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공역

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1. 개요

공역은 수학에서 함수 f: X → Y의 Y를 의미하며, 함수 f의 치역과 구분된다. 치역은 함수의 실제 출력 값들의 집합으로, 공역의 부분집합이다. 함수 f의 공역은 전사 함수 여부와 관련이 있으며, 함수의 합성 시 공역과 정의역의 일치 여부가 중요하다. 선형 변환의 경우, 공역은 변환의 가능한 출력 공간을 나타내지만, 치역은 변환에 의해 실제로 생성되는 값의 범위를 나타낸다.

2. 정의

수학에서, 함수 f\colon X\to Y는 집합 X의 모든 원소를 각각 집합 Y의 한 원소에 대응시키는 수학적 구조이다. 이 경우, Yf의 '''공역'''이라고 한다. 반면, Xf정의역이다.

모든 y\in Y에 대하여, f(x)=yx\in X가 존재할 필요는 없다. 즉, 공역의 모든 원소가 정의역에 포함될 필요는 없다. 정의역의 , 즉 f(x)=yx\in X가 존재하는 y들의 집합을 f치역이라고 한다. 치역은 항상 공역의 부분집합이지만, 치역이 공역과 같을 필요는 없다.

현대적 관점에서, 함수는 정의역과 공역 및 이들 사이의 관계(그래프)로 구성된다. 즉, 그래프가 같더라도 공역이 다르다면 두 함수를 다른 함수로 간주한다.

3. 공역과 치역

수학에서 함수 f\colon X\to Y집합 X의 모든 원소를 각각 집합 Y의 한 원소에 대응시키는 수학적 구조이다. 이때 Yf의 '''공역'''이라 하고, Xf정의역이다.

공역의 모든 원소가 정의역의 에 포함될 필요는 없다. 정의역의 상, 즉 f(x)=yx\in X가 존재하는 y들의 집합을 f치역이라고 한다. 치역은 항상 공역의 부분집합이지만, 치역이 공역과 같을 필요는 없다.

공역은 전사 함수인지 아닌지에 영향을 주는데, 함수의 공역과 치역이 같을 때 전사 함수가 된다. 하지만 단사 함수 여부에는 영향을 주지 않는다.

3. 1. 공역과 치역의 차이

수학에서 함수는 정의역의 모든 원소를 각각 공역의 한 원소에 대응시키는 구조이다. 이때, 모든 공역의 원소가 정의역의 에 포함될 필요는 없다. 정의역의 상, 즉 함수값들의 집합을 치역이라고 하며, 치역은 항상 공역의 부분집합이지만, 반드시 같을 필요는 없다.

현대적 관점에서 함수는 정의역, 공역, 그리고 이들 사이의 관계(그래프)로 구성된다. 따라서 그래프가 같더라도 공역이 다르면 두 함수는 다른 함수로 간주된다.

예를 들어, 함수 f\colon \mathbb R\to\mathbb R 에서 f\colon x\mapsto x^2 로 정의될 때, f의 공역은 \mathbb R이지만, 치역은 [0,\infty)\subset\mathbb R이다.

반면, g\colon\mathbb R\to[0,\infty) 에서 g\colon x\mapsto x^2 로 정의된 함수 gf와 같은 그래프를 가지지만, 공역이 다르기 때문에 다른 함수이다.

함수의 합성을 고려할 때 이러한 차이는 더욱 중요해진다. 예를 들어 h\colon x\mapsto \sqrt x 로 정의되는 함수 h는 정의역이 [0,\infty) 이다. 따라서,

:h \circ f

:h \circ g

두 함수의 합성을 고려할때, f의 치역은 음수가 될 수 있으므로, h \circ f는 정의역이 정의되지 않아 모순이 발생할 수 있다.

따라서 함수의 합성은 오른쪽 함수의 공역과 왼쪽 함수의 정의역이 같아야 한다.

공역은 전사 함수인지 아닌지에 영향을 줄 수 있다. g는 전사 함수이지만, f는 그렇지 않다. 그러나 공역은 함수가 단사 함수인지 아닌지에는 영향을 미치지 않는다.

벡터 공간 사이의 선형 변환에서도 공역과 치역의 차이를 확인할 수 있다. \textstyle \mathbb{R}^2에서 자기 자신으로의 모든 선형 변환은 실수 계수를 갖는 행렬로 표현될 수 있다. 모든 행렬은 정의역과 공역이 \textstyle \mathbb{R}^2사상을 나타내지만, 치역은 불확실하다. 예를 들어, 행렬

:T = \begin{pmatrix}

1 & 0 \\

1 & 0 \end{pmatrix}

는 점 (x, y)(x, x)로 사상한다. 점 (2, 3)T의 치역에 속하지 않지만, 공역에는 속한다.

4. 예

함수 f가 다음과 같이 정의된다고 하자.

:f\colon \mathbb R\to\mathbb R

:f\colon x\mapsto x^2

이 경우, f의 공역은 \mathbb R이지만, f는 어떤 음수에도 매핑되지 않으므로 치역은 [0,\infty)이다.[1]

함수 g는 다음과 같이 정의된다.

:g\colon \mathbb R\to[0,\infty)

:g\colon x\mapsto x^2

fg는 주어진 x를 같은 숫자에 매핑하지만, 공역이 다르기 때문에 같은 함수가 아니다.[1]

함수 h를 다음과 같이 정의해 보자.

:h\colon x\mapsto \sqrt x

h의 정의역은 [0,\infty)로 정의되어야 한다.

: h\colon[0,\infty)\to\mathbb R

이제 함수를 합성해 보면, h \circ ff의 치역이 명확하게 알려져 있지 않기 때문에 문제가 발생할 수 있다. f의 치역은 \mathbb R의 부분 집합이라는 것만 알려져 있고, 음수가 나올 수도 있는데, 음수는 제곱근 함수 h의 정의역의 원소가 아니기 때문이다.[1] 따라서 함수 합성은 합성의 오른쪽에 있는 함수의 공역이 왼쪽 함수의 정의역과 일치해야 유용한 개념이 된다.[1]

공역은 함수가 전사 함수인지 여부에 영향을 준다. 함수가 전사 함수이기 위해서는 공역과 치역이 같아야 한다.[1] 예시에서 g는 전사 함수이지만, f는 그렇지 않다. 공역은 함수가 단사 함수인지 여부에는 영향을 미치지 않는다.[1]

4. 1. 선형 변환에서의 예

벡터 공간 사이의 선형 변환에서 공역과 치역의 차이를 확인할 수 있다. \textstyle \mathbb{R}^2에서 자기 자신으로의 모든 선형 변환은 실수 계수를 갖는 2×2 행렬로 표현될 수 있다. 각 행렬은 정의역 \textstyle \mathbb{R}^2과 공역 \textstyle \mathbb{R}^2을 갖는 매핑을 나타낸다. 그러나 치역은 불확실하다. 일부 변환은 치역이 전체 공역과 같을 수 있지만(이 경우 계수가 2인 행렬), 많은 변환은 일부 더 작은 부분 공간으로 매핑된다(계수가 1 또는 0인 행렬).[1] 예를 들어, 행렬 T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}는 점 (x, y)를 (x, x)로 매핑하는 선형 변환을 나타낸다.[1] 점 (2, 3)은 T의 치역에 속하지 않지만, \textstyle \mathbb{R}^2에서 \textstyle \mathbb{R}^2로의 선형 변환이 명시적으로 관련되기 때문에 공역에 속한다.[1] 모든 2×2 행렬과 마찬가지로 T는 해당 집합의 원소를 나타낸다. 치역과 공역의 차이를 조사하는 것은 종종 문제의 함수의 속성을 발견하는 데 유용할 수 있다. 예를 들어, T는 치역이 전체 공역보다 작으므로 전체 계수를 갖지 않는다고 결론 내릴 수 있다.[1]

5. 함수의 종류

함수는 정의역, 즉 치역과 공역의 관계에 따라 여러 종류로 분류할 수 있다.

함수 fg는 다음과 같이 정의된다.


  • f\colon \mathbb R\to\mathbb R
  • f\colon x\mapsto x^2
  • g\colon\mathbb R\to[0,\infty)
  • g\colon x\mapsto x^2


fg는 같은 그래프를 가지지만, 현대적 관점에서는 두 함수의 공역이 다르기 때문에 서로 다른 함수로 간주한다. f의 공역은 \mathbb R이지만, 치역은 [0,\infty)이다. 반면 g는 공역과 치역이 [0,\infty)로 같다.

함수의 합성에 있어서 오른쪽 함수의 공역과 왼쪽 함수의 정의역이 같아야 한다. h\colon x\mapsto \sqrt x 로 정의되는 함수 h는 정의역이 [0,\infty) 이므로, h \circ ff의 치역을 알 수 없어 모순이 발생한다. 하지만 h \circ g는 가능하다.

공역은 전사 함수 여부에 영향을 주지만, 단사 함수 여부에는 영향을 주지 않는다.

5. 1. 전사 함수

수학에서 함수 f\colon X\to Y는 집합 X의 모든 원소를 각각 집합 Y의 한 원소에 대응시키는 수학적 구조이다. 모든 y\in Y에 대하여, f(x)=yx\in X가 존재할 필요는 없다. 정의역의 (f(x)=yx\in X가 존재하는 y들의 집합)을 f치역이라고 한다. 치역은 항상 공역의 부분집합이지만, 치역이 공역과 같을 필요는 없다.

공역은 전사 함수인지 아닌지에 영향을 준다. 전사 함수는 함수의 공역과 치역이 같은 함수이다. 즉, 공역의 모든 원소가 정의역의 적어도 하나의 원소에 대응되는 함수이다. 예를 들어, 앞선 예시에서 함수 g는 전사 함수이지만, f는 그렇지 않다. 공역은 함수가 단사 함수인지 아닌지에는 영향을 미치지 않는다.

5. 2. 단사 함수

수학에서, 정의역의 서로 다른 원소가 공역의 서로 다른 원소에 대응되는 함수이다.

5. 3. 전단사 함수

이 섹션은 주어진 문서를 기반으로 전단사 함수에 대한 내용을 작성해야 하지만, 원본 소스에는 전단사 함수에 대한 직접적인 언급이 없다. 대신, 함수의 공역, 정의역, 치역에 대한 설명이 주어져 있다. 따라서 원본 소스의 내용을 바탕으로 '전단사 함수' 섹션에 필요한 내용을 추론하여 작성하기 어렵다.

제공된 원본 소스에는 전단사 함수에 대한 정의나 설명이 없으므로, 이 섹션을 작성할 수 없다. 섹션 제목에 맞는 내용을 추가하려면 전단사 함수에 대한 정보가 포함된 다른 원본 소스가 필요하다.

6. 결론

함수의 공역은 함수를 정의하는 중요한 요소이며, 치역과의 관계를 통해 함수의 성질을 파악할 수 있다. 특히, 전사 함수, 단사 함수 등의 개념은 공역과 치역의 이해를 바탕으로 한다. 현대적 관점에서, 함수는 정의역과 공역 및 이들 사이의 관계(그래프)로 구성된다. 즉, 그래프가 같더라도 공역이 다르다면 두 함수는 서로 다른 함수로 간주된다.

참조

[1] 논문
[2] 논문
[3] 논문
[4] 논문
[5] 서적 Elements de Mathematique,Theorie des Ensembles Hermann & cie
[6] 문서
[7] 문서
[8] 논문
[9] 논문
[10] 논문
[11] 논문
[12] 논문
[13] 논문



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