라마누잔 타우 함수

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1. 개요

라마누잔 타우 함수는 데데킨트 에타 함수를 이용하여 정의되며, 라마누잔의 계산식을 통해 표현할 수 있다. 이 함수는 곱셈적 성질을 가지며, 특정 점화식을 만족한다. 라마누잔은 타우 함수에 대한 세 가지 성질을 제시했지만 증명하지 못했고, 이 중 세 번째 성질은 라마누잔 추측으로 불리며 델리뉴에 의해 증명되었다. 타우 함수는 여러 합동 관계를 만족하며, 레머 추측은 모든 n에 대해 타우 함수 값이 0이 아니라는 추측이다. 라마누잔의 L-함수는 타우 함수를 이용하여 정의되며, 정수론, 모듈러 형식 이론, 대수기하학 등 다양한 분야에 응용된다.

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라마누잔 타우 함수
개요
함수 유형	수론적 함수
정의	모든 자연수 n에 대해, 디리클레 급수의 푸리에 계수로 정의됨
기호	τ(n)
다른 이름	라마누잔의 타우 함수
관련 항목	모듈 형식 첨두 형식 헤케 연산자
정의
수식	Δ(z) = q ∏(1 − qn)24 = ∑τ(n)qn (Im z > 0)
설명	Δ(z)는 무게 12의 정규화된 첨두 형식이며, 모듈러 판별식이라고도 함 q = exp(2πiz)이고 η(z)는 데데킨트 에타 함수임 타우 함수는 모듈러 형식의 푸리에 계수임
성질
라마누잔 추측	\|τ(p)\| ≤ 2pp11/2 (모든 소수 p에 대해)
설명	라마누잔 추측은 1974년 피에르 들린에 의해 증명됨
곱셈 성질	τ(mn) = τ(m)τ(n) (m과 n이 서로소일 때)
소수 거듭제곱에 대한 성질	τ(pk+1) = τ(p)τ(pk) − p11τ(pk−1) (모든 소수 p와 k ≥ 1에 대해)
값
예시 값	τ(1) = 1 τ(2) = −24 τ(3) = 252 τ(4) = −1472 τ(5) = 4830 τ(6) = −6048 τ(7) = −16744 τ(8) = 84480 τ(9) = −113643 τ(10) = −115920 τ(11) = 534612 τ(12) = −370944
역사
창시자	스리니바사 라마누잔
발표 년도	1916년
증명	피에르 들린 (라마누잔 추측)
참고 문헌
논문	Ramanujan, Srinivasa (1916), On certain arithmetical functions, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 22 (9): 159–184
서적	Dyson, Freeman J. (1972), "Missed opportunities", Bulletin of the American Mathematical Society, 78 (5): 635–652, doi:10.1090/S0002-9904-1972-13009-X, ISSN 0002-9904, MR 0307028

2. 정의 및 표현

2. 1. 데데킨트 에타 함수를 이용한 정의

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데데킨트 에타 함수를 이용한 정의는 다음과 같다.

:

\sum_{n=1}^{\infty} \tau(n) x^n= \eta(\tau)^{24}=\Delta(\tau)

:

x= e^{2\pi i \tau}

여기서

\eta(\tau)

는 데데킨트 에타 함수이다.

2. 2. 라마누잔의 계산식

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라마누잔의 계산식은 다음과 같다.

:

\tau(n)(n-1)  =\sum_{k=1}^{b_n} (-1)^{k+1}(2k+1)\left( n-1-9K\right)\tau \left( n-K\right)

:

b_n = {{ \sqrt{8n+1} -1 }\over2}

:

K = {{k(k+1)}\over2}

따라서,

:

\tau(n)(n-1)  =\sum_{k=1}^{{ \sqrt{8n+1} -1 }\over2} (-1)^{k+1}(2k+1)\left( n-1-{9\over2}k(k+1)\right)\tau \left( n-{1 \over 2}k(k+1)\right)

3. 기본 성질

3. 1. 값

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
τ(n)	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

타우 함수는 홀수 제곱수(중심 팔각형수)에 대해 계산하면 홀수가 나오지만, 다른 모든 수에 대해서는 짝수가 나온다.^[1]

3. 2. 곱셈적 성질

3. 3. 점화식

wikitext

Ramanujan^영어 타우 함수는 다음 점화식을 만족한다.

:

\tau(n)(n-1)  =\sum_{k=1}^{b_n} (-1)^{k+1}(2k+1)\left( n-1-9K\right)\tau \left( n-K\right)

:

b_n = {{ \sqrt{8n+1} -1 }\over2}

:

K = {{k(k+1)}\over2}

따라서,

:

\tau(n)(n-1)  =\sum_{k=1}^{{ \sqrt{8n+1} -1 }\over2} (-1)^{k+1}(2k+1)\left( n-1-{9\over2}k(k+1)\right)\tau \left( n-{1 \over 2}k(k+1)\right)

4. 라마누잔 추측

라마누잔은 1916년에 다음과 같은 ''τ''(''n'')의 세 가지 성질을 관찰했지만 증명하지는 못했다.

gcd(''m'',''n'') = 1일 때 τ(''mn'') = τ(''m'')τ(''n'') (이는 τ(''n'')이 곱셈 함수임을 의미한다.)
''p''가 소수이고 ''r'' > 0일 때 τ(''p''^{''r'' + 1}) = τ(''p'')τ(''p^r'') − ''p''¹¹ τ(''p''^{''r'' − 1}).
모든 소수 ''p''에 대해 |τ(''p'')| ≤ 2''p''^11/2.

처음 두 가지 성질은 1917년에 모델에 의해 증명되었고, 세 번째 성질은 라마누잔 추측이라고 불리며, 1974년 들리뉴가 베유 추측 증명의 결과로 증명했다. 그는 이를 쿠가-사토 다양체에 적용하여 유도했다.

4. 1. 라마누잔 추측 (증명됨)

라마누잔은 1916년에 다음과 같은 τ(''n'')의 세 가지 성질을 관찰했지만 증명하지는 못했다.

gcd(''m'',''n'') = 1일 때 τ(''mn'') = τ(''m'')τ(''n'') (이는 τ(''n'')이 곱셈 함수임을 의미한다.)
''p''가 소수이고 ''r'' > 0일 때 τ(''p''^{''r'' + 1}) = τ(''p'')τ(''p^r'') − ''p''¹¹ τ(''p''^{''r'' − 1}).
모든 소수 ''p''에 대해 |τ(''p'')| ≤ 2''p''^11/2.

처음 두 가지 성질은 1917년에 모델에 의해 증명되었고, 세 번째 성질은 라마누잔 추측이라고 불리며, 1974년 들리뉴가 베유 추측 증명의 결과로 증명했다. 그는 이를 쿠가-사토 다양체에 적용하여 유도했다.

4. 2. 라마누잔-피터슨 추측 (베유 추측의 일부로 증명됨)

5. 합동 관계

''k'' ∈ ℤ 및 ''n'' ∈ ℤ_>0에 대해, 약수 함수 ''σ''_''k''(''n'')는 ''n''의 약수의 ''k''제곱의 합이다. 타우 함수는 여러 합동 관계를 만족하며, 그 중 다수는 ''σ''_''k''(''n'')로 표현될 수 있다.^[2] 다음은 그 중 일부이다.^[2]^[12]

τ(''n'') ≡ σ₁₁(''n'') mod 2¹¹ (''n'' ≡ 1 mod 8인 경우)^[3]^[13]
τ(''n'') ≡ 1217 σ₁₁(''n'') mod 2¹³ (''n'' ≡ 3 mod 8인 경우)^[3]^[13]
τ(''n'') ≡ 1537 σ₁₁(''n'') mod 2¹² (''n'' ≡ 5 mod 8인 경우)^[3]^[13]
τ(''n'') ≡ 705 σ₁₁(''n'') mod 2¹⁴ (''n'' ≡ 7 mod 8인 경우)^[3]^[13]
τ(''n'') ≡ ''n''^-610σ₁₂₃₁(''n'') mod 3⁶ (''n'' ≡ 1 mod 3인 경우)^[4]^[14]
τ(''n'') ≡ ''n''^-610σ₁₂₃₁(''n'') mod 3⁷ (''n'' ≡ 2 mod 3인 경우)^[4]^[14]
τ(''n'') ≡ ''n''^-30σ₇₁(''n'') mod 5³ (''n'' ≢ 0 mod 5인 경우)^[5]^[15]
τ(''n'') ≡ ''n''σ₉(''n'') mod 7 (''n'' ≡ 0, 1, 2, 4 mod 7인 경우)^[16]
τ(''n'') ≡ ''n''σ₉(''n'') mod 7² (''n'' ≡ 3, 5, 6 mod 7인 경우)^[6]^[16]
τ(''n'') ≡ σ₁₁(''n'') mod 691^[7]^[17]

소수 ''p'' ≠ 23에 대해, 다음이 성립한다.^[2]^[8]^[12]^[18]

τ(''p'') ≡ 0 mod 23 ( (''p''/23) = -1 인 경우)
τ(''p'') ≡ σ₁₁(''p'') mod 23² (''p''가 ''a''² + 23''b''² 형태인 경우)^[9]^[19]
τ(''p'') ≡ -1 mod 23 (그 외의 경우)

6. 레머 추측

레머 추측은 모든 에 대해 라마누잔 타우 함수 가 0이 아니라는 추측이다.^[11]^[20] 데릭 레머(Lehmer)는 1947년에 이 추측을 제기했으며,^[11] 이 214928639999까지의 값에 대해 이 추측이 참임을 확인했다.^[20]

인 소수 는 10¹⁰까지 2, 3, 5, 7, 2411, 7758337633뿐이다.^[11]

다음 표는 레머 추측이 성립하는 값의 변화를 보여준다.

	참고
	Lehmer (1947)
	Lehmer (1949)
	Serre (1973, p. 98), Serre (1985)
	Jennings (1993)
	Jordan and Kelly (1999)
	Bosman (2007)
	Zeng and Yin (2013)
	Derickx, van Hoeij, and Zeng (2013)

일반적으로, 가중치 의 정수 새로운 형태 에 대해 푸리에 계수 가 정수이고, 가 복소수 곱셈을 갖지 않는 경우, 거의 모든 소수 에 대해 가 성립하는지가 연구되고 있다. 0}}인 소수 는 무한히 많다는 엘키스(Elkies)의 정리가 있으나, 인 무한히 많은 소수 가 존재하는지는 알려져 있지 않다.^[11]

7. 라마누잔의 L-함수

'''라마누잔의 ''L''-함수'''는 다음과 같이 정의된다.

: $L(s)=\sum_{n\ge 1}\frac{\tau (n)}{n^s}$

만약 $\Re s>6$ 이고, 그 외의 경우에는 해석적 연속을 통해 정의된다. 다음의 함수 방정식을 만족한다.

: $\frac{L(s)\Gamma (s)}{(2\pi)^s}=\frac{L(12-s)\Gamma(12-s)}{(2\pi)^{12-s}},\quad s\notin\mathbb{Z}_0^-, \,12-s\notin\mathbb{Z}_0^{-}$

그리고 다음의 오일러 곱을 갖는다.

: $L(s)=\prod_{p\,\text{소수}}\frac{1}{1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s}},\quad \Re s>7.$

라마누잔은 $L$ 의 모든 비자명 영점들이 실수부 $6$ 을 갖는다고 추측했다.

8. 응용 및 중요성

8. 1. 정수론 연구

8. 2. 모듈러 형식 이론

8. 3. 대수기하학과의 연관성

9. 추가 정보

9. 1. 명시적 공식

더글러스 니버(Douglas Niebur)는 1975년에 라마누잔 타우 함수에 대한 명시적인 공식을 증명했다.^[10]

:

\tau(n)=n^4\sigma(n)-24\sum_{i=1}^{n-1}i^2(35i^2-52in+18n^2)\sigma(i)\sigma(n-i).

여기서

\sigma(n)

는

n

의 양의 약수의 합을 나타낸다.

9. 2. τ(n)에 대한 추측 (일반화된 경우)

가 가중치 의 정수 새로운 형태이고 푸리에 계수 가 정수라고 가정할 때, 가 복소수 곱셈을 갖지 않는 경우 거의 모든 소수 에 대해 가 성립하는지에 대한 문제가 제기된다.^[11]^[20] 대부분의 소수는 이 속성을 가지며, 따라서 'ordinary'라고 불린다.

Deligne와 Serre의 갈루아 표현에 대한 연구 발전에도 불구하고, 이 와 서로 소인 경우 는 결정되지만, 를 계산하는 방법은 불분명하다.^[11]^[20] 이와 관련하여 알려진 유일한 정리는 모듈러 타원 곡선에 대한 Elkies의 결과로, 0}}인 무한히 많은 소수 가 존재함을 보장한다.^[11]^[20]

복소수 곱셈이 아닌 의 가중치가 2보다 큰 경우, 인 무한히 많은 소수 가 존재하는지는 알려져 있지 않다. 또한 인 무한히 많은 가 존재하는지도 알려져 있지 않다. 일부 연구자들은 인 무한히 많은 가 존재하는지에 대해 의문을 제기하기도 한다.^[11]^[20]

이러한 의문에 대한 증거로, 라마누잔의 (가중치 12의 경우)가 제시된다. 방정식 의 10¹⁰까지의 유일한 해는 2, 3, 5, 7, 2411, 이다.^[11]

는 모든 에 대해 라고 추측했으며, 이는 Lehmer의 추측으로 알려져 있다.^[11]^[20] Lehmer는 이 까지 이 추측을 확인했다.^[11] 다음 표는 이 조건이 모든 에 대해 성립하는 의 연속적으로 더 큰 값을 찾는 데 대한 진전을 요약한다.^[11]^[20]

	참고
	Lehmer (1947)
	Lehmer (1949)
	Serre (1973, p. 98), Serre (1985)
	Jennings (1993)
	Jordan and Kelly (1999)
	Bosman (2007)
	Zeng and Yin (2013)
	Derickx, van Hoeij, and Zeng (2013)

참조

_[1] OEIS
_[2] 서적
_[3] 논문
_[4] 논문
_[5] 문서
_[6] 문서
_[7] 논문
_[8] 논문
_[9] 문서
_[10] 간행물 A formula for Ramanujan's $\tau$-function https://projecteucli[...] 1975-09
_[11] 간행물 A new solution for the equation $\tau(p)\equiv 0 \pmod{p}$ https://cs.uwaterloo[...]
_[12] 서적
_[13] 논문
_[14] 논문
_[15] 문서
_[16] 문서
_[17] 논문
_[18] 논문
_[19] 문서
_[20] 웹사이트 http://www.lygeros.o[...]
_[21] 웹사이트 TauFunction http://mathworld.wol[...]

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