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공면점

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목차

1. 개요

공면점은 3차원 이상의 공간에서 여러 점들이 동일한 평면 위에 놓이는 성질을 의미한다. 3차원 공간에서 네 점이 공면하기 위한 조건은 스칼라 삼중곱을 이용하여 판별할 수 있으며, n차원 공간에서는 점들의 상대적 차이를 나타내는 행렬의 랭크를 통해 공면성을 판단한다. 꼬인 다각형과 같이 모든 꼭짓점이 공면하지 않은 도형도 존재한다.

2. 3차원 공간에서의 공면성

3차원 공간에서, 동일한 시작점을 가진 두 개의 선형 독립 벡터는 해당 점을 지나는 평면을 결정한다. 이들의 외적은 해당 평면에 대한 법선 벡터이며, 시작점을 통과하여 이 외적에 직교하는 모든 벡터는 그 평면 안에 있다.[1]

2. 1. 공면성 판정법

3차원 공간에서, 선형 독립이며 같은 시작점을 갖는 두 벡터는 그 시작점을 지나는 평면을 결정한다. 이 두 벡터의 외적은 이 평면에 수직이며, 원래 두 벡터의 시작점을 지나면서 외적 벡터와 직교하는 모든 벡터는 이 평면 위에 놓이게 된다.[2]

이러한 성질을 이용하여 스칼라 삼중곱을 통해 공면성을 판정할 수 있다. 서로 다른 네 점 $x_1, x_2, x_3, x_4$가 공면점일 필요충분조건은 다음과 같다.[1][2]

:[(x_2 - x_1) \times (x_4 - x_1)] \cdot (x_3 - x_1) = 0

이는 다음과 동치이다.

:(x_2 - x_1) \cdot [(x_4 - x_1) \times (x_3 - x_1)] = 0

세 점 이하는 항상 공면이므로, 보통 네 점 이상이 주어졌을 때 공면성 판정 문제가 의미를 가진다.

2. 1. 1. 벡터를 이용한 판정법

세 벡터 '''a''', '''b''', '''c'''가 공면이고, '''a'''와 '''b'''가 직교(·'''b''' = 0)하는 경우, '''a''' 및 '''b''' 방향의 단위 벡터를 각각 '''â'''|'''a'''영어 및 '''b̂'''|'''b'''영어로 표기하면 다음이 성립한다.[1][2]

: (\mathbf{c}\cdot\mathbf{\hat a})\mathbf{\hat a} + (\mathbf{c}\cdot\mathbf{\hat b})\mathbf{\hat b} = \mathbf{c}

즉, '''c'''를 '''a'''에 대한 벡터 투영과 '''c'''를 '''b'''에 대한 벡터 투영을 더하면 원래의 '''c'''가 된다. 여기서 '''c'''· 및 '''c'''·는 '''c'''의 각각 '''a''' 및 '''b''' 방향의 성분을 나타낸다.

3. n차원 공간에서의 공면성

n차원 공간(n ≥ 3)에서 k개의 점이 공면점인지 여부는 행렬의 랭크를 이용하여 판정할 수 있다. 3개 이하의 점은 항상 공면점이므로, 4개 이상의 점에 대해서만 공면성을 판정하는 것이 의미있다.[1]

일반적으로, 평면은 두 개의 선형 독립 벡터에 의해 결정된다는 성질을 이용한다.

3. 1. 좌표를 이용한 판정법

''n''차원 공간에서 (''n'' ≥ 3) ''k''개의 점 \{p_0, p_1, \dots, p_{k-1}\}이 공면점이 될 필요충분조건은 이 점들의 상대적 차이 벡터 \overrightarrow{p_0 p_1}, \overrightarrow{p_0 p_2}, \dots, \overrightarrow{p_0 p_{k-1}}를 열(또는 행)로 하는 행렬의 랭크가 2 이하인 것이다.

예를 들어, 네 점

:\begin{align}

X &= (x_1, x_2, \dots, x_n), \\

Y &= (y_1, y_2, \dots, y_n), \\

Z &= (z_1, z_2, \dots, z_n), \\

W &= (w_1, w_2, \dots, w_n),

\end{align}

가 주어졌을 때, 다음 행렬

:\begin{bmatrix}

x_1 - w_1 & x_2 - w_2 & \dots & x_n - w_n \\

y_1 - w_1 & y_2 - w_2 & \dots & y_n - w_n \\

z_1 - w_1 & z_2 - w_2 & \dots & z_n - w_n \\

\end{bmatrix}

의 랭크가 2 이하면, 네 점은 공면점이다.

원점을 포함하는 평면의 특별한 경우, ''k''개의 점 집합과 원점이 공면점일 필요충분 조건은 ''k''개 점의 좌표를 나열하여 만든 행렬의 랭크가 2 이하인 것이다.

4. 공면성을 갖지 않는 도형

꼬인 다각형(비평면 다각형)은 꼭짓점이 공면(共面)상에 있지 않은 다각형이다. 세 점은 항상 공면에 있으므로 꼬인 삼각형은 존재하지 않는다. 따라서 이러한 다각형은 적어도 네 개의 꼭짓점을 가져야 한다. 양의 부피를 가지는 다면체는 모두 공면하지 않은 꼭짓점을 갖는다.[1]

5. 기타

거리 기하학은 주어진 점들 사이의 거리 정보만으로 그 점들의 공면성을 결정하는 문제를 다룬다.

참조

[1] 서적 Calculus with Analytic Geometry https://archive.org/[...] Prindle, Weber & Schmidt
[2] 서적 Calculus with Analytic Geometry Prindle, Weber & Schmidt


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