계량 부호수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 실베스터의 관성 법칙
- 3.2. 기하학적 의미
4. 예시
- 4.1. 행렬
- 4.2. 스칼라 곱
5. 부호수 계산
6. 물리학에서의 부호수
7. 부호수 변화
참조

1. 개요

계량 부호수는 이차 형식의 부호수로 정의되며, 이차 형식의 부호는 양수, 음수, 0의 고윳값의 개수를 의미한다. 실베스터의 관성 법칙에 따라 부호수는 기저 선택에 의존하지 않는다. 계량 부호수는 정값, 부값, 부정부호, 퇴화 형식 등으로 분류되며, 리만 계량은 정부호이다. 행렬의 부호수는 고윳값 또는 라그랑주 알고리즘을 통해 계산할 수 있으며, 물리학에서 시공간의 시간 및 공간적 특성을 나타내는 데 사용된다. 계량 부호수는 정칙 계량에서는 일정하지만, 퇴화하거나 불연속적인 계량에서는 변화할 수 있다.

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계량 부호수
정의
설명	계량 텐서의 고유값의 부호에 대한 설명
분류
종류	양의 고유값 개수 (v) 음의 고유값 개수 (p) 0 고유값 개수 (r)
표기	(v, p, r) 또는 (v, p)
계량 부호수 예시
(+, −, −, −)	(1, 3, 0)
(−, +, +, +)	(3, 1, 0)
추가 정보
관련 개념	계량 텐서 양의 정부호 음의 정부호 부정부호
관련 용어	부호수 (signature)

2. 정의

계량 텐서의 부호수는 해당 이차 형식의 부호수로 정의된다.^[2] 이는 폼을 나타내는 임의의 행렬(즉, 기본 벡터 공간의 임의의 기저에서)의 양수, 음수 및 0의 고유값 수 (v, p, r)이며, 대수적 중복도와 함께 계산된다.

실베스터의 관성 법칙에 의해, 숫자 (v, p, r)는 기저에 독립적이다.

3. 성질

스펙트럼 정리에 따라, 실수체 상의 대칭 n × n 행렬은 항상 대각화 가능하며, 중복도를 고려하면 정확히 n개의 실수 고윳값을 갖는다.

3. 1. 실베스터의 관성 법칙

실베스터의 관성 법칙에 따르면, 스칼라 곱(실수 대칭 쌍선형 형식)의 부호수는 기저의 선택에 의존하지 않는다. 부호수가 (''v'', ''p'', ''r'')인 모든 메트릭 ''g''에 대해, 다음 조건을 만족하는 기저가 존재한다.

()
()
(그 외)

따라서 등거리 변환(등장사상) 가 존재하려면 ''g''₁과 ''g''₂의 부호수가 같아야 한다. 마찬가지로, 합동 행렬의 부호수는 서로 같으며, 합동에 따라 행렬을 분류한다. 즉, 시그니처는 대칭 랭크 2 공변량 텐서 의 공간에서 일반 선형 군 의 궤도에 대해 일정하며, 각 궤도를 분류한다.

3. 2. 기하학적 의미

''v''(또는 ''p'')는 스칼라 곱 ''g''가 양의 정부호(또는 음의 정부호)인 벡터 부분 공간의 최대 차원이며, ''r''은 스칼라 곱 ''g''의 급수 또는 영 부분 공간인 대칭 행렬 ''g''_''ab''의 차원이다. 따라서 비퇴화 스칼라 곱은 부호수 (''v'', ''p'', 0)을 가지며, ''v'' + ''p'' = ''n''이다. 특수한 경우 (''v'', ''p'', 0)의 쌍대성은 서로를 거울 반사를 통해 변환할 수 있는 두 개의 스칼라 고유값에 해당한다.

부호수 (''p'',''q'',''r'')에서 ''p''는 대칭 쌍선형 형식 ''g''가 그 위에서 양의 정부호가 되는 부분 선형 공간의 차원의 최대값이며, ''q''는 음의 정부호가 되는 부분 선형 공간의 최대값이다.^[1] ''r''은 ''g''의 근기(부수하는 대칭 행렬의 핵 공간)의 차원이다.^[1] 따라서 비퇴화 계량은 부호수 (''p'', ''q'', 0)을 가지며, ''p'' + ''q'' = ''n''을 만족한다.^[1] 이 특별한 경우 (''n'', 0, 0) 및 (0, ''n'', 0)은 각각 양의 정부호 및 음의 정부호 내적에 대응하며, 음의 부호 반전에 의해 서로 바꿔 읽을 수 있다.^[1]

4. 예시

단위 행렬의 부호수는 이다.
대각 행렬의 부호수는 그 주대각선에 놓인 수의 부호(양수, 음수, 0)의 수를 나타낸다.
수 벡터 공간 의 표준 내적의 부호수는 이다. 실수 대칭 쌍선형 형식 의미에서의 내적이 이 부호수를 갖기 위한 필요충분 조건은 그것이 양의 정부호가 되는 것이다.
음의 정부호 내적은 부호수 을 갖는다. 반음의 정부호 내적은 ()을 부호수로 갖는다.

4. 1. 행렬

n^영어 × n^영어 항등 행렬의 부호수는 (n^영어, 0, 0)이다. 대각 행렬의 부호수는 주대각선에 있는 양수, 음수 및 0의 개수이다.

다음 두 행렬

:

\begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 1  \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

는 모두 부호수 (1, 1, 0)을 가지므로, 실베스터의 관성 법칙에 따르면 이들은 서로 합동이다.

4. 2. 스칼라 곱

ℝⁿ에서 정의된 표준 스칼라 곱은 ''n''차원 부호수 (''v'', ''p'', ''r'')을 가지며, 여기서 ''v'' + ''p'' = ''n''이고 랭크는 ''r'' = 0이다.

물리학에서, 민코프스키 공간은 ''v'' = 1과 ''p'' = 3 기저를 가진 시공간 다양체

\R^4

이며, 다음과 같은

\check g

행렬로 정의된 스칼라 곱을 갖는다.

:

\check g=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

이 행렬은 부호수

(1, 3, 0)^-

를 가지며, 공간 우위(space-supremacy) 또는 공간형(space-like)으로 알려져 있다. 또는, 다음과 같은

\hat g

행렬과 같은 대칭 부호수

(1,3, 0)^+

를 가지며, 가상 우위(virtual-supremacy) 또는 시간형(time-like)으로 알려져 있다.

:

\hat g=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}=-\check g

민코프스키 공간은 집합으로서 R|R^영어⁴이며, 다음과 같은 행렬이 정하는 부호수 (3, 1, 0)의 내적을 갖는다.

:

\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

부호를 반전하여 부호수 (1, 3, 0)으로 하는 경우도 있다.

5. 부호수 계산

행렬의 부호수를 계산하는 방법은 다음과 같다.

모든 비퇴화 대칭 ''n'' × ''n'' 행렬의 경우, 이를 대각화하거나 (또는 모든 고유값을 찾아서) 양수와 음수의 개수를 센다.
대칭 행렬의 경우, 특성 다항식은 모든 실근을 가지며, 그 부호는 경우에 따라 데카르트 부호 규칙에 의해 완전히 결정될 수 있다.
라그랑주 알고리즘은 직교 기저를 계산하는 방법을 제공하며, 이를 통해 다른 행렬과 합동(따라서 동일한 서명을 가짐)인 대각 행렬을 계산할 수 있다. 대각 행렬의 서명은 대각선에 있는 양수, 음수 및 0 요소의 개수이다.
야코비 기준에 따르면, 대칭 행렬은 주 소행렬식의 모든 행렬식이 양수일 때 양의 정부호이다.

6. 물리학에서의 부호수

이론 물리학에서 시공간은 유사 리만 다양체로 모델링되며, 부호수는 시공간의 특성을 나타낸다. 민코프스키 계량의 부호수는 (1, 3, 0)⁺ 또는 (1, 3, 0)⁻이며, 이는 시간과 공간의 차원을 나타낸다.

민코프스키 공간은 ''v'' = 1과 ''p'' = 3 기저를 가진 시공간 다양체 $\R^4$ 이며, $\check g$ 행렬로 정의된 스칼라 곱을 갖는다.

: $\check g=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

이 행렬은 시그니처 $(1, 3, 0)^-$ 를 가지며, 공간 우위(space-supremacy) 또는 공간형(space-like)으로 알려져 있다. 또는, $\hat g$ 행렬과 같은 대칭 시그니처 $(1,3, 0)^+$ 를 가지며, 가상 우위(virtual-supremacy) 또는 시간형(time-like)으로 알려져 있다.

: $\hat g=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}=-\check g$

입자 물리학에서 사용되는 것처럼, 계량은 시간 유사 부분 공간에 고유값을 가지고 있으며, 공간 유사 부분 공간에 대한 미러링된 고유값을 갖는다. 민코프스키 계량의 특정 경우,

: $ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2,$

계량 시그니처는 고유값이 시간 방향으로 정의되면 $(1, 3, 0)^+$ 또는 (+, −, −, −)이고, 고유값이 세 공간 방향 ''x'', ''y'', ''z''로 정의되면 $(1, 3, 0)^-$ 또는 (−, +, +, +)이다. (때로는 반대 부호 관례가 사용되지만, 여기에 주어진 것은 ''s''가 직접 고유 시간을 측정한다.)

7. 부호수 변화

만약 계량이 모든 곳에서 정칙이라면, 계량의 부호수는 일정하다. 그러나 어떤 초곡면에서 퇴화하거나 불연속적인 계량을 허용한다면, 계량의 부호수는 이러한 표면에서 바뀔 수 있다.^[3] 이러한 부호수 변화 계량은 우주론과 양자 중력에서 응용될 수 있다.^[5]

참조

_[1] 웹사이트 Matrix Signature http://mathworld.wol[...]
_[2] 서적 The Classical Theory of Fields Butterworth–Heinemann
_[3] 간행물 Gravity and signature change
_[4] 웹사이트 Matrix Signature http://mathworld.wol[...]
_[5] 간행물 Gravity and signature change

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