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드 브루인-뉴먼 상수

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목차

1. 개요

드 브루인-뉴먼 상수는 특정 함수의 실수 근에 대한 연구에서 나타나는 수학 상수이다. 1950년 드 브루인은 이 상수가 1/2보다 작거나 같다는 것을 증명했고, 1976년 뉴먼은 상수의 존재를 증명하고 0보다 크거나 같을 것이라고 추측했다. 2018년 브래드 로저스와 테렌스 타오에 의해 뉴먼의 추측이 증명되었다. 상한은 2020년 0.2까지 개선되었으며, 하한은 2018년 0으로 밝혀졌다.

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드 브루인-뉴먼 상수
일반 정보
이름드 브루인-뉴먼 상수
로마자 표기De Beuruin-Nyuman Sangsu
영어 이름de Bruijn–Newman constant
값
현재 최상의 범위-2.7 × 10^-26 ≤ Λ ≤ -3.834 × 10^-9
이전 범위Λ < -0.385
-5.9 × 10^-6 ≤ Λ ≤ 2 × 10^-6
-9.2 × 10^-9 ≤ Λ ≤ -2.2 × 10^-9
더 나은 하한-2.7 × 10^-26
더 나은 상한-3.834 × 10^-9
정의
정의Λ는 다음 방정식을 충족하는 실수이다. H(z) = ∫0 ∞ e^(−Λt) Φ(t) cos(zt) dt
여기서H(z) = (1/8)z^4Φ(z)
Φ(t)는 다음과 같다. Φ(t) = ∫0 ∞ e^(t(1 − cos(z))/z^2) (z/sinh z) dz
성질
성질Λ ≥ 0이라면, 리만 가설은 거짓이다.
Λ ≤ 0이라면, 리만 가설은 참이다.
모든 실수 z에 대해 H(z) ≥ 0이다.
역사
역사1914년, 드 브루인이 모든 충분히 큰 t에 대해 Ht(z)는 실수 z를 가진다는 것을 증명했다.
1973년, 뉴먼은 Λ가 존재한다는 것을 증명했다.
관련 연구드 브루인-뉴먼 상수는 리만 가설과 밀접하게 연관되어 있다.

2. 역사

드 브루인은 1950년에 특정 함수 H의 근에 대한 중요한 성질을 밝혔다.[4] 이후 뉴먼은 1976년에 리만 가설과 관련된 상수 \Lambda의 존재를 증명하고, 이 상수가 0 이상일 것이라 추측했다 (\Lambda\geq 0).[5] 뉴먼의 이 추측은 오랫동안 미해결 문제로 남아 있다가, 40여 년이 지난 2018년에 브래드 로저스와 테렌스 타오에 의해 증명되었다.

2. 1. 드 브루인과 뉴먼의 연구

드 브루인은 1950년에 특정 함수 H가 \lambda\geq 1/2일 때만 실수 근을 가진다는 것을 보였다. 또한, 만약 어떤 \lambda 값에 대해 함수 H가 실수 근만을 가진다면, \lambda 값을 더 큰 값으로 바꾸어도 여전히 함수 H는 실수 근만 가진다는 사실도 증명했다.[4]

이후 뉴먼은 1976년에, 리만 가설이 참이라는 것과 특정 함수 H_λ(z)의 모든 근이 실수라는 것이 동치가 되게 하는 실수 \lambda 값들의 하한으로 정의되는 상수 \Lambda가 실제로 존재함을 증명했다. 이는 상수 \Lambda가 유일하다는 것을 의미한다. 뉴먼은 또한 이 상수 \Lambda가 0 이상일 것이라고 추측했다 (\Lambda\geq 0).[5]

2. 2. 로저스와 타오의 증명 (2018)

찰스 뉴먼은 1976년에 특정 조건을 만족하는 상수 \Lambda가 유일하게 존재함을 증명하였다. 또한 그는 이 상수가 \Lambda\geq 0일 것이라고 추측했다.[5] 이 추측은 오랫동안 미해결 상태로 남아 있었으나, 40여 년이 지난 2018년에 브래드 로저스와 테렌스 타오가 마침내 증명에 성공하였다.

3. 상한

드 브루인이 처음 제시한 상한은 Λ ≤ 1/2이었는데, 2008년에 Ki, Kim, Lee가 Λ < 1/2임을 증명하여 부등식을 엄밀하게 만들기 전까지는 개선되지 않았다.[6]

2018년 12월, 제15차 Polymath 프로젝트는 이 상한을 Λ ≤ 0.22로 개선하였다.[7][8][9] 이 연구 결과는 2019년 4월 말 아카이브(arXiv)에 발표되었고,[10] 같은 해 8월 학술지 'Research In the Mathematical Sciences'에 게재되었다.[11]

이후 2020년 4월, Platt와 Trudgian은 상한을 Λ ≤ 0.2로 좀 더 개선하였다.[12]

4. 역사적 상/하한

드 브루인-뉴먼 상수 Λ의 정확한 값을 밝히기 위해 많은 수학자들이 노력해왔다. 이 과정에서 Λ 값의 범위를 좁히기 위한 연구, 즉 하한(lower bound)과 상한(upper bound)을 추정하는 연구가 꾸준히 진행되었다. 초기 연구에서는 Λ의 하한이 음수일 가능성도 열어두었으나, 점차 0에 가까운 값으로 개선되었다. 상한 역시 드 브루인이 처음 제시한 1/2에서 시작하여 여러 연구를 통해 더 작은 값으로 좁혀졌다.

각 시기별 구체적인 하한 및 상한 값과 이를 밝혀낸 연구자들에 대한 자세한 내용은 아래 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

4. 1. 역사적 하한

역사적 하한
연도Λ에 대한 하한저자
1987−50[13]Csordas, G.; Norfolk, T. S.; Varga, R. S.
1990−5[14]te Riele, H. J. J.
1991−0.0991[15]Csordas, G.; Ruttan, A.; Varga, R. S.
1993−5.895×10−9[16]Csordas, G.; Odlyzko, A.M.; Smith, W.; Varga, R.S.
2000−2.7×10−9[17]Odlyzko, A.M.
2011−1.1×10−11[18]Saouter, Yannick; Gourdon, Xavier; Demichel, Patrick
2018≥ 0[2]Rodgers, Brad; Tao, Terence


4. 2. 역사적 상한

드 브루인이 제시한 상한 \Lambda\le 1/2는 2008년까지 개선되지 않았다.[4] 2008년, Ki, Kim, Lee는 \Lambda< 1/2임을 증명하여 부등식을 엄밀하게 만들었다.[6]

2018년 12월, 제15차 Polymath 프로젝트는 이 상한을 \Lambda\leq 0.22로 개선했다.[7][8][9] Polymath 연구 결과는 2019년 4월 말 아카이브(arXiv)에 제출되었으며,[10] 2019년 8월 학술지 'Research In the Mathematical Sciences'에 게재되었다.[11]

이 상한은 2020년 4월 Platt와 Trudgian에 의해 \Lambda\leq 0.2로 다시 한번 개선되었다.[12]

역사적 상한
연도Λ에 대한 상한저자
1950≤ 1/2[4]de Bruijn, N.G.
2008< 1/2[6]Ki, H.; Kim, Y-O.; Lee, J.
2019≤ 0.22[7]Polymath, D.H.J.
2020≤ 0.2[12]Platt, D.; Trudgian, T.


참조

[1] 웹사이트 The De Bruijn-Newman constant is non-negative https://terrytao.wor[...] 2018-01-19
[2] 간행물 The de Bruijn–Newman Constant is Non-Negative 2020
[3] arXiv A New Proof of Newman's Conjecture and a Generalization 2020
[4] 간행물 The Roots of Triginometric Integrals https://pure.tue.nl/[...]
[5] 간행물 Fourier Transforms with only Real Zeros
[6] 간행물 On the de Bruijn–Newman constant http://web.yonsei.ac[...]
[7] 간행물 Effective approximation of heat flow evolution of the Riemann \xi-function, and an upper bound for the de Bruijn-Newman constant https://github.com/k[...] 2018-12-20
[8] 간행물 Going below \Lambda\leq 0.22? https://terrytao.wor[...] 2018-05-04
[9] 간행물 Zero-free regions http://michaelnielse[...]
[10] arXiv Effective approximation of heat flow evolution of the Riemann ξ function, and a new upper bound for the de Bruijn-Newman constant
[11] 간행물 Effective approximation of heat flow evolution of the Riemann ξ function, and a new upper bound for the de Bruijn-Newman constant
[12] 간행물 The Riemann hypothesis is true up to 3·1012
[13] 간행물 A low bound for the de Bruijn-newman constant Λ 1987-09-01
[14] 간행물 A new lower bound for the de Bruijn-Newman constant 1990-12-01
[15] 간행물 The Laguerre inequalities with applications to a problem associated with the Riemann hypothesis 1991-06-01
[16] 간행물 A new Lehmer pair of zeros and a new lower bound for the De Bruijn–Newman constant Lambda http://www.dtc.umn.e[...] 2012-06-01
[17] 간행물 An improved bound for the de Bruijn–Newman constant
[18] 간행물 An improved lower bound for the de Bruijn–Newman constant
[19] 저널 A new Lehmer pair of zeros and a new lower bound for the De Bruijn–Newman constant Lambda http://www.dtc.umn.e[...] 2012-06-01
[20] 저널 An improved bound for the de Bruijn–Newman constant
[21] 저널 An improved lower bound for the de Bruijn-Newman constant


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