극한 기수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 극한 기수
- 2.2. 강극한 기수
3. 성질
4. 구성
- 4.1. 합집합 연산
- 4.2. 베트 수 연산
5. 예시
6. 접근 불가능성
- 6.1. 접근 불가능 기수의 정의
- 6.2. 거대 기수와의 관계
참조

1. 개요

극한 기수는 특정 조건을 만족하는 기수를 의미하며, 강극한 기수와 구분된다. 극한 기수 κ는 κ = λ⁺인 기수 λ가 존재하지 않아야 하며, 강극한 기수는 모든 기수 λ < κ에 대해 2^λ < κ 또는 모든 기수 λ, μ < κ에 대해 λ^μ < κ 조건을 만족하는 기수를 말한다. 모든 강극한 기수는 극한 기수이며, 일반화 연속체 가설이 성립하면 모든 극한 기수는 강극한 기수가 된다. 극한 기수는 알레프 수와 베트 수를 사용하여 표현될 수 있으며, 순서수와의 관계를 갖는다. 또한 접근 불가능 기수 개념과 연관되어 있으며, ZFC는 ℵ₀보다 큰 접근 불가능 기수의 존재를 증명할 수 없다.

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극한 기수
일반 정보
유형	수학
분야	집합론
정의	다른 모든 원소보다 크거나 같은 원소를 갖는 순서수
기호	'ℵ', 'ω' (경우에 따라 다름)
속성
정칙성	극한 기수는 정칙 기수임
도달 가능성	극한 기수는 약하게 도달 불가능한 기수일 수 있음
공종도	κ가 극한 기수이면 cf(κ) ≤ κ임
예시
가장 작은 극한 기수	ω (첫 번째 무한 순서수)
그 다음 극한 기수	ω + ω = ω·2
더 큰 극한 기수	'ω·ω = ω^2', 'ω^ω', 'ω^(ω^ω)', ...

2. 정의

기수 $\kappa$ 가 $\kappa=\lambda^+$ 인 기수 $\lambda$ 가 존재하지 않으면, '''극한 기수'''라고 한다. 극한 기수가 아닌 기수를 '''따름 기수'''라고 한다.

기수 $\kappa$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 '''강극한 기수'''라고 한다.

모든 기수 $\lambda<\kappa$ 에 대하여, $2^\lambda<\kappa$
모든 기수 $\lambda,\mu<\kappa$ 에 대하여, $\lambda^\mu<\kappa$

(일부 문헌에서는 0을 극한 기수에서 제외시키기도 한다.)

극한 기수는 합집합 연산을 이용하여 구성할 수 있으며, 강극한 기수는 베스 수 연산을 통해 얻을 수 있다.

2. 1. 극한 기수

기수

\kappa

가

\kappa=\lambda^+

인 기수

\lambda

가 존재하지 않으면, '''극한 기수'''라고 한다. 극한 기수가 아닌 기수를 '''따름 기수'''라고 한다.

기수

\kappa

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 '''강극한 기수'''라고 한다.

모든 기수 $\lambda<\kappa$ 에 대하여, $2^\lambda<\kappa$
모든 기수 $\lambda,\mu<\kappa$ 에 대하여, $\lambda^\mu<\kappa$

극한 기수는 합집합 연산을 이용하여 구성할 수 있다.

\aleph_{\omega}

는 약한 극한 기수이며, 그 앞에 오는 모든 알레프의 합집합으로 정의된다. 일반적으로 극한 순서수 ''λ''에 대해

\aleph_{\lambda}

는 약한 극한 기수이다.

ב 연산은 강한 극한 기수를 얻는 데 사용될 수 있다. 이 연산은 순서수에서 기수로의 사상으로 다음과 같이 정의된다.

:

\beth_{0} = \aleph_0,

:

\beth_{\alpha+1} = 2^{\beth_{\alpha}},

(멱집합과 동치인 가장 작은 순서수)

:만약 ''λ''가 극한 순서수라면,

\beth_{\lambda} = \bigcup \{ \beth_{\alpha} : \alpha < \lambda\}.

기수

:

\beth_{\omega} = \bigcup \{ \beth_{0}, \beth_{1}, \beth_{2}, \ldots \} = \bigcup_{n < \omega}  \beth_{n}

는 공종도가 ω인 강한 극한 기수이다. 더 일반적으로, 임의의 순서수 ''α''에 대해 기수

:

\beth_{\alpha+\omega} = \bigcup_{n < \omega} \beth_{\alpha+n}

는 강한 극한 기수이다. 따라서 임의로 큰 강한 극한 기수가 존재한다.

선택 공리가 성립하면 모든 기수는 초기 순서수를 갖는다. 이 초기 순서수가

\omega_{\lambda}

이면, 기수는 동일한 순서수 첨자 ''λ''에 대해

\aleph_\lambda

형태를 갖는다. 순서수 ''λ''는

\aleph_\lambda

가 약한 극한 기수인지 여부를 결정한다.

\aleph_{\alpha^+} = (\aleph_\alpha)^+

이므로, ''λ''가 후속 순서수이면

\aleph_\lambda

는 약한 극한이 아니다. 반대로 기수 ''κ''가 후속 기수, 예를 들어

\kappa = (\aleph_{\alpha})^+

이면

\kappa = \aleph_{\alpha^+} \,.

따라서 일반적으로

\aleph_\lambda

는 ''λ''가 0이거나 극한 순서수일 때에만 약한 극한 기수이다.

순서수 첨자는 기수가 약한 극한인지 여부를 알려주지만, 기수가 강한 극한인지 여부는 알려주지 않는다. 예를 들어 ZFC는

\aleph_\omega

가 약한 극한 기수임을 증명하지만,

\aleph_\omega

가 강한 극한 기수인지 여부는 증명하거나 반증하지 않는다. 일반화된 연속체 가설은 모든 무한 기수 ''κ''에 대해

\kappa^+ = 2^{\kappa}

라고 말한다. 이 가설 하에서 약한 극한과 강한 극한 기수의 개념은 일치한다.

2. 2. 강극한 기수

기수 κ에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 '''강극한 기수'''(強極限基數, strong limit cardinal^영어)라고 한다.

모든 기수 λ < κ에 대하여, 2^λ < κ
모든 기수 λ, μ < κ에 대하여, λ^μ < κ

(일부 문헌에서는 0을 극한 기수에서 제외시킨다.)

ב 연산은 강한 극한 기수를 얻는 데 사용될 수 있다. 이 연산은 순서수에서 기수로의 사상으로 다음과 같이 정의된다.

:

: (멱집합과 동치인 가장 작은 순서수)

:만약 λ가 극한 순서수라면,

기수

:

는 공종도가 ω인 강한 극한 기수이다. 더 일반적으로, 임의의 순서수 α에 대해 기수

:

는 강한 극한 기수이다. 따라서 임의로 큰 강한 극한 기수가 존재한다.

순서수 첨자는 기수가 약한 극한인지 여부를 알려주지만, 기수가 강한 극한인지 여부는 알려주지 않는다. 예를 들어 ZFC는 가 약한 극한 기수임을 증명하지만, 가 강한 극한 기수인지 여부는 증명하거나 반증하지 않는다. 일반화된 연속체 가설은 모든 무한 기수 κ에 대해 라고 말한다. 이 가설 하에서 약한 극한과 강한 극한 기수의 개념은 일치한다.

3. 성질

선택 공리가 성립하면, 모든 따름 기수는 정칙 기수이다. 선택 공리가 성립하면 모든 기수는 초기 순서수를 갖는다. 이 초기 순서수가 $\omega_{\lambda}$ 이면, 기수는 동일한 순서수 첨자 ''λ''에 대해 $\aleph_\lambda$ 형태를 갖는다. 순서수 ''λ''는 $\aleph_\lambda$ 가 약한 극한 기수인지 여부를 결정한다. $\aleph_{\alpha^+} = (\aleph_\alpha)^+$ 이므로, ''λ''가 후속 순서수이면 $\aleph_\lambda$ 는 약한 극한이 아니다.

3. 1. 순서수와의 관계

임의의 순서수 α에 대하여 다음 세 조건은 서로 동치이다.

α는 극한 순서수이다.
ℵ_α는 극한 기수이다. (ℵ는 알레프 수)
ℶ_α는 강극한 기수이다. (ℶ는 베트 수)

모든 강극한 기수는 극한 기수이다. 만약 일반화 연속체 가설이 성립한다면, 모든 극한 기수는 강극한 기수이다.

일반적으로 ℵ_λ는 λ가 0이거나 극한 순서수일 때에만 약한 극한 기수이다. 순서수 첨자는 기수가 약한 극한인지 여부를 알려주지만, 기수가 강한 극한인지 여부는 알려주지 않는다. 예를 들어 ZFC는 ℵ_ω가 약한 극한 기수임을 증명하지만, ℵ_ω가 강한 극한 기수인지 여부는 증명하거나 반증하지 않는다. 일반화 연속체 가설은 모든 무한 기수 κ에 대해 κ⁺ = 2^κ라고 말한다. 이 가설이 성립하면 약한 극한 기수와 강한 극한 기수의 개념은 일치한다.

3. 2. 일반화 연속체 가설

일반화 연속체 가설이 성립하면 모든 극한 기수는 강극한 기수이다.

3. 3. 정칙성

선택 공리가 성립하면, 모든 따름 기수는 정칙 기수이다.

4. 구성

극한 기수는 합집합 연산이나 베트 수 연산을 이용하여 구성할 수 있다. 합집합 연산을 이용하면 약한 극한 기수를, 베트 수 연산을 이용하면 강한 극한 기수를 얻을 수 있다.

4. 1. 합집합 연산

합집합 연산을 이용하여 극한 기수를 구성할 수 있다. ℵ_ω는 그 앞에 오는 모든 알레프의 합집합으로 정의되는 약한 극한 기수이다. 일반적으로 극한 순서수 λ에 대해 ℵ_λ는 약한 극한 기수이다.

4. 2. 베트 수 연산

베트 수 연산은 강한 극한 기수를 얻는 데 사용될 수 있다. 이 연산은 순서수에서 기수로의 사상으로 다음과 같이 정의된다.

$\beth_{0} = \aleph_0,$
$\beth_{\alpha+1} = 2^{\beth_{\alpha}},$ (멱집합과 동치인 가장 작은 순서수)
만약 ''λ''가 극한 순서수라면, $\beth_{\lambda} = \bigcup \{ \beth_{\alpha} : \alpha < \lambda\}.$

기수

:

\beth_{\omega} = \bigcup \{ \beth_{0}, \beth_{1}, \beth_{2}, \ldots \} = \bigcup_{n < \omega}  \beth_{n}

는 공종도가 ω인 강한 극한 기수이다. 더 일반적으로, 임의의 순서수 ''α''에 대해 기수

:

\beth_{\alpha+\omega} = \bigcup_{n < \omega} \beth_{\alpha+n}

는 강한 극한 기수이다. 따라서 임의로 큰 강한 극한 기수가 존재한다.

5. 예시

알레프 수의 고정점이나 베트 수의 고정점 외에도 극한 기수를 구성하는 방법이 있다. 합집합 연산을 이용하면 ℵ_ω와 같은 약한 극한 기수를 얻을 수 있는데, ℵ_ω는 그 앞에 오는 모든 알레프의 합집합으로 정의된다.

베트 수 연산을 사용하면 강한 극한 기수를 얻을 수 있다. 베트 수 연산은 순서수에서 기수로의 사상으로 다음과 같이 정의된다.

$\beth_{0} = \aleph_0,$
$\beth_{\alpha+1} = 2^{\beth_{\alpha}},$ (멱집합과 동치인 가장 작은 순서수)
만약 ''λ''가 극한 순서수라면, $\beth_{\lambda} = \bigcup \{ \beth_{\alpha} : \alpha < \lambda\}.$

\beth_{\omega} = \bigcup \{ \beth_{0}, \beth_{1}, \beth_{2}, \ldots \} = \bigcup_{n < \omega}  \beth_{n}

는 공종도가 ω인 강한 극한 기수이다. 더 일반적으로, 임의의 순서수 ''α''에 대해

\beth_{\alpha+\omega} = \bigcup_{n < \omega} \beth_{\alpha+n}

는 강한 극한 기수이므로, 임의로 큰 강한 극한 기수가 존재한다.

5. 1. 가산 극한 기수

0과 ℵ₀|알레프-0^he는 가산 극한 기수이며, 강극한 기수이다.

5. 2. 비가산 극한 기수

ℵ_ω는 최소의 비가산 극한 기수이다. ℶ_ω는 최소의 비가산 강극한 기수이다.

일반적으로 극한 순서수 ''λ''에 대해 ℵ_λ는 약한 극한 기수이다. 선택 공리가 성립하면, ℵ_λ는 ''λ''가 0이거나 극한 순서수일 때에만 약한 극한 기수이다.

순서수 첨자는 기수가 약한 극한인지 여부는 알려주지만, 기수가 강한 극한인지 여부는 알려주지 않는다. 예를 들어, ZFC는 ℵ_ω가 약한 극한 기수임을 증명하지만, ℵ_ω가 강한 극한 기수인지 여부는 증명하거나 반증하지 않는다. 일반화된 연속체 가설 하에서 약한 극한과 강한 극한 기수의 개념은 일치한다.

5. 3. 고정점

알레프 수의 고정점(즉,

\aleph_\kappa=\kappa

인

\kappa

)은 항상 극한 기수이다. 베트 수의 고정점(즉,

\beth_\kappa=\kappa

인

\kappa

)은 항상 강극한 기수이다. (이는 등식에 따라

\kappa

가 극한 순서수이기 때문이다.) 그러나 이 명제들의 역은 성립하지 않는다.

6. 접근 불가능성

앞선 내용은 후속자 연산과 멱집합 연산을 유한 번 반복하는 것으로는 도달할 수 없는 "접근 불가능성"의 개념을 정의한다. "합집합 연산"은 항상 이러한 기수에 "접근"하는 또 다른 방법을 제공한다(실제로 극한 순서수도 마찬가지이다). ℵ₀는 가산 불가능해야 한다는 조건 때문에 접근 불가능 기수가 아니다.

6. 1. 접근 불가능 기수의 정의

공종도를 사용하여 더 강력한 접근 불가능성의 개념을 정의할 수 있다. 약한 (강한) 극한 기수 ''κ''에 대한 요구 사항은 cf(''κ'') = ''κ'' (즉, ''κ''가 정규 기수)여야 하며, 따라서 ''κ''는 ''κ''보다 작은 기수들의 합(합집합)으로 표현될 수 없다. 이러한 기수를 약한(강한) 접근 불가능 기수라고 한다. 앞선 예제는 모두 공종도가 ω인 특이 기수이므로 접근 불가능하지 않다.

6. 2. 거대 기수와의 관계

괴델의 불완전성 정리에 따라, 선택 공리를 갖춘 표준 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)은 ℵ₀보다 큰 종류의 접근 불가능 기수의 존재 일관성조차 증명할 수 없다. 더 구체적으로, κ가 약하게 접근 불가능하면 L_κ ⊨ ZFC이다. 이러한 기수들은 거대 기수의 계층에서 처음을 형성한다.

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