리만 가설

{\log\log t}\le 2e^\gamma

:$\backslash frac\{6\}\{\backslash pi^2\}e^\backslash gamma\backslash le\; \backslash limsup\_\{t\backslash rightarrow\; +\backslash infty\}\backslash frac\{1/|\backslash zeta(1+it)|\}\{\backslash log\backslash log\; t\}\backslash le\; \backslash frac\{12\}\{\backslash pi^2\}e^\backslash gamma$

만약 리만 가설이 참이라면, 소수 사이의 간격은 다음과 같다. 이는 스웨덴의 수학자 하랄드 크라메르(Harald Cramér^sv)가 증명하였다.^[63]

:$\backslash mathcal\; O(\backslash sqrt\; p\backslash ln\; p)$

또한 크라메르는 ''p''까지의 실제 소수의 개수와 log''p''의 차가 ''O''(√''p'' log ''p'')와 같이 점근한다고 추측하였다. 이를 크라메르 추측이라 하며, 이에 대한 상당한 수치적 증거가 존재한다.^[64]

리만 가설에 따르면, 주어진 숫자보다 작은 소수의 개수에 대한 리만 명시적 공식은 리만 제타 함수의 영점에 대한 합으로 표현되며, 소수가 예상 위치 주변에서 진동하는 정도는 제타 함수 영점의 실수 부분에 의해 제어된다. 특히, 소수 정리의 오차항은 영점의 위치와 밀접하게 관련되어 있다. 예를 들어, ''β''가 영점의 실수 부분의 상한인 경우,

$\backslash pi(x)\; -\; \backslash operatorname\{li\}(x)\; =\; O\; \backslash left(\; x^\backslash beta\; \backslash log\; x\; \backslash right)$

이며, 여기서 $\backslash pi(x)$는 소수 계량 함수, $\backslash operatorname\{li\}(x)$는 로그 적분 함수, $\backslash log(x)$는 ''x''의 자연 로그이며, 빅 오 표기법이 사용된다.^[3] 이미 1/2 ≤ ''β'' ≤ 1임이 알려져 있다.

폰 코흐(1901)는 리만 가설이 소수 정리 오차에 대한 "가장 좋은" 경계를 함축한다는 것을 증명했다. 폰 코흐 결과의 정확한 버전은 리만 가설이 다음을 함축한다고 말한다.

:

또한 리만 가설이 다음을 함축한다는 것을 보였다.

:

여기서 $\backslash psi(x)$는 체비쇼프 함수이다.

는 리만 가설이 모든 $x\; \backslash geq\; 2$에 대해 다음을 만족하는 소수 $p$가 존재함을 함축한다는 것을 증명했다.

:.

상수 4/π는 ''x''를 충분히 크게 설정하면 (1 + ''ε'')로 줄일 수 있다. 이것은 크라메르 정리의 명시적 버전이다.

리만 가설은 위에 언급된 소수 개수 함수 외에도 많은 다른 산술 함수의 성장에 대한 강력한 경계를 암시한다.

한 예는 뫼비우스 함수 μ와 관련이 있다. 방정식

:$\backslash frac\{1\}\{\backslash zeta(s)\}\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash mu(n)\}\{n^s\}$

가 실수부가 1/2보다 큰 모든 ''s''에 대해 유효하고, 우변의 합이 수렴한다는 것은 리만 가설과 동치이다. 메르텐스 함수가 다음과 같이 정의된다면

:$M(x)\; =\; \backslash sum\_\{n\; \backslash le\; x\}\; \backslash mu(n)$

다음 주장은

:$M(x)\; =\; O\backslash left(x^\{\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash varepsilon\}\backslash right)$

모든 양수 ε에 대해 리만 가설과 동치이다(J. E. 리틀우드, 1912). 차수 ''n'' 레드헤퍼 행렬의 행렬식은 ''M''(''n'')과 같으므로, 리만 가설은 이러한 행렬식의 성장에 대한 조건으로도 표현할 수 있다. 리만 가설은 ''M''의 성장에 대해 상당히 좁은 범위를 설정하는데, 이는 테 리엘레가 약간 더 강한 메르텐스 추측

:$|M(x)|\; \backslash le\; \backslash sqrt\; x.$

을 반증했기 때문이다.

리만 가설은 μ(''n'') 이외의 다른 산술 함수의 성장률에 대한 여러 추측과 동치이다. 전형적인 예는 로빈의 정리로, σ(''n'')이 시그마 함수로 주어지는 경우

:$\backslash sigma(n)\; =\; \backslash sum\_\{d\backslash mid\; n\}\; d$

다음이 성립한다면

:

모든 ''n'' > 5040에 대해 리만 가설이 참이며, 여기서 ''γ''는 오일러-마스케로니 상수이다.

제프리 라가리아스는 2002년에 리만 가설이 다음 명제와 동치임을 증명했다.

:

모든 자연수 ''n'' > 1에 대해, 여기서 $H\_n$은 ''n''번째 조화수이다.^[8]

또한 리만 가설은 다음 부등식이

:

모든 ''n'' ≥ 120569#에 대해 참인 것과 동치이며, 여기서 ''φ''(''n'')은 오일러의 토션트 함수이고 120569#은 처음 120569개 소수의 곱이다.

제롬 프라넬에 의해 발견되고 란다우에 의해 확장된 정리에 따르면, 리만 가설은 파레이 수열 항의 규칙성을 나타내는 여러 명제와 동치이다. 한 가지 동치는 다음과 같다. ''F''_''n''이 차수 ''n''의 파레이 수열이고 1/''n''부터 1/1까지 시작한다면, 모든 ε > 0에 대해

:$\backslash sum\_\{i=1\}^m|F\_n(i)\; -\; \backslash tfrac\{i\}\{m\}|\; =\; O\backslash left(n^\{\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash epsilon\}\backslash right)$

가 성립한다는 것은 리만 가설과 동치이다. 여기서

:$m\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash varphi(i)$

는 차수 ''n''의 파레이 수열에 있는 항의 개수이다.

군론에서, ''g''(''n'')이 차수 ''n''의 대칭군 ''S''_''n'' 원소의 최대 차수로 주어지는 란다우 함수라면, 리만 가설은 충분히 큰 모든 ''n''에 대해 다음 경계와 동치이다.

:

6. 일반화 및 관련 추측

일반화 리만 가설은 리만 가설을 디리클레 L-함수로 확장한 것이다.^{[65][66][67][68]} 이 가설은 디리클레 L-함수의 모든 자명하지 않은 근의 실수부가 1/2이라는 내용을 담고 있다. χ가 1인 경우는 리만 가설과 동일하다.

대수적 수체와 대수다양체의 유리 함수체는 여러 유사한 성질을 가지며, 공통적으로 대역체로 분류된다. 이러한 유사성을 바탕으로, 대수다양체에 대한 리만 가설을 정의할 수 있는데, 이를 베유 추측이라고 한다. 에밀 아르틴은 2차 함수체에 대한 리만 가설을 제시하였고,^[69] 이는 앙드레 베유가 증명하였다.^[70] 베유는 이를 바탕으로 1949년에 모든 대수다양체에 대한 추측을 제시하였으며,^[71] 이는 피에르 들리뉴에 의해 증명되었다.^[72][73]

함수체 위에 정의되는 고스 제타 함수(Goss zeta function^영어)에 대한 리만 가설 역시 증명되었다.^[74]

정수환 위의 임의의 유한형 스킴에 대해서도 리만 가설을 일반화할 수 있다.^[75] 이는 대수적 수체의 경우와 함수체의 경우를 모두 아우르는 일반화이다.

7. 증명 시도

1896년 프랑스의 자크 아다마르^[87]와 벨기에의 샤를장 드 라 발레푸생^[88]은 제타 함수의 자명하지 않은 모든 근의 실수부가 0보다 크고 1보다 작다는, 약한 형태의 리만 가설을 증명하여 소수 정리를 증명하였다.^[89]

주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여를 주제로 한 리만의 논문으로 소수 정리가 증명되자, 수학자들은 리만 가설 자체에 집중하였다. 다비트 힐베르트는 1900년 8월 8일 소르본 대학에서 열린 제2회 국제수학자대회에서 20세기에 해결해야 할 중요한 수학 문제 23개를 제시하였는데, 이것이 힐베르트의 문제들이다. 리만 가설은 골드바흐의 추측과 함께 8번 문제에 포함되었다.

헬리에 본 코크는 리만 가설이 소수 정리의 가장 정밀한 오류항을 제공한다는 것을 증명하였다.^[91] 외르겐 페데르센 그람은 1903년 리만 제타 함수의 근을 계산하는 방법을 개발하여 실수축에서 가까운 15개의 근을 계산, 모두 임계선 위에 있음을 확인하였다.^[50][92] 고드프리 해럴드 하디는 1914년 임계선 위에 무한히 많은 수의 영점이 존재한다는 것을 증명하였다.^[93][94][95]

앨버트 잉햄은 1932년 리만 가설에 의한 리만 제타 함수의 해와 주어진 수까지의 소수의 실제 개수 β간의 오차를 상한과 하한으로 표현하는 함수로서 O(''x''^β)를 정의하였다.^[96] 아틀레 셀베르그는 1942년에 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점 가운데, 임계선 위에 있는 것들의 비율은 (점근적으로) 양수라는 것을 증명하였다.^[97] 이후 1974년에 레빈슨(N. Levinson)은 이 비율이 ⅓ 이상이라는 것을 증명하였고,^[98] 1989년에 콘리(J. B. Conrey)는 이 비율이 ⅖ 이상이라는 것을 증명하였다.^[76] 로월 숀펠드는 1976년 2657이상의 x에 대하여 주어진 수까지의 실제 소수의 개수를 나타내는 함수 $\backslash pi\; (x)$와 로그 적분 함수 $\backslash operatorname\{Li\}(x)$의 오차를 다음과 같이 정리하였다.^[99]

:

다비트 힐베르트와 포여 죄르지는 리만 제타 함수의 영점들이 어떤 자기 수반 작용소의 고윳값들과 대응한다고 추측하였다. 앤드루 오들리즈코는 1987년에 리만 제타 함수의 영점들의 분포가 일부 무작위 행렬의 고윳값들의 분포와 유사한 성질을 갖는다는 것을 보였다.^[100]

돈 재기어는 이러한 연산자가 상반 평면 위 함수 공간(보형 형식)의 라플라스 연산자라고 추측하였고,^[101] 피에르 카르티에도 이에 대한 근거를 제시하였다.^[102] 크리스토퍼 데닝거(Christopher Deninger)는 이러한 연산자가 정수환 스펙트럼 $\backslash operatorname\{Spec\}\backslash mathbb\; Z$의 일종의 "코호몰로지" 위에 작용한다고 추측하였다.^[103][104]

일부 학자들은 이 작용소가 어떤 양자역학적 계의 해밀토니언일 수 있다고 추측한다.^[105][106] 또한, 리만 가설이 통계 역학의 리-양 정리와 관련이 있을 수 있다고 추측한다.^[107]

알랭 콘은 리만 가설과 비가환 기하학 사이의 관계를 지적하였고, 이를 통해 리만 가설을 함의하는 비가환 기하학적 명제를 발표하였다.^{[108][109][110]}

대수적 수체는 1차원 스킴으로, 수체 위 대수 곡선은 2차원 스킴으로 여길 수 있다. 일반화 리만 가설은 1차원적 추측인데, 2차원, 구체적으로 대수적 수체 위 타원 곡선의 산술 제타 함수에 대한 어떤 명제가 일반화 리만 가설을 사실상 함의하며,^[111] 반대로 일반화 리만 가설은 이 명제를 함의한다.^[112]

1948년에 투란 팔은 어떤 특정 디리클레 지표에 대한 추측이 리만 가설을 함의함을 증명하였으나,^[113] 이 추측은 거짓으로 판명되었다.^{[114][115][116]} 루이 드 브랑주는 1990년에 특정한 전해석 함수들의 힐베르트 공간의 특정한 성질로부터 리만 가설을 유추할 수 있음을 보였으나,^[117] 이 성질은 사실 거짓임이 증명되었다.^[118] 프리먼 다이슨은 리만 가설이 준결정과 연관되어 있다고 추측하였다.^[119]

7. 1. 부분적 증명

점근적으로, 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점들 가운데 적어도 2/5가 임계선 위에 있다.^[76] 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점을 $\backslash sigma+it$라고 쓰면, 다음과 같다.

:$C/\backslash ln\; t\backslash le\backslash sigma\backslash le\; 1-C/\backslash ln\; t$

(단, $C>0$는 양의 상수)^[78]

또한, 다음이 성립한다.^[79]

:$\backslash frac\{1\}\{57.54(\backslash log$

)^{2/3}(\log{\log

})^{1/3}}\le\sigma\le 1-\frac{1}{57.54(\log

)^{2/3}(\log{\log

})^{1/3}}

이 밖에도, 리만 제타 함수의 영점 분포에 대한 '''셀베르그 추측''' 및 관련된 명제들이 증명되었다.^{[80][81][82][83][84][85][86]}

하디(Hardy, 1914)와 하디-리틀우드(Hardy-Littlewood, 1921)는 제타 함수와 관련된 특정 함수의 모멘트를 고려하여 임계선에 무한히 많은 영점이 존재함을 보였다. 셀베르그(Selberg, 1942)는 영점의 적어도 (작은) 양의 비율이 임계선에 놓여 있음을 증명했다. 레빈슨(Levinson, 1974)은 제타 함수의 영점을 그 도함수의 영점과 관련시켜 영점의 1/3이 임계선 위에 있음을 보였고, 콘레이(Conrey, 1989)는 이를 2/5로 더 개선했다. 2020년, 프랫, 로블레스, 자하레스쿠(Alexandru Zaharescu)와 잔들러(Zeindler)는 제타 함수의 고차 도함수와 관련된 클로스터만 합을 수용할 수 있는 확장된 몰리파이어를 고려하여 이 추정치를 5/12로 확장했다.^[15]

대부분의 영점은 임계선에 가깝게 위치한다.

그람 점(Gram point)은 제타 함수가 실수이고 0이 아닌 임계선 1/2 + ''it'' 위의 점이다. 임계선에서 제타 함수의 표현식 ''ζ''(1/2 + ''it'') = ''Z''(''t'')e ^{− ''iθ''(''t'')}에서 ''Z''는 실수 ''t''에 대해 실수이고, ''θ''는 리만-지겔 세타 함수이므로, 사인(''θ''(''t'')) = 0일 때 제타는 실수임을 알 수 있다. 이는 ''θ''(''t'')가 π의 정수배임을 의미하며, ''θ''의 공식을 통해 그람 점의 위치를 비교적 쉽게 계산할 수 있다. 그람 점은 일반적으로 ''g_n'' (''n'' = 0, 1, ...)으로 표시하며, ''g_n''은 ''θ''(''t'') = ''n''π의 유일한 해이다.

그람(Gram)은 두 그람 점 사이에 제타 함수의 영점이 정확히 하나 있는 경우가 많다는 것을 관찰했고, 허친슨(Hutchinson)은 이를 '''그람의 법칙(Gram's law)'''이라고 불렀다. 처음 몇 개의 영점(파란색)과 그람 점 ''g_n''의 허수 부분 ''γ_n''은 다음 표와 같다.

		g−1	γ1	g0	γ2	g1	γ3	g2	γ4	g3	γ5	g4	γ6	g5
0	3.436	9.667	14.135	17.846	21.022	23.170	25.011	27.670	30.425	31.718	32.935	35.467	37.586	38.999