긴즈부르크-란다우 이론

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1. 개요

긴즈부르크-란다우 이론은 대전된 복소 스칼라장과 자기장의 상호작용을 다루는 이론으로, 초전도 현상을 설명한다. 이 이론은 자유 에너지를 통해 초전도 상전이를 설명하며, 온도에 따라 U(1) 게이지 대칭이 깨지면서 광자가 질량을 얻는 힉스 메커니즘이 발생한다. 결맞음 길이와 침투 깊이의 비인 긴즈부르크-란다우 매개변수에 따라 초전도체를 1종과 2종으로 구분하며, 자기 선속의 양자화와 저항의 부재를 설명한다. 긴즈부르크-란다우 방정식과 이를 선형화한 방정식을 통해 다양한 열역학적 양을 계산할 수 있으며, 끈 이론과 기하학적 공식화에도 적용된다. 1950년 비탈리 긴즈부르크와 레프 란다우에 의해 도입되었으며, 알렉세이 아브리코소프, 레프 고리코프의 연구를 통해 발전했다.

긴즈부르크-란다우 이론

개요

유형	물리 이론
분야	초전도
개발자	비탈리 긴즈부르크 레프 란다우
발표 연도	1950년
관련 항목	런던 방정식, 쿠퍼 쌍, BCS 이론

상세 내용

주요 내용	거시적인 현상론적 초전도 이론으로, 초전도체의 자유 에너지를 질서 변수와 그 기울기를 사용하여 표현하고, 초전도 현상을 설명한다.
질서 변수	초전도 쿠퍼 쌍의 밀도를 나타내는 복소수 함수
자유 에너지	초전도체의 열역학적 상태를 기술하는 함수로, 질서 변수와 외부 자기장에 의존한다.
응용 분야	초전도체의 특성 연구, 초전도 소자 설계, 고온 초전도체 연구 등

수학적 표현

자유 에너지 함수	F = F_n + α\|ψ\|^2 + (β/2)\|ψ\|^4 + (1/2m)\|(-iħ∇ - qA)ψ\|^2 + (h^2/2μ_0)
긴즈부르크-란다우 방정식	αψ + β\|ψ\|^2ψ + (1/2m)(-iħ∇ - qA)^2ψ = 0
변수 설명	ψ: 질서 변수 A: 벡터 퍼텐셜 α, β: 온도에 의존하는 현상론적 파라미터 m: 쿠퍼 쌍의 유효 질량 q: 쿠퍼 쌍의 전하 ħ: 디랙 상수 h: 자기장 μ₀: 진공 투자율

역사적 맥락

배경	초전도 현상의 거시적인 이해를 제공하기 위해 개발됨
발전	BCS 이론의 등장으로 미시적인 이론적 토대가 확립됨

중요성

의의	초전도체의 다양한 현상을 설명하고 예측하는 데 기여함
영향	초전도체 연구 및 응용 분야에 큰 영향을 미침

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초전도 - 초전도 현상
초전도 - 고온 초전도체

1. 개요
2. 정의
3. 초전도체의 성질
4. 긴즈부르크-란다우 방정식
5. 선형 긴즈부르크-란다우 방정식
6. 긴즈부르크-란다우 모델의 포화
7. 기하학적 공식화
- 7.1. 특정 결과
8. 자기 쌍대성
9. 끈 이론에서의 긴즈부르크-란다우 이론
10. 역사
11. 참고 문헌

2. 정의

긴즈부르크-란다우 이론은 대전된 복소 스칼라장 $\phi$ 와 이와 상호작용하는 자기장 $B_i=\epsilon_{ijk}F_{jk}/2$ 을 포함하는 이론이다. 그 자유 에너지는 다음과 같다. (편의상 $\hbar=c=\mu_0=1$ 인 자연단위계를 사용하였다.)

: $E=\frac14(F_{ij})^2+\frac12\left|(\partial+iqA)\phi\right|^2+V(\phi)$

여기서 $V(\phi)$ 는 멕시코 모자 퍼텐셜로, 다음과 같은 꼴이다.

: $V(\phi)=\lambda(|\phi|^2-\mu^2)^2=-2\lambda\mu^2|\phi|^2+\lambda|\phi|^4+\text{const.}$

$-\mu^2<0$ 이라면 전자기장의 U(1) 게이지 대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪게 되고, 이에 따라 힉스 메커니즘에 의하여 광자가 질량을 얻게 된다.

란다우와 긴즈부르크는 자유 에너지 밀도 $f_s$ 가 초전도 전이 근처의 초전도체에서 복소수 order parameter, 순서 매개변수 장 $\psi(r) = |\psi(r)|e^{i\phi(r)}$ 로 표현될 수 있다고 주장했는데, 여기서 $|\psi(r)|^2$ 는 양자역학적 파동 함수와 유사한 초전도 전자 $n_s(r)$ 의 국소 밀도를 나타낸다. $\psi(r)$ 은 초전도 상태로의 상전이 아래에서 0이 아닌 값을 가지지만, 이 매개변수에 대한 직접적인 해석은 원래 논문에서 제공되지 않았다. $|\psi|$ 의 작음과 그 gradient, 기울기의 작음을 가정하면, 자유 에너지 밀도는 장 이론의 형태를 가지며 U(1) 게이지 대칭성을 나타낸다.

$f_s = f_n + \alpha(T)|\psi|^2 + \frac{1}{2}\beta(T)|\psi|^4 + \frac{1}{2m^*}\left|\left(-i\hbar\nabla - \frac{e^*}{c}\mathbf{A}\right)\psi\right|^2 + \frac{\mathbf{B}^2}{8\pi},$

여기서

* $f_n$ 은 정상 상의 자유 에너지 밀도이고,
* $\alpha(T)$ 와 $\beta(T)$ 는 T의 함수인 현상론적 매개변수이다(종종 단순히 $\alpha$ 와 $\beta$ 로 작성됨).
* $m^*$ 는 유효 질량이고,
* $e^*$ 는 유효 전하이다(일반적으로 e가 전자의 전하일 때 $2e$ ).
* $\mathbf{A}$ 는 자기 벡터 포텐셜이며,
* $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ 는 자기장이다.

총 자유 에너지는 $F = \int f_s d^3r$ 로 주어진다. order parameter $\psi$ 와 벡터 포텐셜 $\mathbf{A}$ 의 변화에 대한 최소화를 통해, 긴즈부르크-란다우 방정식이 도출된다.

$\alpha \psi + \beta |\psi|^2 \psi + \frac{1}{2m^*} \left(-i\hbar\nabla - \frac{e^*}{c}\mathbf{A} \right)^2 \psi = 0$

$\nabla \times \mathbf{B} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{J} \;\; ; \;\; \mathbf{J} = \frac{e^*}{m^*} \operatorname{Re} \left\{ \psi^* \left(-i\hbar\nabla - \frac{e^*}{c}\mathbf{A} \right) \psi \right\},$

여기서 $J$ 는 소산이 없는 전류 밀도를 나타내며, Re는 실수부를 나타낸다. 첫 번째 방정식은 – 비선형 항 때문에 시간 독립 슈뢰딩거 방정식과 약간의 유사성을 보이지만 근본적으로 다르다 – order parameter, $\psi$ 를 결정한다. 그런 다음 두 번째 방정식은 초전도 전류를 제공한다.

긴즈부르크-란다우 범함수는 복소 벡터 다발 위의 콤팩트 리만 다양체의 일반적인 설정에서 공식화될 수 있다. 이것은 위에 주어진 것과 동일한 범함수이며, 리만 기하학에서 일반적으로 사용되는 표기법으로 변환되었다.

리만 다양체 $M$ 위의 섬유 $\Complex^n$ 을 갖는 복소 벡터 다발 $E$ 에 대해, 순서 매개변수 $\psi$ 는 벡터 다발 $E$ 의 단면으로 이해된다. 그러면 긴즈부르크-란다우 범함수는 해당 단면에 대한 라그랑지안이다.

: $\mathcal{L}(\psi, A) =\int_M \sqrt$

👆

좌우로 밀어서 보기

dx^1 \wedge \dotsm \wedge dx^m \left[\vert F \vert^2 + \vert D \psi\vert^2 + \frac{1}{4} \left(\sigma - \vert\psi\vert^2\right)^2\right]

여기서 사용된 표기법은 다음과 같다. 섬유

\Complex^n

에는 에르미트 내적

\langle\cdot,\cdot\rangle

이 장착되어 있어 노름의 제곱이

\vert\psi\vert^2 = \langle\psi,\psi\rangle

로 표기된다. 현상론적 매개변수

\alpha

와

\beta

는 잠재 에너지 항이 사차 멕시칸 모자 포텐셜이 되도록 흡수되었다. 즉, 자발적 대칭 깨짐을 나타내며, 어떤 실수 값

\sigma\in\R

에서 최소값을 갖는다. 적분은 명시적으로 체적 형식에 대해 수행된다.

:

*(1) = \sqrt

👆

좌우로 밀어서 보기

dx^1 \wedge \dotsm \wedge dx^m

여기서

m

차원 다양체

M

의 메트릭 텐서

g

의 행렬식은

|g|

이다.

D = d + A

는 메트릭 접속이고

F

는 해당 곡률 2-형식이다(이것은 위에 주어진 자유 에너지

F

와 동일하지 않다. 여기서

F

는 전자기 장력 텐서에 해당한다).

A

는 벡터 포텐셜에 해당하지만, 일반적으로

n> 1

일 때 비가환 게이지 이론이고, 정규화가 다릅니다. 물리학에서는 일반적으로 전하

e

와 벡터 포텐셜

A

에 대해 접속을

d-ieA

로 표기한다. 리만 기하학에서는

e

(및 다른 모든 물리적 단위)를 생략하고

A = A_\mu dx^\mu

를 섬유의 대칭군에 해당하는 리 대수에 값을 취하는 1-형식으로 간주하는 것이 더 편리하다. 여기서 대칭군은 SU(n)이며, 이는 내적

\langle\cdot,\cdot\rangle

을 불변으로 유지한다. 따라서 여기에서

A

는 대수

\mathfrak{su}(n)

에 값을 취하는 형식이다.

곡률

F

는 벡터 다발의 아핀 접속의 곡률 형식으로 전자기장 강도를 비가환 설정으로 일반화한다. 일반적으로 다음과 같이 작성된다.

:

\begin{align}F = D \circ D = dA + A \wedge A = \left(\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu} + A_\mu A_\nu\right) dx^\mu \wedge dx^\nu = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu} + [A_\mu, A_\nu]\right) dx^\mu \wedge dx^\nu \\\end{align}

즉, 각

A_\mu

는

n \times n

반대칭 행렬이다. (이 특정 표기법에 대한 추가 설명을 보려면 메트릭 접속에 대한 문서를 참조하십시오.) 이를 강조하기 위해, 긴즈부르크-란다우 범함수의 첫 번째 항은 다음과 같다.

:

\mathcal{L}(A) = YM(A) = \int_M *(1) \vert F \vert^2

이는 콤팩트 리만 다양체에서 양-밀스 작용이다.

긴즈부르크-란다우 범함수에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 양-밀스 방정식이다.

:

D^*D\psi = \frac{1}{2}\left(\sigma - \vert\psi\vert^2\right)\psi

그리고
:

D^*F = -\operatorname{Re}\langle D\psi, \psi\rangle

여기서

D^*

는

D

의 수반이며, 코미분

\delta = d^*

와 유사하다. 이러한 방정식은 양-밀스-힉스 방정식과 밀접한 관련이 있다.

3. 초전도체의 성질

긴즈부르크-란다우 모형은 초전도체에서 나타나는 여러 현상들을 설명한다.

마이스너 효과

힉스 메커니즘에 따라, 광자는 질량을 가지게 된다.

: $m_A=\sqrt2|q|\mu$

이에 따라 자기장은 초전도체를 일정 길이 이상 침투하지 못하고, 지수함수적으로 사라진다. 이 현상을 마이스너 효과라고 하며, 이때 자기장이 침투하는 길이 $\lambda$ 를 런던 침투 길이(London penetration depth^영어)라고 한다.

: $\lambda=1/2m_A=\frac1{2\sqrt2|q|\mu}$

결맞음 길이

결맞음 길이(coherence length)는 초전도체에서 두 가지 특성 길이 중 하나로, 스칼라장의 질량에 반비례하는 값이다.

* 비초전도상( $-\mu^2>0$ )에서 결맞음 길이: $\xi=1/m_\phi=1/\sqrt{-2\lambda\mu^2}$
* 초전도상( $-\mu^2<0$ )에서 결맞음 길이: $\xi'=1/m_\phi'=1/(2\mu\sqrt\lambda)$

긴즈부르크-란다우 매개변수

긴즈부르크-란다우 이론에서는 런던 침투 길이와 결맞음 길이의 비를 나타내는 긴즈부르크-란다우 매개변수( $\kappa$ )를 정의한다.

: $\kappa = \lambda / \xi$

이 매개변수를 기준으로 초전도체를 두 가지 유형으로 분류한다.

* $\kappa < 1/\sqrt{2}$ : 제1종 초전도체
* $\kappa > 1/\sqrt{2}$ : 제2종 초전도체

1957년 알렉세이 알렉세예비치 아브리코소프는 긴즈부르크-란다우 이론을 통해 제2종 초전도체에서 자기장이 소용돌이의 양자화된 선속 튜브의 삼각 격자 내로 침투한다는 것을 발견했다.

자기 선속의 양자화

초전도체가 단일 연결 공간이 아닌 모양을 할 때, 초전도체 속의 임의의 축약 불가능한 폐곡선에 대하여 자기 선속은 항상 $2\pi$ 의 정수배로 양자화된다.

실제 세계에서 $\phi$ 는 두 전자의 쿠퍼 쌍이므로, $q=-2e$ 이다. 즉, 초전도체에서 자기 선속의 양자는

: $\Phi_0=2\pi/e=\frac{\pi\hbar}e=2.068\;\text{Wb}$

이다.

제2종 초전도체에서는 가해진 자기장을 임계값 H_c1 이상으로 높이면 혼합 상태(소용돌이 상태)가 발생하여 물질에 자기 선속이 증가하지만, 전류가 너무 크지 않은 한, 전류 흐름에 대한 저항은 여전히 존재하지 않는다. 이때, 혼합 상태는 전자 초유체 내의 소용돌이에 의해 발생하며, 이 소용돌이가 운반하는 선속이 양자화되어 플럭손이라고 불린다.

저항의 부재

초전도체는 전기 저항이 0이다. 이는 대전된 스칼라장 $\phi$ 가 초유체를 이루기 때문이다.

3.1. 초전도 상전이

멕시코 모자 퍼텐셜에 따라서, 충분히 높은 온도에서는 $\langle\phi\rangle=0$ 이며 이에 따라서 대칭 깨짐이 발생하지 않는다. 반면, 매우 낮은 온도에서는 진공이 멕시코 모자 퍼텐셜의 한 귀퉁이로 가라앉으면서 초전도상으로 상전이가 일어난다.

균일한 초전도체를 가정하면, 초전도 전류가 없을 때 ψ에 대한 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

: $\alpha \psi + \beta |\psi|^2 \psi = 0.$

이 방정식의 자명한 해는 $\psi = 0$ 이다. 이는 일반 전도 상태, 즉 초전도 전이 온도보다 높은 온도( $T > T_c$ )에 해당한다.

초전도 전이 온도 아래( $T < T_c$ )에서는 위 방정식이 $\psi \neq 0$ 인 비자명해를 가질 것으로 예상된다. 이를 바탕으로 방정식을 재배열하면 다음과 같다.

: $|\psi|^2 = - \frac\alpha \beta.$

복소수의 크기는 항상 0 또는 양수이므로, 위 방정식이 0이 아닌 해를 가지려면 우변이 양수여야 한다. 이는 $\alpha$ 가 다음과 같은 온도 의존성을 가질 때 가능하다.

: $\alpha(T) = \alpha_0 (T- T_{\rm c})$ ( $\alpha_0/\beta > 0$ )

* $T > T_c$ (초전도 전이 온도 이상)에서는 $\alpha(T) / \beta$ 가 양수이므로, 위 방정식의 우변은 음수가 된다. 따라서 $\psi = 0$ 만이 해가 된다.
* $T < T_c$ (초전도 전이 온도 이하)에서는 위 방정식의 우변이 양수가 되어 $\psi$ 에 대한 비자명해가 존재한다. 이때, $|\psi|^2 = - \frac{\alpha_0 (T - T_c)} \beta$ 이므로, $\psi$ 는 $T$ 가 $T_c$ 에 가까워질수록 0에 접근한다. 이는 2차 상전이의 전형적인 특징이다.

긴즈부르크-란다우 이론에서 초전도성에 기여하는 전자는 초유체를 형성하는 것으로 제안되었다. 이 해석에서 $|\psi|^2$ 는 초유체로 응축된 전자들의 비율을 나타낸다.

3.2. 마이스너 효과

힉스 메커니즘에 따라, 광자는 질량
: $m_A=\sqrt2|q|\mu$
을 갖는다. 이에 따라서 자기장은 초전도체를 대략 길이
: $\lambda=1/2m_A=\frac1{2\sqrt2|q|\mu}$
이상 침투하지 못하고, 지수함수적으로 사라진다. 이 현상을 마이스너 효과라고 하고, 그 길이 $\lambda$ 를 런던 침투 길이(London penetration depth^영어)라고 한다.

3.3. 결맞음 길이

결맞음 길이(coherence length^영어)는 스칼라장의 질량에 반비례하는 길이이다. 비초전도상( $-\mu^2>0$ )에서 결맞음 길이는 다음과 같다.

: $\xi=1/m_\phi=1/\sqrt{-2\lambda\mu^2}$

반면 초전도상( $-\mu^2<0$ )에서 결맞음 길이는 다음과 같다.

: $\xi'=1/m_\phi'=1/(2\mu\sqrt\lambda)$

긴즈부르크-란다우 방정식은 초전도체에서 두 가지 특성 길이를 예측했는데, 그 중 하나가 결맞음 길이 ξ이다. 정상상태(T > T_c)에서 결맞음 길이는 다음과 같이 주어진다.

: $\xi = \sqrt{\frac{\hbar^2}{2 m^* |\alpha|}}.$

초전도상(T < T_c)에서는 다음과 같다.

: $\xi = \sqrt{\frac{\hbar^2}{4 m^* |\alpha|}}.$

이는 초전도 전자 밀도의 작은 변화가 평형값 ψ₀으로 돌아가는 지수 법칙을 결정한다. 긴즈부르크-란다우 이론은 모든 초전도체를 두 가지 길이 척도로 특징지었는데, 다른 하나는 런던 이론에서 도입된 침투 깊이 λ이다.

파동 함수의 공간 변화를 나타내는 특징적인 길이인 결맞음 길이( $\xi = \sqrt{\frac{\hbar^2}{2 m | \alpha |}}$ )와 침투한 자기장의 공간 변화를 나타내는 특징적인 길이인 자기장 침투 깊이( $\lambda = \sqrt{\frac{m}{4 \mu_0 e^2 \psi_0}}$ )의 비 $\kappa = \lambda / \xi$ 는 긴즈부르크-란다우 파라미터라고 불린다. 이 파라미터 값에 따라 초전도체는 다음과 같이 분류된다.

* $\kappa < 1/\sqrt{2}$ : 제1종 초전도체
* $\kappa > 1/\sqrt{2}$ : 제2종 초전도체

3.4. 1종과 2종 초전도체

긴즈부르크-란다우 이론에서는 런던 침투 길이와 결맞음 길이의 비를 나타내는 긴즈부르크-란다우 매개변수(Ginzburg–Landau parameter^영어) ( $\kappa$ )를 정의한다. 이 매개변수를 기준으로 초전도체를 두 가지 유형으로 분류한다.

* 1종 초전도체 (type I superconductor^영어): $\kappa < 1/\sqrt{2}$ 인 경우. 같은 전하는 서로 밀어낸다. 1종 초전도체는 1종 상전이를 겪는데, 이는 $\phi$ 의 응축(진공기댓값)이 전자기력이 힉스 상에서 쿨롱 상으로 갈 때 양의 에너지를 가지게 되어 두 개의 퍼텐셜 국소( $|\phi|=0$ , $|\phi|=\mu$ )가 생기기 때문이다. 이때 잠열은 진공기댓값이 쿨롱 상에서 가지는 양의 에너지이다. 니오븀과 탄소 나노튜브를 제외한 대부분의 순수한 화학 원소 초전도체가 이에 해당한다.

* 2종 초전도체 (type II superconductor^영어): $\kappa > 1/\sqrt{2}$ 인 경우. 같은 전하는 서로 끌어당긴다. 2종 초전도체에서는 전자기력이 (어떤 상에 있든) 항상 스칼라장 사승 상호작용보다 약하므로, 일반 멕시코 모자 퍼텐셜과 마찬가지로 2차 상전이가 나타난다. 거의 모든 불순 초전도체와 화합물 초전도체가 이에 해당한다.

1957년 알렉세이 알렉세예비치 아브리코소프는 긴즈부르크-란다우 이론을 통해 2종 초전도체에서 자기장이 소용돌이의 양자화된 선속 튜브의 삼각 격자 내로 침투한다는 것을 발견했다.

요약하면, 긴즈부르크-란다우 매개변수는 초전도체의 종류를 구분하고, 각 초전도체가 보이는 상전이의 특징을 설명하는 데 중요한 역할을 한다.

3.5. 자기 선속의 양자화

초전도체가 단일 연결 공간이 아닌 모양을 할 때, 초전도체 속의 임의의 축약불가능한 폐곡선에 대하여 자기 선속은 항상 $2\pi$ 의 정수배로 양자화된다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

: $\phi=|\phi|\exp(i\theta)$

힉스 메커니즘에 따라, $|\phi|$ 성분은 질량 $m_\phi'=1/\xi$ 의 실수 스칼라장이 되고, 나머지 각 $\theta$ 는 게이지장에 흡수된다. 온도가 $m_\phi'$ 보다 매우 낮다면 $|\phi|$ 는 매우 무거워, $|\phi|=\mu$ 로 놓을 수 있다 (이 극한은 슈튀켈베르크 메커니즘에 해당한다).

$\phi$ 운동 방정식에 따라서

: $-iqA_\mu\phi=\partial_\mu\phi=i\mu\partial_\mu\theta$

: $-qA_\mu=\partial_\mu\theta$

이다.

$\theta$ 는 $2\pi$ 주기의 변수(즉, 각도)이므로, 임의의 초전도체 속의 폐곡선 $\gamma$ 에 대하여 다음이 성립한다.

: $\Phi/(-q)=\oint_\gamma dx\cdot A=\oint_\gamma d\theta=2\pi n(\theta|_\gamma)$

여기서 $n(\theta|_\gamma)\in\mathbb Z$ 는 원을 정의역과 공역으로 갖는 연속함수 $\theta|_\gamma\colon S^1\to S^1$ 의 감음수(winding number)이다. 따라서

: $\Phi\in\frac{2\pi}$

👆

좌우로 밀어서 보기

\mathbb Z

이다.

실제 세계에서

\phi

는 두 전자의 쿠퍼 쌍이므로,

q=-2e

이다. 즉, 초전도체에서 자기 선속의 양자는

:

\Phi_0=2\pi/e=\frac{\pi\hbar}e=2.068\;\text{Wb}

이다.

제2종 초전도체에서는 가해진 자기장을 임계값 H_c1 이상으로 높이면 혼합 상태(소용돌이 상태)가 발생하여 물질에 자기 선속이 증가하지만, 전류가 너무 크지 않은 한, 전류 흐름에 대한 저항은 여전히 존재하지 않는다. 이때, 혼합 상태는 전자 초유체 내의 소용돌이에 의해 발생하며, 이 소용돌이가 운반하는 선속이 양자화되어 플럭손이라고 불린다.

3.6. 저항의 부재

초전도체는 전기 저항이 0이다. 이는 대전된 스칼라장 $\phi$ 가 초유체를 이루기 때문이다. $\phi$ 의 위상 성분 $\phi=|\phi|\exp(i\theta)$ 은 힉스 메커니즘에 의하여 유질량 광자의 종파 모드가 되며, 질량 $m_A$ 를 가진다. 즉, 대전된 성분 $\theta$ 는 질량 간극을 가진다. 만약 온도가 $T 라면, \theta 의 에너지가 포논 으로 방출될 수 없으므로, \theta 는 대전된 초유체 를 이루고, 이에 따라서 저항이 0이 된다.$

4. 긴즈부르크-란다우 방정식

란다우와 긴즈부르크는 자유 에너지를 변분하여 다음과 같은 긴즈부르크-란다우 방정식을 유도했다.

: $\alpha \psi + \beta |\psi|^2 \psi + \frac{1}{2m^*} \left(-i\hbar\nabla - \frac{e^*}{c}\mathbf{A} \right)^2 \psi = 0$

: $\nabla \times \mathbf{B} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{J} \;\; ; \;\; \mathbf{J} = \frac{e^*}{m^*} \operatorname{Re} \left\{ \psi^* \left(-i\hbar\nabla - \frac{e^*}{c}\mathbf{A} \right) \psi \right\}$

여기서

* $\alpha$ 와 $\beta$ 는 온도 T의 함수인 현상론적 매개변수이다.
* $m^*$ 는 유효 질량이다.
* $e^*$ 는 유효 전하 (일반적으로 전자의 전하 e의 2배, 즉 $2e$ )이다.
* $\mathbf{A}$ 는 자기 벡터 포텐셜이다.
* $\mathbf{B}$ 는 자기장 ( $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ )이다.
* $J$ 는 소산이 없는 전류 밀도이며, Re는 실수부를 나타낸다.

첫 번째 방정식은 비선형 항 때문에 시간 독립 슈뢰딩거 방정식과 유사하지만, 근본적으로는 다르다. 이 방정식은 order parameter, 순서 매개변수 $\psi$ 를 결정한다. 두 번째 방정식은 초전도 전류를 나타낸다.

긴즈부르크-란다우 방정식에서, 초전도성에 기여하는 전자는 초유체를 형성하는 것으로 제안되었다. 이 관점에서 ||²는 초유체로 응축된 전자들의 비율을 나타낸다.

이 방정식을 풀면 다양한 열역학적 양을 계산할 수 있다. 예를 들어, 파동 함수의 공간 변동의 특징적인 길이인 결맞음 길이와 침투한 자기장의 공간 변동의 특징적인 길이인 자기장 침투 깊이를 계산할 수 있다.

5. 선형 긴즈부르크-란다우 방정식

임계 자기장 근방 등, 질서 매개변수가 작다고 생각되는 경우에는, $\beta$ 항을 제거할 수 있어 다음과 같은 선형화된 긴즈부르크-란다우 방정식을 얻는다.

: $\alpha \psi + \ \frac{1}{2m} \left(-i\hbar\nabla - 2e\mathbf{A} \right)^2 \psi = 0$

이는 슈뢰딩거 방정식과 같은 형식을 하고 있으므로, 그 해법을 이용할 수 있다.

6. 긴즈부르크-란다우 모델의 포화

상전이는 2종 초전도체의 경우 요동을 고려하면 정상 상태로부터 2차 전이로 나타나는데, 이는 다스굽타와 할페린에 의해 증명되었다. 1종 초전도체의 경우 1차 전이로 나타나는데, 이는 할페린, 루벤스키, 마에 의해 증명되었다. 포화 현상을 고려하면, 2종 초전도체는 다스굽타와 할페린이 제시한 바와 같이, 일반적인 상태에서는 2차 전이이다. 반면, 할페린, 루벤스키, 마가 제시한 바와 같이, 1종 초전도체는 1차 전이이다.

7. 기하학적 공식화

란다우가 이전에 확립한 2차 상전이 이론을 바탕으로 발전한 긴즈부르크-란다우 이론은, 복소 벡터 다발 위의 콤팩트 리만 다양체의 일반적인 설정에서 다음과 같이 기하학적으로 공식화될 수 있다.

리만 다양체 $M$ 위의 섬유 $\Complex^n$ 을 갖는 복소 벡터 다발 $E$ 에 대해, 순서 매개변수 $\psi$ 는 벡터 다발 $E$ 의 단면으로 이해된다. 이때 긴즈부르크-란다우 범함수는 해당 단면에 대한 라그랑지안으로 다음과 같이 주어진다.

: $\mathcal{L}(\psi, A) =\int_M \sqrt$

👆

좌우로 밀어서 보기

dx^1 \wedge \dotsm \wedge dx^m \left[\vert F \vert^2 + \vert D \psi\vert^2 + \frac{1}{4} \left(\sigma - \vert\psi\vert^2\right)^2\right]

여기서 사용된 표기법은 다음과 같다.

* 섬유

\Complex^n

에는 에르미트 내적

\langle\cdot,\cdot\rangle

이 주어져, 노름의 제곱은

\vert\psi\vert^2 = \langle\psi,\psi\rangle

로 표기된다.
* 현상론적 매개변수

\alpha

와

\beta

는 잠재 에너지 항이 사차 멕시칸 모자 포텐셜이 되도록 흡수되었으며, 이는 자발적 대칭 깨짐을 나타내고 어떤 실수 값

\sigma\in\R

에서 최소값을 갖는다.
* 적분은 명시적으로 체적 형식에 대해 수행된다.

:

*(1) = \sqrt

👆

좌우로 밀어서 보기

dx^1 \wedge \dotsm \wedge dx^m
*

m

차원 다양체

M

의 메트릭 텐서

g

의 행렬식은

|g|

이다.
*

D = d + A

는 메트릭 접속이고,

F

는 해당 곡률 2-형식이다.
*

A

는 벡터 포텐셜에 해당하지만, 일반적으로

n> 1

일 때 비가환 게이지 이론이고, 정규화가 다르다.
*

A = A_\mu dx^\mu

를 섬유의 대칭군에 해당하는 리 대수에 값을 취하는 1-형식으로 간주한다. 여기서 대칭군은 SU(n)이며, 이는 내적

\langle\cdot,\cdot\rangle

을 불변으로 유지한다. 따라서 여기에서

A

는 대수

\mathfrak{su}(n)

에 값을 취하는 형식이다.

곡률

F

는 벡터 다발의 아핀 접속의 곡률 형식으로 전자기장 강도를 비가환 설정으로 일반화하며, 다음과 같이 표현된다.

:

\begin{align}F = D \circ D = dA + A \wedge A = \left(\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu} + A_\mu A_\nu\right) dx^\mu \wedge dx^\nu = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu} + [A_\mu, A_\nu]\right) dx^\mu \wedge dx^\nu \\\end{align}

긴즈부르크-란다우 범함수의 첫 번째 항은 다음과 같이 콤팩트 리만 다양체에서 양-밀스 작용으로 표현된다.

:

\mathcal{L}(A) = YM(A) = \int_M *(1) \vert F \vert^2

긴즈부르크-란다우 범함수에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 양-밀스 방정식이다.

:

D^*D\psi = \frac{1}{2}\left(\sigma - \vert\psi\vert^2\right)\psi

D^*F = -\operatorname{Re}\langle D\psi, \psi\rangle

여기서

D^*

는

D

의 수반이며, 코미분

\delta = d^*

와 유사하다. 이러한 방정식은 양-밀스-힉스 방정식과 밀접한 관련이 있다.

7.1. 특정 결과

끈 이론에서는 리만 곡면 M에 대한 긴즈부르크-란다우 범함수를 연구하는 것이 일반적이며, 이때 n = 1, 즉 선다발을 사용한다. 이러한 일반적인 경우에도 아브리코소프 와동 현상이 지속된다. 여기에는 M = ℝ²인 경우가 포함되며, 이 경우 ψ가 소멸하는 모든 유한한 점의 집합을 중복을 포함하여 지정할 수 있다. 이 증명은 임의의 리만 곡면 및 켈러 다양체로 일반화된다.

약한 결합의 극한에서는 |ψ|가 1로 균등하게 수렴하고, Dψ와 dA는 0으로 균등하게 수렴하며, 곡률은 와동에서의 델타 함수 분포의 합이 된다. 중복을 포함한 와동의 합은 선다발의 차수와 같으며, 결과적으로 리만 곡면상의 선다발을 N개의 특이점과 공변적으로 상수인 단면을 가진 평탄한 다발로 쓸 수 있다.

8. 자기 쌍대성

리만 곡면 $M=\Sigma$ 인 경우, 작용 범위를 다시 작성하여 자기 쌍대성을 명시적으로 나타낼 수 있다. 외미분을 돌보 연산자 $d=\partial+\overline\partial$ 의 합으로 작성한다. 리만 곡면 위의 1-형식 공간 $\Omega^1$ 은 정칙적인 공간과 반정칙적인 공간으로 분해된다: $\Omega^1=\Omega^{1,0}\oplus\Omega^{0,1}$ . 따라서 $\Omega^{1,0}$ 의 형식은 $z$ 에서 정칙적이며 $\overline z$ 에 의존하지 않고, $\Omega^{0,1}$ 의 경우는 그 반대이다. 이를 통해 벡터 포텐셜을 $A=A^{1,0}+A^{0,1}$ 로, $D=\partial_A + \overline\partial_A$ 를 $\partial_A=\partial+A^{1,0}$ 및 $\overline\partial_A=\overline\partial+A^{0,1}$ 로 쓸 수 있다.

$n=1$ 인 경우, 섬유가 $\Complex$ 이므로 번들이 선속일 때, 장력은 다음과 같이 쓸 수 있다.
: $F=-\left(\partial_A \overline\partial_A + \overline\partial_A \partial_A\right)$
여기서 사용된 부호 규칙에서 $A^{1,0}, A^{0,1}$ 과 $F$ 모두 순허수이다(즉, U(1)은 $e^{i\theta}$ 에 의해 생성되므로 미분은 순허수이다). 그러면 작용 범위는 다음과 같다.
: $\mathcal{L}\left(\psi,A\right)=2\pi\sigma \operatorname{deg} L +\int_\Sigma \frac{i}{2} dz \wedge d\overline z\left[2 \vert\overline\partial_A\psi\vert^2 +\left(*(-iF) - \frac{1}{2} (\sigma - \vert\psi\vert^2 \right)^2 \right]$
적분은 체적 형식에 대한 것으로 이해된다.
: $*(1) = \frac{i}{2} dz \wedge d\overline z$ ,
따라서
: $\operatorname{Area}\Sigma = \int_\Sigma *(1)$
는 표면 $\Sigma$ 의 총 면적이다. $*$ 는 호지 별 연산자이다. 표면 $\Sigma$ 위의 선속 $L$ 의 차수 $\operatorname{deg} L$ 은
: $\operatorname{deg}L = c_1(L) = \frac{1}{2\pi} \int_\Sigma iF$
이며, 여기서 $c_1(L) = c_1(L)[\Sigma]\in H^2(\Sigma)$ 는 첫 번째 천 종류이다.

라그랑지안은 $\psi,A$ 가 긴즈부르크-란다우 방정식을 풀 때 최소화(정상)된다.
: $\begin{align}\overline\partial_A \psi &= 0 \\*(iF) &= \frac{1}{2} \left(\sigma - \vert\psi\vert^2 \right) \\\end{align}$
이것들은 모두 명백히 자기 쌍대적인 1차 미분 방정식이다. 이 중 두 번째를 적분하면 비자명한 해는 다음을 따라야 함을 빠르게 알 수 있다.
: $4\pi \operatorname{deg}L \le \sigma \operatorname{Area} \Sigma$ .
대략적으로 말하면, 이것은 아브리코소프 소용돌이의 밀도에 대한 상한으로 해석될 수 있다. 또한 해가 경계가 있다는 것을 보일 수 있다. 즉, $|\psi|\le\sigma$ 여야 한다.

9. 끈 이론에서의 긴즈부르크-란다우 이론

입자 물리학에서, 고유한 고전적 진공 상태와 퇴화 임계점을 가진 포텐셜 에너지를 갖는 모든 양자장론은 란다우-긴즈부르크 이론이라고 불린다. 2차원 시공간에서 N = (2,2) 초대칭 이론으로의 일반화는 1988년 11월 컴런 바파와 니콜라스 워너에 의해 제안되었으며, 이 일반화에서 초포텐셜이 퇴화 임계점을 갖도록 한다. 같은 달, 브라이언 그린과 함께 이들은 이 이론들이 재규격화군 흐름에 의해 시그마 모형과 칼라비-야우 다양체로 관련되어 있다고 주장했다. 에드워드 위튼은 1993년 논문 "2차원에서의 N = 2 이론의 위상"에서 란다우-긴즈부르크 이론과 칼라비-야우 다양체의 시그마 모형이 동일한 이론의 서로 다른 위상이라고 주장했다. 이러한 이중성의 구성은 칼라비-야우 오비폴드의 그로모프-위튼 이론을 유사한 란다우-긴즈부르크 "FJRW" 이론인 FJRW 이론과 관련시킴으로써 제공되었다. 위튼의 시그마 모형은 이후 모노폴을 가진 4차원 게이지 이론의 저에너지 역학뿐만 아니라 브레인 구성을 설명하는 데 사용되었다.

10. 역사

비탈리 긴즈부르크와 레프 란다우가 1950년에 이 이론을 도입하였다. 이 이론은 란다우가 이전에 확립한 2차 상전이 이론을 바탕으로 하고 있다. 긴즈부르크와 란다우는 초전도 전이 근처의 초전도체에서 자유 에너지 밀도를 나타내는 복소수 order parameter, 순서 매개변수 장을 제안했다.

1957년 알렉세이 아브리코소프는 이 이론을 통해 초전도 합금 및 얇은 막에 대한 실험을 설명하고, 고자기장 내 제2종 초전도체에서 자기장이 소용돌이의 양자화된 선속 튜브의 삼각 격자 내로 침투한다는 것을 발견했다. 아브리코소프는 긴즈부르크-란다우 모형에 따라서, 2종 초전도체의 소용돌이(vortex)가 육각형 격자 모양을 이룬다는 것을 보였고, 이는 실험으로 확인되었다.

1959년에는 레프 고리코프(Лев Петро́вич Горько́в^러시아어)가 긴즈부르크-란다우 이론을 BCS 이론으로부터 유도하였다.

이러한 공로로 긴즈부르크와 아브리코소프는 2003년 노벨 물리학상을 수상하였다.

11. 참고 문헌

* V. L. 긴즈부르크(V. L. Ginzburg)와 L. D. 란다우(L. D. Landau), Zh. Eksp. Teor. Fiz. 20, 1064 (1950). 영어 번역본: L. D. 란다우, Collected papers (옥스퍼드: 퍼가몬 출판사, 1965) p. 546
* A. A. 아브리코소프(A. A. Abrikosov), Zh. Eksp. Teor. Fiz. 32, 1442 (1957) (영어 번역본: Sov. Phys. JETP 5 1174 (1957)). 아브리코소프의 오리지널 논문은 G–L 방정식의 해로 유도된 제2종 초전도체의 와동 구조에 관한 것으로, κ > 1/√2인 경우를 다룬다.
* L. P. 고르코프(L. P. Gor'kov), Sov. Phys. JETP 36, 1364 (1959)
* A. A. 아브리코소프의 2003년 노벨 강연: https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2003/abrikosov/lecture/ pdf 파일 또는 https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2003/abrikosov/lecture/ 비디오
* V. L. 긴즈부르크의 2003년 노벨 강연: https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2003/ginzburg/lecture/ pdf 파일 또는 https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2003/ginzburg/lecture/ 비디오
* D. 생-제임스, G. 사르마, E. J. 토머스, Type II Superconductivity 페르가몬 (옥스퍼드 1969)
* M. 팅컴, Introduction to Superconductivity, 맥그로힐 (뉴욕 1996)
* 드 젠, P.G., Superconductivity of Metals and Alloys, 퍼세우스 북스, 제2 개정판 (1995), ISBN 0-201-40842-2 (이 책은 G-L 이론에 크게 기반하고 있다)
* 하겐 클라이네르트, Gauge Fields in Condensed Matter, Vol. I http://www.worldscibooks.com/physics/0356.htm World Scientific (싱가포르, 1989); 페이퍼백 ISBN 9971-5-0210-0 (온라인에서도 이용 가능 http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/kleiner_reb1/contents1.html here)
* 신보 슈이치, 모리타 요시히사: 「긴츠부르크-란다우 방정식과 안정성 해석」, 이와나미 쇼텐(이와나미 수학 총서), ISBN 978-4-00-007561-9 (2009년 5월 28일).

유형	물리 이론
분야	초전도
개발자	비탈리 긴즈부르크 레프 란다우
발표 연도	1950년
관련 항목	런던 방정식, 쿠퍼 쌍, BCS 이론

상세 내용

주요 내용	거시적인 현상론적 초전도 이론으로, 초전도체의 자유 에너지를 질서 변수와 그 기울기를 사용하여 표현하고, 초전도 현상을 설명한다.
질서 변수	초전도 쿠퍼 쌍의 밀도를 나타내는 복소수 함수
자유 에너지	초전도체의 열역학적 상태를 기술하는 함수로, 질서 변수와 외부 자기장에 의존한다.
응용 분야	초전도체의 특성 연구, 초전도 소자 설계, 고온 초전도체 연구 등

수학적 표현

자유 에너지 함수	F = F_n + α\|ψ\|^2 + (β/2)\|ψ\|^4 + (1/2m)\|(-iħ∇ - qA)ψ\|^2 + (h^2/2μ_0)
긴즈부르크-란다우 방정식	αψ + β\|ψ\|^2ψ + (1/2m)(-iħ∇ - qA)^2ψ = 0
변수 설명	ψ: 질서 변수 A: 벡터 퍼텐셜 α, β: 온도에 의존하는 현상론적 파라미터 m: 쿠퍼 쌍의 유효 질량 q: 쿠퍼 쌍의 전하 ħ: 디랙 상수 h: 자기장 μ₀: 진공 투자율

역사적 맥락

배경	초전도 현상의 거시적인 이해를 제공하기 위해 개발됨
발전	BCS 이론의 등장으로 미시적인 이론적 토대가 확립됨

중요성

의의	초전도체의 다양한 현상을 설명하고 예측하는 데 기여함
영향	초전도체 연구 및 응용 분야에 큰 영향을 미침