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베트 수

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목차

1. 개요

베트 수는 순서수와 기수를 사용하여 정의되는 기수이며, 칸토어의 정리에 의해 항상 증가한다. 베트 수는 알레프 수와 관련이 있으며, 일반화 연속체 가설은 베트 수의 수열이 알레프 수의 수열과 같다고 주장한다. 베트 수는 0, 1, 2, 오메가 등 다양한 값을 가지며, 각 값에 해당하는 집합의 예시가 존재한다. 일반화된 베트 수 \beth_\alpha(\kappa)는 서수 \alpha와 기수 \kappa에 대해 정의되며, 체르멜로-프렝켈 집합론에서 다양한 성질을 가진다.

2. 정의

순서수 \(\alpha\) 및 기수 \(\kappa\)에 대하여, '''베트 수''' \(\beth_\alpha(\kappa)\)는 다음과 같이 초한귀납법으로 정의된다.


  • \(\beth_0(\kappa) = \kappa\)
  • \(\beth_{\alpha+1}(\kappa) = 2^{\beth_\alpha(\kappa)}\)
  • 극한 순서수 \(\lambda\)에 대하여, \(\beth_\lambda(\kappa) = \sup\{\beth_\alpha(\kappa) \colon \alpha < \lambda\}\)


만약 \(\kappa\)를 생략할 경우, \(\kappa = \aleph_0\)을 의미한다. 즉,

:\(\beth_\alpha = \beth_\alpha(\aleph_0)\)

이다.

좀 더 자세하게는 초한 재귀에 의해 다음과 같이 정의된다.

  • \(\beth_0 = \aleph_0\)
  • \(\beth_{\alpha+1} = 2^{\beth_\alpha}\)
  • \(\beth_\lambda = \sup\{\beth_\alpha : \alpha < \lambda\}\)


여기서 \(\alpha\)는 순서수이고 \(\lambda\)는 극한 순서수이다.[1]

기수 \(\beth_0 = \aleph_0\)는 자연수 전체의 집합 \(\mathbb{N}\)과 같은 임의의 가산 무한 집합의 기수이므로 \(\beth_0 = |\mathbb{N}|\)이다.

\(\alpha\)를 순서수라고 하고, \(A_\alpha\)를 기수 \(\beth_\alpha = |A_\alpha|\)를 갖는 집합이라고 하면 다음과 같다.

  • \(\mathcal{P}(A_\alpha)\)는 \(A_\alpha\)의 멱집합(즉, \(A_\alpha\)의 모든 부분 집합의 집합)이다.
  • 집합 \(2^{A_\alpha} \subset \mathcal{P}(A_\alpha \times 2)\)는 \(A_\alpha\)에서 \(\{0, 1\}\)로의 모든 함수 집합을 나타낸다.
  • 기수 \(2^{\beth_\alpha}\)는 기수의 멱의 결과이다.
  • \(\beth_{\alpha+1} = 2^{\beth_\alpha} = \left| 2^{A_\alpha} \right| = |\mathcal{P}(A_\alpha)|\)는 \(A_\alpha\)의 멱집합의 기수이다.


이 정의에 따르면,

:\(\beth_0, \beth_1, \beth_2, \beth_3, \dots\)

는 각각 다음의 기수이다.

:\(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N})), \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))), \dots\)

따라서 두 번째 베트 수 \(\beth_1\)은 \(\mathfrak{c}\)와 같으며, 이는 연속체 농도 (즉, 실수 집합의 기수)이고, 세 번째 베트 수 \(\beth_2\)는 연속체의 멱집합의 기수이다.

칸토어의 정리에 의해, 앞선 수열의 각 집합은 바로 앞선 집합보다 엄격하게 큰 기수를 갖는다. 무한 극한 순서수 \(\lambda\)에 대해, 해당 베트 수는 \(\lambda\)보다 엄격하게 작은 모든 순서수에 대한 베트 수의 상한으로 정의된다.

:\(\beth_\lambda = \sup \{\beth_{\alpha} : \alpha < \lambda \}\)

이 정의는 다음과 동일하다.

:\(\beth_\lambda = |\bigcup \{A_{\alpha} : \alpha < \lambda \}|\)

3. 성질

칸토어의 정리에 따라, 베트 수들은 항상 증가한다. 즉, 모든 순서수 \alpha에 대하여, \alpha<\beta\implies\beth_\alpha<\beth_\beta가 성립한다.

또한, 베트 수는 같은 차수의 알레프 수보다 작지 않다.

:\beth_\alpha\ge\aleph_\alpha

위 식에서 등식이 성립하는지 여부는 일반화 연속체 가설이라고 하며, 이는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다.[1]

연속체 가설은 다음과 동치이다.

:\beth_1=\aleph_1.

일반화 연속체 가설은 이렇게 정의된 베트 수의 수열이 알레프 수의 수열과 같다고 말한다. 즉, 모든 순서수 \alpha에 대해

:\beth_\alpha = \aleph_\alpha

이다.

선택 공리를 가정하면, 무한 기수들은 전순서 집합을 이룬다. 즉, 기수 두 개는 반드시 비교 가능하다. 따라서 정의에 의해 \aleph_0과 \aleph_1 사이에 무한 기수가 없으므로 다음이 성립한다.

:\beth_1 \ge \aleph_1.

이 논증을 반복하면(초한 귀납법 참조) 모든 서수 \alpha에 대해

:\beth_\alpha \ge \aleph_\alpha

이다.

4. 알레프 수와의 관계

칸토어의 정리에 따라, 베트 수는 항상 증가한다. 즉, 모든 순서수 \alpha에 대하여,

:\alpha<\beta\implies\beth_\alpha<\beth_\beta

이다. 또한, 베트 수는 같은 차수의 알레프 수보다 작지 않다.

:\beth_\alpha\ge\aleph_\alpha

선택 공리를 가정하면, 무한 기수들은 전순서 집합을 이룬다. 따라서 정의에 의해 \aleph_0과 \aleph_1 사이에 무한 기수가 없으므로 다음이 성립한다.

:\beth_1 \ge \aleph_1.

이 논증을 반복하면(초한 귀납법 참조) 모든 서수 \alpha에 대해 \beth_\alpha \ge \aleph_\alpha를 얻는다.

연속체 가설은 다음과 동치이다.

:\beth_1=\aleph_1.

일반화된 연속체 가설은 이렇게 정의된 베트 수의 수열이 알레프 수의 수열과 같다고 말한다. 즉, 모든 서수 \alpha에 대해

:\beth_\alpha = \aleph_\alpha

이다.

5. 구체적인 예

베트 수는 초한 재귀를 통해 다음과 같이 정의된다.[1]


  • \beth_0 = \aleph_0
  • \beth_{\alpha+1} = 2^{\beth_\alpha}
  • \beth_\lambda = \sup\Bigl\{ \beth_\alpha : \alpha < \lambda \Bigr\}


여기서 \alpha는 서수이고, \lambda는 극한 서수이다.

\beth_0 = \aleph_0는 가산 무한 집합의 기수이므로, \beth_0 = |\mathbb{N}|이다.

A_\alpha를 기수 \beth_\alpha = |A_\alpha|를 갖는 집합이라고 하면, \mathcal{P}(A_\alpha)는 A_\alpha의 멱집합(A_\alpha의 모든 부분 집합의 집합)이고, 2^{A_\alpha} \subset \mathcal{P}(A_\alpha \times 2)는 A_\alpha에서 \{0, 1\}로의 모든 함수 집합이며, 2^{\beth_\alpha}는 기수 지수의 결과이고, \beth_{\alpha+1} = 2^{\beth_\alpha} = \left| 2^{A_\alpha} \right| = |\mathcal{P}(A_\alpha)|는 A_\alpha의 멱집합의 기수이다.

이 정의에 따르면,

:\beth_0, \beth_1, \beth_2, \beth_3, \dots

는 각각 다음의 기수를 가진다.

:\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N})), \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))), \dots

칸토어의 정리에 의해, 앞선 수열의 각 집합은 바로 앞선 집합보다 엄격하게 큰 기수를 갖는다.

무한 극한 서수 \lambda에 대해, 해당 베트 수는 \lambda보다 엄격하게 작은 모든 서수에 대한 베트 수의 상한으로 정의된다.

:\beth_\lambda = \sup \Bigl\{ \beth_{\alpha} : \alpha < \lambda \Bigr\}.

이는 다음과 동일하다.

:\beth_\lambda = |\bigcup \Bigl\{ A_{\alpha} : \alpha < \lambda \Bigr\}|.

예를 들어, \beth_{\omega2}는 \mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N})), \dots, {A_\omega}, \mathcal{P}({A_\omega}), \mathcal{P}(\mathcal{P}({A_\omega})), \dots의 합집합의 기수이고, \beth_{\omega^2}는 \mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N})), \dots, {A_\omega}, \mathcal{P}({A_\omega}), \mathcal{P}(\mathcal{P}({A_\omega})), \dots, {A_{\omega2}}, \mathcal{P}({A_{\omega2}}), \mathcal{P}(\mathcal{P}({A_{\omega2}})), \dots, {A_{\omega3}}, \mathcal{P}({A_{\omega3}}), \mathcal{P}(\mathcal{P}({A_{\omega3}})), \dots의 합집합의 기수이다.

\beth_\beta보다 작지만 \beth_\alpha (\alpha<\beta)보다 큰 기수는 \beta가 후속 서수일 때 존재할 수 있지만(\beth_{\alpha+1} = 2^{\beth_\alpha}이므로), \beta가 극한 서수일 때는 존재할 수 없다.

폰 노이만 우주 V_{\omega+\alpha}는 기수 \beth_{\alpha}를 갖는다.

5. 1. 베트 0 (Beth null)

\beth_0는 \aleph_0(알레프-0)으로 정의되며, 기수가 \beth_0인 집합은 다음과 같다.[1]

5. 2. 베트 1 (Beth one)

칸토어의 정리에 의해, 앞선 수열의 각 집합은 바로 앞선 집합보다 엄격하게 큰 기수를 갖는다.[1] 기수 \beth_1는 연속체의 기수(\mathfrak{c})와 같으며, 실수 집합의 기수이다.[1]

기수 \beth_1를 가진 집합은 다음과 같다:[1]

  • 초월수
  • 무리수
  • 실수 (\mathbb{R})
  • 복소수 (\mathbb{C})
  • 계산 불가능한 실수
  • 유클리드 공간 (\mathbb{R}^n)
  • 자연수의 멱집합 (2^\mathbb{N}, 자연수의 모든 부분 집합의 집합)
  • 정수의 수열 집합 (\mathbb{Z}^\mathbb{N}, \mathbb{N}에서 \mathbb{Z}로의 모든 함수를 포함)
  • 실수 수열의 집합 (\mathbb{R}^\mathbb{N})
  • \mathbb{R}에서 \mathbb{R}로의 모든 실해석 함수의 집합
  • \mathbb{R}에서 \mathbb{R}로의 모든 연속 함수의 집합
  • 최대 가산 불연속점을 가진 \mathbb{R}에서 \mathbb{R}로의 모든 함수의 집합[2]
  • 실수의 유한 부분 집합 집합
  • \mathbb{C}에서 \mathbb{C}로의 모든 해석 함수의 집합 (정칙 함수)
  • 자연수에서 자연수로의 모든 함수 집합 (\mathbb{N}^\mathbb{N})

5. 3. 베트 2 (Beth two)

연속체의 기수(즉, 실수 집합의 기수)인 \mathfrak{c}와 같은 \beth_1에 이어, 세 번째 베트 수 \beth_2는 연속체의 멱집합의 기수이다.[1] \beth_2(베트 2)는 2^\mathfrak{c}라고도 한다.[1]

기수 \beth_2를 갖는 집합은 다음과 같다.[1]

  • 실수 집합의 멱집합, 즉, 실수선의 부분 집합의 수 또는 실수 집합의 수[1]
  • 자연수 집합의 멱집합의 멱집합[1]
  • \mathbb{R}에서 \mathbb{R}로의 모든 함수의 집합(\mathbb{R}^\mathbb{R})[1]
  • \mathbb{R}^m에서 \mathbb{R}^n으로의 모든 함수의 집합[1]
  • 셀 수 없이 많은 불연속점을 갖는 \mathbb{R}에서 \mathbb{R}로의 모든 함수의 집합[2]
  • 자연수 집합에서 자신으로의 모든 함수의 집합의 멱집합, 즉, 자연수 수열의 집합의 수[1]
  • \mathbb{R}, \mathbb{Q}, \mathbb{N}의 스톤-체흐 콤팩트화[1]
  • \mathbb{R}^n의 결정적 프랙탈 집합[3]
  • \mathbb{R}^n의 임의의 프랙탈 집합.[4]

5. 4. 베트 오메가 (Beth omega)

בֵּית‎|베트 오메가he[1]는 가장 작은 비가산 강한 극한 기수이다. 즉,

:\beth_\omega = \sup \Bigl\{ \beth_{\alpha} : \alpha < \omega \Bigr\}.

여기서 ω는 가장 작은 무한 서수 또는 자연수 집합의 순서형이다. 따라서,

:\beth_\omega = |\bigcup \Bigl\{ A_{\alpha} : \alpha < \omega \Bigr\}|.

예를 들어,

:\beth_\omega는 \bigcup \Bigl\{\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N})), \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))), \dots \Bigr\}의 기수이다. 여기서,

  • \mathbb{N}은 자연수 집합,
  • \mathcal{P}(\mathbb{N})은 자연수 집합의 멱집합,
  • \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))은 자연수 집합의 멱집합의 멱집합이다.


부분은 삭제함. (의미가 중복되고, 일반 독자에게 불필요하게 어려운 표현)

6. 일반화

순서수 \alpha 및 기수 \kappa에 대하여, 일반화된 '''베트 수''' \beth_\alpha(\kappa)는 초한귀납법으로 정의된다.[1]


  • \beth_0(\kappa)=\kappa
  • \beth_{\alpha+1}(\kappa)=2^{\beth_\alpha(\kappa)}
  • 극한 순서수 \lambda에 대하여, \beth_\lambda(\kappa)=\sup\{\beth_\alpha(\kappa)\colon\alpha<\lambda\}


만약 \kappa를 생략할 경우, \kappa=\aleph_0을 의미한다. 즉,

:\beth_\alpha=\beth_\alpha(\aleph_0)

이다.

체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)에서 임의의 기수 \kappa와 \mu에 대해,

:\kappa \le \beth_\alpha(\mu)

인 서수 \alpha가 존재한다.

그리고 ZF에서 임의의 기수 \kappa와 서수 \alpha와 \beta에 대해:

:\beth_\beta(\beth_\alpha(\kappa)) = \beth_{\alpha+\beta}(\kappa)

이다.

결과적으로, ZF에서 원소-집합이 없고, 선택 공리의 유무에 관계없이, 임의의 기수 \kappa와 \mu에 대해, 등식

:\beth_\beta(\kappa) = \beth_\beta(\mu)

는 충분히 큰 모든 서수 \beta에 대해 성립한다. 즉, 이 등식이 모든 서수 \beta \geq \alpha에 대해 성립하는 서수 \alpha가 존재한다.

참조

[1] 서적 Set Theory Springer
[2] 논문 A classification of elements of function space F(R,R)
[3] 논문 A generalization of the Hausdorff dimension theorem for deterministic fractals
[4] 논문 The second generalization of the Hausdorff dimension theorem for random fractals
[5] 웹사이트 Borel Determinacy Does Not Require Replacement https://golem.ph.ute[...] The University of Texas at Austin 2021-07-23
[6] 서적 Set Theory Springer


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