기하 마방진
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1. 개요
기하 마방진은 덧셈 마방진을 일반화한 개념으로, 에두아르 뤼카의 공식을 기하학적으로 해석하여 탄생했다. 모든 덧셈 마방진은 기하 마방진의 특별한 경우이며, 1차원 기하 마방진은 전통적인 마방진을 포함한다. 기하 마방진은 완전 탐색, 대수적 템플릿 등의 방법으로 구성할 수 있으며, 팬마방진, 자기 타일링 타일 세트, 자기 맞물림 기하 마방진과 같은 특수한 형태가 존재한다. 기하 마방진은 2014년 마카오 우표에 등장하는 등 대중문화에도 영향을 미쳤다.
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| 기하 마방진 | |
|---|---|
| 기하 마방진 | |
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| 정의 | |
| 유형 | 마방진 |
| 분야 | 조합론적 기하학 |
| 관련 개념 | 마방진, 수도쿠 |
| 속성 | |
| 설명 | 숫자를 사용하는 대신 기하학적 도형을 사용 |
| 특징 | 각 행과 열, 대각선에 있는 도형들의 합이 동일한 도형이 되도록 구성 |
| 예시 | 사각형, 원, 삼각형 등의 도형을 사용하여 구성 |
2. 역사
수학자 에두아르 뤼카는 모든 3×3 마방진의 구조를 설명하는 잘 알려진 공식을 제시했다.[2] 이 분야에서 독창적인 연구를 수행한 토마스 샐로우스는[3] 뤼카 공식에 숨겨진 잠재력이 있을 것이라고 오랫동안 추측해 왔다.[4] 1997년, 샐로우스는 복소수를 사용하는 제곱을 연구한 짧은 논문을 발표하여 이러한 추측을 확증했는데, 이 방법은 모든 3×3 마방진을 복소 평면상의 고유한 평행사변형과 연관시키는 새로운 정리를 이끌어냈다.[5] 같은 맥락에서 결정적인 다음 단계는 뤼카 공식의 변수를 기하학적 형태로 해석하는 것이었는데, 이는 기하 마방진의 개념으로 직접 이어진 기발한 아이디어였다.[6]
이 발견은 다른 연구자들의 주목을 받았다. 레크리에이션 수학 저널의 공동 편집자인 찰스 애시바처는 이 발견으로 마방진 분야가 "극적으로 확장"되었다고 평가했다.[7] 런던 수학회의 화이트헤드 상 수상자이자 오일러 메달 공동 수상자인 피터 캐머런은 기하 마방진을 "수학자가 아닌 사람들을 기쁘게 하고 수학자들에게 생각할 거리를 제공하는 훌륭한 새로운 레크리에이션 수학"이라고 칭찬했다.[8] 수학 작가 알렉스 벨로스는 "수천 년 동안 마방진을 연구한 후에 이런 것을 생각해 낸 것은 꽤 놀라운 일"이라고 언급했다.[9] 피터 캐머런은 기하 마방진이 퍼즐 연구 외 다른 분야에도 적용될 가능성이 있다며 "이것으로 하고 싶은 많은 것을 즉시 알 수 있습니다."라고 덧붙였다.[9]
2. 1. 전통적인 마방진과의 관계
흔히 '기하 마방진'을 특정 종류의 마방진으로 생각하기 쉽지만, 이는 사실과 다르다. 오히려 모든 전통적인 마방진(덧셈 마방진)은 기하 마방진의 한 종류로 볼 수 있다. 하지만 모든 기하 마방진이 전통적인 마방진인 것은 아니다. 이러한 관계는 장폴 들라예가 Scientific American의 프랑스어 버전인 ''Pour la Science''에 기고한 글에서 제시한 아래 예시를 통해 명확히 이해할 수 있다.[11] 이 예시에서 오른쪽에 제시된 기하 마방진의 목표 "모양"은 단순히 길이가 15인 1차원 선분이며, 각 칸의 조각 역시 직선 선분이다. 즉, 오른쪽 기하 마방진은 왼쪽에 있는 수치 마방진을 기하학적으로 직접 변환한 것이다.{|
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기하 마방진을 만드는 쉬운 방법은 아직 알려져 있지 않으며, 예외적인 경우를 제외하고는 알려진 방법이 거의 없다.[10] 현재까지 주로 두 가지 접근 방식이 탐구되었다.[10]
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들라예는 "이 예시는 기하 마방진 개념이 마방진을 일반화한다는 것을 보여준다. 여기서의 결과는 그다지 특별하지 않지만, 다행히도 이러한 변환의 결과가 아닌 다른 기하 마방진도 존재한다."라고 설명한다.[11][12]
핵심은 모든 수치 마방진이 위와 같이 1차원 기하 마방진으로 해석될 수 있다는 점이다. 샐로우스는 "숫자를 특징으로 하는 전통적인 마방진은 요소가 모두 일차원인 '기하' 마방진의 특별한 경우로 드러난다"라고 언급했다.[13] 하지만 이것이 1차원 기하 마방진의 전부는 아니다. 왜냐하면 구성 요소가 ''분리된'' 선분으로 이루어져 있어 어떤 수치 마방진으로도 표현할 수 없는 1차원 기하 마방진도 존재하기 때문이다. 따라서 1차원 기하 마방진만 고려하더라도, 전통적인 유형은 전체 기하 마방진 중에서 매우 작은 부분 집합에 불과하다.
3. 구성 방법
첫 번째 방법은 사용될 조각이 반복되는 단위로 구성된 다각형이나 특정 모양일 경우, 컴퓨터를 이용하여 가능한 모든 조합을 탐색하는 완전 탐색 방법이다.
두 번째 방법은 모든 조각이 동일한 단순한 기하 마방진에서 시작하여, 마방진의 기본 성질을 유지하면서 각 조각의 모양을 대수적 템플릿을 이용해 서로 다르게 수정하는 방식이다.
3. 1. 완전 탐색
기하 마방진을 만드는 쉬운 방법은 아직 알려지지 않았으며, 예외적인 경우를 제외하고는 알려진 방법이 거의 없다.[10] 현재까지 두 가지 접근 방식이 탐구되었는데,[10] 그중 하나는 사용될 조각이 반복되는 단위로 구성된 다각형이나 모양일 경우 컴퓨터를 이용한 완전 탐색이다.
예를 들어, 먼저 사용할 조각의 크기(모두 같다면 해당 크기)와 목표하는 모양을 결정한다. 초기 프로그램은 주어진 조각들(예: 3개의 서로 다른 데코미노, 즉 크기가 10인 폴리오미노)로 목표 모양을 만들 수 있는 모든 가능한 타일링 조합의 목록 ''L''을 생성할 수 있다. 각 데코미노는 고유한 정수로 표현되므로, ''L''은 정수 세 개로 이루어진 묶음(삼중항)들의 목록이 된다. 다음 단계의 프로그램은 서로 다른 세 개의 삼중항으로 구성된 모든 조합을 차례로 검사한다. 이 검사는 후보 삼중항들을 3 × 3 정사각형의 행으로 배치한 뒤, 이렇게 형성된 각 열과 대각선에 있는 세 개의 정수 묶음 또한 목록 ''L''에 포함되는지(즉, 목표 타일링 조합인지) 확인하는 방식으로 이루어진다. 만약 모든 행, 열, 대각선이 ''L''에 있는 삼중항이라면, 9개의 데코미노와 선택된 목표 모양을 사용하는 3 × 3 기하 마방진이 만들어진 것이다. 이 방법으로 마방진을 찾지 못하면 다른 목표 모양으로 다시 시도할 수 있다. 동일한 방법의 개선된 버전을 사용하여 더 큰 정사각형이나 크기가 다른 조각을 포함하는 마방진을 찾는 것도 가능하다.
3. 2. 대수적 템플릿
대수적 템플릿을 이용하는 구성 방법은 모든 조각이 같은 모양인 단순한 기하 마방진에서 시작한다. 그 다음, 마방진의 마법적 성질을 유지하면서 각 조각을 서로 다르게 만들기 위해 모양을 수정한다. 이는 아래 제시된 대수적 템플릿을 사용하여 이루어지며, 템플릿의 개별 변수는 해당 부호에 따라 초기 조각에 더하거나 빼야 하는 서로 다른 모양으로 해석된다.
그림 4는 템플릿의 기하학적 해석을 보여준다. 여기서 ''k''는 작은 정사각형 모양으로 해석되고, ''a'', ''b'', ''c'', ''d''는 (+) 돌출부와 (-) 들여쓰기를 나타내어 16개의 서로 다른 직소 퍼즐 조각을 만든다.
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