslash rangle=\; \backslash int\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^3q\}\{(2\backslash pi)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}\; e^\{-iq\backslash cdot\; x\}\; \backslash langle\; 0|a\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(\backslash mathbf\; q)a^\backslash dagger\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(\backslash mathbf\; p)|0\backslash rangle$

$a\_\{\backslash mathrm\{in\}\}$과 $a^\backslash dagger\_\{\backslash mathrm\{in\}\}$ 사이의 교환 관계를 사용하여 다음을 얻는다.

:$\backslash langle\; 0|\backslash varphi\_\{\backslash mathrm\{in\}\}(x)|p\backslash rangle=\; \backslash frac\{e^\{-ip\backslash cdot\; x\}\}\{(2\backslash pi)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}$

다음 관계가 도출된다.

:$\backslash langle\; 0|\backslash varphi(0)|p\backslash rangle=\; \backslash sqrt\; \backslash frac\{Z\}\{(2\backslash pi)^3\}$

$\backslash langle\; 0|\backslash varphi(0)|p\backslash rangle$를 계산하는 방법을 알고 있다면, 이를 통해 $Z$의 값을 계산할 수 있다.