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볼록 조합

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목차

1. 개요

볼록 조합은 실수 벡터 공간에서 주어진 점들의 선형 조합으로, 각 점에 곱해지는 계수가 0 이상이고, 계수의 합이 1인 경우를 말한다. 두 점의 모든 볼록 조합은 두 점을 잇는 선분 위에 놓이며, 집합의 모든 점의 볼록 조합을 포함하면 볼록 집합이 된다. 확률 분포의 볼록 조합은 혼합 분포의 확률 밀도 함수의 가중 합으로 표현된다. 볼록 조합과 관련된 개념으로는 원뿔 조합, 가중 평균, 아핀 조합 등이 있다.

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볼록 조합
개요
정의어떤 공간에서 주어진 점들의 볼록 조합은 그 점들에 볼록 껍질을 씌운 것이다.
설명모든 계수가 음수가 아니고 합이 1인 점들의 선형 결합이다.
수학적 정의
공식공간 X 안의 유한 개의 점 $x_1, x_2, ..., x_n$에 대한 볼록 조합은 다음과 같이 정의된다. $lpha_1 x_1 + lpha_2 x_2 + ... + lpha_n x_n$, 여기서 각 실수 $lpha_i$는 음수가 아니고 $lpha_1 + lpha_2 + ... + lpha_n = 1$이다.
일반화더 일반적으로, X 안의 점들의 임의의 (가능한 무한) 집합에 대해, 그 집합의 점들의 볼록 조합은 그 집합의 유한 개의 점들의 볼록 조합으로 정의된다.
예시예를 들어, 두 점의 볼록 조합은 그 점들 사이의 선분이다.
관련 개념
원뿔 조합 (Conical combination)모든 계수가 음수가 아닌 점들의 선형 결합.
아핀 조합 (Affine combination)계수의 합이 1인 점들의 선형 결합.
선형 조합 (Linear combination)계수에 대한 제한이 없는 점들의 선형 결합.

2. 정의

보다 엄밀하게, 실수 벡터 공간에서 유한 개의 점 x_1, x_2, \dots, x_n이 주어졌을 때, 이 점들의 볼록 조합은 다음과 같은 형태의 점이다.

:\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n

여기서 실수 \alpha_i는 \alpha_i\ge 0 및 \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n=1을 만족한다.[1]

특정 예로, 두 점의 모든 볼록 조합은 그 점들 사이의 선분 위에 놓인다.[1]

집합의 모든 점의 볼록 조합을 포함하면 그 집합은 볼록 집합이다. 주어진 점들의 집합의 볼록 껍질은 모든 볼록 조합의 집합과 동일하다.[1]

3. 다른 대상

확률 분포 X의 볼록 조합 Y_i는 확률 밀도 함수를 가지며, 유한 혼합 분포라고 불리는 그 원소의 확률 분포의 가중 합이다.

:f_{X}(x) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i f_{Y_i}(x)

4. 관련 구성

원뿔 조합, 가중 평균, 아핀 조합은 볼록 조합과 관련된 개념들이다. 원뿔 조합은 음이 아닌 계수를 갖는 선형 결합이며, 가중 평균은 기능적으로 볼록 조합과 같지만 다른 표기법을 사용한다. 아핀 조합은 계수가 음수일 수도 있다는 점이 볼록 조합과 다르다.

4. 1. 원뿔 조합

원뿔 조합은 음이 아닌 계수를 갖는 선형 결합이다. 점 x가 변위 벡터를 정의하기 위한 참조 원점으로 사용될 때, x는 n개의 점 x_1, x_2, \dots, x_n의 볼록 결합이며, 영변위가 x에 상대적인 n개의 해당 변위 벡터의 비자명 원뿔 결합인 경우에만 해당한다.

4. 2. 가중 평균

가중 평균은 기능적으로 볼록 조합과 같지만 다른 표기를 사용한다. 가중 평균의 계수(가중치) 합이 1일 필요는 없다. 대신에 합은 명시적으로 선형 결합과 분리된다.

4. 3. 아핀 조합

아핀 조합은 볼록 조합과 유사하지만, 계수가 음이 아닐 필요는 없다. 따라서 아핀 조합은 모든 체의 벡터 공간에서 정의된다.


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