Y-Δ 변환

1. 개요

Y-Δ 변환은 전기 회로에서 사용되는 변환 기법으로, 회로의 Y(와이, T, 스타) 형태와 Δ(델타, 삼각형, 파이, 메시) 형태 사이의 등가성을 나타낸다. 이 변환은 회로망의 임피던스를 변환하여 회로를 단순화하는 데 사용되며, 특히 브릿지 회로와 같이 직렬 및 병렬 연결만으로는 분석이 어려운 회로를 분석하는 데 유용하다. Y-Δ 변환은 Y 회로를 Δ 회로로, 또는 그 반대로 변환하는 공식을 제공하며, 복소 임피던스에도 적용될 수 있다. 그래프 이론에서도 Y-Δ 변환은 그래프의 Y 부분을 Δ 부분으로 대체하는 것을 의미하며, 실제 발전기의 삼상 교류 전력 시스템 분석을 단순화하기 위해 등가 단상 회로를 구성하는 데 활용된다.

2. 명칭

Y-Δ 변환은 회로의 두 가지 모양에서 비롯된 여러 이름으로 알려져 있다. Y는 '와이'로 표기하며, T 또는 스타라고도 부른다. Δ는 '델타'로 표기하며, 삼각형, [[Π]](파이) 또는 메시라고도 부른다. 따라서 이 변환은 일반적으로 와이-델타, 델타-와이, 스타-델타, 스타-메시, 또는 T-Π 변환이라고 부른다.

3. 기초 변환

Y-Δ 변환은 3개의 단자를 가진 Y 회로와 Δ 회로가 서로 등가임을 보이는 변환이다.

두 회로가 등가이기 위해서는, 임의의 두 단자 사이의 임피던스가 두 회로에서 동일해야 한다. 이 변환은 3개의 선으로 연결된 서로 다른 모양의 회로망이 실제로는 같은 것임을 보여주며, 3개의 말단부 공통 노드에 전력을 공급하는 능동소자가 없을 경우 임피던스 변환을 통해 노드를 없앨 수 있다.

주어진 방정식은 복소수 임피던스뿐만 아니라 실수 임피던스에도 유효하다. 복소 임피던스는 저항을 양의 실수로, 전기 리액턴스를 양수 및 음수 허수로 나타내는 옴 단위로 측정되는 양이다.

3.1. Δ 회로에서 Y 회로로의 변환

Y 회로의 각 단자에 연결된 임피던스($R\_y$)는 Δ 회로에서 인접한 두 저항의 곱을 Δ 회로의 모든 저항의 합으로 나눈 값으로 표현된다.

:$R\_y\; =\; \backslash frac\{R\text{'}R$}{\sum R_\Delta}

여기서 $R\_\backslash Delta$는 Δ 회로의 모든 임피던스의 합이고, $R\text{'}$와 $R$는 Y 회로의 해당 단자에 인접한 Δ 회로의 두 임피던스이다.

이를 통해, Δ 회로($R\_a,\; R\_b,\; R\_c$)를 Y 회로($R\_1,\; R\_2,\; R\_3$)로 변환하는 공식은 다음과 같다.

:$R\_1\; =\; \backslash frac\{R\_bR\_c\}\{R\_a\; +\; R\_b\; +\; R\_c\}$
:$R\_2\; =\; \backslash frac\{R\_aR\_c\}\{R\_a\; +\; R\_b\; +\; R\_c\}$
:$R\_3\; =\; \backslash frac\{R\_aR\_b\}\{R\_a\; +\; R\_b\; +\; R\_c\}$

공식 유도:

Δ 회로에서 $N\_3$가 끊어진 상태에서 $N\_1$과 $N\_2$ 사이의 임피던스($R\_\backslash Delta(N\_1,\; N\_2)$)는 다음과 같이 계산된다.

:$R\_\backslash Delta(N\_1,\; N\_2)\; =\; R\_c\; \backslash parallel\; (R\_a\; +\; R\_b)\; =\; \backslash frac\{R\_c(R\_a\; +\; R\_b)\}\{R\_a\; +\; R\_b\; +\; R\_c\}$

Y 회로에서 $N\_1$과 $N\_2$ 사이의 임피던스는 $R\_1\; +\; R\_2$ 이므로,

:$R\_1\; +\; R\_2\; =\; \backslash frac\{R\_c(R\_a\; +\; R\_b)\}\{R\_a\; +\; R\_b\; +\; R\_c\}$ (1)

같은 방식으로,

:$R\_2\; +\; R\_3\; =\; \backslash frac\{R\_a(R\_b\; +\; R\_c)\}\{R\_a\; +\; R\_b\; +\; R\_c\}$ (2)

:$R\_1\; +\; R\_3\; =\; \backslash frac\{R\_b(R\_a\; +\; R\_c)\}\{R\_a\; +\; R\_b\; +\; R\_c\}$ (3)

(1), (2), (3) 식을 연립하여 $R\_1,\; R\_2,\; R\_3$를 구할 수 있다. 예를 들어, (1)식과 (3)식을 더하고 (2)식을 빼면,

:$2R\_1\; =\; \backslash frac\{2R\_bR\_c\}\{R\_a\; +\; R\_b\; +\; R\_c\}$

따라서,

:$R\_1\; =\; \backslash frac\{R\_bR\_c\}\{R\_a\; +\; R\_b\; +\; R\_c\}$

$R\_2$와 $R\_3$도 같은 방식으로 유도할 수 있다.

3.2. Y 회로에서 Δ 회로로의 변환

Y 회로에서 Δ 회로로 변환하는 일반적인 공식은 다음과 같다.

:$R\_\backslash Delta\; =\; \backslash frac\{R\_P\}\{R\_\backslash text\{opposite\}\}$

여기서 $R\_P\; =\; R\_1\; R\_2\; +\; R\_2\; R\_3\; +\; R\_3\; R\_1$는 Y 회로의 모든 임피던스 쌍의 곱의 합이고, $R\_\backslash text\{opposite\}$는 $R\_\backslash Delta$를 가진 변의 반대편에 있는 Y 회로 노드의 임피던스이다.

각 변에 대한 구체적인 공식은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
R_\text{a} &= \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1} \\[3pt]
R_\text{b} &= \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_2} \\[3pt]
R_\text{c} &= \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_3}
\end{align}

어드미턴스를 저항 대신 사용하는 경우, 공식은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash begin\{align\}$
Y_\text{a} &= \frac{Y_3 Y_2}{\sum Y_\text{Y}} \\[3pt]
Y_\text{b} &= \frac{Y_3 Y_1}{\sum Y_\text{Y}} \\[3pt]
Y_\text{c} &= \frac{Y_1 Y_2}{\sum Y_\text{Y}}
\end{align}

4. 변환 공식 유도 (증명)

Y-Δ 변환 공식은 회로 이론의 중첩 정리를 이용하여 증명할 수 있다. 두 회로가 동등하다는 것은 3개의 노드 ($N\_1,\; N\_2,\; N\_3$)에 외부 전압 ($V\_1,\; V\_2,\; V\_3$)을 가했을 때, Y 회로와 Δ 회로에서 각각 흐르는 전류 ($I\_1,\; I\_2,\; I\_3$)가 정확히 같다는 것을 보이는 것이다.

증명 과정은 다음과 같다. 먼저, 노드에 주어진 외부 전류를 가정하고, 중첩 정리에 따라 전압을 전류가 있는 세 노드에 적용되는 세 가지 문제의 노드에서 발생하는 전압의 중첩으로 구한다.

# $\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash left(I\_1\; -\; I\_2\backslash right),\; -\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash left(I\_1\; -\; I\_2\backslash right),\; 0$
# $0,\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash left(I\_2\; -\; I\_3\backslash right),\; -\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash left(I\_2\; -\; I\_3\backslash right)$
# $-\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash left(I\_3\; -\; I\_1\backslash right),\; 0,\; \backslash frac\{1\}\{3\}\backslash left(I\_3\; -\; I\_1\backslash right)$

키르히호프의 회로 법칙에 의해 $I\_1\; +\; I\_2\; +\; I\_3\; =\; 0$이 성립한다. 각 문제는 단일 이상적인 전류원만 포함하므로, 각 문제에서 노드의 전압이 동일하게 되려면 두 회로의 등가 저항이 같아야 한다. 이는 직렬 회로와 병렬 회로의 기본 규칙을 사용하여 구할 수 있다.

:$$
R_3 + R_1 = \frac{\left(R_\text{c} + R_\text{a}\right)R_\text{b}}{R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}},\quad
\frac{R_3}{R_1} = \frac{R_\text{a}}{R_\text{c}}.


이 식들을 통해 6개의 방정식을 얻을 수 있고 이를 통해, 3개의 다른 변수($R\_\backslash text\{a\},\; R\_\backslash text\{b\},\; R\_\backslash text\{c\}$)를 기준으로 세 변수($R\_1,\; R\_2,\; R\_3$)를 표현할 수 있다.

유일성 정리는 이러한 해의 유일성을 보장한다.

일반적으로 Y 연결 회로의 특정 단자에 연결된 임피던스 Ry는 Δ 연결 회로에서 인접한 노드로의 임피던스 $R\text{'}$ 및 $R$으로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$R\_y\; =\; \backslash frac\{R\text{'}R$}{\sum R_\Delta}

단, $\backslash sum\; R\_\backslash Delta$는 Δ 연결 회로의 모든 임피던스의 합이다. 이를 통해 다음 식을 얻을 수 있다.

:$R\_\{a\}\; =\; \backslash frac\{R\_\{ab\}R\_\{ac\}\}\{R\_\{ab\}\; +\; R\_\{bc\}\; +\; R\_\{ac\}\}$

:$R\_\{b\}\; =\; \backslash frac\{R\_\{ab\}R\_\{bc\}\}\{R\_\{ab\}\; +\; R\_\{bc\}\; +\; R\_\{ac\}\}$

:$R\_\{c\}\; =\; \backslash frac\{R\_\{bc\}R\_\{ac\}\}\{R\_\{ab\}\; +\; R\_\{bc\}\; +\; R\_\{ac\}\}$

위의 공식은 다음과 같이 유도한다.

1. 병렬 연결된 저항 값을 구하는 공식으로부터 다음 3개의 식을 유도한다.

:$R\_\{a\}+R\_\{b\}\; =\; \backslash frac\{R\_\{ab\}(R\_\{bc\}+R\_\{ac\})\}\{R\_\{ab\}\; +\; (R\_\{bc\}\; +\; R\_\{ac\})\}$
:$R\_\{b\}+R\_\{c\}\; =\; \backslash frac\{R\_\{bc\}(R\_\{ac\}+R\_\{ab\})\}\{R\_\{bc\}\; +\; (R\_\{ac\}\; +\; R\_\{ab\})\}$
:$R\_\{c\}+R\_\{a\}\; =\; \backslash frac\{R\_\{ac\}(R\_\{ab\}+R\_\{bc\})\}\{R\_\{ca\}\; +\; (R\_\{ab\}\; +\; R\_\{bc\})\}$

2. 위 3개의 식의 양변을 더하여 다음 식을 유도한다.

:$R\_\{a\}+R\_\{b\}+R\_\{c\}\; =\; \backslash frac\{R\_\{ab\}R\_\{bc\}+R\_\{bc\}R\_\{ac\}+R\_\{ac\}R\_\{ab\}\}\{R\_\{ab\}\; +\; R\_\{bc\}\; +\; R\_\{ac\}\}$

3. 원래의 3개의 식과의 차이를 구하여 임피던스를 계산하는 식을 유도한다.

예)
:$R\_\{b\}+R\_\{c\}\; =\; \backslash frac\{R\_\{bc\}(R\_\{ac\}+R\_\{ab\})\}\{R\_\{bc\}\; +\; R\_\{ac\}\; +\; R\_\{ab\}\}$
와의 차이를 구하면,
:$R\_\{a\}\; =\; \backslash frac\{R\_\{ab\}R\_\{ac\}\}\{R\_\{ab\}\; +\; R\_\{bc\}\; +\; R\_\{ac\}\}$

일반적으로, Δ 결선 회로의 특정 단자 사이에 연결되는 임피던스 $R\_\backslash Delta$는 다음 식으로 나타낸다.

:$R\_\backslash Delta\; =\; \backslash frac\{R\_P\}\{R\_\backslash mathrm\{opposite\}\}$

단, $R\_P\; =\; R\_\{a\}R\_\{b\}+R\_\{b\}R\_\{c\}+R\_\{c\}R\_\{a\}$이며, Y 결선 회로 내 임피던스 2개의 곱의 합이다. $R\_\backslash mathrm\{opposite\}$는 $R\_\backslash Delta$에 대응하는 변의 임피던스이다. 이를 통해 다음 식을 얻는다.

:$R\_\{ab\}\; =\; \backslash frac\{R\_\{a\}R\_\{b\}+R\_\{b\}R\_\{c\}+R\_\{c\}R\_\{a\}\}\{R\_\{c\}\}$

:$R\_\{bc\}\; =\; \backslash frac\{R\_\{a\}R\_\{b\}+R\_\{b\}R\_\{c\}+R\_\{c\}R\_\{a\}\}\{R\_\{a\}\}$

:$R\_\{ac\}\; =\; \backslash frac\{R\_\{a\}R\_\{b\}+R\_\{b\}R\_\{c\}+R\_\{c\}R\_\{a\}\}\{R\_\{b\}\}$

5. 회로망의 간단화

Y-Δ 변환은 복잡한 회로망을 단순화하는 데 사용될 수 있다. Y-Δ 변환은 한 번에 하나의 노드를 제거하는 방식으로 회로를 단순화한다. 예를 들어,

와 같이 브릿지 저항 회로에서 특정 노드를 제거하여 더 간단한 회로로 만들 수 있다.

Δ-Y 변환은 노드를 추가하는 방식으로 회로를 단순화하며, 직병렬 변환을 가능하게 만들어 추가적인 단순화를 할 수 있다. 예를 들어,

와 같이 브릿지 저항 회로에 Δ-Y 변환을 적용하여 직병렬 변환이 가능한 형태로 만들 수 있다.

하지만, 평면 그래프 형태가 아닌 일부 비평면 회로망(예: 토러스 형태의 격자, 페테르센 그래프)은 Y-Δ 변환을 사용하여 단순화할 수 없는 경우가 존재한다.

6. 그래프 이론

그래프 이론에서 Y-Δ 변환이란 한 그래프 내의 Y 부분 그래프를 등가의 Δ 부분 그래프로 변환하는 작업을 의미한다. 이 변환은 그래프의 변 수는 그대로이나, 꼭짓점의 수나 순환의 수는 달라질 수 있다. 두 그래프가 한 그래프에서 Y-Δ 변환을 통해 다른 그래프로 모양을 바꿀 수 있다면 이 두 그래프는 Y-Δ 등가라고 부른다. 예를 들어, 페테르센 족은 Y-Δ 동치관계이다.

7. 실제 발전기의 Δ-Y 변환

평형 삼상 전력 시스템을 분석할 때는 보통 등가 단상 회로를 사용하여 단순화한다. 이를 위해 발전기, 변압기, 부하 및 전동기에 등가 와이(Y) 연결을 사용한다. 다음은 델타(Δ) 결선 삼상 발전기의 고정자 권선을 등가 와이(Y) 결선 발전기로 변환하는 공식이다.

* $Z\_\backslash text\{s1Y\}\; =\; \backslash dfrac\{Z\_\backslash text\{s1\}\; \backslash ,\; Z\_\backslash text\{s3\}\}\{Z\_\backslash text\{s1\}\; +\; Z\_\backslash text\{s2\}\; +\; Z\_\backslash text\{s3\}\}$
* $Z\_\backslash text\{s2Y\}\; =\; \backslash dfrac\{Z\_\backslash text\{s1\}\; \backslash ,\; Z\_\backslash text\{s2\}\}\{Z\_\backslash text\{s1\}\; +\; Z\_\backslash text\{s2\}\; +\; Z\_\backslash text\{s3\}\}$
* $Z\_\backslash text\{s3Y\}\; =\; \backslash dfrac\{Z\_\backslash text\{s2\}\; \backslash ,\; Z\_\backslash text\{s3\}\}\{Z\_\backslash text\{s1\}\; +\; Z\_\backslash text\{s2\}\; +\; Z\_\backslash text\{s3\}\}$
* $V\_\backslash text\{s1Y\}\; =\; \backslash left(\; \backslash dfrac\{V\_\backslash text\{s1\}\}\{Z\_\backslash text\{s1\}\}\; -\; \backslash dfrac\{V\_\backslash text\{s3\}\}\{Z\_\backslash text\{s3\}\}\; \backslash right)\; Z\_\backslash text\{s1Y\}$
* $V\_\backslash text\{s2Y\}\; =\; \backslash left(\; \backslash dfrac\{V\_\backslash text\{s2\}\}\{Z\_\backslash text\{s2\}\}\; -\; \backslash dfrac\{V\_\backslash text\{s1\}\}\{Z\_\backslash text\{s1\}\}\; \backslash right)\; Z\_\backslash text\{s2Y\}$
* $V\_\backslash text\{s3Y\}\; =\; \backslash left(\; \backslash dfrac\{V\_\backslash text\{s3\}\}\{Z\_\backslash text\{s3\}\}\; -\; \backslash dfrac\{V\_\backslash text\{s2\}\}\{Z\_\backslash text\{s2\}\}\; \backslash right)\; Z\_\backslash text\{s3Y\}$

결과 네트워크는 다음과 같다. 등가 네트워크의 중성 노드는 가상이며 선간 전압도 마찬가지이다. 변환하는 동안 선 전압과 선(또는 선간 또는 상간) 전압은 변경되지 않는다.

만약 실제 델타 발전기가 평형을 이루는 경우, 즉 내부 위상 전압의 크기가 같고 서로 120° 위상 변위가 있으며 세 개의 복소 임피던스가 동일한 경우에는 위의 공식이 다음과 같이 간단해진다.

* $Z\_\backslash text\{sY\}\; =\; \backslash dfrac\{Z\_\backslash text\{s\}\}\{3\}$
* $V\_\backslash text\{s1Y\}\; =\; \backslash dfrac\{V\_\backslash text\{s1\}\}\{\backslash sqrt\{3\}\; \backslash ,\; \backslash angle\; \backslash pm\; 30^\backslash circ\}$
* $V\_\backslash text\{s2Y\}\; =\; \backslash dfrac\{V\_\backslash text\{s2\}\}\{\backslash sqrt\{3\}\; \backslash ,\; \backslash angle\; \backslash pm\; 30^\backslash circ\}$
* $V\_\backslash text\{s3Y\}\; =\; \backslash dfrac\{V\_\backslash text\{s3\}\}\{\backslash sqrt\{3\}\; \backslash ,\; \backslash angle\; \backslash pm\; 30^\backslash circ\}$

마지막 세 방정식의 경우 위상 시퀀스가 양수/abc이면 첫 번째 부호(+)를 사용하고, 위상 시퀀스가 음수/acb이면 두 번째 부호(−)를 사용한다.