베트 수

1. 개요

베트 수는 순서수와 기수를 사용하여 정의되는 기수이며, 칸토어의 정리에 의해 항상 증가한다. 베트 수는 알레프 수와 관련이 있으며, 일반화 연속체 가설은 베트 수의 수열이 알레프 수의 수열과 같다고 주장한다. 베트 수는 0, 1, 2, 오메가 등 다양한 값을 가지며, 각 값에 해당하는 집합의 예시가 존재한다. 일반화된 베트 수 $\backslash beth\_\backslash alpha(\backslash kappa)$는 서수 $\backslash alpha$와 기수 $\backslash kappa$에 대해 정의되며, 체르멜로-프렝켈 집합론에서 다양한 성질을 가진다.

2. 정의

순서수 \(\alpha\) 및 기수 \(\kappa\)에 대하여, 베트 수 \(\beth_\alpha(\kappa)\)는 다음과 같이 초한귀납법으로 정의된다.

* \(\beth_0(\kappa) = \kappa\)
* \(\beth_{\alpha+1}(\kappa) = 2^{\beth_\alpha(\kappa)}\)
* 극한 순서수 \(\lambda\)에 대하여, \(\beth_\lambda(\kappa) = \sup\{\beth_\alpha(\kappa) \colon \alpha < \lambda\}\)

만약 \(\kappa\)를 생략할 경우, \(\kappa = \aleph_0\)을 의미한다. 즉,

:\(\beth_\alpha = \beth_\alpha(\aleph_0)\)

이다.

좀 더 자세하게는 초한 재귀에 의해 다음과 같이 정의된다.

* \(\beth_0 = \aleph_0\)
* \(\beth_{\alpha+1} = 2^{\beth_\alpha}\)
* \(\beth_\lambda = \sup\{\beth_\alpha : \alpha < \lambda\}\)

여기서 \(\alpha\)는 순서수이고 \(\lambda\)는 극한 순서수이다.

기수 \(\beth_0 = \aleph_0\)는 자연수 전체의 집합 \(\mathbb{N}\)과 같은 임의의 가산 무한 집합의 기수이므로 \(\beth_0 = |\mathbb{N}|\)이다.

\(\alpha\)를 순서수라고 하고, \(A_\alpha\)를 기수 \(\beth_\alpha = |A_\alpha|\)를 갖는 집합이라고 하면 다음과 같다.

* \(\mathcal{P}(A_\alpha)\)는 \(A_\alpha\)의 멱집합(즉, \(A_\alpha\)의 모든 부분 집합의 집합)이다.
* 집합 \(2^{A_\alpha} \subset \mathcal{P}(A_\alpha \times 2)\)는 \(A_\alpha\)에서 \(\{0, 1\}\)로의 모든 함수 집합을 나타낸다.
* 기수 \(2^{\beth_\alpha}\)는 기수의 멱의 결과이다.
* \(\beth_{\alpha+1} = 2^{\beth_\alpha} = \left| 2^{A_\alpha} \right| = |\mathcal{P}(A_\alpha)|\)는 \(A_\alpha\)의 멱집합의 기수이다.

이 정의에 따르면,

:\(\beth_0, \beth_1, \beth_2, \beth_3, \dots\)

는 각각 다음의 기수이다.

:\(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N})), \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))), \dots\)

따라서 두 번째 베트 수 \(\beth_1\)은 \(\mathfrak{c}\)와 같으며, 이는 연속체 농도 (즉, 실수 집합의 기수)이고, 세 번째 베트 수 \(\beth_2\)는 연속체의 멱집합의 기수이다.

칸토어의 정리에 의해, 앞선 수열의 각 집합은 바로 앞선 집합보다 엄격하게 큰 기수를 갖는다. 무한 극한 순서수 \(\lambda\)에 대해, 해당 베트 수는 \(\lambda\)보다 엄격하게 작은 모든 순서수에 대한 베트 수의 상한으로 정의된다.

:\(\beth_\lambda = \sup \{\beth_{\alpha} : \alpha < \lambda \}\)

이 정의는 다음과 동일하다.

:\(\beth_\lambda = |\bigcup \{A_{\alpha} : \alpha < \lambda \}|\)

3. 성질

칸토어의 정리에 따라, 베트 수들은 항상 증가한다. 즉, 모든 순서수 $\backslash alpha$에 대하여, 가 성립한다.

또한, 베트 수는 같은 차수의 알레프 수보다 작지 않다.

:$\backslash beth\_\backslash alpha\backslash ge\backslash aleph\_\backslash alpha$

위 식에서 등식이 성립하는지 여부는 일반화 연속체 가설이라고 하며, 이는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다.

연속체 가설은 다음과 동치이다.

:$\backslash beth\_1=\backslash aleph\_1.$

일반화 연속체 가설은 이렇게 정의된 베트 수의 수열이 알레프 수의 수열과 같다고 말한다. 즉, 모든 순서수 $\backslash alpha$에 대해

:$\backslash beth\_\backslash alpha\; =\; \backslash aleph\_\backslash alpha$

이다.

선택 공리를 가정하면, 무한 기수들은 전순서 집합을 이룬다. 즉, 기수 두 개는 반드시 비교 가능하다. 따라서 정의에 의해 $\backslash aleph\_0$과 $\backslash aleph\_1$ 사이에 무한 기수가 없으므로 다음이 성립한다.

:$\backslash beth\_1\; \backslash ge\; \backslash aleph\_1.$

이 논증을 반복하면(초한 귀납법 참조) 모든 서수 $\backslash alpha$에 대해

:$\backslash beth\_\backslash alpha\; \backslash ge\; \backslash aleph\_\backslash alpha$

이다.

4. 알레프 수와의 관계

칸토어의 정리에 따라, 베트 수는 항상 증가한다. 즉, 모든 순서수 $\backslash alpha$에 대하여,
:
이다. 또한, 베트 수는 같은 차수의 알레프 수보다 작지 않다.
:$\backslash beth\_\backslash alpha\backslash ge\backslash aleph\_\backslash alpha$
선택 공리를 가정하면, 무한 기수들은 전순서 집합을 이룬다. 따라서 정의에 의해 $\backslash aleph\_0$과 $\backslash aleph\_1$ 사이에 무한 기수가 없으므로 다음이 성립한다.
:$\backslash beth\_1\; \backslash ge\; \backslash aleph\_1.$
이 논증을 반복하면(초한 귀납법 참조) 모든 서수 $\backslash alpha$에 대해 $\backslash beth\_\backslash alpha\; \backslash ge\; \backslash aleph\_\backslash alpha$를 얻는다.

연속체 가설은 다음과 동치이다.
:$\backslash beth\_1=\backslash aleph\_1.$

일반화된 연속체 가설은 이렇게 정의된 베트 수의 수열이 알레프 수의 수열과 같다고 말한다. 즉, 모든 서수 $\backslash alpha$에 대해
:$\backslash beth\_\backslash alpha\; =\; \backslash aleph\_\backslash alpha$
이다.

5. 구체적인 예

베트 수는 초한 재귀를 통해 다음과 같이 정의된다.

* $\backslash beth\_0\; =\; \backslash aleph\_0$
* $\backslash beth\_\{\backslash alpha+1\}\; =\; 2^\{\backslash beth\_\backslash alpha\}$
*

여기서 $\backslash alpha$는 서수이고, $\backslash lambda$는 극한 서수이다.

$\backslash beth\_0\; =\; \backslash aleph\_0$는 가산 무한 집합의 기수이므로, $\backslash beth\_0\; =\; |\backslash mathbb\{N\}|$이다.

$A\_\backslash alpha$를 기수 $\backslash beth\_\backslash alpha\; =\; |A\_\backslash alpha|$를 갖는 집합이라고 하면, $\backslash mathcal\{P\}(A\_\backslash alpha)$는 $A\_\backslash alpha$의 멱집합($A\_\backslash alpha$의 모든 부분 집합의 집합)이고, $2^\{A\_\backslash alpha\}\; \backslash subset\; \backslash mathcal\{P\}(A\_\backslash alpha\; \backslash times\; 2)$는 $A\_\backslash alpha$에서 $\backslash \{0,\; 1\backslash \}$로의 모든 함수 집합이며, $2^\{\backslash beth\_\backslash alpha\}$는 기수 지수의 결과이고, $\backslash beth\_\{\backslash alpha+1\}\; =\; 2^\{\backslash beth\_\backslash alpha\}\; =\; \backslash left|\; 2^\{A\_\backslash alpha\}\; \backslash right|\; =\; |\backslash mathcal\{P\}(A\_\backslash alpha)|$는 $A\_\backslash alpha$의 멱집합의 기수이다.

이 정의에 따르면,

:$\backslash beth\_0,\; \backslash beth\_1,\; \backslash beth\_2,\; \backslash beth\_3,\; \backslash dots$

는 각각 다음의 기수를 가진다.

:$\backslash mathbb\{N\},\; \backslash mathcal\{P\}(\backslash mathbb\{N\}),\; \backslash mathcal\{P\}(\backslash mathcal\{P\}(\backslash mathbb\{N\})),\; \backslash mathcal\{P\}(\backslash mathcal\{P\}(\backslash mathcal\{P\}(\backslash mathbb\{N\}))),\; \backslash dots$

칸토어의 정리에 의해, 앞선 수열의 각 집합은 바로 앞선 집합보다 엄격하게 큰 기수를 갖는다.

무한 극한 서수 $\backslash lambda$에 대해, 해당 베트 수는 $\backslash lambda$보다 엄격하게 작은 모든 서수에 대한 베트 수의 상한으로 정의된다.

:

이는 다음과 동일하다.

:

예를 들어, $\backslash beth\_\{\backslash omega2\}$는 $\backslash mathbb\{N\},\; \backslash mathcal\{P\}(\backslash mathbb\{N\}),\; \backslash mathcal\{P\}(\backslash mathcal\{P\}(\backslash mathbb\{N\})),\; \backslash dots,\; \{A\_\backslash omega\},\; \backslash mathcal\{P\}(\{A\_\backslash omega\}),\; \backslash mathcal\{P\}(\backslash mathcal\{P\}(\{A\_\backslash omega\})),\; \backslash dots$의 합집합의 기수이고, $\backslash beth\_\{\backslash omega^2\}$는 $\backslash mathbb\{N\},\; \backslash mathcal\{P\}(\backslash mathbb\{N\}),\; \backslash mathcal\{P\}(\backslash mathcal\{P\}(\backslash mathbb\{N\})),\; \backslash dots,\; \{A\_\backslash omega\},\; \backslash mathcal\{P\}(\{A\_\backslash omega\}),\; \backslash mathcal\{P\}(\backslash mathcal\{P\}(\{A\_\backslash omega\})),\; \backslash dots,\; \{A\_\{\backslash omega2\}\},\; \backslash mathcal\{P\}(\{A\_\{\backslash omega2\}\}),\; \backslash mathcal\{P\}(\backslash mathcal\{P\}(\{A\_\{\backslash omega2\}\})),\; \backslash dots,$ $\{A\_\{\backslash omega3\}\},\; \backslash mathcal\{P\}(\{A\_\{\backslash omega3\}\}),\; \backslash mathcal\{P\}(\backslash mathcal\{P\}(\{A\_\{\backslash omega3\}\})),\; \backslash dots$의 합집합의 기수이다.

$\backslash beth\_\backslash beta$보다 작지만 $\backslash beth\_\backslash alpha$ ()보다 큰 기수는 $\backslash beta$가 후속 서수일 때 존재할 수 있지만($\backslash beth\_\{\backslash alpha+1\}\; =\; 2^\{\backslash beth\_\backslash alpha\}$이므로), $\backslash beta$가 극한 서수일 때는 존재할 수 없다.

폰 노이만 우주 $V\_\{\backslash omega+\backslash alpha\}$는 기수 $\backslash beth\_\{\backslash alpha\}$를 갖는다.

5.1. 베트 0 (Beth null)

$\backslash beth\_0$는 $\backslash aleph\_0$(알레프-0)으로 정의되며, 기수가 $\backslash beth\_0$인 집합은 다음과 같다.

* 자연수 $\backslash mathbb\{N\}$
* 유리수 $\backslash mathbb\{Q\}$
* 대수적 수 $\backslash mathbb\{A\}$
* 계산 가능 수 및 계산 가능 집합
* 정수, 유리수, 또는 대수적 수의 유한 집합
* 유한 멀티셋
* 정수의 유한 수열

5.2. 베트 1 (Beth one)

칸토어의 정리에 의해, 앞선 수열의 각 집합은 바로 앞선 집합보다 엄격하게 큰 기수를 갖는다. 기수 $\backslash beth\_1$는 연속체의 기수($\backslash mathfrak\{c\}$)와 같으며, 실수 집합의 기수이다.

기수 $\backslash beth\_1$를 가진 집합은 다음과 같다:

* 초월수
* 무리수
* 실수 ($\backslash mathbb\{R\}$)
* 복소수 ($\backslash mathbb\{C\}$)
* 계산 불가능한 실수
* 유클리드 공간 ($\backslash mathbb\{R\}^n$)
* 자연수의 멱집합 ($2^\backslash mathbb\{N\}$, 자연수의 모든 부분 집합의 집합)
* 정수의 수열 집합 ($\backslash mathbb\{Z\}^\backslash mathbb\{N\}$, $\backslash mathbb\{N\}$에서 $\backslash mathbb\{Z\}$로의 모든 함수를 포함)
* 실수 수열의 집합 ($\backslash mathbb\{R\}^\backslash mathbb\{N\}$)
* $\backslash mathbb\{R\}$에서 $\backslash mathbb\{R\}$로의 모든 실해석 함수의 집합
* $\backslash mathbb\{R\}$에서 $\backslash mathbb\{R\}$로의 모든 연속 함수의 집합
* 최대 가산 불연속점을 가진 $\backslash mathbb\{R\}$에서 $\backslash mathbb\{R\}$로의 모든 함수의 집합
* 실수의 유한 부분 집합 집합
* $\backslash mathbb\{C\}$에서 $\backslash mathbb\{C\}$로의 모든 해석 함수의 집합 (정칙 함수)
* 자연수에서 자연수로의 모든 함수 집합 ($\backslash mathbb\{N\}^\backslash mathbb\{N\}$)

5.3. 베트 2 (Beth two)

연속체의 기수(즉, 실수 집합의 기수)인 $\backslash mathfrak\{c\}$와 같은 $\backslash beth\_1$에 이어, 세 번째 베트 수 $\backslash beth\_2$는 연속체의 멱집합의 기수이다. $\backslash beth\_2$(베트 2)는 $2^\backslash mathfrak\{c\}$라고도 한다.

기수 $\backslash beth\_2$를 갖는 집합은 다음과 같다.

* 실수 집합의 멱집합, 즉, 실수선의 부분 집합의 수 또는 실수 집합의 수
* 자연수 집합의 멱집합의 멱집합
* $\backslash mathbb\{R\}$에서 $\backslash mathbb\{R\}$로의 모든 함수의 집합($\backslash mathbb\{R\}^\backslash mathbb\{R\}$)
* $\backslash mathbb\{R\}^m$에서 $\backslash mathbb\{R\}^n$으로의 모든 함수의 집합
* 셀 수 없이 많은 불연속점을 갖는 $\backslash mathbb\{R\}$에서 $\backslash mathbb\{R\}$로의 모든 함수의 집합
* 자연수 집합에서 자신으로의 모든 함수의 집합의 멱집합, 즉, 자연수 수열의 집합의 수
* $\backslash mathbb\{R\}$, $\backslash mathbb\{Q\}$, $\backslash mathbb\{N\}$의 스톤-체흐 콤팩트화
* $\backslash mathbb\{R\}^n$의 결정적 프랙탈 집합
* $\backslash mathbb\{R\}^n$의 임의의 프랙탈 집합.

5.4. 베트 오메가 (Beth omega)

בֵּית‎^히브리어는 가장 작은 비가산 강한 극한 기수이다. 즉,
:
여기서 ω는 가장 작은 무한 서수 또는 자연수 집합의 순서형이다. 따라서,
:
예를 들어,
:$\backslash beth\_\backslash omega$는 $\backslash bigcup\; \backslash Bigl\backslash \{\backslash mathbb\{N\},\; \backslash mathcal\{P\}(\backslash mathbb\{N\}),\; \backslash mathcal\{P\}(\backslash mathcal\{P\}(\backslash mathbb\{N\})),\; \backslash mathcal\{P\}(\backslash mathcal\{P\}(\backslash mathcal\{P\}(\backslash mathbb\{N\}))),\; \backslash dots\; \backslash Bigr\backslash \}$의 기수이다. 여기서,
*$\backslash mathbb\{N\}$은 자연수 집합,
*$\backslash mathcal\{P\}(\backslash mathbb\{N\})$은 자연수 집합의 멱집합,
*$\backslash mathcal\{P\}(\backslash mathcal\{P\}(\backslash mathbb\{N\}))$은 자연수 집합의 멱집합의 멱집합이다.

부분은 삭제함. (의미가 중복되고, 일반 독자에게 불필요하게 어려운 표현)

6. 일반화

순서수 $\backslash alpha$ 및 기수 $\backslash kappa$에 대하여, 일반화된 베트 수 $\backslash beth\_\backslash alpha(\backslash kappa)$는 초한귀납법으로 정의된다.

* $\backslash beth\_0(\backslash kappa)=\backslash kappa$
* $\backslash beth\_\{\backslash alpha+1\}(\backslash kappa)=2^\{\backslash beth\_\backslash alpha(\backslash kappa)\}$
* 극한 순서수 $\backslash lambda$에 대하여,

만약 $\backslash kappa$를 생략할 경우, $\backslash kappa=\backslash aleph\_0$을 의미한다. 즉,

:$\backslash beth\_\backslash alpha=\backslash beth\_\backslash alpha(\backslash aleph\_0)$

이다.

체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)에서 임의의 기수 $\backslash kappa$와 $\backslash mu$에 대해,

:$\backslash kappa\; \backslash le\; \backslash beth\_\backslash alpha(\backslash mu)$

인 서수 $\backslash alpha$가 존재한다.

그리고 ZF에서 임의의 기수 $\backslash kappa$와 서수 $\backslash alpha$와 $\backslash beta$에 대해:

:$\backslash beth\_\backslash beta(\backslash beth\_\backslash alpha(\backslash kappa))\; =\; \backslash beth\_\{\backslash alpha+\backslash beta\}(\backslash kappa)$

이다.

결과적으로, ZF에서 원소-집합이 없고, 선택 공리의 유무에 관계없이, 임의의 기수 $\backslash kappa$와 $\backslash mu$에 대해, 등식

:$\backslash beth\_\backslash beta(\backslash kappa)\; =\; \backslash beth\_\backslash beta(\backslash mu)$

는 충분히 큰 모든 서수 $\backslash beta$에 대해 성립한다. 즉, 이 등식이 모든 서수 $\backslash beta\; \backslash geq\; \backslash alpha$에 대해 성립하는 서수 $\backslash alpha$가 존재한다.