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달꼴 (기하학)

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목차

1. 개요

달꼴은 기하학에서 초승달 모양의 도형을 의미한다. 히오스의 히포크라테스는 모든 달꼴에 대해 같은 면적을 갖는 정사각형의 작도가 가능함을 증명했다. 히포크라테스는 자와 컴퍼스를 사용하여 히포크라테스의 달꼴과 다른 두 개의 달꼴을 정확하게 제곱할 수 있음을 증명했다. 1766년 다니엘 빈퀴스트는 기하학적으로 제곱 가능한 다섯 개의 달꼴을 모두 열거했으며, 1933년과 1947년 니콜라이 체보타료프와 아나톨리 도로드노프는 이 다섯 개가 유일하게 제곱 가능한 달꼴임을 증명했다. 달꼴의 면적은 반지름과 중심 사이의 거리를 이용하여 계산할 수 있다.

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달꼴 (기하학)

2. 역사

달꼴을 같은 면적의 정사각형으로 변환하는, 이른바 '제곱' 문제는 고대 그리스 시대부터 시작되어 근대에 이르기까지 여러 수학자들의 주요 관심사였다. 초기 연구는 히오스의 히포크라테스에 의해 이루어졌으며, 이후 이슬람 황금기를 거쳐 오일러와 같은 근대 수학자들에 의해 깊이 연구되어, 제곱 가능한 달꼴의 종류가 최종적으로 밝혀졌다.[3][1]

2. 1. 고대 그리스

히오스의 히포크라테스는 (의학의 선구자인 히포크라테스와는 다른 인물이다) 모든 달꼴에 대해 같은 면적을 갖는 정사각형의 작도가 가능함을 증명했다고 알려져 있다. 구체적으로 기원전 5세기경, 그는 히포크라테스의 달꼴과 다른 두 개의 특정 달꼴들을 자와 컴퍼스만을 사용하여 같은 면적의 정사각형으로 변환(정확하게 제곱)할 수 있음을 보였다.[3][1]

2. 2. 근대 유럽

고대 그리스의 수학자 히포크라테스가 히포크라테스의 달꼴을 포함한 세 종류의 달꼴을 자와 컴퍼스만으로 넓이가 같은 정사각형으로 만들 수 있음을 증명한 이후, 달꼴에 대한 연구는 계속되었다. 약 1000년 경 이슬람 황금기의 학자 알하젠은 자신이 발견한 달꼴 쌍을 이용하여 원을 제곱하려는 시도를 하기도 했다.[3][1]

근대 유럽에 들어와서도 달꼴 연구는 이어졌다. 1766년 핀란드의 수학자 다니엘 빈퀴스트는 다니엘 베르누이의 연구를 인용하며, 히포크라테스가 발견한 것 외에 추가적인 달꼴들을 포함하여 자와 컴퍼스로 넓이가 같은 정사각형을 만들 수 있는 달꼴 다섯 종류를 모두 제시했다. 이후 1771년 저명한 수학자 레온하르트 오일러는 달꼴 문제에 대한 일반적인 접근법을 개발하고 관련 방정식을 유도했다. 마침내 1933년과 1947년에 걸쳐 러시아의 수학자 니콜라이 체보타료프와 그의 제자 아나톨리 도로드노프가 빈퀴스트가 제시했던 다섯 종류의 달꼴만이 유일하게 자와 컴퍼스로 제곱 가능한 달꼴임을 수학적으로 증명하였다.[3][1]

3. 면적

히오스의 히포크라테스는 모든 달꼴에 대해 같은 면적을 갖는 정사각형의 작도가 가능함을 증명했다.[3] (참고: 의학의 선구자인 히포크라테스와는 다른 인물이다.)

반지름이 ''a''와 ''b''(b>a)이고 중심 사이의 거리가 ''c''인 두 원으로 형성된 달꼴의 면적은 다음과 같다.[3]

:A=2\Delta+a^2\sec^{-1}\left(\frac{2ac}{b^2-a^2-c^2}\right)-b^2\sec^{-1}\left(\frac{2bc}{b^2+c^2-a^2}\right)

여기서 \sec^{-1}는 시컨트 함수의 역함수이고, \Delta는 세 변의 길이가 각각 ''a, b, c''인 삼각형의 넓이로, 다음과 같이 계산된다.

: \Delta= \frac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}

4. 제곱 가능성

히오스의 히포크라테스(의학의 선구자인 히포크라테스와는 다른 인물)는 달꼴을 같은 면적의 정사각형으로 작도하는 문제, 즉 달꼴의 제곱 가능성을 연구한 초기 인물 중 하나이다. 기원전 5세기 경 히포크라테스는 히포크라테스의 달꼴을 포함한 세 종류의 달꼴을 자와 컴퍼스만을 사용하여 정확하게 제곱(같은 면적을 가진 정사각형으로 변환)할 수 있음을 증명했다. 약 1000년 경 알하젠은 자신의 이름을 딴 달꼴 쌍을 이용하여 원을 제곱하려고 시도하기도 했다. 1766년 핀란드의 수학자 다니엘 빈퀴스트는 다니엘 베르누이의 말을 인용하여, 히포크라테스가 발견한 달꼴에 더해 기하학적으로 제곱 가능한 다섯 개의 달꼴을 모두 열거했다. 1771년에는 레온하르트 오일러가 일반적인 접근 방식을 제시하고 문제에 대한 특정 방정식을 얻었다. 최종적으로 1933년과 1947년에 니콜라이 체보타료프와 그의 제자 아나톨리 도로드노프는 이 다섯 개가 유일하게 제곱 가능한 달꼴임을 증명했다.[3][1]

참조

[1] 서적 A history of analysis https://www.worldcat[...] American Mathematical Society 2003
[2] 웹사이트 Google Groups https://groups.googl[...] 2015-12-27
[3] 웹사이트 Lune Lune


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