구형함수

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1. 개요

구형 함수는 구간 (-1/2, 1/2)에서 1의 값을 갖고, 그 외 구간에서는 0의 값을 가지며, 경계값에서는 1/2의 값을 갖는 함수이다. 헤비사이드 계단 함수, 박스카 함수, 극한 등을 이용하여 표현할 수 있으며, 푸리에 변환을 통해 sinc 함수로 나타낼 수 있다. 삼각파 함수는 두 구형파 함수의 컨볼루션으로 정의되며, 확률론에서는 연속 균등 분포의 특수한 경우로, 디랙 델타 함수를 표현하는 데에도 사용된다.

구형함수

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
4. 성질

2. 역사

우드워드는 rect 함수를 이상적인 절단 연산자로 소개했으며, sinc 함수를 이상적인 보간 연산자로 소개했다. 각각의 반대 연산은 샘플링(comb 연산자) 및 복제(rep 연산자)이다.

3. 정의

사각 함수는 박스카 함수의 특별한 경우이다.
: $\operatorname{rect}\left(\frac{t-X}{Y} \right) = H(t - (X - Y/2)) - H(t - (X + Y/2)) = H(t - X + Y/2) - H(t - X - Y/2)$
여기서 $H(x)$ 는 헤비사이드 계단 함수이다. 이 함수는 $X$ 를 중심으로 하고 $X-Y/2$ 에서 $X+Y/2$ 까지 지속 시간 $Y$ 를 갖는다.

3.1. 헤비사이드 계단 함수를 이용한 표현

헤비사이드 계단 함수 Heaviside step function^영어 u(t)를 사용하여 구형 함수를 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\operatorname{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) = u \left( t + \frac{\tau}{2} \right) - u \left( t - \frac{\tau}{2} \right)$

또는,

: $\operatorname{rect}(t) = u \left( t + \frac{1}{2} \right) \cdot u \left( \frac{1}{2} - t \right)$

3.2. 박스카 함수와의 관계

사각 함수는 보다 일반적인 박스카 함수의 특별한 경우이다.

: $\operatorname{rect}\left(\frac{t-X}{Y} \right) = H(t - (X - Y/2)) - H(t - (X + Y/2)) = H(t - X + Y/2) - H(t - X - Y/2)$

여기서 $H(x)$ 는 헤비사이드 계단 함수이다. 이 함수는 $X$ 에서 중심으로 하고 $X-Y/2$ 에서 $X+Y/2$ 까지 지속 시간 $Y$ 를 갖는다.

3.3. 극한을 이용한 표현

헤비사이드 계단 함수 Heaviside step function^영어 u(t)를 사용하여 구형 함수를 다음과 같이 표현할 수 있다.

:operatorname^라틴어(t) = u (t + 1/2) · u (1/2 - t)

극한을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:operatorname^라틴어 (t) = 1 / (1 + |2t|ⁿ)

4. 성질

우드워드는 rect 함수를 이상적인 절단 연산자로, sinc 함수를 이상적인 보간 연산자로 소개했다.

정규화된 sinc(x) 함수의 그래프 (즉, sinc(πx)) 및 스펙트럼 주파수 성분

시간 도메인의 유한성은 무한 주파수 응답에 해당하며, 그 반대도 마찬가지이다.

삼각파는 두 구형파의 합성곱(컨볼루션)으로 정의할 수 있다.

:

\operatorname{tri} = \operatorname{rect} * \operatorname{rect}.\,

위 식에서

\operatorname{tri}(t)

는 삼각파 함수,

\operatorname{rect}(t)

는 구형파 함수를 나타낸다.

구형 함수를 확률 밀도 함수로 보면,

a = -1/2, b = 1/2

인 연속 균등 분포의 특수한 경우이다.

디랙 델타 함수

\delta (x)

는 사각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\delta (x) = \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\operatorname{rect}\left(\frac{x}{a}\right).

4.1. 푸리에 변환

우드워드는 rect 함수를 이상적인 절단 연산자로, sinc 함수를 이상적인 보간 연산자로 소개했다.

단위 푸리에 변환의 구형 함수는 다음과 같다.

* 일반 주파수 f^영어를 사용하면:

:

\int_{-\infty}^\infty \operatorname{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt=\frac{\sin(\pi f)}{\pi f} = \operatorname{sinc}_\pi(f),

: 여기서

\operatorname{sinc}_\pi

^영어는 sinc 함수의 정규화된 형태이다.

* 각주파수

\omega

^영어를 사용하면:

:

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \operatorname{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{\sin\left(\omega/2 \right)}{\omega/2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \operatorname{sinc}\left(\omega/2 \right),

: 여기서

\operatorname{sinc}

^영어는 sinc 함수의 비정규화된 형태이다.

*

\operatorname{rect} (x/a)

^영어의 경우, 푸리에 변환은 다음과 같다.

:

\int_{-\infty}^\infty \operatorname{rect}\left(\frac{t}{a}\right)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt=a \frac{\sin(\pi af)}{\pi af} = a\ \operatorname{sinc}_\pi{(a f)}.

시간 도메인의 유한성은 무한 주파수 응답에 해당하며, 그 반대도 마찬가지이다.

4.2. 삼각 함수와의 관계

삼각파는 두 구형파의 합성곱(컨볼루션)으로 정의할 수 있다.

: $\operatorname{tri} = \operatorname{rect} * \operatorname{rect}.\,$

위 식에서 $\operatorname{tri}(t)$ 는 삼각파 함수, $\operatorname{rect}(t)$ 는 구형파 함수를 나타낸다.

4.3. 확률론에서의 활용

구형 함수를 확률 밀도 함수로 보면, $a = -1/2, b = 1/2$ 인 연속 균등 분포의 특수한 경우이다. 특성 함수는 다음과 같다.

: $\varphi(k) = \frac{\sin(k/2)}{k/2},$

모멘트 생성 함수는 다음과 같다.

: $M(k) = \frac{\sinh(k/2)}{k/2},$

여기서 $\sinh(t)$ 는 쌍곡선 사인 함수이다.

4.4. 디랙 델타 함수와의 관계

디랙 델타 함수 $\delta (x)$ 는 사각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\delta (x) = \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\operatorname{rect}\left(\frac{x}{a}\right).$

함수 $g(x)$ 에 대해, 함수 영역에서 0 주변 너비 $a$ 에 대한 평균은 다음과 같이 계산된다.

: $g_{avg}(0) = \frac{1}{a} \int\limits_{- \infty}^{\infty} dx\ g(x) \operatorname{rect}\left(\frac{x}{a}\right).$

$g(0)$ 을 얻기 위해, 다음 극한이 적용된다.

: $g(0) = \lim_{a \to 0} \frac{1}{a} \int\limits_{- \infty}^{\infty} dx\ g(x) \operatorname{rect}\left(\frac{x}{a}\right)$

그리고 이것은 디랙 델타 함수를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $g(0) = \int\limits_{- \infty}^{\infty} dx\ g(x) \delta (x).$

디랙 델타 함수 $\delta (t)$ 의 푸리에 변환은 다음과 같다.

: $\delta (f)= \int_{-\infty}^\infty \delta (t) \cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt= \lim_{a \to 0} \frac{1}{a} \int_{-\infty}^\infty \operatorname{rect}\left(\frac{t}{a}\right)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt= \lim_{a \to 0} \operatorname{sinc}{(a f)}.$

여기서 싱크 함수는 정규화된 싱크 함수이다. 싱크 함수의 첫 번째 영점은 $f = 1 / a$ 이고 $a$ 는 무한대로 가기 때문에, $\delta (t)$ 의 푸리에 변환은 다음과 같다.

: $\delta (f) = 1,$

이는 디랙 델타 함수의 주파수 스펙트럼이 무한히 넓다는 것을 의미한다. 펄스 시간이 짧아짐에 따라, 스펙트럼은 더 커진다.