벡터 퍼텐셜

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1. 개요
2. 정의
3. 전기장과 자기장의 표현
4. 게이지 변환
- 4.1. 쿨롱 게이지
- 4.2. 로렌츠 게이지
5. 벡터 퍼텐셜의 존재 조건
6. 벡터 퍼텐셜을 구하는 방법
7. 벡터 퍼텐셜의 비유일성
참조

1. 개요

벡터 퍼텐셜은 자기장의 발산이 0인 경우 자기장을 표현하기 위해 사용되는 벡터장이다. 자기장 '''B'''를 벡터 퍼텐셜 '''A'''의 회전(∇ × '''A''')으로 나타낼 수 있으며, 이 표현은 유일하지 않다. 전기장과 자기장의 표현, 게이지 변환, 벡터 퍼텐셜의 존재 조건, 구하는 방법, 비유일성 등을 포함한다. 특히 게이지 변환을 통해 벡터 퍼텐셜을 변경할 수 있으며, 쿨롱 게이지와 로렌츠 게이지가 널리 사용된다.

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벡터 퍼텐셜
개요
유형	벡터장
분야	벡터 미적분학
정의
정의	어떤 벡터장의 회전을 나타내는 또 다른 벡터장
수학적 표현
표기	A
관련 표현	B = ∇ × A 여기서 B는 회전, A는 벡터 퍼텐셜
성질	∇ ⋅ (∇ × A) = 0 (벡터 퍼텐셜의 발산은 0)
활용 분야
전자기학	자기장을 나타내는 데 사용
유체역학	유체의 속도장을 나타내는 데 사용
기타	양자역학 등 다양한 분야에서 활용

2. 정의

가우스 자기 법칙에 따르면 자기장 $\mathbf{B}$ 의 발산은 항상 0이다.

: $\nabla\cdot\mathbf B=0$ .

발산이 0인 벡터장은 (약간의 수학적 조건을 만족하면) 항상 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

: $\mathbf B=\nabla\times\mathbf A$ .

여기서 $\nabla\times$ 는 회전 연산자이고, $\mathbf A$ 는 '''벡터 퍼텐셜'''이다. (다만, 이 조건을 만족하는 벡터장 $\mathbf A$ 는 유일하지 않다.)

벡터장 $\mathbf{v}$ 가 벡터 퍼텐셜 $\mathbf{A}$ 를 허용한다면,

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$

(발산의 회전은 0이다)이라는 등식으로부터 다음을 얻을 수 있다.

$\nabla \cdot \mathbf{v} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0,$

이는 $\mathbf{v}$ 가 반드시 솔레노이드 벡터장이어야 함을 의미한다.

'''D'''를 '''R'''³의 영역으로 한다. '''''v''''' : '''R'''³ → '''R'''³을 ''D''의 근방에서 정의된 미분 가능한 3차원 벡터장으로 한다.

이 때, 3차원 벡터장 '''''A'''''가 '''''v'''''의 '''벡터 퍼텐셜'''이라는 것은,

: $\operatorname{rot}\boldsymbol{A} =\boldsymbol{v}$

임을 의미한다.

3. 전기장과 자기장의 표현

자기장 $\mathbf{B}$ 의 시간에 따른 변화량이 없을 때 전기장 $\mathbf{E}$ 는 스칼라 퍼텐셜의 기울기만으로 나타낼 수 있다. 그 이유는 자기장의 시간에 따른 변화가 없을 경우 패러데이 법칙에 의하여 전기장의 회전이 0이 되기 때문이다. 하지만 자기장이 시간에 따라 변화하는 경우, 전기장을 퍼텐셜로 표현할 때 스칼라 퍼텐셜로만은 표현할 수 없고 벡터 퍼텐셜에 의한 효과가 추가된다.

i) $\nabla \times \mathbf{E} = 0 \Rightarrow \mathbf{E} = - \nabla V$

ii) $\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \Rightarrow \mathbf{E} = - \nabla V- \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$

4. 게이지 변환

전기장과 자기장을 변화시키지 않으면서 벡터 퍼텐셜(벡터)을 변환하는 과정을 게이지 변환(gauge transformation)이라고 한다. 이때 스칼라 퍼텐셜 V도 함께 변환시켜야 한다.

: $\mathbf{A'} = \mathbf{A} + \nabla \lambda$

: $V' = V - \frac{\partial \lambda}{\partial t}$

여기서 $\lambda$ 는 임의의 스칼라 함수로, 게이지 함수라고 부른다. 이 게이지 함수를 바꾸어가며 두 퍼텐셜을 바꿀 수 있다. 솔레노이드 장이 허용하는 벡터 퍼텐셜은 유일하지 않다. 만약 $\mathbf{A}$ 가 $\mathbf{v}$ 에 대한 벡터 퍼텐셜이라면, 임의의 연속적으로 미분 가능한 스칼라 함수 $f$ 에 대해 $\mathbf{A} + \nabla f,$ 또한 벡터 퍼텐셜이 된다. 이는 기울기의 회전이 0이라는 사실에서 비롯된다.

이러한 비유일성은 전자기학 공식화에 자유도를 부여하며, 이를 게이지 자유도라고 한다. 따라서 게이지를 고정해야 한다. 3차원 벡터장 '''A'''가 '''v'''의 벡터 퍼텐셜일 때, rot '''X''' = '''0'''이 되는 벡터장에 대해, : $\operatorname{rot}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{X}) =\boldsymbol{v}$ 가 성립한다.

따라서 다음 정리가 성립한다.

'''A'''가 '''v'''의 벡터 퍼텐셜일 때, 벡터장 '''X'''가 :rot '''X''' = '''0''' 을 만족하면, '''A''' + '''X''' 또한 '''v'''의 벡터 퍼텐셜이다.

흔히 쓰이는 게이지로는 쿨롱 게이지와 로렌츠 게이지 등이 있다.

4. 1. 쿨롱 게이지

쿨롱 게이지는 벡터 퍼텐셜의 발산이 0인 조건을 추가하여 벡터 퍼텐셜을 정하는 방식이다. 스칼라 퍼텐셜이 푸아송 방정식을 만족시키므로 정전기학에서 주로 쓰인다.

:

\nabla \cdot \mathbf{A} = 0

:

\nabla ^2 V = - \frac{\rho}{\epsilon}

4. 2. 로렌츠 게이지

로렌츠 게이지에서는 벡터 퍼텐셜의 발산이 다음과 같은 관계를 만족하도록 한다. 전기장과 자기장이 시간에 따라 변화하는 일반적인 상황에서 주로 쓰이는 게이지이다.^[1]

:

\nabla \cdot \mathbf{A} = - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t}

로렌츠 게이지 아래에서 맥스웰 방정식을 정리하면 두 퍼텐셜이 다음과 같은 두 방정식을 만족함을 알 수 있다.^[1]

:

\nabla ^2 \mathbf{A} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = - \mu_0 \mathbf{J}

:

\nabla ^2 V - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2 V}{\partial t^2} = - \frac{\rho}{\epsilon_o}

스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜에 관련된 위 두 방정식의 해는 다음과 같다.^[1]

:

V(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r'},t_r)}

d\tau'

:

\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r'},t_r)}

d\tau'

:

t_r = t -\frac

{c}

retarded time|지연 시간^영어 (

t_r

)는 전기장과 자기장을 만드는 근원 역할을 하는 전하와 전류로부터 거리를 고려한 시간이다. 지연 시간으로 계산된 퍼텐셜을 지연 퍼텐셜이라고 부른다.^[1]

5. 벡터 퍼텐셜의 존재 조건

벡터장 $\mathbf{v}$ 가 벡터 퍼텐셜 $\mathbf{A}$ 를 가지려면, 발산의 회전은 0이라는 등식에 의해 다음이 성립해야 한다.

: $\nabla \cdot \mathbf{v} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0,$

이는 $\mathbf{v}$ 가 반드시 솔레노이드 벡터장이어야 함을 의미한다.

$\mathbf{v} : \R^3 \to \R^3$ 가 두 번 미분가능한 솔레노이드 벡터장이고, $\mathbf{v}(\mathbf{x})$ 는 $\| \mathbf{x}\| \to \infty$ 일 때 적어도 $1/\|\mathbf{x}\|$ 만큼 빠르게 감소한다고 가정하면, 다음을 정의할 수 있다.

: $\mathbf{A} (\mathbf{x}) = \frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbb R^3} \frac{ \nabla_y \times \mathbf{v} (\mathbf{y})}{\left\|\mathbf{x} -\mathbf{y} \right\|} \, d^3\mathbf{y}$

여기서 $\nabla_y \times$ 는 변수 $\mathbf{y}$ 에 대한 회전을 나타낸다. 그러면 $\mathbf{A}$ 는 $\mathbf{v}$ 에 대한 벡터 퍼텐셜이 된다. 즉,

: $\nabla \times \mathbf{A} =\mathbf{v}.$

이때 적분 영역은 임의의 단순 연결 영역 $\mathbf{\Omega}$ 로 제한될 수 있다.

이 정리의 일반화는 헬름홀츠 분해 정리이며, 모든 벡터장은 솔레노이드 벡터장과 비회전 벡터장의 합으로 분해될 수 있다고 명시한다.

3차원 벡터장 '''A'''가 '''v'''의 벡터 퍼텐셜일 때, 벡터 해석의 항등식

: $\operatorname{div}\operatorname{rot}=0$

을 고려하면,

: $0=\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{A})=\operatorname{div}\boldsymbol{v}$

이 성립한다. 따라서, $\operatorname{div} \mathbf{v} \neq 0$ 인 경우, '''v'''는 벡터 퍼텐셜을 갖지 않는다.

6. 벡터 퍼텐셜을 구하는 방법

벡터 퍼텐셜을 구하는 방법에는 여러 가지가 있다. 일반적으로 벡터 퍼텐셜은 구하는 방법에 따라 다른 결과가 나오지만, 어떤 해법으로 얻어진 것이든 서로 게이지 변환으로 연결된다.

두 번 미분가능한 솔레노이드 벡터장 $\mathbf{v} : \R^3 \to \R^3$ 를 생각해보자. $\mathbf{v}(\mathbf{x})$ 는 $\| \mathbf{x}\| \to \infty$ 일 때 적어도 $1/\|\mathbf{x}\|$ 만큼 빠르게 감소한다고 가정한다. 이러한 조건을 만족하는 벡터 퍼텐셜은 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $\mathbf{A} (\mathbf{x}) = \frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbb R^3} \frac{ \nabla_y \times \mathbf{v} (\mathbf{y})}{\left\|\mathbf{x} -\mathbf{y} \right\|} \, d^3\mathbf{y}$

여기서 $\nabla_y \times$ 는 변수 $\mathbf{y}$ 에 대한 컬(curl)을 나타낸다. 이때, $\mathbf{A}$ 는 $\mathbf{v}$ 에 대한 벡터 퍼텐셜이 되며, 다음을 만족한다.

: $\nabla \times \mathbf{A} =\mathbf{v}.$

적분 영역은 임의의 단순 연결 영역 $\mathbf{\Omega}$ 로 제한될 수 있다.

: $\mathbf{A'} (\mathbf{x}) = \frac{1}{4 \pi} \int_{\Omega} \frac{ \nabla_y \times \mathbf{v} (\mathbf{y})}{\left\|\mathbf{x} -\mathbf{y} \right\|} \, d^3\mathbf{y}.$

이러한 정리는 헬름홀츠 분해의 일반화된 형태로, 모든 벡터장은 솔레노이드 벡터장과 비회전 벡터장의 합으로 분해될 수 있음을 의미한다.

다른 방법으로는, 비오-사바르 법칙과의 유사성을 이용하여 벡터 퍼텐셜을 구할 수 있다.

: $\mathbf{A''}(\mathbf{x}) =\int_\Omega \frac{\mathbf{v}(\mathbf{y}) \times (\mathbf{x} - \mathbf{y})}{4 \pi |\mathbf{x} - \mathbf{y}|^3} d^3 \mathbf{y}$ .

$\mathbf{v}$ 대신 전류 밀도 $\mathbf{j}$ 를, $\mathbf{A}$ 대신 H-장 $\mathbf{H}$ 를 대입하면 비오-사바르 법칙이 유도된다.

또한, 미분 형식에 대한 푸앵카레 보조정리를 벡터장에 적용할 수도 있다.

6. 1. 호모토피 방법을 이용한 벡터 퍼텐셜 계산

'''정리''' (호모토피법에 의한 벡터 퍼텐셜 계산)^[1]

'''p'''는 '''R'''³의 한 점이다. ''M''은 '''R'''³의 영역이며, 점 '''p'''를 중심으로 하는 별 모양 영역이다.

또한, ''M'' 위에서 정의된 3차원 벡터장 '''X'''가 div '''X''' = 0을 만족한다고 하자.

이 때, 3차원 벡터장 '''F''' ('''x''') 를 다음과 같이 정의한다.

:

\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})=\int_0^1 s ((\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p})\times ( \boldsymbol{X}( s \boldsymbol{x} + (1-s) \boldsymbol{p} ))\ ds

그러면, '''F'''는 '''X'''의 벡터 퍼텐셜이다.

이 정리는 미분 형식에 대한 푸앵카레 보조정리의 증명에서 자주 사용되는 방법에 기반하고 있지만, 물리학적인 의미는 부족하다.

6. 2. 비오-사바르 법칙과의 유추를 이용한 계산

두 번 미분가능한 솔레노이드 벡터장

\mathbf{v} : \R^3 \to \R^3

를 생각하자.

\mathbf{v}(\mathbf{x})

는

\| \mathbf{x}\| \to \infty

일 때 적어도

1/\|\mathbf{x}\|

만큼 빠르게 감소한다고 가정한다. 이때, 다음 식으로 주어지는

\mathbf{A} (\mathbf{x})

는

\mathbf{v}

에 대한 벡터 퍼텐셜이다.

:

\mathbf{A} (\mathbf{x}) = \frac{1}{4 \pi}  \int_{\mathbb R^3} \frac{ \nabla_y \times \mathbf{v} (\mathbf{y})}{\left\|\mathbf{x} -\mathbf{y} \right\|} \, d^3\mathbf{y}

여기서

\nabla_y \times

는 변수

\mathbf{y}

에 대한 컬(curl)을 나타낸다. 즉,

:

\nabla \times \mathbf{A} =\mathbf{v}.

적분 영역은 임의의 단순 연결 영역

\mathbf{\Omega}

로 제한될 수 있다. 즉, 다음

\mathbf{A'}

역시

\mathbf{v}

의 벡터 퍼텐셜이다.

:

\mathbf{A'} (\mathbf{x}) = \frac{1}{4 \pi}  \int_{\Omega} \frac{ \nabla_y \times \mathbf{v} (\mathbf{y})}{\left\|\mathbf{x} -\mathbf{y} \right\|} \, d^3\mathbf{y}.

이것은 헬름홀츠 분해 정리의 일반화로, 모든 벡터장은 솔레노이드 벡터장과 비회전 벡터장의 합으로 분해될 수 있다는 것을 보여준다.

비오-사바르 법칙과의 유사성에 의해, 다음

\mathbf{A''}(\mathbf{x})

또한

\mathbf{v}

에 대한 벡터 포텐셜로 간주될 수 있다.

:

\mathbf{A''}(\mathbf{x}) =\int_\Omega \frac{\mathbf{v}(\mathbf{y}) \times (\mathbf{x} - \mathbf{y})}{4 \pi |\mathbf{x} - \mathbf{y}|^3} d^3 \mathbf{y}

.

\mathbf{v}

대신

\mathbf{j}

(전류 밀도)를,

\mathbf{A}

대신

\mathbf{H}

(H-장)를 대입하면 비오-사바르 법칙을 얻을 수 있다.

\mathbf{\Omega}

가 점

\mathbf{p}

를 중심으로 하는 별 모양 영역 (

\mathbf{p}\in \R^3

)이라고 할 때, 미분 형식에 대한 푸앵카레 보조정리를 벡터장에 적용하면, 다음

\mathbf{A'''}(\mathbf{x})

또한

\mathbf{v}

에 대한 벡터 포텐셜이 된다.

:

\mathbf{A'''}(\mathbf{x})=\int_0^1 s ((\mathbf{x}-\mathbf{p})\times ( \mathbf{v}( s \mathbf{x} + (1-s) \mathbf{p} ))\ ds

비오-사바르 법칙과의 유추를 통해, 전류 밀도와 자기장과의 관계를 이용해 다음의 벡터 퍼텐셜을 정의할 수 있다. 이를 전류 벡터 퍼텐셜이라고 부른다.

'''j'''를 무한대에서 '''0'''이며, div '''j''' = 0을 만족하는 단일 연결 영역 ''V''상에서 정의된 3차원 벡터장이라고 하자. 이 때,

:

\boldsymbol{H} =\int_V \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{s}) \times (\boldsymbol{r} - \boldsymbol{s})}{4 \pi |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{s}|^3} d^3 \boldsymbol{s}

는 '''j'''의 벡터 퍼텐셜이다.

이는 다음 과정을 통해 증명할 수 있다.

양변에 rot을 취하면,

:

\operatorname{rot}\boldsymbol{H}  = \frac{1}{4 \pi} \int_V \operatorname{rot} \left(\boldsymbol{j} \times \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}\right) d^3 \boldsymbol{s}

이다. 벡터 해석의 항등식에 의해

:

\operatorname{rot} \left(\boldsymbol{j} \times \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}\right)= \left(\operatorname{div} \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}\right) \boldsymbol{j} - (\operatorname{div}\boldsymbol{j}) \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}

이다. 또한,

:

\operatorname{div} \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}= 4\pi \delta (r)

이므로,

:

\operatorname{rot} \boldsymbol{H} = \frac{1}{4 \pi} \int_V 4\pi \delta (r) \boldsymbol{j} d^3 \boldsymbol{s}

가 된다. 적분을 계산하면, 최종적으로

:

\operatorname{rot} \boldsymbol{H} = \boldsymbol{j}

를 얻는다.

6. 3. 헬름홀츠 정리를 이용한 계산

\mathbf{v} : \R^3 \to \R^3

를 두 번 미분가능한 솔레노이드 벡터장이라 하고,

\mathbf{v}(\mathbf{x})

는

\| \mathbf{x}\| \to \infty

일 때 적어도

1/\|\mathbf{x}\|

만큼 빠르게 감소한다고 가정한다. 이때 다음이 성립한다.

:

\mathbf{A} (\mathbf{x}) = \frac{1}{4 \pi}  \int_{\mathbb R^3} \frac{ \nabla_y \times \mathbf{v} (\mathbf{y})}{\left\|\mathbf{x} -\mathbf{y} \right\|} \, d^3\mathbf{y}

여기서

\nabla_y \times

는 변수

\mathbf{y}

에 대한 컬(curl)을 나타낸다. 그러면

\mathbf{A}

는

\mathbf{v}

에 대한 벡터 포텐셜이다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\nabla \times \mathbf{A} =\mathbf{v}.

적분 영역은 임의의 단순 연결 영역

\mathbf{\Omega}

로 제한될 수 있다. 이 경우에도 다음

\mathbf{A'}

역시

\mathbf{v}

의 벡터 포텐셜이다.

:

\mathbf{A'} (\mathbf{x}) = \frac{1}{4 \pi}  \int_{\Omega} \frac{ \nabla_y \times \mathbf{v} (\mathbf{y})}{\left\|\mathbf{x} -\mathbf{y} \right\|} \, d^3\mathbf{y}.

\mathbf{v}

대신

\mathbf{j}

(전류 밀도)를,

\mathbf{A}

대신

\mathbf{H}

(H-장)를 대입하면 비오-사바르 법칙이 도출된다.

헬름홀츠 정리의 특수한 경우로, 시간 변동이 없는 자기장으로부터 전자기 벡터 포텐셜을 구하는 방법은 다음과 같다.

'''H'''를 무한대에서 '''0'''이고, div '''H''' = 0을 만족하는, 단일 연결 영역 ''V''상에서 정의된 3차원 벡터장이라고 할 때,

:

\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{s})}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}\right|}\mathrm{d}s

는, '''''H'''''의 벡터 포텐셜이다.

7. 벡터 퍼텐셜의 비유일성

벡터 퍼텐셜은 유일하지 않으며 전기장과 자기장을 변화시키지 않는 범위 내에서 변화시킬 수 있다. 단, 전기장과 자기장을 변화시키지 않는 범위 내에서 벡터 퍼텐셜을 변화시키려면 스칼라 퍼텐셜 $V$ 까지 같이 변화시켜야 한다. 전기장과 자기장을 변화시키지 않으면서 두 퍼텐셜을 변화시키는 과정을 게이지 변환이라고 부른다.

: $\mathbf{A'} = \mathbf{A} + \nabla \lambda$

: $V' = V - \frac{\partial \lambda}{\partial t}$

위 두 식의 $\lambda$ 는 임의의 스칼라 함수이며 게이지 함수라고 부른다. 이 게이지를 바꾸어가며 두 퍼텐셜을 바꿀 수 있다. 흔히 쓰이는 게이지로는 쿨롱 게이지Coulomb gauge^영어와 로렌츠 게이지 등이 있다.

솔레노이드 장이 허용하는 벡터 퍼텐셜은 유일하지 않다. 만약 $\mathbf{A}$ 가 $\mathbf{v}$ 에 대한 벡터 퍼텐셜이라면, 다음 또한 그러하다.^[1]

: $\mathbf{A} + \nabla f,$

여기서 $f$ 는 임의의 연속적으로 미분 가능한 스칼라 함수이다. 이는 기울기의 회전이 0이라는 사실에서 비롯된다.^[1]

이 비유일성은 전자기학의 공식화에 자유도를 가져오며, 이는 게이지 자유도이며, 게이지 고정을 선택해야 한다.^[1]

3차원 벡터장 '''A'''가 '''v'''의 벡터 퍼텐셜이라고 하자. 이 때, rot '''X''' = '''0'''이 되는 벡터장에 대해,^[1]

: $\operatorname{rot}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{X}) =\boldsymbol{v}$

가 성립한다. 따라서, 다음의 정리가 성립한다.^[1]

'''A'''가 '''v'''의 벡터 퍼텐셜일 때, 벡터장 '''X'''가

:rot '''X''' = '''0'''

을 만족하면, '''A''' + '''X''' 또한 '''v'''의 벡터 퍼텐셜이다.^[1]

참조

_[1] 서적 ベクトル解析 (現代数学レクチャーズ C- 1) 培風館 1979-01
_[2] 서적 電磁場とベクトル解析 (現代数学への入門) 岩波書店 2004-01-07
_[3] 서적 微分積分学裳華房 1993-01

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