그래프 이론

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 그래프
- 2.2. 그래프의 표현
3. 주요 개념
4. 분야
5. 역사
6. 응용
참조

1. 개요

그래프 이론은 꼭짓점(정점)과 변(간선)으로 구성된 그래프를 연구하는 수학 분야이다. 그래프는 다양한 분야에서 활용되며, 컴퓨터 과학, 언어학, 물리학, 화학, 사회학, 생물학 등에서 응용된다. 그래프 이론은 대수적, 위상적, 기하학적, 확률적, 극대, 알고리즘, 네트워크 이론 등 다양한 분야로 확장되어 연구되고 있다. 1736년 오일러의 쾨니히스베르크의 다리 문제 해결에서 시작되었으며, 4색 정리, 해밀턴 경로, 케일리 그래프 등의 개념이 발전해왔다.

더 읽어볼만한 페이지

그래프 이론 - 다이어그램
다이어그램은 2차원 기하학적 기호를 사용하여 정보를 시각적으로 표현하는 기술로, 과학, 공학, IT, 비즈니스 등 다양한 분야에서 활용되며 정보를 간략하게 나타내고 시각적 사고를 돕는다.
그래프 이론 - 쾨니히스베르크의 다리 문제
쾨니히스베르크의 다리 문제는 프레겔 강에 놓인 7개의 다리를 한 번씩만 건너 출발점으로 되돌아올 수 있는지 묻는 문제로, 오일러에 의해 그래프 이론적으로 분석되어 해결되었으며 그래프 이론의 탄생에 기여했다.
수학 - 회귀 분석
회귀 분석은 종속 변수와 하나 이상의 독립 변수 간의 관계를 모델링하고 분석하는 통계적 기법으로, 최소 제곱법 개발 이후 골턴의 연구로 '회귀' 용어가 도입되어 다양한 분야에서 예측 및 인과 관계 분석에 활용된다.
수학 - 수학적 최적화
수학적 최적화는 주어진 집합에서 실수 또는 정수 변수를 갖는 함수의 최댓값이나 최솟값을 찾는 문제로, 변수 종류, 제약 조건, 목적 함수 개수에 따라 다양한 분야로 나뉘며 여러 학문 분야에서 활용된다.

그래프 이론
개요
그래프 이론의 다양한 그래프 예시
학문 분야	이산수학
연구 대상	그래프
세부 분야	대수적 그래프 이론 극단적 그래프 이론 그래프 채색 그래프 마이너 그래프 알고리즘 그래프 데이터베이스 그래프 묘화 그래프 변환 구조적 그래프 이론 네트워크 이론 무한 그래프 이론 위상적 그래프 이론
역사
기원	1736년, 레온하르트 오일러의 쾨니히스베르크 다리 문제
주요 학자	레온하르트 오일러 윌리엄 로언 해밀턴 구스타프 키르히호프 아서 케일리 해스럴 휘트니 윌리엄 토머스 투테 폴 에르되시 데이비드 R. 우드
관련 개념
기본 개념	꼭짓점 (정점) 변 (간선) 그래프 방향 그래프 가중 그래프 인접 행렬 인접 리스트 경로 사이클 연결 그래프 트리 숲
응용 분야
컴퓨터 과학	자료 구조 알고리즘 네트워크 데이터베이스
사회 과학	사회 네트워크 분석 정치 네트워크
자연 과학	화학 그래프 이론 생물학적 네트워크
공학	회로 이론 운송 네트워크
주요 정리 및 알고리즘
주요 정리	오일러 경로 해밀턴 경로 쾨니히의 정리 그래프 채색 관련 정리 (사색 정리 등) 최대 유량 최소 컷 정리
주요 알고리즘	최단 경로 문제 (다익스트라 알고리즘, 벨먼-포드 알고리즘, 플로이드-워셜 알고리즘) 최소 신장 트리 (프림 알고리즘, 크루스칼 알고리즘) 최대 유량 알고리즘 (포드-풀커슨 알고리즘) 그래프 탐색 (깊이 우선 탐색, 너비 우선 탐색)
관련 학문
관련 학문	조합론 이산수학 알고리즘 네트워크 이론 위상수학

2. 정의

그래프는 꼭짓점(vertex^영어)과 두 꼭짓점을 연결하는 변(edge^영어)으로 구성된 자료 구조이다. 꼭짓점은 정점 또는 노드라고도 하며, 변은 간선 또는 모서리라고도 한다. 보통 꼭짓점은 점이나 원으로, 변은 점과 점을 잇는 선으로 평면 위에 그려서 그래프를 나타낸다.

그래프 이론에서는 그래프의 변의 길이나 꼭짓점의 위치 등은 다루지 않으며, 그래프는 조합론적인 대상이다. 그래프를 통해 다양한 대상들의 관련성을 나타낼 수 있다. 예를 들어, 철도나 노선 버스 등의 노선도를 보면, 역(절점)이 노선(변)으로 어떻게 연결되어 있는지가 중요하고, 선로의 구체적인 형태는 부차적이다.

변에 화살표를 붙여 "어느 쪽에서 어느 쪽으로 연결되어 있는지"를 나타낸 그래프를 '''유향 그래프'''라 하고, 화살표가 없는 그래프는 '''무향 그래프'''라고 한다.

2. 1. 그래프

그래프는 꼭짓점(vertex^영어)과 두 꼭짓점을 연결하는 변(edge^영어)으로 구성된다. 꼭짓점은 정점 또는 노드라고도 하며, 변은 간선 또는 모서리라고도 한다. 보통 꼭짓점은 점이나 원으로, 변은 점과 점을 잇는 선으로 평면 위에 그려서 그래프를 나타낸다.^[59]

엄밀하게는, '''그래프'''(graph^영어)

G

는 다음과 같은 집합들의 순서쌍

(V,E)

으로 정의된다.

꼭짓점 집합 $V$
변 집합 $E\subseteq\{\{x,y\}|x,y\in V,x\neq y\}$

이는 무향 단순 그래프에 대한 정의이며, 그래프에 추가적인 구조를 부여하면 다양한 정의의 그래프를 얻을 수 있다. 예를 들어 각 변에 방향을 추가한 유향 그래프, 중복되는 변을 허용한 다중 그래프, 각 변에 ± 부호를 추가한 부호형 그래프 등이 있다.^[59]

철도나 노선 버스 등의 노선도를 보면, 역(절점)이 노선(변)으로 어떻게 연결되어 있는지가 중요하고, 선로의 모양은 부차적이다. 노선도에서는 역 간의 연결 방식이 핵심 정보이며, 그래프 이론은 이러한 연결 방식을 추상화하여 연구하는 분야이다.^[31]

그래프는 인접 행렬로도 표현할 수 있다. 예를 들어, 위의 그래프는 다음과 같은 인접 행렬로 나타낼 수 있다.

:

\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\end{pmatrix}

2. 1. 1. 무향 그래프

무향 그래프는 변에 방향이 없는 그래프이다. 꼭짓점 집합 V와 변 집합 E로 구성되며, 변은 두 꼭짓점의 순서 없는 쌍으로 표현된다.^[1]

모호성을 피하기 위해 이러한 유형의 객체를 정확히 '''무방향 단순 그래프'''라고 할 수 있다.

변

\{x, y\}

에서 꼭짓점

x

와

y

를 변의 '''끝점'''이라고 한다. 변은

x

와

y

를 '''연결'''하고

x

와

y

에 '''접속'''한다고 한다. 꼭짓점은 그래프에 존재하지만 변에 속하지 않을 수 있다. 이 정의에 따르면, 동일한 꼭짓점을 연결하는 두 개 이상의 변인 '''다중 변'''은 허용되지 않는다.^[1]

3개의 꼭짓점, 3개의 변, 4개의 루프를 가진 무방향 멀티 그래프의 예

다중 변을 허용하는 좀 더 일반적인 의미에서^[2], '''그래프'''는 다음으로 구성된 순서 삼중항

G=(V,E,\phi)

이다.

$V$ : '''꼭짓점'''의 집합 ('''노드''' 또는 '''점'''이라고도 함)
$E$ : '''변'''의 집합 ('''링크''' 또는 '''선'''이라고도 함)
$\phi : E \to \{ \{x, y\} \mid x, y \in V \;\textrm{ and }\; x \neq y \}$ : 모든 변을 꼭짓점의 순서 없는 쌍에 매핑하는 '''사건 함수''' (즉, 변은 두 개의 서로 다른 꼭짓점과 연관되어 있다).

모호성을 피하기 위해 이러한 유형의 객체를 정확히 '''무방향 멀티 그래프'''라고 할 수 있다.

'''루프'''는 꼭짓점을 자신과 연결하는 변이다. 꼭짓점

x

를 자신과 연결하는 루프는 변(무방향 단순 그래프의 경우) 또는

\{x, x\} = \{x\}

에 접속하기 때문이다(무방향 멀티 그래프의 경우).

루프를 허용하려면 정의를 확장해야 한다. 무방향 단순 그래프의 경우

E

의 정의를

E \subseteq \{ \{x, y\} \mid x, y \in V \}

로 수정해야 한다. 무방향 멀티 그래프의 경우

\phi

의 정의를

\phi : E \to \{ \{x, y\} \mid x, y \in V \}

로 수정해야 한다. 모호성을 피하기 위해 이러한 유형의 객체를 각각 '''루프를 허용하는 무방향 단순 그래프''' 및 '''루프를 허용하는 무방향 멀티 그래프''' (때로는 '''무방향 의사 그래프'''라고도 함)라고 할 수 있다.

V

와

E

는 일반적으로 유한으로 간주되며,

V

는 종종 비어 있지 않은 것으로 가정되지만

E

는 빈 집합일 수 있다. 그래프의 '''차수'''는

|V|

이며, 꼭짓점의 수이다. 그래프의 '''크기'''는

|E|

이며, 변의 수이다. 꼭짓점의 '''차수''' 또는 '''원자가'''는 해당 꼭짓점에 접속하는 변의 수이며, 루프는 두 번 계산된다. 그래프의 '''차수'''는 꼭짓점의 차수 중 최댓값이다.

차수 ''n''인 무방향 단순 그래프에서 각 꼭짓점의 최대 차수는

n-1

이고 그래프의 최대 크기는

\frac{n(n-1)}{2}

이다.

루프를 허용하는 무방향 단순 그래프

G

의 변은

G

의 꼭짓점에 대한 대칭 동질 관계

\sim

을 유도하며, 이를

G

의 '''인접 관계'''라고 한다. 구체적으로, 각 변

(x,y)

에 대해 해당 끝점

x

와

y

는 서로 '''인접'''한다고 하며, 이는

x \sim y

로 표시된다.

2. 1. 2. 유향 그래프

'''유향 그래프'''(또는 방향 그래프)는 변에 방향이 있는 그래프이다.

일반적으로^[59] 유향 그래프는 다음과 같은 집합들의 순서쌍

G=(V,E)

으로 정의된다.

$V$ : 꼭짓점 집합 ('''노드''' 또는 '''점'''이라고도 한다.)
$E \subseteq \left\{(x,y) \mid (x, y) \in V^2 \;\textrm{ and }\; x \neq y \right\}$ : '''변''' 집합 ('''방향 변''', '''방향 링크''', '''방향 선''', '''화살표''' 또는 '''호'''라고도 한다.)

x

에서

y

로 향하는 변

(x, y)

에서 꼭짓점

x

와

y

를 변의 '''끝점'''이라 하며,

x

를 변의 '''꼬리''',

y

를 변의 '''머리'''라고 한다. 변

(y,x)

는

(x, y)

의 '''반전 변'''이라고 한다.

세 개의 꼭짓점과 네 개의 방향 변이 있는 유향 그래프(이중 화살표는 각 방향의 변을 나타냄).

다중 변을 허용하는 경우, 유향 그래프는 다음과 같은 순서 삼중항

G=(V,E,\phi)

으로 정의된다.

$V$ : '''꼭짓점''' 집합 ('''노드''' 또는 '''점'''이라고도 한다.)
$E$ : '''변''' 집합 ('''방향 변''', '''방향 링크''', '''방향 선''', '''화살표''' 또는 '''호'''라고도 한다.)
$\phi : E \to \left\{(x,y) \mid (x, y) \in V^2 \;\textrm{ and }\; x \neq y \right\}$ : 모든 변을 꼭짓점의 순서쌍에 매핑하는 '''사고 함수'''

'''루프'''는 꼭짓점을 자기 자신에 연결하는 변이다. 유향 그래프는 정의에 따라 루프를 가질 수 없다. 루프를 허용하는 유향 그래프의 경우,

E

의 정의를

E \subseteq \left\{(x, y) \mid (x, y) \in V^2\right\}

로,

\phi

의 정의를

\phi : E \to \left\{(x, y) \mid (x, y) \in V^2\right\}

로 수정해야 한다. 이러한 그래프는 '''루프를 허용하는 유향 그래프'''라고 한다.

다른 정의로는 집합

V

,

E

와,

E

의 원(요소)에 두 개의

V

를 원의 쌍으로 대응시키는 사상

:

f\colon\  E \to V \times V

의 세 묶음

:

G := (f, V, E)

을 유향 그래프라고 한다.

V

의 원을

G

의 '''정점''' 또는 '''노드''',

E

의 원을

G

의 '''변''' 또는 '''호'''라고 부른다.

철도나 노선 버스 등의 노선도에서 역(절점)이 노선(변)으로 어떻게 연결되어 있는지, "어느 쪽에서 어느 쪽으로 연결되어 있는지"를 나타낼 때 유향 그래프를 사용한다.

2. 1. 3. 다중 그래프

그래프에서 중복되는 변을 가질 수 있도록 허용한 것을 '''다중 그래프'''라고 한다.^[59] 모호성을 피하기 위해 이러한 유형의 객체를 정확히 '''무방향 다중 그래프'''라고 할 수 있다.^[2]

어떤 변의 양쪽 끝점이 같을 때, '''루프'''('''자기 루프''')라고 한다. 2개의 정점 사이에 여러 개의 변이 있을 때, '''다중 변'''이라고 한다. 루프나 다중 변을 포함하지 않는 그래프를 '''단순 그래프'''라고 하며, 루프나 다중 변을 포함하는 그래프를 '''다중 그래프'''라고 한다.

2. 1. 4. 가중 그래프

그래프의 변에 가중치(비용)가 부여된 그래프를 '''가중 그래프'''라고 부른다. 가중치는 비용, 거리, 시간 등 다양한 의미를 가질 수 있다. 가중 그래프는 '''네트워크'''라고도 불린다([플로우 네트워크], [베이즈 네트워크], [신경망] 등).^[59]

그래프 구조는 각 변에 가중치를 할당하여 확장할 수 있다. 가중 그래프는 쌍 간의 연결이 어떤 수치를 갖는 구조를 나타내기 위해 사용된다. 예를 들어, 그래프가 도로망을 나타낸다고 하면, 가중치는 각 도로의 길이를 나타낼 수 있다. 각 변과 관련된 여러 가중치(거리, 여행 시간, 금전적 비용 등)가 존재할 수 있다. 이러한 가중 그래프는 GPS 및 비행 시간과 비용을 비교하는 여행 계획 탐색 엔진을 프로그래밍하기 위해 일반적으로 사용된다.^[11]

2. 2. 그래프의 표현

그래프는 그림, 인접 행렬, 인접 목록 등 다양한 방법으로 표현할 수 있다. 가장 일반적인 표현 방식은 정점을 그리고 변으로 연결하는 시각적 표현 방식과 표 형식이다. 표 형식은 계산 응용 분야에 적합하다.

그림 표현: 일반적으로 꼭짓점은 점 또는 원으로, 변은 점과 점을 잇는 선으로 평면 위에 그래프를 그리는 방식이다.
인접 행렬 표현: 무향 그래프의 인접 행렬은 대칭 행렬이 된다. 예를 들어, 위의 그래프는 다음과 같은 인접 행렬로 표현할 수 있다.^[31]

:

\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\end{pmatrix}

인접 리스트 표현: 각 정점의 이웃을 개별적으로 나열하는 방식이다. 희소 그래프에 자주 선호된다.^[30]

컴퓨터 시스템에서 그래프를 저장하는 데는 여러 가지 방법이 있다. 사용되는 자료 구조는 그래프 구조와 그래프를 조작하는 데 사용되는 알고리즘에 따라 다르다. 이론적으로는 목록 구조와 행렬 구조를 구별할 수 있지만, 실제 응용 프로그램에서는 둘을 조합한 구조가 가장 좋은 경우가 많다.^[30]

목록 구조: 간선 목록, 인접 목록
행렬 구조: 사건 행렬, 인접 행렬, 차수 행렬, 라플라시안 행렬, 거리 행렬

3. 주요 개념

그래프 이론에서 사용되는 주요 개념은 다음과 같다.

'''변'''(邊, edge) 또는 '''호'''(弧, arc): 두 정점을 연결하는 선이다. 수학 이외의 분야에서는 '''가지''', 또는 '''링크'''라고 부르기도 한다.
'''정점'''(頂點, vertex): 그래프를 구성하는 기본 단위이다. 수학 이외의 분야에서는 '''절점'''(節點, node)이라고 부르기도 한다.
'''가중 그래프'''(weighted graph): 변에 가중치가 부여된 그래프이다. 플로우 네트워크, 베이즈 네트워크, 신경망 등 '''네트워크'''라고도 불린다.
'''단점'''(端點, end point): 변의 양 끝점이다.
'''접합'''(接合, incident): 단점은 변에 접합한다고 한다.
'''인접'''(adjacent): 변과 변이 정점을 공유하면 서로 인접한다고 한다.^[38]

그래프는 물리학, 생물학^[46]^[47], 사회, 정보 시스템에서 다양한 종류의 관계와 과정을 모델링하는 데 사용될 수 있다. 많은 현실적인 문제는 그래프로 나타낼 수 있으며, 현실 세계 시스템에의 응용을 강조할 때 "네트워크"라는 용어가 그래프를 의미하기도 한다. 그래프에서는 속성(예: 이름)이 정점 및 변과 관련된다. 현실 세계의 시스템을 네트워크로 표현하고 이해하는 주제는 네트워크 과학이라고 한다.

그래프 이론은 생물학 및 보존 노력에도 유용하다. 여기서 정점은 특정 종이 존재(또는 서식)하는 지역을 나타낼 수 있으며, 변은 지역 간의 이동 경로 또는 이동을 나타낸다. 이 정보는 번식 패턴을 보거나, 질병이나 기생충의 확산, 이동이 다른 종에 어떤 영향을 미칠 수 있는지 추적하는 데 중요하다.

그래프 이론은 커넥토믹스에서도 사용된다.^[47] 신경계는 그래프로 볼 수 있는데, 여기서 노드는 뉴런이며 변은 뉴런 간의 연결이다.

그래프의 정점 집합은 , 변 집합은 로 나타낸다. 그래프 가 주어진 경우, 정점 집합은 , 변 집합은 로 나타내기도 한다.^[38]

3. 1. 그래프의 구조

그래프는 경로, 순환, 부분 그래프, 신장 부분 그래프, 연결 그래프, 마이너, 클릭, 부합 등 다양한 구조를 가질 수 있다.

경로: 정점의 중복을 허용하지 않는 보도이다.
순환: 시작점과 종점이 같은 길이다.
부분 그래프: 어떤 그래프의 정점 집합과 변 집합의 부분 집합으로 이루어진 그래프이다.
신장 부분 그래프: 원래 그래프의 모든 정점을 포함하는 부분 그래프이다.
연결 그래프: 임의의 두 정점 사이에 경로가 존재하는 그래프이다.
마이너: 그래프에서 축약과 변의 제거를 통해 얻을 수 있는 그래프이다.
클릭: 모든 정점 쌍 사이에 변이 존재하는 부분 그래프로, 완전 그래프가 되는 유도 부분 그래프를 의미한다.
부합: 공통된 정점을 갖지 않는 변들의 집합이다.

그래프 이론은 특정 종이 존재하는 지역을 정점으로, 지역 간의 이동 경로를 변으로 나타내어 생물학 및 보존 노력에 활용된다. 이러한 정보는 번식 패턴, 질병 확산 추적, 이동 변화가 다른 종에 미치는 영향 등을 확인하는 데 중요하다.

분자 생물학 및 유전체학에서도 그래프는 복잡한 관계를 가진 데이터 세트를 모델링하고 분석하는 데 사용된다. 예를 들어 단일 세포 전사체 분석에서 세포를 세포 유형으로 '클러스터링'하거나, 경로에서 유전자 또는 단백질 간의 관계를 연구하는 데 활용된다.^[15] 진화 계통수, 생태 네트워크 및 유전자 발현 패턴의 계층적 클러스터링도 그래프 구조로 표현된다.

커넥토믹스에서 신경계는 노드가 뉴런이고 변이 연결인 그래프로 표현될 수 있다.^[16]

수학에서 그래프는 기하학 및 매듭 이론과 같은 위상수학의 특정 부분에서 유용하며, 대수적 그래프 이론은 군론과 밀접한 관련이 있다. 대수적 그래프 이론은 동적 시스템 및 복잡성을 포함한 다양한 분야에 적용된다.

그래프의 정점 집합은 , 변 집합은 로 나타낸다. 그래프 가 주어진 경우, 정점 집합은 , 변 집합은 로 나타내기도 한다.^[38] 수학 이외의 분야에서는 정점을 '''절점''', 변을 '''가지''', '''호''', 또는 '''링크'''라고 부르기도 한다.

변에 가중치가 부여된 그래프를 '''가중 그래프'''라고 하며, 플로우 네트워크, 베이즈 네트워크, 신경망 등 '''네트워크'''라고도 불린다.

변 의 양 끝점을 '''단점'''이라고 하며, 단점은 변 에 '''접합'''한다고 한다. 변과 변이 정점을 공유하면 서로 '''인접'''한다고 한다.^[38]

3. 1. 1. 경로 (Path)

정점의 중복을 허용하지 않는 보도를 '''경로'''(패스)라고 하며, 열린 보도를 경로라고 할 경우 '''단순 경로'''라고 부른다.^[43]

3. 1. 2. 순환 (Cycle)

시작점과 종점이 같은 길을 '''사이클''' ('''회로'''·'''순환'''·'''서킷''' 또는 '''사이클''')이라고 한다. 시작점과 종점이 같은 경로를 '''사이클'''이라고 한다.^[43]

3. 1. 3. 부분 그래프 (Subgraph)

그래프 ''G''와 ''G''′에 대해, ''G''′의 꼭짓점 집합과 변 집합이 모두 ''G''의 꼭짓점 집합과 변 집합의 부분 집합일 때, ''G''′는 ''G''의 부분 그래프라고 한다.^[38] 이때 ''G''는 ''G''′의 확대 그래프라고 하며, 로 나타낸다.

특히, ''G''와 ''G''′의 꼭짓점 집합이 같을 때, ''G''′는 ''G''의 전역 부분 그래프라고 한다.
''G''의 꼭짓점 집합 의 부분 집합 를 가져와서, 양 끝점이 에 속하는 모든 변을 변 집합으로 하는 ''G''의 부분 그래프 를 유도 부분 그래프라고 한다.
그래프 에서 어떤 변 를 제거하고, 그 변의 양 끝점을 하나의 정점으로 묶는 것을 (변의) 축약이라고 하며, 축약의 결과로 얻어지는 그래프를 로 나타낸다.

유도 부분 그래프의 "유도"는 induced의 번역어이다. induce의 번역으로는 "유도하다" 외에 "생성하다"가 있다.^[40]^[41] 이 때문에, 유도 부분 그래프를 생성 부분 그래프라고 부르기도 한다.^[42] 한편, 생성 부분 그래프는 전역 부분 그래프를 가리키는 경우도 있으므로, 생성 부분 그래프라는 용어를 사용할 때는 혼란이 없는지 주의해야 한다.

3. 1. 4. 신장 부분 그래프 (Spanning Subgraph)

Spanning Subgraph^영어는 원래 그래프의 모든 꼭짓점을 포함하는 부분 그래프이다.^[38] 특히, 그래프와 그래프의 정점 집합이 같을 때, 그래프는 그래프의 '''전역 부분 그래프'''라고 한다. 전역 부분 그래프는 생성 부분 그래프라고도 불리는데, 생성 부분 그래프라는 용어를 사용할 때는 혼란이 없는지 주의할 필요가 있다.

3. 1. 5. 연결 그래프 (Connected Graph)

Connected Graph|연결 그래프^영어는 임의의 두 꼭짓점 사이에 경로가 존재하는 그래프이다.^[13]

3. 1. 6. 클릭 (Clique)

그래프 이론에서 클릭(Clique)은 모든 꼭짓점 쌍 사이에 변이 존재하는 부분 그래프로, 완전 그래프가 되는 유도 부분 그래프를 의미한다.^[38] 즉, 주어진 그래프에서 특정 꼭짓점들의 집합이 있을 때, 이 집합에 속하는 모든 꼭짓점들 사이에 변(간선)이 존재하면 이 부분 그래프는 클릭이 된다.

크기가 n인 클릭을 포함하는 그래프는 "n-클릭"이라고 부른다. 예를 들어, 간선을 갖는 그래프는 반드시 2개의 정점을 가진 완전 그래프를 포함하므로 2-클릭이다.^[38] n-클릭이며, 지름이 n 미만인 그래프는 n-클랜이라고 한다.

가장 큰 완전 부분 그래프를 찾는 문제는 클리크 문제라고 불리며, NP-완전 문제에 속한다.

3. 2. 그래프의 분류

그래프는 특정 구조를 가지는지 여부 등에 따라 분류할 수 있으며, 그래프 이론에서는 이러한 개념 및 성질들 사이의 관계를 연구한다.

그래프의 종류는 다음과 같다.

그래프 열거는 특정 조건을 만족하는 그래프의 개수를 세는 문제로, 이 분야에 관한 많은 연구가 이루어졌다. 해러리와 팔머(Harary and Palmer, 1973)의 연구에서 이 분야의 일부를 찾아볼 수 있다.^[31]

3. 2. 1. 완전 그래프 (Complete Graph)

임의의 두 정점 사이에 간선이 있는 그래프를 '''완전 그래프'''('''완비 그래프''')라고 한다.^[38]^[44] n개의 정점을 가진 완전 그래프는 K_n으로 표기한다. K₃는 삼각형이라고 불린다.

3. 2. 2. 정규 그래프 (Regular Graph)

모든 꼭짓점의 차수가 같은 그래프를 '''정규 그래프'''라고 한다. 임의의 꼭짓점 v에 대해, d(v) = k가 성립할 때, '''k-정규 그래프'''라고 한다. k-정규 그래프를 k-정규 그래프라고 한다.

3. 2. 3. 트리 (Tree)

순환이 없는 연결 그래프이다.

3. 2. 4. 이분 그래프 (Bipartite Graph)

이분 그래프는 꼭짓점 집합을 두 개의 독립 집합으로 나눌 수 있으며, 모든 변은 서로 다른 집합에 속하는 두 꼭짓점을 연결하는 그래프이다.^[15]

3. 2. 5. 평면 그래프 (Planar Graph)

평면 그래프는 평면 상에 변이 교차하지 않도록 그릴 수 있는 그래프이다.^[15]

3. 3. 그래프의 성질

오일러 경로 (오일러 회로, 오일러 그래프)
해밀턴 경로 (해밀턴 회로, 해밀턴 그래프)
트리 (루트 있는 트리, 숲)
* 신장 트리
* 슈타이너 트리
지름
절단
이분 그래프 (분 그래프, 채색)
동형 그래프
연결 그래프 (연결 요소, 연결도)
평면 그래프 (평면적인 그래프)
인접 행렬
접속 행렬
차수 행렬
대칭 그래프
사이클 그래프
유향 비순환 그래프
독립 집합
널 그래프
양자 그래프
(유향 그래프의) 강결합 성분 분해
그래프의 제타 함수
달메지-멘델존 분해 (DM 분해)
위상 정렬

그래프는 물리학, 생물학^[46]^[47], 사회, 정보 시스템에서 다양한 종류의 관계와 과정을 모델링하는 데 사용할 수 있다. 많은 현실적인 문제는 그래프로 나타낼 수 있다. 현실 세계 시스템에의 응용을 강조할 때 "네트워크"라는 용어가 그래프를 의미하기도 한다. 그래프에서는 속성(예: 이름)이 정점 및 변과 관련된다. 현실 세계의 시스템을 네트워크로 표현하고 이해하는 주제는 네트워크 과학이라고 한다.

그래프 이론은 생물학 및 보존 노력에도 유용하다. 여기서 정점은 특정 종이 존재(또는 서식)하는 지역을 나타낼 수 있으며, 변은 지역 간의 이동 경로 또는 이동을 나타낸다. 이 정보는 번식 패턴을 보거나, 질병이나 기생충의 확산, 이동이 다른 종에 어떤 영향을 미칠 수 있는지 추적하는 데 중요하다.

그래프 이론은 커넥토믹스에서도 사용된다^[47]。신경계는 그래프로 볼 수 있는데, 여기서 노드는 뉴런이며 변은 뉴런 간의 연결이다.

3. 3. 1. 매칭과 커버 (Matching and Cover)

매칭은 서로 만나지 않는 변들의 집합이다. 모든 꼭짓점을 포함하는 매칭을 완전 매칭이라고 한다.

꼭짓점 덮개는 그래프의 모든 변의 최소한 한 끝점에 포함되어 있는 꼭짓점들의 집합이다. 변 덮개는 그래프의 모든 꼭짓점을 포함하는 변들의 집합이다.

매칭 또는 덮개에 대한 정리는 다음과 같다.

홀 결혼 정리
쾨니그의 정리
베르주 보조정리
텃-베르주 공식
박물관 경비 문제

3. 3. 2. 그래프 색칠 (Graph Coloring)

그래프 이론에서 그래프 색칠은 인접한 꼭짓점이나 변이 같은 색을 가지지 않도록 그래프에 색을 부여하는 문제를 연구한다. 특히, 다음 정리들이 연구 대상이다.

4색 정리
램지의 정리
비징의 정리
브룩스의 정리
박물관 경비 문제

4. 분야

그래프 이론은 다음과 같은 다양한 분야로 나뉜다.

'''대수적 그래프 이론''': 그래프의 대수학적 불변량을 정의하고 그 성질을 연구한다.
'''위상 그래프 이론''': 그래프의 곡면 속 매장을 연구한다.
'''기하 그래프 이론''': 다면체의 꼭짓점과 변들을 그래프로 여기고, 다면체의 기하학적 성질과 그래프의 성질을 연관 짓는다.
'''확률 그래프 이론''': 무작위 그래프의 성질들을 연구한다.
'''극대 그래프 이론''': 그래프의 크기에 관련된 불변량 간의 부등식과, 이 부등식을 포화시키는 그래프를 찾는다.
'''알고리즘 그래프 이론''': 유한 그래프의 구조를 계산하는 알고리즘과 계산 복잡도를 연구한다.
'''네트워크 이론''': 그래프로 간주한 네트워크의 최적화 및 그래프의 중심성 등의 성질을 연구한다.
'''조합적 집합론''': 무한 그래프의 성질들을 연구하며, 모형 이론 등 논리학에 응용된다.

그래프 이론은 언어학에서 특히 유용하게 사용되는데, 자연 언어가 이산 구조에 잘 들어맞기 때문이다. 통사론과 구성 의미론은 트리 구조를 따르며, 주사구조 문법과 같은 현대적인 기법은 유향 비순환 그래프를 사용하여 자연 언어의 구문을 모델링한다. 어휘 의미론에서 단어의 의미 모델링은 관련된 단어의 관점에서 이해될 때 더 쉬우며, 의미 네트워크는 계산 언어학에서 중요하다.

2022년부터 일본 고등학교 신 학습 지도 요령의 수학 C에는 그래프 이론과 관련된 내용이 포함될 예정이지만, 입시에 출제하는 대학은 거의 없다.^[57]^[58]

4. 1. 대수적 그래프 이론 (Algebraic Graph Theory)

대수적 그래프 이론은 그래프의 대수학적 불변량을 정의하고, 그 성질들을 연구한다.

그래프에는 인접 행렬 등을 사용하여, 선형대수학 및 스펙트럼 이론의 기법을 적용할 수 있다. 이러한 분야를 '''스펙트럼 그래프 이론'''(spectral graph theory^영어)이라고 한다.

그래프의 색칠 다항식 및 이를 일반화한 텃 다항식과 같은 다항식 불변량을 정의할 수 있다. 이러한 다항식 불변량은 매트로이드로 일반화할 수 있으며, 또한 매듭 이론의 매듭 다항식 불변량 (존스 다항식 등) 및 통계역학·양자장론과 관련이 있다.

일부 그래프는 대칭성을 갖는다. 이러한 대칭 그래프의 경우, 대칭군을 사용하여 군론적인 기법을 적용할 수 있다.

대수적 그래프 이론은 군론과 밀접한 관련이 있다. 대수적 그래프 이론은 동적 시스템이나 복잡성을 포함한 많은 분야에 응용되고 있다.

4. 2. 위상 그래프 이론 (Topological Graph Theory)

위상 그래프 이론(topological graph theory^영어)은 그래프의 곡면 속의 매장을 연구한다. 그래프의 가능한 매장에 따라, 그래프를 평면 그래프를 비롯한 각종 종수로 분류할 수 있다. 이러한 위상수학적 성질은 그래프의 다른 불변량과 관련이 있다. 예를 들어, 4색정리에 따르면, 평면 그래프의 색칠 수는 항상 4 이하이다.

4. 3. 확률 그래프 이론 (Probabilistic Graph Theory)

확률 그래프 이론은 각종 무작위 그래프의 성질들을 연구한다. 이러한 무작위 그래프들은 독특한 성질들을 보인다. 예를 들어, 오일러-레니 무작위 그래프의 경우, 꼭짓점 수가 무한한 극한을 취하면 그래프는 거의 확실하게 라도 그래프라는 그래프와 동형이 된다. 이 사실은 무작위 그래프의 1차 논리 언어의 모형 이론으로 해석할 수 있다. 또한, 이러한 무작위 그래프는 소셜 네트워크 서비스 및 기타 실재 네트워크의 모형으로 쓰인다.

4. 4. 극대 그래프 이론 (Extremal Graph Theory)

그래프의 크기에 관련된 각종 불변량들 사이의 부등식 및 이러한 부등식을 포화시키는 그래프들을 찾는다. 즉, 그래프의 대역적 성질을 국한시키면 어떤 국소적 구조가 필연적으로 발생하는지에 대하여 연구한다. 특히, '''램지 이론'''은 그래프의 색칠과 관련하여 필연적으로 발생하는 구조들을 다룬다.

4. 5. 알고리즘 그래프 이론 (Algorithmic Graph Theory)

알고리즘 그래프 이론은 유한 그래프의 구조(예: 해밀턴 경로, 클릭, 그래프 색칠)를 계산하는 알고리즘 및 이러한 알고리즘의 계산 복잡도를 연구한다. 그래프 관련 문제들 가운데 일부는 NP-완전 문제이며, 따라서 이들의 연구는 계산 복잡도 이론의 중요한 부분을 차지한다.^[48]^[49]^[50]

그래프 이론은 컴퓨터 과학에서 통신, 데이터 구성, 계산 장치, 계산 흐름 등의 네트워크를 나타내는 데 사용된다. 예를 들어, 웹사이트의 링크 구조는 유향 그래프로 나타낼 수 있으며, 여기서 정점은 웹 페이지, 유향 변은 한 페이지에서 다른 페이지로의 링크를 나타낸다. 이러한 접근 방식은 소셜 미디어, 여행, 생물학, 컴퓨터 칩 설계, 신경 퇴행성 질환의 진행 매핑 등 여러 분야에 적용될 수 있다. 따라서 그래프를 다루기 위한 알고리즘 개발은 컴퓨터 과학의 주요 관심사이다.

수치 계산 분야에서는 희소 행렬을 계수로 하는 연립 일차 방정식을 소거법으로 계산하여 풀 때, 행렬의 비영 구조를 그래프와 대응시켜 소거 순서를 적절하게 선택하는 방법 등이 연구되어 왔다.

다음은 알고리즘 그래프 이론의 몇 가지 예시이다.

문제	설명
최단 경로 문제	주어진 두 정점 사이의 가장 짧은 경로를 찾는 문제
해밀턴 경로 문제	모든 정점을 한 번씩 지나는 경로를 찾는 문제
외판원 문제	모든 정점을 한 번씩 지나고 시작점으로 돌아오는 최단 경로를 찾는 문제
중국인 우체부 문제	모든 간선을 한 번 이상 지나고 시작점으로 돌아오는 최단 경로를 찾는 문제
최소 신장 트리 문제	모든 정점을 연결하는 간선들의 가중치 합이 최소인 트리를 찾는 문제
최대 클릭 문제	가장 큰 클릭을 찾는 문제
정점 피복 문제	모든 간선을 포함하는 최소 크기의 정점 집합을 찾는 문제
최대 유량 최소 컷 정리	네트워크에서 최대 유량을 찾는 문제
그래프 채색 문제	인접한 정점이 같은 색을 갖지 않도록 최소한의 색으로 정점을 색칠하는 문제 (예: 4색정리)^[56]
플로이드-워셜 알고리즘	모든 정점 쌍 사이의 최단 경로를 찾는 알고리즘

4. 6. 네트워크 이론 (Network Theory)

그래프로 간주한 네트워크의 최적화 및 그래프의 중심성 등의 성질을 연구한다.

5. 역사

그래프 이론은 1736년 레온하르트 오일러가 쓴 쾨니히스베르크의 다리 문제에 대한 논문에서 시작되었다.^[17] 오일러는 이 논문에서 그래프의 한붓그리기 존재 여부에 대한 필요충분조건을 제시하였다. 오일러의 다면체 정리는 오귀스탱 루이 코시^[60]와 시몽 앙투안 장 륄리에^[61]에 의해 연구되고 일반화되었으며, 이는 위상수학의 시작을 알렸다.

19세기에는 수학과 물리학의 여러 분야에서 그래프의 개념이 나타나기 시작하였다.

1845년 구스타프 키르히호프는 전기 회로를 다루는 키르히호프 회로 법칙을 발견하고 발표하였다. 키르히호프의 회로 이론은 오늘날 네트워크 이론의 시초가 되었다.
1852년 프랜시스 거스리(Francis Guthrie^영어)는 4색 정리를 추측하였다. 이 문제는 오랫동안 풀리지 않아 그래프 이론에 대한 관심을 불러일으켰다.
1857년 윌리엄 로언 해밀턴은 해밀턴 경로의 개념을 도입하였고, 곧 해밀턴 경로의 존재 여부에 대한 문제가 제기되었다.
1878년 아서 케일리는 군의 케일리 그래프를 정의하였다.

이러한 문제들을 해결하기 위해, 율리우스 페테르센, 앨프리드 켐프(Alfred Kempe^영어, 1849~1922), 쾨니그 데네시, 조지 데이비드 버코프, 해슬러 휘트니, 윌리엄 토머스 텃 등은 그래프 이론의 기초적인 개념과 정리들을 만들었다. 쾨니그는 1936년에 그래프 이론에 대한 최초의 책을 출판하였다.^[23] 프랭크 해러리는 1969년에 또 다른 책을 출판하였는데, 이는 "전 세계적으로 이 분야의 결정적인 교과서"로 여겨졌으며,^[24] 수학자, 화학자, 전기 기술자, 사회 과학자들이 서로 소통할 수 있게 했다. 해러리는 모든 저작권을 폴리아 상 기금으로 기부했다.^[25]

제임스 조지프 실베스터는 1878년 ''네이처''에 발표된 논문에서 "그래프"라는 용어를 처음으로 사용하였다.^[22]

그래프 이론에서 가장 유명하고 자극적인 문제 중 하나는 사색 문제이다. "평면에 그려진 모든 지도는 인접한 두 구역이 서로 다른 색상을 갖도록 네 가지 색상으로 구역을 칠할 수 있는가?" 이 문제는 1852년 프랜시스 거스리에 의해 처음 제기되었으며, 같은 해 오거스터스 드 모건이 윌리엄 로언 해밀턴에게 보낸 편지에 처음 기록되었다.

사색 문제는 1세기 이상 동안 해결되지 않았다. 1969년 하인리히 헤에쉬는 컴퓨터를 사용하여 이 문제를 해결하는 방법을 발표했다.^[26] 1976년 케네스 아펠과 볼프강 하켄이 컴퓨터를 사용하여 만든 증명은 헤에쉬가 개발한 "방전"의 개념을 근본적으로 사용했다.^[27]^[28] 20년 후 로버트슨, 세이모어, 대니얼 P. 샌더스, 토머스에 의해 더 간단한 증명이 주어졌다.^[29]

현재, 그래프 이론은 활발하게 연구되고 있다. 비교적 최근의 주요 연구 결과로는 케네스 아펠과 볼프강 하켄의 4색 정리 증명 (1976년), 강한 완벽 그래프 정리 증명 (2002년) 등이 있다.

1860년부터 1930년까지의 위상수학의 자율적인 발전은 카미유 조르당, 카지미에시 쿠라토프스키, 하슬러 휘트니의 연구를 통해 그래프 이론에 영향을 미쳤다.

폴 에르되시와 알프레드 레니의 그래프 연결성에 대한 점근적 확률 연구는 랜덤 그래프 이론으로 알려진 또 다른 분과를 낳았으며, 이는 그래프 이론적 결과의 풍부한 원천이 되었다.

6. 응용

그래프 이론은 다양한 분야에서 관계와 과정을 모델링하고 문제를 해결하는 데 활용된다.

컴퓨터 과학: WWW의 웹 페이지와 하이퍼링크로 이루어진 구조는 유향 그래프로 표현할 수 있다.^[32] 웹사이트의 링크 구조, 데이터 구성, 계산 장치, 계산 흐름 등의 네트워크를 나타내는 데 사용된다. 그래프 알고리즘 개발, 그래프 변환, 그래프 구조를 가진 데이터의 트랜잭션 처리 및 영구 저장을 위한 데이터베이스 등에도 활용된다.
언어학: 자연어 처리에서 통사론과 구성 의미론은 트리 구조를 따르며, 주사구조 문법과 같은 현대적인 기법은 유향 비순환 그래프를 사용하여 자연어 구문을 모델링한다. 어휘 의미론에서는 의미 네트워크가 계산 언어학에서 중요하게 활용된다.
물리학 및 화학: 응집 물질 물리학에서는 원자 구조의 3차원 구조를 정량적으로 연구하고, 양자장론을 요약하는 데 사용된다. 화학에서는 분자를 원자와 결합으로 표현하는 그래프 모델을 사용한다.
사회학: 사회 네트워크 분석에서 소문의 확산을 조사하는 데 사용된다.^[55]
생물학: 특정 종의 서식 지역과 이동 경로를 나타내는 그래프를 통해 번식 패턴, 질병 확산 등을 추적한다. 커넥토믹스에서 신경계를 그래프로 표현하여 뉴런 간의 연결을 연구하는 데 활용된다.^[47]

이 외에도, 그래프 이론은 전기 회로, 파일 시스템, 신경망, 스케줄링 문제 등 다양한 분야에 응용된다.

참조

_[1] 문서 See, for instance, Iyanaga and Kawada, ''69 J'', p. 234 or Biggs, p. 4.
_[2] 문서 See, for instance, Graham et al., p. 5.
_[3] 서적 Proceedings of the 2014 ACM conference on Web science 2014
_[4] 간행물 Investigation of a protein complex network
_[5] 간행물 Characterizing the role of the structural connectome in seizure dynamics 2019-07-01
_[6] 간행물 Applications of Graph Theory [Scanning the Issue] https://ieeexplore.i[...] 2018-05
_[7] 간행물 A social network analysis of Twitter: Mapping the digital humanities community https://hal.archives[...] 2016
_[8] 간행물 "Small World" architecture in brain connectivity and hippocampal volume in Alzheimer's disease: a study via graph theory from EEG data 2017
_[9] 간행물 Brain network connectivity assessed using graph theory in frontotemporal dementia 2013
_[10] 서적 Relativistic Quantum Fields https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[11] 간행물 Evaluating conducting network based transparent electrodes from geometrical considerations 2016-01-04
_[12] 서적 Networks: An Introduction http://math.sjtu.edu[...] Oxford University Press 2019-10-30
_[13] 문서 Social network analysis and visualization: Moreno’s Sociograms revisited http://www.martingra[...]
_[14] 서적 Discrete mathematics and its applications McGraw-Hill 2011-06-14
_[15] 간행물 graphsim: An R package for simulating gene expression data from graph structures of biological pathways https://www.biorxiv.[...] The Open Journal 2020-07-09
_[16] 간행물 Characterizing the role of the structural connectome in seizure dynamics 2019-07-01
_[17] Citation Graph Theory, 1736-1936 Oxford University Press
_[18] Citation Recherche sur les polyèdres - premier mémoire
_[19] Citation Mémoire sur la polyèdrométrie
_[20] citation On the theory of the analytical forms called trees https://rcin.org.pl/[...]
_[21] Citation Ueber die Analytischen Figuren, welche in der Mathematik Bäume genannt werden und ihre Anwendung auf die Theorie chemischer Verbindungen https://zenodo.org/r[...]
_[22] 간행물 Chemistry and Algebra https://archive.org/[...]
_[23] citation Graph Theory https://books.google[...] Cambridge University Press 2016-03-14
_[24] citation Fractal Music, Hypercards, and more…Mathematical Recreations from Scientific American W. H. Freeman and Company
_[25] citation Looking Back, Looking Ahead: A SIAM History http://www.siam.org/[...] 2016-03-14
_[26] 문서 Heinrich Heesch: Untersuchungen zum Vierfarbenproblem. Mannheim: Bibliographisches Institut 1969.
_[27] Citation Every planar map is four colorable. Part I. Discharging https://projecteucli[...]
_[28] Citation Every planar map is four colorable. Part II. Reducibility
_[29] Citation The four color theorem
_[30] 서적 Graph Algorithms in the Language of Linear Algebra https://my.siam.org/[...] SIAM 2011
_[31] 웹사이트 개념 http://www.kobepharm[...]
_[32] 웹사이트 하이퍼링크 http://boost.cppll.j[...]
_[33] 문서 "([[라틴어]]) Leonhard Euler - Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 8, 1741, pages 128–140.　"
_[34] 문서 Diestel, p. 20
_[35] 문서 グラフ理論の歴史を扱っている{{harvtxt|Biggs et al.|1998}}にオイラーの論文の英訳を含む節がある。
_[36] 문서 一筆書き
_[37] 웹사이트 無向グラフと有向グラフ http://www.dais.is.t[...]
_[38] 서적
_[39] 웹사이트 多重グラフ http://www.di.kagawa[...]
_[40] 서적 グラフの理論I
_[41] 문서
_[42] 문서 アルゴリズムとデータ構造
_[43] 웹사이트 閉路 http://logic.cs.tsuk[...]
_[44] 문서
_[45] 논문 Multilinguals and Wikipedia Editing
_[46] 논문 Investigation of a protein complex network
_[47] 논문 Characterizing the role of the structural connectome in seizure dynamics https://academic.oup[...] 2019-07-01
_[48] 논문 A social network analysis of Twitter: Mapping the digital humanities community 2016
_[49] 논문 "Small World" architecture in brain connectivity and hippocampal volume in Alzheimer's disease: a study via graph theory from EEG data 2017
_[50] 논문 Brain network connectivity assessed using graph theory in frontotemporal dementia 2013
_[51] 웹사이트 TextGraphs: Graph-based Algorithms for Natural Language Processing http://www.textgraph[...] 2019-07-26
_[52] 서적 Relativistic Quantum Fields McGraw-Hill
_[53] 논문 Evaluating conducting network based transparent electrodes from geometrical considerations 2016-01-04
_[54] 문서 Social network analysis and visualization: Moreno’s Sociograms revisited http://www.martingra[...]
_[55] 서적 Discrete mathematics and its applications McGraw-Hill 2011-06-14
_[56] 문서
_[57] 웹사이트 高校「新学習指導要領」は教え方改革 - 旺文社教育情報センター https://web.archive.[...] eic.obunsha.co.jp
_[58] 웹사이트 国公立大学 2025年度 2次試験・個別学力検査入試科目 https://www.keinet.n[...] 河合塾
_[59] 문서
_[60] 논문 Recherche sur les polyèdres - premier mémoire
_[61] 논문 Mémoire sur la polyèdrométrie

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com