부호 (수학)

1. 개요

부호는 수학에서 숫자나 값의 긍정적 또는 부정적 특성을 나타내는 개념으로, 다양한 수학적 맥락에서 사용된다. 실수의 경우, 0보다 큰 수는 양수, 0보다 작은 수는 음수로 정의되며, 0은 부호가 없다. 복소수, 각, 변화량, 방향 등에도 부호의 개념이 확장되어 사용된다. 컴퓨터에서는 부호 있는 수와 부호 없는 수로 구분하여 정보를 처리하며, 부호는 정수, 실수 표현에 영향을 미친다. 이 외에도 순열, 그래프 이론, 물리학 등 다양한 분야에서 부호가 활용된다.

2. 수학의 여러 개념에서의 부호

수학에서 부호는 실수의 양과 음수, 각도의 방향, 변화의 증감, 해석 기하학이나 물리학에서 특정 방향 등을 나타내는 데 사용된다.

* 실수의 부호: 0(영)보다 큰 실수는 양수이고, 0보다 작은 실수는 음수이다.
* 0의 부호: 0은 양수도 음수도 아니며, 일반적으로 부호를 갖지 않는다.
* 각의 부호: 각의 부호는 각의 방향이 시계 방향인지 반시계 방향인지를 나타낸다.
* 변화의 부호: 값의 변화를 나타낼 때, 증가하면 양의 부호, 감소하면 음의 부호를 사용한다.
* 방향의 부호: 해석 기하학이나 물리학에서는 특정한 방향에 양 또는 음의 부호를 부여하여 위치, 속력, 힘 등을 나타낸다.

2.1. 실수의 부호

0(영)보다 큰 실수는 양수이고, 0보다 작은 실수는 음수이다. 따라서 0을 제외한 모든 실수는 부호를 가지며, 양수는 양부호를, 음수는 음부호를 가진다.

일반적인 수 표기법에서 숫자의 부호는 숫자 앞에 더하기 또는 빼기 기호를 붙여 표시한다. 예를 들어 +3은 "양수 3"을, -3은 "음수 3"을 나타낸다. 특정 맥락이 없거나 명시적인 부호가 주어지지 않으면 숫자는 기본적으로 양수로 해석된다.

0이 양수도 음수도 아니라고 할 때, 숫자의 부호는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

* 숫자가 0보다 크면 양수이다.
* 숫자가 0보다 작으면 음수이다.
* 숫자가 0보다 크거나 같으면 비음수이다.
* 숫자가 0보다 작거나 같으면 비양수이다.

실수의 절댓값은 항상 "비음수"이지만, 반드시 "양수"는 아니다.

2.2. 0의 부호

0은 양수도 음수도 아니므로 부호가 없다. 산술에서는 +0과 -0을 모두 0으로 간주한다. 그러나 전산, 함수의 극한 등 일부 특수한 경우에는 0에 부호를 부여하기도 한다.

예를 들어, 컴퓨터에서 실수를 표현하는 부동 소수점 표현 방식에서는 부호 있는 0을 사용하는데, 이는 서로 다른 숫자 표현을 구분하기 위함이다. (부호 있는 숫자 표현 참고)

미적분학이나 수학적 분석에서는 단측 극한(우극한, 좌극한)을 나타내기 위해 +0과 -0 기호를 사용하기도 한다. 이는 함수의 실 입력 변수가 양수 또는 음수 값을 가지면서 0에 접근할 때 함수의 동작을 나타낸다.

프랑스나 벨기에 등 일부 유럽 국가에서는 0을 양수이자 음수로 간주하기도 한다.

2.3. 복소수의 부호

복소수는 실수와 같은 의미의 부호는 가지지 않으나, 복소평면에서 같은 편각(기움각)을 가지는 단위복소수를 그 복소수의 부호라고 생각할 수 있다. 0이 아닌 임의의 복소수 z에 대해 같은 편각을 가지는 단위복소수는 다음과 같이 구할 수 있다.
:$\backslash sgn(z)\; =\; \backslash frac\{z\}$

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📌 열 고정 해제

(sgn(z)는 z에 대한 부호함수이며, |z|는 z의 절댓값(modulus^영어)이다.)

복소수는 순서를 매길 수 없으므로 순서 고리 구조를 가질 수 없으며, 따라서 양수 및 음수 복소수로 분할될 수 없다. 그러나 복소수는 실수와 절댓값 또는 크기라고 하는 속성을 공유한다. 크기는 항상 음수가 아닌 실수이며, 0이 아닌 모든 수에는 양의 실수인 절댓값이 존재한다.

일반적으로 임의의 실수는 크기와 부호로 지정할 수 있다. 표준 인코딩을 사용하면 모든 실수 값은 크기와 표준 인코딩의 부호의 곱으로 주어집니다. 이 관계는 복소수의 "부호"를 정의하는 데 일반화될 수 있다.

z의 복소수 부호는 z와 |z|의 크기의 몫으로 정의할 수 있다. 복소수의 부호는 허수 단위와 인수의 곱의 지수이다. 이는 어떤 의미에서 복소수 인수를 나타낸다. 이는 $e^\{i\; \backslash pi\}=\; -1.$을 제외하고 실수 부호와 비교할 수 있다.

실수는 1차원 방향을 갖는 반면, 복소수는 2차원 방향을 갖는다. 복소수 부호 함수는 인수 z = x + iy의 크기를 필요로 하며, 이는 다음과 같이 계산할 수 있다.
$$|z|\; =\; \backslash sqrt\{z\backslash bar\; z\}\; =\; \backslash sqrt\{x^2\; +\; y^2\}.$$

위와 유사하게, 복소수 부호 함수는 0이 아닌 복소수의 집합을 단일 모듈 복소수의 집합으로, 0을 0으로 매핑하여 복소수의 복소수 부호를 추출한다. $\backslash \{z\; \backslash in\; \backslash Complex\; :\; |z|\; =\; 1\backslash \}\; \backslash cup\; \backslash \{0\backslash \}.$ 다음과 같이 정의할 수 있다.

z를 크기와 인자 φ로 z = |z|⋅e^iφ와 같이 표현하면, 다음이 성립한다.
$$\backslash sgn(z)\; =\; \backslash begin\{cases\}$$
0 &\text{for } z=0\\
\dfrac{z}

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📌 열 고정 해제

= e^{i\varphi} &\text{otherwise}.
\end{cases}

이 정의는 방향은 변하지 않고 길이는 1로 고정된 정규화된 벡터, 즉 단위 벡터로 인식될 수도 있다. 원래 값이 극좌표 형식으로 R, θ였다면, sign(R, θ)는 1 θ이다.

2.4. 각의 부호

각에 부호를 붙여서 각의 방향이 시계 방향인지 반시계 방향인지를 나타낼 수 있다. 여러 약속(규약)이 있지만, 수학에서는 보통 반시계 방향을 양수로, 시계 방향을 음수로 정의한다.

3차원에서의 회전각에도 부호를 붙일 수 있다. 고정축 회전에서 회전축이 방향성을 지닐 때, 축에 대해 오른손 방향의 회전에 양부호를, 왼손 방향의 회전에 음부호를 매긴다.

2.5. 변화의 부호

값 x가 변화할 때 x의 변화는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

:$\backslash Delta\; x\; =\; x\_\backslash text\{final\}\; -\; x\_\backslash text\{initial\}.\; \backslash ,$

여기에서 x가 증가했다면 변화의 부호는 양부호가 되고, x가 감소했다면 변화의 부호는 음부호가 된다. 이는 미적분학에서 미분 계수를 정의할 때에도 쓰인다. 단조 증가하는 강한 단조 함수의 미분 계수는 항상 양이 되고, 단조 감소하는 경우 미분 계수는 항상 음이 된다.

수량 x가 시간에 따라 변할 때, x 값의 변화는 일반적으로 다음 방정식으로 정의된다.

:$\backslash Delta\; x\; =\; x\_\backslash text\{최종\}\; -\; x\_\backslash text\{초기\}.\; \backslash ,$

이 규칙을 사용하면 x의 증가는 양의 변화로, x의 감소는 음의 변화로 간주된다. 미적분학에서 이와 동일한 규칙이 도함수의 정의에 사용된다. 결과적으로 모든 증가 함수는 양의 도함수를 가지며, 모든 감소 함수는 음의 도함수를 갖는다.

2.6. 방향의 부호

해석기하학이나 물리학에서는 특정한 방향에 양 또는 음의 부호를 부여하여 위치, 속도, 힘 등을 나타낸다. 예를 들어, 수직선은 보통 오른쪽을 양수로, 왼쪽을 음수로 표시한다. 따라서 직선 운동, 변위, 속력 등을 논할 때 오른쪽 방향을 양의 방향, 왼쪽 방향을 음의 방향으로 생각하는 것이 일반적이다.

데카르트 좌표계에서는 오른쪽과 위쪽 방향을 일반적으로 양수로 간주하며, 오른쪽은 양의 x 방향, 위쪽은 양의 y 방향으로 나타낸다. 벡터 변위가 수평 성분과 수직 성분으로 분리되면, 수평 부분은 오른쪽으로의 운동에 대해 양수이고 왼쪽으로의 운동에 대해 음수이며, 수직 부분은 위쪽으로의 운동에 대해 양수이고 아래쪽으로의 운동에 대해 음수이다.

마찬가지로, 음의 속력 (변위의 변화율)은 반대 방향의 속도를 의미하며, 전진 대신 후퇴를 의미한다. 특별한 경우는 반지름 속도이다.

3차원 공간에서 부호와 관련된 개념은 두 법선 방향과 일반적인 가향성에서 찾을 수 있다.

3. 부호와 관련된 수학 개념

부호와 관련된 수학 개념에는 절댓값과 부호 함수가 있다.

3.1. 절댓값

기하학적으로 절댓값은 원점으로부터의 거리를 말하며, 실수의 경우 수의 부호를 제거하는 개념이다. 부호가 제거된 수는 보통 양부호를 지닌 것으로 간주된다. 예를 들어 -3의 절댓값은 3이다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.

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📌 열 고정 해제

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📌 열 고정 해제

>−3| = 3

>3| = 3