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각지름 거리

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목차

1. 개요

각지름 거리는 천체의 각 크기와 적색편이 사이의 관계를 설명하는 개념이다. 유클리드 기하학에서는 각 크기와 거리의 관계가 간단하지만, 현재 선호되는 ΛCDM 모형에서는 적색편이가 1.5보다 큰 천체는 적색편이 증가에 따라 더 크게 보인다. 각지름 거리는 이러한 관계를 통해 계산되며, 매티그 관계와 같은 공식을 통해 적색편이의 함수로 나타낼 수 있다. 또한, 각지름 거리는 우주의 팽창과 관련하여 전환점을 가지며, 우주론적 모형에 따라 달라진다.

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각지름 거리

2. 각크기와 적색편이 관계

'''각크기 적색편이 관계'''는 주어진 물리적 크기의 물체가 하늘에서 보이는 각크기와 지구로부터 천체의 적색편이(이는 지구로부터의 거리에 따라 달라진다) 사이의 관계를 설명한다. 유클리드 기하학에서는 이 관계가 간단한 방정식으로 주어지지만, ΛCDM 모델(현재 선호되는 우주론)에서는 관계가 더 복잡해진다. 이 모델에서 적색 편이가 1.5보다 큰 천체는 적색 편이가 증가함에 따라 하늘에서 더 크게 보인다.

유클리드 기하학에서 하늘에서의 크기와 지구로부터의 거리 사이의 관계는 다음 방정식으로 간단히 주어진다.

: \tan\left ( \theta \right )= \frac{x}{d}

여기서 \theta 는 천체의 각 크기이고, x 는 천체의 크기, d 는 천체까지의 거리이다. \theta 가 작을 때 이 식은 다음 식으로 근사할 수 있다.

: \theta \approx \frac{x}{d}

이것은 각지름 거리와 관련이 있으며, 이는 \theta 와 x 값으로부터 우주가 유클리드 공간으로 가정한 경우에 계산되는 거리이다.

매티그 관계는 ΩΛ = 0인 우주에 대한 적색편이 ''z'' 의 함수로 각지름 거리 d_A 값을 산출한다.[2]

2. 1. 각지름 거리

세로축에 초당 킬로파섹을 나타내는 람다 우주론에 대한 각지름 적색편이 관계.


세로축에 메가파섹을 나타내는 람다 우주론에 대한 각지름 적색편이 관계.


'''각지름 적색편이 관계'''는 주어진 물리적 크기를 가진 물체의 하늘에서 관측된 각지름과 지구로부터의 물체의 적색편이(지구로부터의 거리 d 와 관련됨) 사이의 관계를 설명한다. 유클리드 기하학에서 하늘에서의 크기와 지구로부터의 거리 사이의 관계는 다음과 같은 방정식으로 간단하게 나타낼 수 있다.

: \tan\left ( \theta \right )= \frac{x}{d}

여기서 \theta 는 하늘에서의 물체의 각지름이고, x 는 물체의 크기이며, d 는 물체까지의 거리이다. \theta 가 작을 때 다음과 같이 근사할 수 있다.

: \theta \approx \frac{x}{d}

그러나 ΛCDM 모형에서 이 관계는 더 복잡하다. 이 모형에서 약 1.5보다 큰 적색편이를 가진 물체는 적색편이가 증가함에 따라 하늘에서 더 크게 보인다.

이것은 각지름 거리와 관련이 있는데, 각지름 거리는 우주가 유클리드라고 가정할 때 \theta 와 x 로부터 계산된 물체의 거리이다.

매티그 관계는 ΩΛ = 0인 우주에 대한 적색편이 ''z''의 함수로서 각지름 거리 d_A를 제공한다.[2] q_0는 감속 매개변수의 현재 값으로, 우주의 팽창률의 감속을 측정한다. 가장 단순한 모형에서 q_0<0.5는 우주가 영원히 팽창할 경우에 해당하고, q_0>0.5는 궁극적으로 팽창을 멈추고 수축할 폐쇄 모형에 해당하며, q_0=0.5는 임계 경우에 해당한다. – 재수축 없이 무한대까지 팽창할 수 있는 우주이다.

:d_A=\cfrac{c}{H_0 q^2_0} \cfrac{(zq_0+(q_0 -1)(\sqrt{2q_0 z+1}-1))}{(1+z)^2}

각지름 거리 d_A는 적색편이 z=z_t (ΛCDM 모델에서 이것은 z_t \approx 1.5 )에서 최대값에 도달하는데, d_A(z) 의 기술기가 z=z_t 지점에서 그 부호가 바뀐다. 즉, \partial_z d_A > 0 ~ \forall z, \partial_z d_A < 0 \forall z>z_t 가 된다. 그래프를 그렸을 때의 모양을 참조하여, z_t를 전환점(turnover point)이라고도 한다.

전환점은 우주의 팽창과 유한한 빛의 속도로 인해 발생한다. 우주가 팽창하고 있기 때문에 지금은 아주 멀리 있는 천체가 한때는 훨씬 더 가까이에 있었다. 빛의 속도가 유한하기 때문에 지금은 멀리 떨어져 있는 천체로부터 우리에게 도달하는 빛은 이미 오래 전 이 천체가 우리에게 더 가까워 하늘에서 더 넓은 각도로 퍼져 있었을 때에 떠났던 빛이다.

각지름 거리는 우주의 가정된 우주론에 따라 달라진다. 적색 편이 z에 있는 물체의 각지름 거리는 공변 거리 r로 표현된다.

:

d_A = \frac{S_k(r)}{1+z}



여기서 S_k(r)는 다음과 같이 정의된 FLRW 좌표이다.

:

S_k(r) = \begin{cases}

\sin \left (H_0 \sqrt

r \right)/\left(H_0\sqrt

\right) & \Omega_k < 0\\

r & \Omega_k=0 \\

\sinh \left(H_0 \sqrt

r\right)/\left(H_0\sqrt

\right) & \Omega_k >0

\end{cases}



여기서 \Omega_k는 곡률 밀도이고 H_0는 오늘날의 허블 매개변수 값이다.

현재 선호되는 우리 우주의 기하학적 모형에서 물체의 "각지름 거리"는 광선이 물체를 떠났을 때 "실제 거리", 즉 고유 거리에 대한 좋은 근사치이다.

2. 2. 매티그 관계 (Mattig Relation)

매티그 관계는 ΩΛ = 0인 우주에 대한 적색편이 ''z''의 함수로 각지름 거리 d_A 값을 산출한다.[2]q_0는 우주 팽창 속도의 감속을 측정하는 감속 매개변수의 현재 값이다. 가장 단순한 모델에서 q_0<0.5는 우주가 영원히 팽창하는 경우에 해당하며, q_0>0.5는 궁극적으로 확장을 중단하고 수축하는 폐쇄형 모델에, q_0=0.5는 임계 상태, 즉 우주가 재수축없이 무한히 팽창하는 우주에 해당한다.

:d_A=\cfrac{c}{H_0 q^2_0} \cfrac{(zq_0+(q_0 -1)(\sqrt{2q_0 z+1}-1))}{(1+z)^2}

2. 3. 전환점 (Turnover Point)

각지름 거리(d_A)는 적색편이z=z_t (ΛCDM 모형에서 z_t \approx 1.5)에서 최대값에 도달하는데, d_A(z) 의 기울기가 z=z_t 지점에서 그 부호가 바뀐다. 즉, \partial_z d_A > 0 ~ \forall z, \partial_z d_A < 0 \forall z>z_t 가 된다. 그래프를 그렸을 때의 모양을 참조하여, z_t를 전환점(turnover point)이라고도 한다.[1]

전환점은 적색편이가 증가하는 물체(따라서 점점 멀어지는 물체)를 볼 때, 적색편이 z=z_t가 될 때까지는 적색편이가 클 수록 더 작은 각도로 보이지만, 적색편이가 더 큰 값에서는 그 값이 클 수록 천체가 더 큰 각도로 보인다는 것을 의미한다. 이는 거리가 멀어질 수록 더 작게 보일 것이라는 직관과 모순되기 때문에 역설적으로 보인다.

전환점은 우주의 팽창과 유한한 빛의 속도로 인해 발생한다. 우주가 팽창하고 있기 때문에 지금은 아주 멀리 있는 천체가 한때는 훨씬 더 가까이에 있었다. 빛의 속도가 유한하기 때문에 지금은 멀리 떨어져 있는 천체로부터 우리에게 도달하는 빛은 이미 오래 전 이 천체가 우리에게 더 가까워 하늘에서 더 넓은 각도로 퍼져 있었을 때에 떠났던 빛이다. 따라서 전환점은 우주의 팽창 속도(또는 빛의 속도가 일정하다고 가정하지 않는 경우 팽창 속도와 빛의 속도 사이의 관계)에 대해 알려줄 수 있다.

3. 우주론적 의존성

'''각크기 적색편이 관계'''는 주어진 물리적 크기를 가진 물체의 하늘에서 관찰된 각크기와 지구로부터 천체의 적색편이(이는 지구로부터의 거리에 따라 달라짐) 사이의 관계를 설명한다. 유클리드 기하학에서는 하늘에서의 크기와 지구로부터의 거리 사이의 관계가 간단한 방정식으로 주어지지만, ΛCDM 모델(현재 선호되는 우주론)에서는 이 관계가 더 복잡하다.[2]

유클리드 기하학에서는 각크기(\theta), 천체의 크기(x), 천체까지의 거리(d) 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

: \tan\left ( \theta \right )= \frac{x}{d}

\theta 가 작을 때는 다음과 같이 근사할 수 있다.

: \theta \approx \frac{x}{d}

3. 1. 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 (FLRW) 계량

각지름 거리는 우주의 가정된 우주론에 따라 달라진다. 적색 편이 z에 있는 물체의 각지름 거리는 공변 거리 r로 표현된다.

:

d_A = \frac{S_k(r)}{1+z}



여기서 S_k(r)는 다음과 같이 정의된 FLRW 좌표이다.

:

S_k(r) = \begin{cases}

\sin \left (H_0 \sqrt

r \right)/\left(H_0\sqrt

\right) & \Omega_k < 0\\

r & \Omega_k=0 \\

\sinh \left(H_0 \sqrt

r\right)/\left(H_0\sqrt

\right) & \Omega_k >0

\end{cases}



여기서 \Omega_k는 곡률 밀도이고 H_0는 오늘날의 허블 매개변수 값이다.

현재 선호되는 우리 우주의 기하학적 모형에서 물체의 "각지름 거리"는 광선이 물체를 떠났을 때 "실제 거리", 즉 고유 거리에 대한 좋은 근사치이다.

3. 2. ΛCDM 모형에서의 각지름 거리

ΛCDM 모형에서 각지름 거리(d_A)는 복잡한 관계를 가진다. 이 모형에서는 적색편이가 약 1.5보다 큰 천체는 적색편이가 증가할수록 하늘에서 더 크게 보인다. 이는 각지름 거리가 \theta (각크기)와 x (실제 크기)로부터 우주가 유클리드 공간이라고 가정했을 때 계산되는 거리이기 때문이다.

매티그 관계는 ΩΛ = 0 인 우주에서 각지름 거리를 적색편이 ''z''의 함수로 나타낸다.[2] 여기서 q_0는 감속 매개변수의 현재 값으로, 우주 팽창 속도의 감속을 측정한다.

:d_A=\cfrac{c}{H_0 q^2_0} \cfrac{(zq_0+(q_0 -1)(\sqrt{2q_0 z+1}-1))}{(1+z)^2}

간단한 모델에서 q_0 값에 따른 우주의 상태는 다음과 같다.

  • q_0<0.5: 우주는 영원히 팽창한다.
  • q_0>0.5: 우주는 팽창을 멈추고 결국 수축한다. (폐쇄형 모델)
  • q_0=0.5: 임계 상태. 우주는 재수축 없이 무한히 팽창한다.


각지름 거리 d_A는 적색편이 z=z_t (ΛCDM 모형에서는 z_t \approx 1.5)에서 최댓값에 도달한다. 이 지점(z_t)을 전환점(turnover point)이라고 부르며, d_A(z) 의 기울기가 부호를 바꾼다. 즉,

  • z < z_t 일 때, \partial_z d_A > 0 : 적색편이가 증가하면 각지름 거리가 증가한다.
  • z > z_t 일 때, \partial_z d_A < 0 : 적색편이가 증가하면 각지름 거리가 감소한다.


이는 적색편이가 z_t보다 작은 천체는 적색편이가 클수록 (즉, 멀리 있을수록) 더 작게 보이지만, z_t보다 큰 천체는 적색편이가 클수록 더 크게 보인다는 의미이다. 이러한 현상은 직관에 반하는 것처럼 보여 역설적으로 보인다.

전환점은 우주의 팽창과 유한한 빛의 속도 때문에 발생한다. 우주가 팽창하므로 현재 매우 멀리 있는 천체는 과거에는 훨씬 가까이 있었다. 또한 빛의 속도가 유한하기 때문에, 멀리 있는 천체에서 오는 빛은 그 천체가 우리에게 더 가까이 있어 더 큰 각크기로 보였을 때 출발한 빛이다. 따라서 전환점은 우주의 팽창 속도(또는 팽창 속도와 빛의 속도 사이의 관계)를 알려준다.

참조

[1] 서적 An Introduction to the Science of Cosmology CRC Press
[2] 서적 An Introduction to the Science of Cosmology https://archive.org/[...] CRC Press


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