맨위로가기

구형함수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

구형 함수는 구간 (-1/2, 1/2)에서 1의 값을 갖고, 그 외 구간에서는 0의 값을 가지며, 경계값에서는 1/2의 값을 갖는 함수이다. 헤비사이드 계단 함수, 박스카 함수, 극한 등을 이용하여 표현할 수 있으며, 푸리에 변환을 통해 sinc 함수로 나타낼 수 있다. 삼각파 함수는 두 구형파 함수의 컨볼루션으로 정의되며, 확률론에서는 연속 균등 분포의 특수한 경우로, 디랙 델타 함수를 표현하는 데에도 사용된다.

2. 역사

우드워드는 ''rect'' 함수를 이상적인 절단 연산자로 소개했으며[6][7], ''sinc'' 함수를 이상적인 보간 연산자로 소개했다[8][9]. 각각의 반대 연산은 샘플링(''comb'' 연산자) 및 복제(''rep'' 연산자)이다.

3. 정의

사각 함수는 박스카 함수의 특별한 경우이다.

:\operatorname{rect}\left(\frac{t-X}{Y} \right) = H(t - (X - Y/2)) - H(t - (X + Y/2)) = H(t - X + Y/2) - H(t - X - Y/2)

여기서 H(x)는 헤비사이드 계단 함수이다. 이 함수는 X를 중심으로 하고 X-Y/2에서 X+Y/2까지 지속 시간 Y를 갖는다.

3. 1. 헤비사이드 계단 함수를 이용한 표현

헤비사이드 계단 함수 Heaviside step function|헤비사이드 스텝 펑션영어 ''u''(''t'')를 사용하여 구형 함수를 다음과 같이 표현할 수 있다.

:\operatorname{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) = u \left( t + \frac{\tau}{2} \right) - u \left( t - \frac{\tau}{2} \right)

또는,

:\operatorname{rect}(t) = u \left( t + \frac{1}{2} \right) \cdot u \left( \frac{1}{2} - t \right)

3. 2. 박스카 함수와의 관계

사각 함수는 보다 일반적인 박스카 함수의 특별한 경우이다.

:\operatorname{rect}\left(\frac{t-X}{Y} \right) = H(t - (X - Y/2)) - H(t - (X + Y/2)) = H(t - X + Y/2) - H(t - X - Y/2)

여기서 H(x)는 헤비사이드 계단 함수이다. 이 함수는 X에서 중심으로 하고 X-Y/2에서 X+Y/2까지 지속 시간 Y를 갖는다.

3. 3. 극한을 이용한 표현

헤비사이드 계단 함수 Heaviside step function|헤비사이드 스텝 펑션영어 ''u''(''t'')를 사용하여 구형 함수를 다음과 같이 표현할 수 있다.

:operatorname|rectla(''t'') = ''u'' (''t'' + 1/2) · ''u'' (1/2 - ''t'')

극한을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:operatorname|rectla (''t'') = 1 / (1 + |2''t''|''n'')

4. 성질

우드워드는 rect 함수를 이상적인 절단 연산자로, sinc 함수[8][9]를 이상적인 보간 연산자로 소개했다.[6][7]

정규화된 sinc(x) 함수의 그래프 (즉, sinc(πx)) 및 스펙트럼 주파수 성분


시간 도메인의 유한성은 무한 주파수 응답에 해당하며, 그 반대도 마찬가지이다.

삼각파는 두 구형파의 합성곱(컨볼루션)으로 정의할 수 있다.[1]

:\operatorname{tri} = \operatorname{rect} * \operatorname{rect}.\,

위 식에서 \operatorname{tri}(t)는 삼각파 함수, \operatorname{rect}(t)는 구형파 함수를 나타낸다.[1]

구형 함수를 확률 밀도 함수로 보면, a = -1/2, b = 1/2인 연속 균등 분포의 특수한 경우이다.

디랙 델타 함수 \delta (x)는 사각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.[11]

:\delta (x) = \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\operatorname{rect}\left(\frac{x}{a}\right).

4. 1. 푸리에 변환

우드워드는 ''rect'' 함수를 이상적인 절단 연산자로, ''sinc'' 함수[8][9]를 이상적인 보간 연산자로 소개했다.[6][7]

단위 푸리에 변환의 구형 함수는 다음과 같다.[2]

  • 일반 주파수 f영어를 사용하면:


:\int_{-\infty}^\infty \operatorname{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt

=\frac{\sin(\pi f)}{\pi f} = \operatorname{sinc}_\pi(f),

: 여기서 는 sinc 함수의 정규화된 형태이다.[10]

  • 각주파수 \omega영어를 사용하면:


:\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \operatorname{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt

=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{\sin\left(\omega/2 \right)}{\omega/2}

=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \operatorname{sinc}\left(\omega/2 \right),



: 여기서 는 sinc 함수의 비정규화된 형태이다.

  • 의 경우, 푸리에 변환은 다음과 같다.


:\int_{-\infty}^\infty \operatorname{rect}\left(\frac{t}{a}\right)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt

=a \frac{\sin(\pi af)}{\pi af} = a\ \operatorname{sinc}_\pi{(a f)}.

시간 도메인의 유한성은 무한 주파수 응답에 해당하며, 그 반대도 마찬가지이다.

4. 2. 삼각 함수와의 관계

삼각파는 두 구형파의 합성곱(컨볼루션)으로 정의할 수 있다.[1]

:\operatorname{tri} = \operatorname{rect} * \operatorname{rect}.\,[1]

위 식에서 \operatorname{tri}(t)는 삼각파 함수, \operatorname{rect}(t)는 구형파 함수를 나타낸다.[1]

4. 3. 확률론에서의 활용

구형 함수를 확률 밀도 함수로 보면, a = -1/2, b = 1/2인 연속 균등 분포의 특수한 경우이다. 특성 함수는 다음과 같다.

:\varphi(k) = \frac{\sin(k/2)}{k/2},

모멘트 생성 함수는 다음과 같다.

:M(k) = \frac{\sinh(k/2)}{k/2},

여기서 \sinh(t)는 쌍곡선 사인 함수이다.

4. 4. 디랙 델타 함수와의 관계

디랙 델타 함수 \delta (x)는 사각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.[11]

:\delta (x) = \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\operatorname{rect}\left(\frac{x}{a}\right).

함수 g(x)에 대해, 함수 영역에서 0 주변 너비 ''a''에 대한 평균은 다음과 같이 계산된다.

:g_{avg}(0) = \frac{1}{a} \int\limits_{- \infty}^{\infty} dx\ g(x) \operatorname{rect}\left(\frac{x}{a}\right).

g(0)을 얻기 위해, 다음 극한이 적용된다.

:g(0) = \lim_{a \to 0} \frac{1}{a} \int\limits_{- \infty}^{\infty} dx\ g(x) \operatorname{rect}\left(\frac{x}{a}\right)

그리고 이것은 디랙 델타 함수를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:g(0) = \int\limits_{- \infty}^{\infty} dx\ g(x) \delta (x).

디랙 델타 함수 \delta (t)의 푸리에 변환은 다음과 같다.

:\delta (f)

= \int_{-\infty}^\infty \delta (t) \cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt

= \lim_{a \to 0} \frac{1}{a} \int_{-\infty}^\infty \operatorname{rect}\left(\frac{t}{a}\right)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt

= \lim_{a \to 0} \operatorname{sinc}{(a f)}.

여기서 싱크 함수는 정규화된 싱크 함수이다. 싱크 함수의 첫 번째 영점은 f = 1 / a이고 a는 무한대로 가기 때문에, \delta (t)의 푸리에 변환은 다음과 같다.

:\delta (f) = 1,

이는 디랙 델타 함수의 주파수 스펙트럼이 무한히 넓다는 것을 의미한다. 펄스 시간이 짧아짐에 따라, 스펙트럼은 더 커진다.

참조

[1] 웹사이트 HeavisidePi, Wolfram Language function https://reference.wo[...] 2008-01-01
[2] MathWorld Rectangle Function
[3] 서적 Introduction to Orthogonal Transforms: With Applications in Data Processing and Analysis https://books.google[...] Cambridge University Press
[4] 서적 Mathematical Methods for Engineers and Scientists: Fourier analysis, partial differential equations and variational models https://books.google[...] Springer
[5] 서적 Signals and Systems https://books.google[...] PHI Learning Pvt. Ltd.
[6] 논문 The Theory and Design of Chirp Radars https://ieeexplore.i[...]
[7] 서적 Probability and Information Theory, with Applications to Radar Pergamon Press
[8] 서적 Sampling Theory in Fourier and Signal Analysis: Foundations Oxford University Press Inc.
[9] 서적 Handbook of Function and Generalized Function Transformations CRC Press
[10] 웹사이트 Wolfram MathWorld https://mathworld.wo[...]
[11] 서적 Fourier Optics and Computational Imaging Springer
[12] 서적 フーリエ音響学 シュプリンガーフェアラーク東京


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com