보어 반지름

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1. 개요
2. 정의
3. 역사
- 3.1. 보어의 가설과 양자 조건
- 3.2. 슈뢰딩거 방정식과 양자역학적 모형
4. 관련 상수
5. 다른 계로의 확장
- 5.1. 환산 질량
- 5.2. 수소 유사 원자
참조

1. 개요

보어 반지름은 물리 상수이며, 원자 물리학에서 사용되는 길이의 단위로, 약 5.292 × 10⁻¹¹ m (53 pm 또는 0.53 Å)이다. 닐스 보어의 원자 모형에서 전자가 원자핵 주위를 공전하는 궤도의 반지름을 나타내며, 슈뢰딩거 방정식에 따른 양자역학적 모형에서도 전자 위치의 확률 밀도가 가장 높은 반지름 좌표의 값으로 사용된다. 보어 반지름은 미세 구조 상수 등을 사용하여 다른 상수와 관련될 수 있으며, 환산 질량을 고려하여 수소 원자 외 포지트로늄, 뮤오늄 등 다른 계로 확장하여 적용할 수 있다.

2. 정의

보어 반지름( $a_0$ )은 다음과 같은 물리 상수이다.

: $a_0 =$

여기서:

$\varepsilon_0$ 는 진공에서의 유전율
$\hbar$ 는 디랙 상수(플랑크 상수를 $2 \pi$ 로 나눈 값)
$m_e$ 는 전자의 정지 질량
$e$ 는 기본 전하
$c$ 는 빛의 속도
$\alpha$ 는 미세 구조 상수이다.

보어 반지름은 대략 5.292 × 10⁻¹¹ m (53 pm 또는 0.53 Å)이다. 보어 반지름은 종종 원자 물리학에서 원자 단위로 사용된다.

보어 반지름은 다음과 같이 정의된다.^[2]

:

a_0 = \frac{\hbar}{m_{\text{e}} c \alpha}

여기서

$\varepsilon_0$ 는 진공의 유전율
$\hbar$ 는 환산 플랑크 상수
$m_{\text{e}}$ 는 전자의 질량
$e$ 는 기본 전하
$c$ 는 진공에서의 빛의 속도
$\alpha$ 는 미세 구조 상수

3. 역사

1913년 닐스 보어는 보어 모형을 제안했는데, 이 모형에서 전자는 정전기적 인력에 의해 원자핵 주위를 공전한다. 보어 모형은 전자가 환산 플랑크 상수의 정수배인 궤도 각운동량을 갖는다는 전제를 바탕으로, 방출 스펙트럼에서 불연속적인 에너지 준위를 관측하고 각 준위에 대한 고정된 반지름을 예측하는 데 성공했다. 수소 원자의 경우, 가장 낮은 에너지 궤도의 반지름은 보어 반지름과 거의 같지만, 환산 질량 효과로 인해 약 0.05% 정도의 차이가 있다.

1926년 슈뢰딩거 방정식을 따르는 전자 확률 구름이 보어 원자 모형을 대체하면서, 스핀과 양자 진공 효과로 인해 미세 구조와 초미세 구조가 나타났다. 그럼에도 보어 반지름 공식은 기본 상수와의 관계가 간단하여 원자 물리학 계산에서 중요한 역할을 하며, 원자 단위에서 길이 단위로 사용된다.

3. 1. 보어의 가설과 양자 조건

1913년 닐스 보어가 제안한 보어 모형에서, 전자는 정전기적 인력에 의해 중심의 원자핵 주위를 공전한다. 초기 유도는 전자가 환산 플랑크 상수의 정수배인 궤도 각운동량을 갖는다는 것을 전제로 하였는데, 이는 방출 스펙트럼에서 불연속적인 에너지 준위의 관측 결과와 일치하고 각 준위에 대한 고정된 반지름을 예측하는 데 성공했다. 가장 단순한 원자인 수소의 경우, 단일 전자가 원자핵 주위를 공전하며, 가장 낮은 에너지를 갖는 가장 작은 궤도의 궤도 반지름은 보어 반지름과 거의 같다. (\환산 질량 효과 때문에 정확히 보어 반지름과 같지는 않다. 약 0.05% 차이가 있다.)^[3]

3. 2. 슈뢰딩거 방정식과 양자역학적 모형

1926년에 슈뢰딩거 방정식을 따르는 전자 확률 구름이 보어 원자 모형을 대체하였다. 이는 스핀과 양자 진공 효과에 의해 더욱 복잡해져 미세 구조와 초미세 구조를 생성한다. 그럼에도 불구하고 보어 반지름 공식은 (환산 질량이 아닌 진짜 전자 질량을 사용하는 이유는 앞에서 언급되었다) 기본 상수와의 간단한 관계 때문에 원자 물리학 계산에서 중심적인 역할을 한다. 따라서 원자 단위에서 길이의 단위가 되었다.^[3]

슈뢰딩거의 수소 원자에 대한 양자 역학 이론에서 보어 반지름은 전자 위치의 반지름 확률 밀도가 가장 높은 반지름 좌표의 값이다. 반면에 전자의 반지름 거리의 기댓값은 3/2|3/2^영어 ''a''₀이다.^[3]

4. 관련 상수

보어 반지름( $a_0$ )은 다음 식으로 정의된다.^[2]

: $a_0 = =$

여기서,

$\varepsilon_0$ 는 진공의 유전율
$\hbar$ 는 환산 플랑크 상수 (플랑크 상수를 $2 \pi$ 로 나눈 값)
$m_e$ 는 전자의 정지 질량
$e$ 는 기본 전하
$c$ 는 빛의 속도
$\alpha$ 는 미세 구조 상수

보어 반지름 값은 대략

5.292 \times 10^{-11}

m (53 pm 또는 0.53 Å)이다.

보어 반지름은 전자의 환산 콤프턴 파장(

\lambda_{\mathrm{e}} / 2\pi

), 고전 전자 반지름(

r_{\mathrm{e}}

)과 함께 길이에 대한 세 가지 관련 단위 중 하나이다. 이들은 미세 구조 상수

\alpha

를 통해 다음과 같은 관계를 가진다.

:

r_{\mathrm{e}} = \alpha \frac{\lambda_{\mathrm{e}}}{2\pi} = \alpha^2 a_0.

5. 다른 계로의 확장

보어 반지름은 포지트로늄이나 뮤오늄과 같이 전자가 양성자가 아닌 다른 입자를 공전하는 계에도 확장될 수 있다. 이러한 계에서는 계의 환산 질량을 사용하고 전하의 변화를 고려하여 보어 모형 관계를 수정할 수 있다. 예를 들어 포지트로늄의 반지름은 약 $2\,a_0$ 인데, 이는 포지트로늄 계의 환산 질량이 전자 질량의 절반이기 때문이다.

수소 원자와 비슷한 원자의 경우, 보어 반지름은 원자핵 속의 양성자 수( $Z$ )에 반비례하여 $r_{Z}=a_0/Z$ 로 나타낼 수 있다. 핵 질량이 증가하면 환산 질량( $\mu$ )은 전자 질량( $m_\text{e}$ )에 가까워진다. 이 관계는 다음과 같이 요약된다.

: $r_{Z,\mu} \ = \frac{m_\text{e}}{\mu}\frac{a_0}{Z} .$

다음은 여러 계에 대한 보어 반지름의 근사값을 나타낸 표이다.

계	반지름
수소	$1.00054\, a_0$
포지트로늄	$2 a_0$
뮤오늄	$1.0048\, a_0$
He⁺	$a_0/2$
Li²⁺	$a_0/3$

5. 1. 환산 질량

수소 원자에서 환산 질량의 효과를 포함한 보어 반지름은 다음과 같이 주어진다.^[1]

:

\ a_0^* \ = \frac{m_\text{e}}{\mu}a_0 ,

여기서

\mu = m_\text{e} m_\text{p} / (m_\text{e} + m_\text{p})

는 전자-양성자계의 환산 질량(

m_\text{p}

는 양성자의 질량)이다. 환산 질량의 사용은 고전 물리학에서 이체 문제를 공전하는 물체의 질량에 비해 공전되는 물체의 질량이 무시할 수 있다고 근사하는 경우를 넘어 일반화한 것이다. 전자-양성자계의 환산 질량은 전자 질량보다 약간 작기 때문에 "환산" 보어 반지름은 보어 반지름보다 약간 더 크다 (

a^*_0 \approx 1.00054\, a_0 \approx 5.2946541 \times 10^{-11}

미터).^[1]

이 결과는 포지트로늄(전자가 양전자를 공전하는 경우) 및 뮤오늄(전자가 반뮤온을 공전하는 경우)과 같은 다른 계에도 일반화할 수 있으며, 이를 위해서는 계의 환산 질량을 사용하고 전하의 가능한 변화를 고려해야 한다. 일반적으로 보어 모형 관계(반지름, 에너지 등)는 이러한 특이한 계에 대해 (최저차수까지) 계의 환산 질량으로 전자 질량을 단순히 대체하고 (적절한 경우 전하를 조정하여) 쉽게 수정할 수 있다. 예를 들어, 포지트로늄의 반지름은 약

2\,a_0

인데, 이는 포지트로늄 계의 환산 질량이 전자 질량의 절반이기 때문이다(

\mu_{\text{e}^-,\text{e}^+} = m_\text{e}/2

).^[1]

수소 원자와 비슷한 원자는 보어 반지름이 주로

r_{Z}=a_0/Z

로 비례하며, 여기서

Z

는 원자핵 속의 양성자 수이다. 한편, 환산 질량(

\mu

)은 핵 질량이 증가하는 극한에서

m_\text{e}

에 의해 더 잘 근사된다. 이러한 결과는 다음 방정식에 요약되어 있다.^[1]

:

r_{Z,\mu} \ = \frac{m_\text{e}}{\mu}\frac{a_0}{Z} .

근사 관계는 아래 표와 같다.^[1]

계	반지름
수소	$1.00054\, a_0$
포지트로늄	$2 a_0$
뮤오늄	$1.0048\, a_0$
He⁺	$a_0/2$
Li²⁺	$a_0/3$

5. 2. 수소 유사 원자

수소 원자에서 환산 질량의 효과를 포함한 보어 반지름은 다음과 같이 주어진다.

:

a_0^* \ = \frac{m_\text{e}}{\mu}a_0 ,

여기서

\mu = m_\text{e} m_\text{p} / (m_\text{e} + m_\text{p})

는 전자-양성자계의 환산 질량(

m_\text{p}

는 양성자의 질량)이다. 전자-양성자계의 환산 질량은 전자 질량보다 약간 작기 때문에 "환산" 보어 반지름은 보어 반지름보다 약간 더 크다 (

a^*_0 \approx 1.00054\, a_0 \approx 5.2946541 \times 10^{-11}

).

이 결과는 포지트로늄(전자가 양전자를 공전하는 경우) 및 뮤오늄(전자가 반뮤온을 공전하는 경우)과 같은 다른 계에도 일반화할 수 있으며, 이를 위해서는 계의 환산 질량을 사용하고 전하의 가능한 변화를 고려해야 한다. 일반적으로 보어 모형 관계(반지름, 에너지 등)는 이러한 특이한 계에 대해 (최저차수까지) 계의 환산 질량으로 전자 질량을 단순히 대체하고 (적절한 경우 전하를 조정하여) 쉽게 수정할 수 있다. 예를 들어, 포지트로늄의 반지름은 약

2\,a_0

인데, 이는 포지트로늄 계의 환산 질량이 전자 질량의 절반이기 때문이다(

\mu_{\text{e}^-,\text{e}^+} = m_\text{e}/2

).

수소 원자와 비슷한 원자는 보어 반지름이 주로

r_{Z}=a_0/Z

로 비례하며, 여기서

Z

는 원자핵 속의 양성자 수이다. 한편, 환산 질량(

\mu

)은 핵 질량이 증가하는 극한에서

m_\text{e}

에 의해 더 잘 근사된다. 이러한 결과는 다음 방정식에 요약되어 있다.

:

r_{Z,\mu} \ = \frac{m_\text{e}}{\mu}\frac{a_0}{Z} .

근사 관계는 아래 표와 같다.

계	반지름
수소	$1.00054\, a_0$
포지트로늄	$2 a_0$
뮤오늄	$1.0048\, a_0$
He⁺	$a_0/2$
Li²⁺	$a_0/3$

참조

_[1] 설명
_[2] 서적 Introduction to Quantum Mechanics Prentice-Hall
_[3] 웹사이트 The Most Probable Radius: Hydrogen Ground State http://hyperphysics.[...] Dept. of Physics and Astronomy, Georgia State University 2021-10-02
_[4] 웹사이트 ボーア半径とは https://kotobank.jp/[...] 日本大百科全書(ニッポニカ),化学辞典第2版,ブリタニカ国際大百科事典小項目事典,精選版日本国語大辞典,デジタル大辞泉,世界大百科事典 2022-01-31
_[5] 참조

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