치역

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1. 개요
2. 정의
3. 공역과 치역
- 3.1. 공역과 치역의 관계
4. 전사 함수
5. 예시
6. 추가 설명
참조

1. 개요

치역은 함수 f의 공역의 부분집합으로, 함수 f의 실제 출력값들의 집합을 의미한다. 함수 f의 치역은 때때로 ran f 또는 Range f로 표기하며, 공역 또는 목표 집합 Y(f의 모든 출력이 속해야 하는 집합)을 의미하거나, f에 따른 f(X)(f의 모든 실제 출력으로 구성된 Y의 부분 집합)를 의미할 수 있다. 치역과 공역이 같은 함수를 전사 함수라고 하며, 치역은 공역의 부분집합이다. 치역은 역사적으로 다양한 의미로 사용되었으며, 현대적인 책에서는 상을 의미하는 경우가 일반적이다.

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치역
정의
정의	함수 f: X → Y에서, 함수값 f(x)들의 집합 { f(x) \| x ∈ X }을 치역이라고 한다. 즉, 공역 Y의 부분집합이다.
영어 용어
영어 용어	range (레인지)
관련 개념
정의역	정의역 (domain)
공역	공역 (codomain)
상	상 (image)
전사 함수	전사 함수 (surjective function, onto function)

2. 정의

정의역이 $X$ , 공역이 $Y$ 인 함수 $f\colon X\to Y$ 의 '''치역''' $\operatorname{ran}f$ 또는 $f(X)$ 는 정의역의 모든 원소 $x$ 에 대한 함숫값 $f(x)$ 들의 집합으로 정의되며, 이는 공역 $Y$ 의 부분집합이다. 수식으로는 다음과 같다.

: $\operatorname{ran}f = f(X) = \{f(x) \mid x \in X\} \subseteq Y$

치역은 항상 공역의 부분집합이지만, 공역의 모든 원소가 반드시 치역에 포함되는 것은 아니다. 만약 어떤 함수의 치역과 공역이 같다면, 그 함수를 '''전사 함수'''라고 부른다.

예를 들어, 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$ 에서 $\mathbb{R}$ 로 가는 함수 $f(x) = x^2$ 을 생각해 보자. 이 함수의 공역은 $\mathbb{R}$ 이지만, 제곱의 결과는 항상 음수가 아니므로 치역은 음이 아닌 실수의 집합 $\mathbb{R}^+$ 이다. 이 경우 치역은 공역의 진부분집합이므로, $f(x) = x^2$ 은 전사 함수가 아니다.

반면, 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$ 에서 $\mathbb{R}$ 로 가는 함수 $g(x) = 2x$ 의 경우, 임의의 실수 $y$ 에 대해 $x = y/2$ 를 대입하면 $g(x) = y$ 가 되므로, 치역은 공역과 같은 $\mathbb{R}$ 이다. 따라서 $g(x) = 2x$ 는 전사 함수이다.

함수의 치역을 나타내는 집합 $f(X)$ 는 함수의 '''상'''(image|이미지^영어)이라고도 불린다.^[1]^[2] 간혹 '치역'이라는 용어가 '공역'을 의미하는 경우도 있지만, 일반적으로 함수의 치역은 함수의 상, 즉 실제 함숫값들의 집합을 의미한다. 어떤 의미로 사용되든, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

: $\operatorname{im} f \subseteq \operatorname{ran} f \subseteq \operatorname{codom} f$

여기서 $\operatorname{im} f$ 는 함수의 상, $\operatorname{ran} f$ 는 치역, $\operatorname{codom} f$ 는 공역을 나타낸다. '치역'을 '상'의 의미로 사용하면 첫 번째 포함 관계( $\operatorname{im} f \subseteq \operatorname{ran} f$ )가 등호( $=$ )가 되고, '공역'의 의미로 사용하면 두 번째 포함 관계( $\operatorname{ran} f \subseteq \operatorname{codom} f$ )가 등호가 된다.

3. 공역과 치역

"치역"이라는 용어는 역사적으로 다양한 의미로 사용되어 왔기 때문에, 문헌에 따라 그 의미를 정확히 파악할 필요가 있다. 오래된 문헌에서는 "치역"이 오늘날의 공역을 의미하는 경우가 많았다.^[3]^[4] 하지만 현대에 들어서는 "치역"이라는 단어를 사용할 때 일반적으로 상(image), 즉 함수가 실제로 만들어내는 값들의 집합을 의미하는 경우가 더 많다.^[5] 이러한 의미의 혼동을 피하기 위해, 많은 현대 수학 서적에서는 "치역"이라는 용어를 아예 사용하지 않기도 한다.^[6]

함수의 치역(상)은 항상 그 함수의 공역의 부분 집합이다.^[2] 즉, 함수가 출력하는 모든 값은 공역 안에 포함되지만, 공역의 모든 원소가 반드시 함수값으로 나타나는 것은 아니다. 치역과 공역이 정확히 일치하는 함수를 전사 함수라고 부른다.

3. 1. 공역과 치역의 관계

함수

f \colon X \to Y

에서, 정의역은

X

, 공역은

Y

이다. 함수의 치역은 정의역

X

의 모든 원소에 대한 실제 함숫값들의 집합, 즉

f(X) = \{f(x) \mid x \in X\}

을 의미한다. 이 치역은 항상 공역

Y

의 부분 집합이다.^[2]

그러나 함수의 치역과 공역이 항상 일치하는 것은 아니다. 예를 들어, 실수 집합

\mathbb R

에서 실수 집합

\mathbb R

로 가는 함수

f

를 다음과 같이 정의해 보자.

:

f\colon \mathbb R\to\mathbb R

:

f\colon x\mapsto x^2

이 함수의 공역은 실수 전체 집합

\mathbb R

이다. 하지만

x

가 어떤 실수이든

x^2

은 0 또는 양수이므로, 함숫값은 음수가 될 수 없다. 따라서 이 함수의 치역은 음이 아닌 실수들의 집합인 구간

[0,\infty)

이다. 이처럼 치역

[0,\infty)

은 공역

\mathbb R

의 진부분집합이며, 서로 같지 않다.

반면, 치역과 공역이 같은 함수도 존재한다. 예를 들어, 실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수

g

를 다음과 같이 정의해 보자.

:

g\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

:

g\colon x\mapsto 2x

이 함수의 공역은

\mathbb R

이다. 또한, 임의의 실수

y

에 대해

x = y/2

라는 실수가 항상 존재하며

g(x) = g(y/2) = 2(y/2) = y

이므로, 모든 실수

y

는 함숫값이 될 수 있다. 따라서 치역 역시 실수 전체 집합

\mathbb R

이다. 이 경우 치역과 공역이 일치한다. 이처럼 치역과 공역이 같은 함수를 전사 함수(surjective function) 또는 ''onto'' 함수라고 부른다. 따라서 위의 함수

g(x)=2x

는 전사 함수이지만,

f(x)=x^2

는 전사 함수가 아니다.

한편, '치역(range)'이라는 용어는 문맥에 따라 두 가지 의미로 사용될 수 있어 주의가 필요하다.^[1] 하나는 위에서 설명한 실제 함숫값들의 집합인 상(image), 즉

f(X)

를 의미하는 경우이고, 다른 하나는 단순히 공역(

Y

) 자체를 가리키는 경우이다. 예를 들어, 앞서 살펴본 함수

f(x) = x^2

(

f\colon \mathbb R\to\mathbb R

)에 대해 '치역'이 상을 의미한다면

[0,\infty)

를 뜻하지만, 공역을 의미한다면

\mathbb R

을 뜻하게 된다. 오래된 교재에서는 '치역'을 공역의 의미로 사용하는 경우가 있었으나^[3]^[4], 현대적인 교재에서는 대부분 상의 의미로 사용한다^[5]. 혼동을 피하기 위해 '치역'이라는 단어 대신 '상'과 '공역'을 명확히 구분하여 사용하는 경우도 있다.^[6]

4. 전사 함수

함수 $f \colon X \to Y$ 에서 치역 $f(X)$ 와 공역 $Y$ 가 같은 집합일 때, 즉 $f(X) = Y$ 일 때, 이 함수 $f$ 를 전사 함수(全射函數, surjective function) 또는 ''onto 함수''라고 부른다. 어떤 함수가 전사 함수인지 아닌지는 공역을 어떻게 설정하느냐에 따라 달라질 수 있다.

예를 들어, 실수 $x$ 를 입력받아 그 두 배인 $2x$ 를 출력하는 함수 $f(x) = 2x$ 를 생각해 보자. 만약 이 함수의 정의역과 공역을 모두 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$ 로 정의한다면 ( $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ), 임의의 실수 $y$ 에 대해 $x = y/2$ 역시 실수이고 $f(y/2) = 2(y/2) = y$ 가 성립한다. 즉, 공역 $\mathbb{R}$ 의 모든 원소가 치역에 포함되므로 이 함수는 전사 함수이다. 이 경우 치역과 공역이 모두 $\mathbb{R}$ 로 동일하다.

하지만 만약 같은 형식의 함수 $f(n) = 2n$ 의 정의역과 공역을 정수 전체의 집합 $\mathbb{Z}$ 로 정의한다면 ( $f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ ), 함수의 치역은 짝수 정수의 집합 $2\mathbb{Z} = \{ \dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots \}$ 가 된다. 공역 $\mathbb{Z}$ 에는 1, 3, -1과 같은 홀수 정수들이 포함되어 있지만, 이들은 치역 $2\mathbb{Z}$ 에 속하지 않는다. 따라서 이 경우 치역과 공역이 다르므로 함수 $f$ 는 전사 함수가 아니다.

이처럼 함수의 치역과 공역이 다른 경우에도, 원래 함수의 치역을 새로운 공역으로 설정하여 전사 함수를 만들 수 있다. 예를 들어, 위에서 정의한 정수 함수 $f(n) = 2n$ 에 대해, 공역을 정수 전체 $\mathbb{Z}$ 가 아닌 짝수 정수의 집합 $2\mathbb{Z}$ 로 정의하여 새로운 함수 $\tilde{f} \colon \mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z}$ 를 만들면, 이 함수 $\tilde{f}(n) = 2n$ 은 전사 함수가 된다.

5. 예시

실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수 $f$ 가 다음과 같이 정의된다고 하자.

: $f\colon \mathbb R\to\mathbb R$

: $f\colon x\mapsto x^2$

이 경우, $f$ 의 공역은 실수 전체의 집합 $\mathbb R$ 이다. 반면 $f$ 의 치역은 음이 아닌 실수들의 집합인 구간 $[0,\infty)$ 이다. 왜냐하면 $x$ 가 실수일 때 $x^2$ 는 결코 음수가 될 수 없기 때문이다. 공역과 치역이 다르므로, 함수 $f$ 는 전사 함수가 아니다.

다른 예로, 실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수 $g$ 가 다음과 같이 정의된다고 하자.

: $g\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$

: $g\colon x\mapsto 2x$

이 경우, $g$ 의 공역은 실수 전체의 집합 $\mathbb R$ 이고, 치역 역시 모든 실수의 집합 $\mathbb R$ 이다. 공역과 치역이 일치하므로, 함수 $g$ 는 전사 함수이다.

이처럼 함수의 치역은 항상 공역의 부분 집합이다.^[2] 만약 어떤 함수의 치역과 공역이 같다면, 그 함수를 전사 함수라고 부른다.

함수 $f(x) = x^2$ 의 예시에서 보듯이, '치역'이라는 용어는 때때로 혼동을 일으킬 수 있다. 어떤 문헌에서는 '치역'을 함수의 공역(함수의 모든 출력이 속해야 하는 집합 $Y$ )을 의미하는 데 사용하고, 다른 문헌에서는 함수의 상(함수의 실제 출력값 전체의 집합 $f(X)$ )을 의미하는 데 사용한다.^[1] 오래된 책에서는 '치역'을 오늘날의 공역의 의미로 사용하는 경향이 있으며,^[3]^[4] 보다 현대적인 책에서는 대부분 오늘날의 상의 의미로 사용한다.^[5] 따라서 문맥에 따라 '치역'이 어떤 의미로 사용되었는지 주의 깊게 살펴볼 필요가 있다.^[6]

6. 추가 설명

어떤 함수 f: X → Y의 치역은 공역 Y와 항상 같지는 않다. 치역은 공역의 부분 집합이다.^[2] 예를 들어, 실수 전체 집합에서 정의된 함수 f(x) = x²을 생각해 보자. 이 함수의 공역은 실수 전체 집합 R이지만, 치역(실제 함수 값들의 집합, 즉 상)은 음이 아닌 실수의 집합 R⁺이다. 왜냐하면 실수를 제곱하면 항상 음수가 아닌 값이 나오기 때문이다.

함수의 치역과 공역이 다른 경우, 원래 함수의 치역(상)을 새로운 공역으로 설정하여 전사 함수(치역과 공역이 같은 함수)를 만들 수 있다. 예를 들어, 정수에서 정수로 가는 함수 f(n) = 2n을 생각해 보자. 이 함수의 공역은 정수 전체의 집합 Z이지만, 치역(상)은 짝수 정수의 집합이다. 따라서 이 함수는 전사 함수가 아니다. 하지만 정의역을 정수 집합으로, 공역을 짝수 정수 집합으로 하는 새로운 함수 ~f(n) = 2n을 정의하면, 이 함수 ~f는 치역(상)과 공역이 모두 짝수 정수 집합으로 같으므로 전사 함수가 된다.

일반적으로 함수 f에 대해 image(f) ⊆ range(f) ⊆ codomain(f) 관계가 성립한다. 여기서 image(f)는 함수의 상(실제 출력값들의 집합), range(f)는 치역, codomain(f)는 공역을 나타낸다. '치역'이라는 용어가 상을 의미하는지 공역을 의미하는지에 따라 둘 중 하나의 포함 관계는 등호가 된다.

참조

_[1] 웹사이트 Range https://mathworld.wo[...] 2020-08-28
_[2] 웹사이트 Range definition https://mathinsight.[...] 2020-08-28
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적

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