런던 방정식

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1. 개요
2. 런던 방정식
- 2.1. 런던 게이지
3. 런던 투과 깊이
- 3.1. 마이스너 효과와의 관계
4. 런던 방정식의 유도
- 4.1. 고전적인 유도
- 4.2. 정준 운동량(Canonical momentum)을 이용한 유도
5. 런던 방정식의 한계와 확장
6. 런던 방정식의 응용
참조

1. 개요

런던 방정식은 초전도 현상을 설명하는 데 사용되는 두 개의 방정식으로, 초전도 전류, 전기장, 자기장, 전하, 전자 질량, 대전 입자 밀도 등과 관련된 물리량 사이의 관계를 나타낸다. 이 방정식들을 통해 런던 투과 깊이를 유도할 수 있으며, 이는 외부 자기장이 초전도체 내부에서 지수함수적으로 감소하는 현상인 마이스너 효과를 설명하는 데 기여한다. 런던 방정식은 다양한 방법으로 유도될 수 있으며, 고전적인 유도 방법과 정준 운동량을 이용한 유도 방법이 존재한다. 하지만 런던 방정식은 비국소적 효과와 같은 몇 가지 한계를 가지고 있으며, 초전도 현상의 더 깊은 이해를 위해 확장된 이론이 필요하다.

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런던 방정식

2. 런던 방정식

런던 방정식은 초전도체 내에서 전류와 전자기장의 관계를 설명하는 두 개의 방정식이다. 이 방정식은 다음과 같이 표현된다.^[6]

: $\frac{\partial \mathbf{j}_s}{\partial t} = \frac{n_s e^2}{m}\mathbf{E}.$

: $\nabla \times \mathbf{j}_s = - \frac{n_s e^2}{m}\mathbf{B}.$

여기서 $\mathbf{j}_s$ 는 초전도 전류, $\mathbf{E}$ 와 $\mathbf{B}$ 는 초전도체 내부의 전기장과 자기장, $e$ 는 전자의 전하, $m$ 은 전자의 질량, $n_s$ 는 초전도 캐리어의 수 밀도와 관련된 상수이다.

이 두 방정식은 벡터 퍼텐셜 $\mathbf{A}$ 를 이용하여 하나의 방정식으로 나타낼 수 있다. (자세한 내용은 런던 게이지 하위 섹션 참조)

초전도체의 전류 밀도 $\boldsymbol{j}$ 가 자기장의 벡터 포텐셜 $\boldsymbol{A}$ 에 비례한다고 가정하면, 런던 방정식은 다음과 같이 표현된다.

: $\boldsymbol{j} = - \frac{1}{\mu _0\lambda^2} \boldsymbol{A}$

여기서 $\boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A}$ 이고, 비례 상수는 $- \frac{1}{\mu _0\lambda^2}$ 이다. (∇에 대해서는 나블라 참조)

양변에 rot를 취하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\nabla \times \boldsymbol{j} = - \frac{1}{\mu _0\lambda^2} \boldsymbol{B}$

맥스웰 방정식에 의해,

: $\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{j}$

양변에 rot를 취하여 정리하면,

: $\nabla^2 \boldsymbol{B} = \frac{\boldsymbol{B}}{\lambda^2}$

을 얻는다.

외부 자기장을 가했을 경우, 초전도체 내부의 자기장은 다음과 같이 지수 함수적으로 감소한다.

: $\boldsymbol{B} (x) =\boldsymbol{B} (0) \exp \left( -\frac{x}{\lambda} \right)$

이때 λ는 '''런던 침투 길이'''라고 하며, 특히 자기장에 대한 침투 길이에 대해서는 자기장 침투 깊이라고 한다. 런던 침투 길이는 자기장이 초전도체 내부로 침투하는 정도를 나타내는 지표이다.

전류에 대한 미분 방정식 및 침투 깊이도 유사하게 평가할 수 있으며, 전류 역시 대부분 표면을 따라 흐른다는 것을 알 수 있다.

: $\nabla^2 \boldsymbol{j} = \frac{\boldsymbol{j}}{\lambda^2}$

: $\boldsymbol{j} (x) =\boldsymbol{j} (0) \exp \left( -\frac{x}{\lambda} \right)$

2. 1. 런던 게이지

벡터 퍼텐셜

\mathbf{A}_s

를 이용하면 런던 방정식의 두 방정식을 하나로 합칠 수 있다. 이때 쿨롱 게이지를 사용하며, 벡터 퍼텐셜의 다이버전스를 0으로 설정한다. 이러한 게이지 변환을 통해 다음 방정식을 얻는다.^[6]

:

\mathbf{j}_{s} =-\frac{n_{\rm s}e^2}{m}\mathbf{A}_{\rm s}.

런던 게이지에서 벡터 퍼텐셜은 다음 조건을 만족해야 한다.^[9]

$\nabla\cdot \mathbf{A}_{\rm s} = 0,$
$\mathbf{A}_{\rm s} = 0$ (초전도체 내부에서)
$\mathbf{A}_{\rm s} \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0,$ ( $\hat{\mathbf{n}}$ 은 초전도체 표면의 법선 벡터)

첫 번째 조건은 쿨롱 게이지 조건으로, 초전도 전자 밀도가 일정하다는 것을 의미한다(

\dot \rho_{\rm s} = 0

). 두 번째 조건은 초전류가 표면 근처에서 흐른다는 사실과 관련이 있다. 세 번째 조건은 초전도 전자가 표면에 쌓이지 않도록 한다. 이러한 조건들을 통해 벡터 포텐셜은 유일하게 결정된다.^[9]

임의의 게이지

\mathbf{A}

에서 런던 방정식을 표현할 수도 있는데, 이때는

\mathbf{A}_{\rm s} = (\mathbf{A} + \nabla \phi)

로 정의한다. 여기서

\phi

는 스칼라 함수이고,

\nabla \phi

는 임의의 게이지를 런던 게이지로 변환하는 게이지 변화이다.^[10]

벡터 포텐셜 표현은 공간에서 천천히 변하는 자기장에 대해 유효하다.^[4]

3. 런던 투과 깊이

앙페르 회로 법칙을 두 번째 런던 방정식에 적용하면 자기장에 대한 헬름홀츠 방정식을 얻는다.^[11]

: $\nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{\lambda_{\rm s}^2}\mathbf{B}$

여기서 라플라시안 고유값의 역수:

: $\lambda_{\rm s} \equiv \sqrt{\frac{m}{\mu_0 n_{\rm s} e^2}}$

는 외부 자기장이 지수적으로 감소하는 특성 길이 척도이며, 이를 런던 투과 깊이라고 부른다. 런던 투과 깊이는 보통 50nm ~ 500nm 정도이다.

예를 들어, 초전도체 외부 자기장이 초전도 경계 평면에 평행하게 가해지는 경우, 초전도체 내부의 자기장은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $B_z(x) = B_0 e^{-x / \lambda_{\rm s}}. \,$

이 식에서 런던 투과 깊이의 물리적 의미를 쉽게 파악할 수 있다.

전류에 대해서도 비슷한 방식으로 미분 방정식 및 침투 깊이를 평가할 수 있다.

: $\nabla^2 \boldsymbol{j} = \frac{\boldsymbol{j}}{\lambda^2}$

: $\boldsymbol{j} (x) =\boldsymbol{j} (0) \exp \left( -\frac{x}{\lambda} \right)$

이를 통해 전류 대부분이 초전도체 표면을 따라 흐른다는 것을 알 수 있다.

이처럼 자기장이 침투하는 깊이를 나타내는 λ를 '''런던 침투 길이'''라고 하며, 특히 자기장에 대한 침투 길이는 자기장 침투 깊이라고 한다.

3. 1. 마이스너 효과와의 관계

두 번째 런던 방정식과 앙페르 회로 법칙을 이용하면 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있다.^[11]

:

\nabla \times \mathbf{B} = {\mu_0\mathbf{j}},

(앙페르 회로 법칙)

:

\nabla ^2 \mathbf{B} = \frac{1}{\lambda ^2}\mathbf{B},

\lambda = \sqrt{\frac{mc^2}{4\pi n_s e^2}}

.

여기서

\lambda

는 외부 자기장이 지수함수적으로 감소하는 길이 척도를 나타내는 값으로서 런던 투과 깊이라고 한다. 초전도체의 런던 투과 깊이는 보통 50nm ~ 500nm 정도이다.

런던 투과 깊이의 간단한 예로서, 경계면이 x방향에 평행한 초전도체가 있고 그 외부에 x방향의 균일한 자기장이 가해지고 있다면, 초전도체 내부의 자기장 크기는 다음 방정식을 따른다.

:

B_x(z) = B_0e^{-z/\lambda}.

이와 같이 런던 방정식을 풀면 자기장이 초전도체 내부에서 지수함수적으로 감소하는 결과를 얻는다. 이는 초전도체 내부의 자기장을 밀어내는 마이스너 효과와 일맥상통한다.

4. 런던 방정식의 유도

런던 방정식은 초전도 전류( $\mathbf{j}_s$ ), 전기장( $\mathbf{E}$ ), 자기장( $\mathbf{B}$ ), 전자의 질량( $m$ ), 전하( $e$ ), 대전 입자의 밀도와 관련된 상수( $n_s$ ) 사이의 관계를 나타내는 두 개의 방정식으로 표현된다.^[6]

: $\frac{\partial \mathbf{j}_s}{\partial t} = \frac{n_s e^2}{m}\mathbf{E}.$

: $\nabla \times \mathbf{j}_s = - \frac{n_s e^2}{m}\mathbf{B}.$

이 두 방정식은 벡터 퍼텐셜 $\mathbf{A}$ 를 이용하여 하나의 방정식으로 표현할 수 있다. 이때 쿨롱 게이지 조건( $\nabla \cdot \mathbf{A}_{\rm s} = 0$ 등)을 만족하는 런던 게이지를 사용한다.^[9]

: $\mathbf{j}_{s} = - \frac{n_s e^2}{m}\mathbf{A}_{\rm s}.$

이 식은 초전도체 내부에서 자기장이 지수 함수적으로 감소하는 현상인 마이스너 효과를 설명하는 데 중요한 역할을 한다.

4. 1. 고전적인 유도

위의 방정식들은 공식적으로 유도될 수 없지만, 런던 형제는 그들의 이론을 공식화할 때 특정한 직관적 논리를 따랐다.^[12] 놀랍도록 다양한 조성의 물질들은 옴의 법칙에 따라 동작하는데, 옴의 법칙은 전류가 전기장에 비례한다고 말한다. 그러나 이러한 선형 관계는 초전도체에서는 불가능하다. 초전도체의 전자들은 거의 정의상 저항 없이 흐르기 때문이다. 이를 위해 런던 형제는 전자들이 균일한 외부 전기장의 영향을 받는 자유 전자와 같다고 상상했다. 로렌츠 힘 법칙에 따르면, 이 전자들은 균일한 힘을 겪어야 하며, 따라서 실제로 균일하게 가속되어야 한다. 초전도체 내의 전자들이 전기장에 의해 구동된다고 가정하면, 전류 밀도의 정의에 따라 다음과 같아야 한다.

:

\frac{\partial \mathbf{j}_{s}}{\partial t} = -n_{\rm s} e \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t } =\frac{n_{\rm s} e^2}{m}\mathbf{E}

이것이 첫 번째 런던 방정식이다. 두 번째 방정식을 얻기 위해, 첫 번째 런던 방정식의 회전을 취하고 패러데이 유도 법칙을 적용하면,

:

\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

다음과 같은 결과를 얻는다.

:

\frac{\partial}{\partial t}\left( \nabla \times \mathbf{j}_{\rm s} + \frac{n_{\rm s} e^2}{m} \mathbf{B} \right) = 0.

현재 상태로 이 방정식은 상수 해와 지수적 감소 해를 모두 허용한다. 런던 형제는 마이스너 효과로부터 상수의 비영 해가 비물리적임을 인식하고, 위의 표현식의 시간 미분뿐만 아니라 괄호 안의 표현식도 0이 되어야 한다고 가정했다.

:

\nabla \times \mathbf{j}_{\rm s} + \frac{n_{\rm s} e^2}{m} \mathbf{B} = 0

이것은 두 번째 런던 방정식과

\mathbf{j}_{s} =-\frac{n_{\rm s}e^2}{m}\mathbf{A}_{\rm s}

(게이지 변환까지, "런던 게이지"를 선택하여 고정)을 초래한다. 자기장은

B=\nabla \times A_{\rm s}.

를 통해 정의되기 때문이다.

또한, 암페어의 법칙

\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j}_{\rm s}

에 따르면, 다음을 유도할 수 있다:

\nabla \times (\nabla\times \mathbf{B}) =\nabla \times \mu_0 \mathbf{j}_{\rm s}  =-\frac{\mu_0 n_{\rm s} e^2}{m} \mathbf{B}.

한편,

\nabla \cdot \mathbf{B} = 0

이므로,

\nabla \times (\nabla\times \mathbf{B}) = -\nabla^2\mathbf{B}

이며, 이는 자기장의 공간적 분포가 다음을 따른다는 것을 의미한다.

:

\nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{\lambda_{\rm s}^2}\mathbf{B}

여기서 침투 깊이

\lambda_{\rm s}=\sqrt{\frac{m}{\mu_0 n_{\rm s} e^2}}

이다. 1차원에서, 이러한 헬름홀츠 방정식은 해의 형태가

B_z(x) = B_0 e^{-x / \lambda_{\rm s}}. \,

이다.

초전도체 내부

(x>0)

에서, 자기장은 지수적으로 감소하며, 이는 마이스너 효과를 잘 설명한다. 자기장 분포를 사용하여, 암페어의 법칙

\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j}_{\rm s}

를 다시 사용하여 초전류

\mathbf{j}_{\rm s}

가 초전도체의 표면 근처에서 흐른다는 것을 알 수 있다. 이는

\mathbf{j}_{\rm s}

를 물리적 전류로 해석하기 위한 요구 사항에서 예상되는 바이다.

위의 근거는 초전도체에 적용되지만, 완전 도체에 대해서도 같은 방식으로 주장할 수 있다. 그러나 초전도체와 완전 도체를 구별하는 중요한 사실은 완전 도체가

T 에서 마이스너 효과를 나타내지 않는다는 것이다. 가설 \nabla \times \mathbf{j}_{\rm s} + \frac{n_{\rm s} e^2}{m} \mathbf{B} = 0 은 완전 도체에 적용되지 않는다. 대신, 시간 미분을 유지해야 하며 제거할 수 없다. 그 결과 \mathbf{B} 필드 (대신 \mathbf{B} 필드)의 시간 미분은 다음을 따른다.

:

\nabla^2 \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \frac{1}{\lambda_{\rm s}^2}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

T 의 경우, 완전 도체 내부 깊숙이 들어가면, 초전도체처럼 \mathbf{B}=0 이 아닌 \dot \mathbf{B} = 0 을 갖게 된다. 결과적으로, 완전 도체 내의 자기 선속이 사라지는지 여부는 초기 조건(영장 냉각인지 아닌지)에 달려 있다.

4. 2. 정준 운동량(Canonical momentum)을 이용한 유도

런던 방정식은 다른 방법으로도 정당화할 수 있다.^[13]^[14] 전류 밀도는 다음 방정식에 따라 정의된다.

:

\mathbf{j}_{\rm s} =- n_{\rm s} e \mathbf{v}_{\rm s}.

이 표현을 고전적인 설명에서 양자역학적인 설명으로 가져오려면, 값

\mathbf{j}_{\rm s}

과

\mathbf{v}_{\rm s}

을 해당 연산자의 기대값으로 대체해야 한다. 속도 연산자

:

\mathbf{v}_{\rm s} = \frac{1}{m} \left( \mathbf{p} + e \mathbf{A}_{\rm s} \right)

는 게이지 불변, 운동량 연산자를 입자 질량 ''m''으로 나누어 정의된다.^[15] 여기에서

-e

를 전자의 전하로 사용하고 있음에 유의하라.

그런 다음 위의 방정식에서 이 대체를 수행할 수 있다. 그러나 초전도 미시 이론에서 중요한 가정은 시스템의 초전도 상태가 바닥 상태라는 것이며, 블로흐의 정리에 따르면,^[16] 이러한 상태에서 정준 운동량 '''p'''는 0이다. 따라서

:

\mathbf{j} =-\frac{n_{\rm s}e^2}{m}\mathbf{A}_{\rm s},

가 남으며, 이는 위에서 언급한 두 번째 공식에 따른 런던 방정식이다.

5. 런던 방정식의 한계와 확장

런던 방정식은 초전도 현상을 설명하는 데 중요한 역할을 하지만, 몇 가지 한계를 가지고 있다.

국소적 관계: 런던 방정식은 전류 밀도와 자기장이 같은 위치에서 서로 직접적으로 관련되어 있다는 국소적 관계를 가정한다. 그러나 실제 초전도체에서는 쿠퍼 쌍의 크기(결맞음 길이, ξ)가 런던 침투 깊이(λ)보다 큰 경우가 많다. 이러한 비국소적 효과는 핍파드 방정식으로 더 정확하게 설명할 수 있다.
고온 초전도체: 런던 방정식은 저온 초전도체에는 잘 적용되지만, 고온 초전도체에서는 잘 맞지 않는 경우가 많다. 고온 초전도체의 복잡한 전자 구조와 강한 상호작용은 런던 방정식의 단순한 가정으로는 설명하기 어렵다.
강한 자기장: 런던 방정식은 약한 자기장에서만 유효하며, 강한 자기장에서는 초전도 상태가 파괴될 수 있다. 이는 런던 방정식이 선형 방정식이기 때문에 자기장의 세기에 따라 초전도 전류가 무한히 증가할 수 없기 때문이다.

이러한 한계를 극복하기 위해 런던 방정식을 확장하려는 다양한 시도가 있었다. 예를 들어, 핍파드 방정식은 비국소적 효과를 고려하며, 긴즈부르크-란다우 이론은 초전도 상태의 공간적 변화와 상전이를 설명한다. 또한, 고온 초전도체를 설명하기 위한 새로운 이론들이 활발히 연구되고 있다.

6. 런던 방정식의 응용

런던 방정식의 두 번째 식에 앙페르의 법칙을 적용하여 조작하면,^[11] 자기장에 대한 헬름홀츠 방정식으로 바꿀 수 있다.

: $\nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{\lambda_{\rm s}^2}\mathbf{B}$

여기서 라플라시안 고유값의 역수:

: $\lambda_{\rm s} \equiv \sqrt{\frac{m}{\mu_0 n_{\rm s} e^2}}$

는 외부 자기장이 지수적으로 감소하는 특성 길이 척도인 $\lambda_{\rm s}$ 이며, 이는 런던 침투 깊이라고 불린다. 일반적인 값은 50 ~ 500 nm이다.

예를 들어, 초전도체 외부의 자기장이 초전도 경계 평면에 평행하게 가리키는 일정한 값인 자유 공간 내의 초전도체를 고려해 보자. ''x''가 경계에 수직하다면 초전도체 내부의 해는 다음과 같다.

: $B_z(x) = B_0 e^{-x / \lambda_{\rm s}}. \,$

여기에서 런던 침투 깊이의 물리적 의미를 가장 쉽게 식별할 수 있다.

참조

_[1] 논문 The Electromagnetic Equations of the Supraconductor
_[2] 서적 Introduction to Superconductivity McGraw-Hill
_[3] 서적 Solid State Physics https://archive.org/[...] Saunders College
_[4] 서적 Introduction to Solid State Physics Wiley
_[5] 논문 Ein neuer Effekt bei Eintritt der Supraleitfähigkeit
_[6] 서적 Superconductivity, Superfluids and Condensates https://archive.org/[...] Oxford
_[7] 서적 Classical Electrodynamics https://archive.org/[...] John Wiley & Sons
_[8] 논문 On the Problem of the Molecular Theory of Superconductivity https://journals.aps[...] 1948-09-01
_[9] 서적 Introduction to Superconductivity https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[10] 논문 Choice of Gauge in London's Approach to the Theory of Superconductivity https://link.aps.org[...] 1951-02-01
_[11] 문서
_[12] 서적 Introduction to Superconductivity https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[13] 서적 Classical Electrodynamics https://archive.org/[...] John Wiley & Sons
_[14] 서적 Introduction to Superconductivity https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[15] 서적 Quantum Mechanics- Non-relativistic Theory Butterworth-Heinemann
_[16] 문서
_[17] 문서

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