리만 가설

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1. 개요

리만 가설은 리만 제타 함수의 자명하지 않은 모든 영점의 실수부가 1/2라는 추측이다. 리만 제타 함수는 복소수 s에 대해 정의되는 무한 급수로, 소수의 분포와 밀접한 관련이 있다. 1859년 베른하르트 리만이 이 가설을 제시했으며, 힐베르트의 문제 중 하나로 포함될 만큼 수학계의 중요한 난제로 여겨진다. 리만 가설이 참일 경우, 소수 정리의 오차항에 대한 정확한 경계가 제시되고, 소수의 분포에 대한 더 깊은 이해를 얻을 수 있다. 현재까지 증명되지는 않았지만, 다양한 수학적 명제들과 동치 관계가 있으며, 일반화된 리만 가설 및 관련 추측들이 연구되고 있다.

리만 가설

기본 정보

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복소 평면에서 리만 제타 함수의 그래프

주제	수학, 해석적 정수론
제안자	베른하르트 리만
제안 연도	1859년
상태	미해결
상금	클레이 수학 재단의 밀레니엄 문제 중 하나 ($1,000,000)

설명

내용	리만 제타 함수의 비자명한 영점은 모두 임계선 위에 놓여 있다.
수식	모든 비자명한 영점 s에 대해, Re(s) =

함수

관련 함수	리만 제타 함수

관련 항목	소수 정리 힐베르트의 8번째 문제 일반화된 리만 가설 디리클레 L-함수 셀베르그 클래스 몽고메리-오들코 현상 그란디 급수

참고 문헌	Bombieri, Enrico (2000). "밀레니엄 문제에 대한 클레이 수학 연구소 공식 문제 설명: 리만 가설"

2. 정의

리만 제타 함수는 실수 $s>1$ 에 대하여 다음과 같은 무한급수로 정의된다.

: $\zeta(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots.$

이 급수는 $s$ 가 복소수일 때도 해석적 연속을 통해 정의될 수 있다.

리만 제타 함수는 음의 짝수에서 영점을 가지는데, 이는 $\sin(\pi s/2)=0$ 이기 때문이며 이러한 점들을 리만 제타 함수의 자명한 영점(trivial zero^영어)이라고 한다.

: $\zeta(s)=0\qquad(s=-2,-4,-6,\dots)$

자명하지 않은 모든 영점 $z$ 는 복소수이고 그 실수부는 0과 1사이에 존재한다. 이 영역

: $\{z\in\mathbb C\colon0<\operatorname{Re}z<1\}$

을 임계대 또는 임계띠(Critical strip^영어)라 하며, 임계대의 중앙

: $\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Re}z=1/2\}$

를 임계선(critical line^영어)이라 한다.

리만 가설은 다음과 같은 추측이다.

* "리만 제타 함수의 자명하지 않은 모든 영점의 실수부는 $\frac{1}{2}$ 이다."

이 가설이 옳다면, 리만 제타 함수의 모든 영점은 임계선 위에 존재하게 된다.

3. 역사

베른하르트 리만은 1859년 베를린 학술원에 제출한 논문 〈주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여〉에서 소수 정리에 대한 연구를 진행하면서, 리만 제타 함수의 영점과 소수의 분포 사이의 관계를 발견하고 리만 가설을 처음으로 제시하였다. 리만은 제타 함수의 자명하지 않은 모든 영점의 실수부가 1/2일 것이라고 추측했다. 그러나 리만은 논문의 주요 목적이 소수의 개수에 관한 것이었기 때문에 가설의 증명을 시도하지는 않았다.

1896년 자크 아다마르와 샤를장 드 라 발레푸생은 소수 정리를 증명하였는데, 이는 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점의 실수부가 1이 될 수 없음을 보인 것이다.

1900년 다비트 힐베르트는 힐베르트의 문제들에서 리만 가설을 8번째 문제로 포함시켰다.

1914년 고드프리 해럴드 하디는 임계선 위에 무한히 많은 영점이 존재함을 증명하였다.

1972년, 휴 몽고메리와 프리먼 다이슨은 제타 함수 상의 영점 분포 수식이 원자핵 에너지 간격을 나타내는 식과 일치함을 보이며 소수와 핵물리 현상의 관련성을 시사했다.

1996년 시애틀에서 열린 제1회 세계 리만 가설 회의에서 알랭 콘은 소수 문제와 비가환 기하학의 관계성을 제시했다.

2001년 클레이 수학연구소는 밀레니엄 문제 중 하나로 리만 가설에 100만 달러의 상금을 걸었다.

2004년에는 처음 10¹³개의 영점들이 계산되었으며, 이들은 모두 임계선 위에 위치하였다.

오늘날 많은 수학자들이 리만 가설이 참일 것이라고 추측하지만, 존 이든저 리틀우드를 비롯한 몇몇 회의적인 수학자들도 존재한다.

4. 리만 가설과 동치인 명제

리만 가설은 여러 가지 다른 명제들과 동치인 것으로 알려져 있다.

리만 가설은 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여 다음이 성립한다는 것과 동치이다.
: $-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-x)^k}{(k-1)! \zeta(2k)}= O\left(x^{\frac{1}{4}+\epsilon}\right)$

리만 가설은 모든 $s\in\mathbb C$ 에 대하여,
: $0<\operatorname{Re}s<1/2$
에는 리만 제타 함수의 도함수가 영점을 갖지 않는다는 것( $\zeta'(s)\ne0$ )과 동치이다.

리만 가설은 임의의 복소수 $s\in\mathbb C$ 에 대하여, 만약 $\operatorname{Re}s>1/2$ 라면 다음 등식이 성립한다는 것과 동치이다.
: $\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}$
여기서 $\mu(n)$ 은 뫼비우스 함수이다.

메르텐스 함수 $M(x)$ 를 다음과 같이 정의한다.
: $M(x) = \sum_{n \le x} \mu(n)$
그러면, 리만 가설은 메르텐스 함수가 임의의 $\epsilon>0$ 에 대하여 다음을 만족시킨다는 것과 동치이다.
: $M(x) = \mathcal{O}(x^{1/2+\varepsilon})$
( $\mathcal O$ 는 점근 표기법이다.) $n\times n$ 레드헤퍼 행렬(Redheffer matrix^영어)의 행렬식은 M(n)과 같다. 따라서, 리만 가설은 이 행렬식이 얼마나 빨리 증가하는지에 대한 가설로 생각할 수 있다.

1984년 기 로뱅(Guy Robin^프랑스어)은 약수 함수에 대하여 로빈 부등식을 발표하였다. 약수 함수는 다음과 같이 정의된다.
: $\sigma(n) = \sum_{d\mid n} d$
이에 따르면, 다음 부등식이 성립한다.
: $\sigma(n) < e^\gamma n \log \log n \,$
이때 5041 이상의 모든 n이 로빈 부등식을 만족시키면 리만 가설은 참이 된다.

1924년에 제롬 프라넬(Jérôme Franel^프랑스어)과 에드문트 란다우는 리만 가설이 페어리 수열과 밀접한 관계가 있음을 보였다. F_n이 순서 n에 대해 1/n에서 시작하여 1/1 이상이 되는 페어리 수열일 때, 모든 ε > 0에 대해 다음이 성립한다.

: $\sum_{i=1}^m|F_n(i) - i/m| = \mathcal{O}(n^{1/2+\epsilon})$

이는 리만 가설과 동치이다. 여기서 n에 대한 페어리 수열 안의 m번째 항은 $m = \sum_{i=1}^n\phi(i)$ 이다.

리만 가설은 군론적으로도 서술할 수 있다. 1988년 장피에르 마시아(Jean-Pierre Massias^프랑스어), 장루이 니콜라(Jean-Louis Nicolas^프랑스어), 기 로뱅(Guy Robin^프랑스어)은 g(n)이 n차원의 대칭군 S_n의 원소 중 최대 계수(order^영어)에 의한 란다우 함수일 때, 리만 가설은 충분히 큰 모든 n에 대해 다음 식과 동치임을 보였다.
: $\log g(n) < \sqrt{\operatorname{Li}^{-1}(n)}$

리만 가설은 특정 형태의 함수들로 구성된 부분 공간이 힐베르트 공간 $L^2(0,1)$ 의 조밀 집합인 것과 동치이다. 보다 일반적으로, 임의의 $p\ge2$ 에 대하여, 만약 이 부분 공간이 $L^p(0,1)$ 에서 조밀 집합이라면, 리만 제타 함수의 모든 영점 $s$ 는 다음 식을 만족시킨다.
: $|\operatorname{Re}s-1/2|\le1/2-1/p$

또한, 리만 가설은 어떤 적분 방정식이 자명하지 않은 유계해를 갖지 않는다는 사실과 동치이다.

5. 함의

리만 가설은 리만 제타 함수의 자명하지 않은 모든 영점의 실수부가 1/2이라는 추측이다. 리만 가설은 소수의 분포, 산술 함수의 성장, 제타 함수의 성질 등과 관련된 다양한 명제들을 함의한다.

만약 리만 가설이 참이라면, 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, $t\to\infty$ 일 때 다음이 성립한다.
: $\zeta\left(\frac12 + it\right) = \mathcal{O}(t^\epsilon)$
이를 린델뢰프 가설(Lindelöf hypothesis^영어)이라고 한다.

만약 리만 가설이 참이라면, 다음이 성립한다.
: $e^\gamma\le \limsup_{t\rightarrow +\infty}\frac$

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{\log\log t}\le 2e^\gamma
:

\frac{6}{\pi^2}e^\gamma\le \limsup_{t\rightarrow +\infty}\frac{1/|\zeta(1+it)|}{\log\log t}\le \frac{12}{\pi^2}e^\gamma

만약 리만 가설이 참이라면, 소수 사이의 간격은 다음과 같다. 이는 스웨덴의 수학자 하랄드 크라메르(Harald Cramér^스웨덴어)가 증명하였다.
:

\mathcal O(\sqrt p\ln p)

또한 크라메르는 p까지의 실제 소수의 개수와 logp의 차가 O(√p log p)와 같이 점근한다고 추측하였다. 이를 크라메르 추측이라 하며, 이에 대한 상당한 수치적 증거가 존재한다.

리만 가설에 따르면, 주어진 숫자보다 작은 소수의 개수에 대한 리만 명시적 공식은 리만 제타 함수의 영점에 대한 합으로 표현되며, 소수가 예상 위치 주변에서 진동하는 정도는 제타 함수 영점의 실수 부분에 의해 제어된다. 특히, 소수 정리의 오차항은 영점의 위치와 밀접하게 관련되어 있다. 예를 들어, β가 영점의 실수 부분의 상한인 경우,

\pi(x) - \operatorname{li}(x) = O \left( x^\beta \log x \right)

이며, 여기서

\pi(x)

는 소수 계량 함수,

\operatorname{li}(x)

는 로그 적분 함수,

\log(x)

는 x의 자연 로그이며, 빅 오 표기법이 사용된다. 이미 1/2 ≤ β ≤ 1임이 알려져 있다.

폰 코흐(1901)는 리만 가설이 소수 정리 오차에 대한 "가장 좋은" 경계를 함축한다는 것을 증명했다. 폰 코흐 결과의 정확한 버전은 리만 가설이 다음을 함축한다고 말한다.

:

|\pi(x) - \operatorname{li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \log(x), \qquad \text{for all } x \ge 2657,

또한 리만 가설이 다음을 함축한다는 것을 보였다.

:

|\psi(x) - x| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \log^2 x, \qquad \text{for all } x \ge 73.2,

여기서

\psi(x)

는 체비쇼프 함수이다.

는 리만 가설이 모든

x \geq 2

에 대해 다음을 만족하는 소수

p

가 존재함을 함축한다는 것을 증명했다.
:

x - \frac{4}{\pi} \sqrt x \log x < p \leq x

.
상수 4/π는 x를 충분히 크게 설정하면 (1 + ε)로 줄일 수 있다. 이것은 크라메르 정리의 명시적 버전이다.

리만 가설은 위에 언급된 소수 개수 함수 외에도 많은 다른 산술 함수의 성장에 대한 강력한 경계를 암시한다.

한 예는 뫼비우스 함수 μ와 관련이 있다. 방정식

:

\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}

가 실수부가 1/2보다 큰 모든 s에 대해 유효하고, 우변의 합이 수렴한다는 것은 리만 가설과 동치이다. 메르텐스 함수가 다음과 같이 정의된다면

:

M(x) = \sum_{n \le x} \mu(n)

다음 주장은

:

M(x) = O\left(x^{\frac{1}{2}+\varepsilon}\right)

모든 양수 ε에 대해 리만 가설과 동치이다(J. E. 리틀우드, 1912). 차수 n 레드헤퍼 행렬의 행렬식은 M(n)과 같으므로, 리만 가설은 이러한 행렬식의 성장에 대한 조건으로도 표현할 수 있다. 리만 가설은 M의 성장에 대해 상당히 좁은 범위를 설정하는데, 이는 테 리엘레가 약간 더 강한 메르텐스 추측

:

|M(x)| \le \sqrt x.

을 반증했기 때문이다.

리만 가설은 μ(n) 이외의 다른 산술 함수의 성장률에 대한 여러 추측과 동치이다. 전형적인 예는 로빈의 정리로, σ(n)이 시그마 함수로 주어지는 경우

:

\sigma(n) = \sum_{d\mid n} d

다음이 성립한다면

:

\sigma(n) < e^\gamma n \log \log n

모든 n > 5040에 대해 리만 가설이 참이며, 여기서 γ는 오일러-마스케로니 상수이다.

제프리 라가리아스는 2002년에 리만 가설이 다음 명제와 동치임을 증명했다.
:

\sigma(n) < H_n + \log(H_n)e^{H_n}

모든 자연수 n > 1에 대해, 여기서

H_n

은 n번째 조화수이다.

또한 리만 가설은 다음 부등식이

:

\frac{n}{\varphi (n)}

모든 n ≥ 120569#에 대해 참인 것과 동치이며, 여기서 φ(n)은 오일러의 토션트 함수이고 120569#은 처음 120569개 소수의 곱이다.

제롬 프라넬에 의해 발견되고 란다우에 의해 확장된 정리에 따르면, 리만 가설은 파레이 수열 항의 규칙성을 나타내는 여러 명제와 동치이다. 한 가지 동치는 다음과 같다. F_n이 차수 n의 파레이 수열이고 1/n부터 1/1까지 시작한다면, 모든 ε > 0에 대해

:

\sum_{i=1}^m|F_n(i) - \tfrac{i}{m}| = O\left(n^{\frac{1}{2}+\epsilon}\right)

가 성립한다는 것은 리만 가설과 동치이다. 여기서

:

m = \sum_{i=1}^n\varphi(i)

는 차수 n의 파레이 수열에 있는 항의 개수이다.

군론에서, g(n)이 차수 n의 대칭군 S_n 원소의 최대 차수로 주어지는 란다우 함수라면, 리만 가설은 충분히 큰 모든 n에 대해 다음 경계와 동치이다.

:

\log g(n) < \sqrt{\operatorname{Li}^{-1}(n)}

6. 일반화 및 관련 추측

일반화 리만 가설은 리만 가설을 디리클레 L-함수로 확장한 것이다. 이 가설은 디리클레 L-함수의 모든 자명하지 않은 근의 실수부가 1/2이라는 내용을 담고 있다. χ가 1인 경우는 리만 가설과 동일하다.

대수적 수체와 대수다양체의 유리 함수체는 여러 유사한 성질을 가지며, 공통적으로 대역체로 분류된다. 이러한 유사성을 바탕으로, 대수다양체에 대한 리만 가설을 정의할 수 있는데, 이를 베유 추측이라고 한다. 에밀 아르틴은 2차 함수체에 대한 리만 가설을 제시하였고, 이는 앙드레 베유가 증명하였다. 베유는 이를 바탕으로 1949년에 모든 대수다양체에 대한 추측을 제시하였으며, 이는 피에르 들리뉴에 의해 증명되었다.

함수체 위에 정의되는 고스 제타 함수(Goss zeta function^영어)에 대한 리만 가설 역시 증명되었다.

정수환 위의 임의의 유한형 스킴에 대해서도 리만 가설을 일반화할 수 있다. 이는 대수적 수체의 경우와 함수체의 경우를 모두 아우르는 일반화이다.

7. 증명 시도

1896년 프랑스의 자크 아다마르와 벨기에의 샤를장 드 라 발레푸생은 제타 함수의 자명하지 않은 모든 근의 실수부가 0보다 크고 1보다 작다는, 약한 형태의 리만 가설을 증명하여 소수 정리를 증명하였다.

주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여를 주제로 한 리만의 논문으로 소수 정리가 증명되자, 수학자들은 리만 가설 자체에 집중하였다. 다비트 힐베르트는 1900년 8월 8일 소르본 대학에서 열린 제2회 국제수학자대회에서 20세기에 해결해야 할 중요한 수학 문제 23개를 제시하였는데, 이것이 힐베르트의 문제들이다. 리만 가설은 골드바흐의 추측과 함께 8번 문제에 포함되었다.

헬리에 본 코크는 리만 가설이 소수 정리의 가장 정밀한 오류항을 제공한다는 것을 증명하였다. 외르겐 페데르센 그람은 1903년 리만 제타 함수의 근을 계산하는 방법을 개발하여 실수축에서 가까운 15개의 근을 계산, 모두 임계선 위에 있음을 확인하였다. 고드프리 해럴드 하디는 1914년 임계선 위에 무한히 많은 수의 영점이 존재한다는 것을 증명하였다.

앨버트 잉햄은 1932년 리만 가설에 의한 리만 제타 함수의 해와 주어진 수까지의 소수의 실제 개수 β간의 오차를 상한과 하한으로 표현하는 함수로서 O(x^β)를 정의하였다. 아틀레 셀베르그는 1942년에 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점 가운데, 임계선 위에 있는 것들의 비율은 (점근적으로) 양수라는 것을 증명하였다. 이후 1974년에 레빈슨(N. Levinson)은 이 비율이 ⅓ 이상이라는 것을 증명하였고, 1989년에 콘리(J. B. Conrey)는 이 비율이 ⅖ 이상이라는 것을 증명하였다. 로월 숀펠드는 1976년 2657이상의 x에 대하여 주어진 수까지의 실제 소수의 개수를 나타내는 함수 $\pi (x)$ 와 로그 적분 함수 $\operatorname{Li}(x)$ 의 오차를 다음과 같이 정리하였다.
: $|\pi(x) - \operatorname{Li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \log(x), \qquad \text{for all } x \ge 2657.$

다비트 힐베르트와 포여 죄르지는 리만 제타 함수의 영점들이 어떤 자기 수반 작용소의 고윳값들과 대응한다고 추측하였다. 앤드루 오들리즈코는 1987년에 리만 제타 함수의 영점들의 분포가 일부 무작위 행렬의 고윳값들의 분포와 유사한 성질을 갖는다는 것을 보였다.

돈 재기어는 이러한 연산자가 상반 평면 위 함수 공간(보형 형식)의 라플라스 연산자라고 추측하였고, 피에르 카르티에도 이에 대한 근거를 제시하였다. 크리스토퍼 데닝거(Christopher Deninger)는 이러한 연산자가 정수환 스펙트럼 $\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 의 일종의 "코호몰로지" 위에 작용한다고 추측하였다.

일부 학자들은 이 작용소가 어떤 양자역학적 계의 해밀토니언일 수 있다고 추측한다. 또한, 리만 가설이 통계 역학의 리-양 정리와 관련이 있을 수 있다고 추측한다.

알랭 콘은 리만 가설과 비가환 기하학 사이의 관계를 지적하였고, 이를 통해 리만 가설을 함의하는 비가환 기하학적 명제를 발표하였다.

대수적 수체는 1차원 스킴으로, 수체 위 대수 곡선은 2차원 스킴으로 여길 수 있다. 일반화 리만 가설은 1차원적 추측인데, 2차원, 구체적으로 대수적 수체 위 타원 곡선의 산술 제타 함수에 대한 어떤 명제가 일반화 리만 가설을 사실상 함의하며, 반대로 일반화 리만 가설은 이 명제를 함의한다.

1948년에 투란 팔은 어떤 특정 디리클레 지표에 대한 추측이 리만 가설을 함의함을 증명하였으나, 이 추측은 거짓으로 판명되었다. 루이 드 브랑주는 1990년에 특정한 전해석 함수들의 힐베르트 공간의 특정한 성질로부터 리만 가설을 유추할 수 있음을 보였으나, 이 성질은 사실 거짓임이 증명되었다. 프리먼 다이슨은 리만 가설이 준결정과 연관되어 있다고 추측하였다.

7.1. 부분적 증명

점근적으로, 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점들 가운데 적어도 2/5가 임계선 위에 있다. 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점을 $\sigma+it$ 라고 쓰면, 다음과 같다.
: $C/\ln t\le\sigma\le 1-C/\ln t$
(단, $C>0$ 는 양의 상수)

또한, 다음이 성립한다.
: $\frac{1}{57.54(\log$

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)^{2/3}(\log{\log

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})^{1/3}}\le\sigma\le 1-\frac{1}{57.54(\log

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)^{2/3}(\log{\log

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})^{1/3}}

이 밖에도, 리만 제타 함수의 영점 분포에 대한 셀베르그 추측 및 관련된 명제들이 증명되었다.

하디(Hardy, 1914)와 하디-리틀우드(Hardy-Littlewood, 1921)는 제타 함수와 관련된 특정 함수의 모멘트를 고려하여 임계선에 무한히 많은 영점이 존재함을 보였다. 셀베르그(Selberg, 1942)는 영점의 적어도 (작은) 양의 비율이 임계선에 놓여 있음을 증명했다. 레빈슨(Levinson, 1974)은 제타 함수의 영점을 그 도함수의 영점과 관련시켜 영점의 1/3이 임계선 위에 있음을 보였고, 콘레이(Conrey, 1989)는 이를 2/5로 더 개선했다. 2020년, 프랫, 로블레스, 자하레스쿠(Alexandru Zaharescu)와 잔들러(Zeindler)는 제타 함수의 고차 도함수와 관련된 클로스터만 합을 수용할 수 있는 확장된 몰리파이어를 고려하여 이 추정치를 5/12로 확장했다.

대부분의 영점은 임계선에 가깝게 위치한다.

그람 점(Gram point)은 제타 함수가 실수이고 0이 아닌 임계선 1/2 + it 위의 점이다. 임계선에서 제타 함수의 표현식 ζ(1/2 + it) = Z(t)e^− iθ(t)에서 Z는 실수 t에 대해 실수이고, θ는 리만-지겔 세타 함수이므로, 사인(θ(t)) = 0일 때 제타는 실수임을 알 수 있다. 이는 θ(t)가 π의 정수배임을 의미하며, θ의 공식을 통해 그람 점의 위치를 비교적 쉽게 계산할 수 있다. 그람 점은 일반적으로 g_n (n = 0, 1, ...)으로 표시하며, g_n은 θ(t) = nπ의 유일한 해이다.

그람(Gram)은 두 그람 점 사이에 제타 함수의 영점이 정확히 하나 있는 경우가 많다는 것을 관찰했고, 허친슨(Hutchinson)은 이를 그람의 법칙(Gram's law)이라고 불렀다. 처음 몇 개의 영점(파란색)과 그람 점 g_n의 허수 부분 γ_n은 다음 표와 같다.

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		g₋₁	γ₁	g₀	γ₂	g₁	γ₃	g₂	γ₄	g₃	γ₅	g₄	γ₆	g₅
0	3.436	9.667	14.135	17.846	21.022	23.170	25.011	27.670	30.425	31.718	32.935	35.467	37.586	38.999

제타 함수의 처음 20개의 실수 값 rn을 나타내는 극좌표 플롯 (임계선 ζ(1/2 + it)에서 t는 0에서 50까지). 이 범위의 rn 값은 처음 10개의 비자명 리만 제타 함수 영점과 처음 10개의 그람 점이며, 각각 n으로 표시되어 있다. 각 rn 사이에 50개의 빨간색 점이 플롯되었으며, 영점은 t 값 사이의 상대적 거리를 표시하기 위해 크기가 조정된 동심 마젠타 링에 투영된다. 그람의 법칙은 곡선이 일반적으로 영점 사이에서 실수 축을 한 번 교차한다고 명시한다. — 제타 함수의 처음 20개의 실수 값 *r_n*을 나타내는 극좌표 플롯 (임계선 ζ(1/2 + it)에서 t는 0에서 50까지). 이 범위의 *r_n* 값은 처음 10개의 비자명 리만 제타 함수 영점과 처음 10개의 그람 점이며, 각각 n으로 표시되어 있다. 각 *r_n* 사이에 50개의 빨간색 점이 플롯되었으며, 영점은 t 값 사이의 상대적 거리를 표시하기 위해 크기가 조정된 동심 마젠타 링에 투영된다. 그람의 법칙은 곡선이 일반적으로 영점 사이에서 실수 축을 한 번 교차한다고 명시한다.

그람의 법칙의 첫 번째 실패는 127번째 영점과 그람 점 g₁₂₆에서 발생하며, 이들은 "잘못된" 순서에 있다.

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g₁₂₄	γ₁₂₆	g₁₂₅	g₁₂₆	γ₁₂₇	γ₁₂₈	g₁₂₇	γ₁₂₉	g₁₂₈
279.148	279.229	280.802	282.455	282.465	283.211	284.104	284.836	285.752