변위

1. 개요

변위는 물체의 초기 위치와 최종 위치 사이의 상대적인 위치 변화를 나타내는 물리량이다. 변위는 최종 위치에서 초기 위치를 뺀 값으로 정의되며, 변위 벡터로 표현되는 경우가 많다. 변위는 고전역학에서 질점의 위치 변화, 결정 내 원자의 위치 변화 등을 나타낼 때 사용되며, 선형 변위, 각 변위, 원자 변위 등으로 분류된다. 변위의 시간 변화율은 속도, 가속도, 저크 등으로 나타낼 수 있으며, 연속체 역학에서는 물체의 변형을 설명하는 데 중요한 역할을 한다.

2. 정의 및 표현

변위는 최종 위치 x_f^영어에서 초기 위치 x_i^영어를 뺀 상대 위치로 나타낼 수 있으며, 최종 위치와 초기 위치의 차이로 정의되는 벡터량이다. 변위의 대상은 고전역학에서의 질점의 위치이거나, 결정(고체)에서의 원자의 위치(원자 변위)일 수 있다.

변위의 표기는 크기를 나타내는 x, d 또는 변화 전후의 위치 차이를 나타내는 Δr 등을 사용한다.

2.1. 변위 벡터

물리량으로서의 변위는 벡터로 표현되는 경우가 많으며, 이 경우 변위 벡터라고 부른다.

물체의 위치를 표현하기 위해 원점으로부터의 위치 벡터를 사용하는 방법도 있다. 어딘가에 기준점을 정한다는 점에서는 변위와 크게 다르지 않지만, 국소적인 현상을 나타낼 때에는 기준 위치와 그로부터의 변위로 기술하는 편이 간단해질 때도 있다.

변위 x와 위치 벡터 r은 다음 식으로 나타낼 수 있다.
:x = r - r₀
여기서 r₀는 기준점의 위치 벡터이다.

2.2. 공식

변위는 최종 위치 x_f에서 초기 위치 x_i를 뺀 상대 위치로 공식화할 수 있다.

:s = x_f - x_i = Δx

3. 종류

변위는 대상에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.

* 선형 변위: 강체의 운동을 다룰 때, 물체 입자의 변위를 말한다.
* 각 변위: 강체의 운동을 다룰 때, 물체의 회전을 의미한다.
* 원자 변위: 결정(고체)에서의 원자의 위치 변화를 의미한다.

3.1. 선형 변위

강체의 운동을 다룰 때, "변위"는 물체의 회전도 포함할 수 있다. 이 경우, 물체 입자의 변위를 선형 변위(선형을 따라 이동하는 변위)라고 하고, 물체의 회전을 각 변위라고 한다.

3.2. 각 변위

강체의 운동을 다룰 때, 물체의 회전을 각 변위라고 한다.

3.3. 원자 변위

결정(고체, 결정 표면이나 거기에 흡착된 원자, 분자 등)에서의 원자의 위치 변화(원자 변위)일 수 있다.

4. 도함수

시간 $t$의 함수인 위치 벡터 $\backslash mathbf\{s\}$에 대해, $t$에 관한 도함수를 계산할 수 있다. 처음 두 도함수는 물리학에서 자주 사용된다.

* 속도: $\backslash mathbf\{v\}\; =\; \backslash frac\{d\backslash mathbf\{s\}\}\{dt\}$
* 가속도: $\backslash mathbf\{a\}\; =\; \backslash frac\{d\backslash mathbf\{v\}\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{d^2\backslash mathbf\{s\}\}\{dt^2\}$
* 저크: $\backslash mathbf\{j\}\; =\; \backslash frac\{d\backslash mathbf\{a\}\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{d^2\backslash mathbf\{v\}\}\{dt^2\}=\backslash frac\{d^3\backslash mathbf\{s\}\}\{dt^3\}$

이러한 일반적인 이름들은 기본적인 운동학에서 사용되는 용어에 해당한다. 고차 도함수도 유사한 방식으로 계산할 수 있으며, 원래의 변위 함수 근사치를 개선할 수 있다. 이러한 고차 항들은 변위 함수를 무한 급수의 합으로 정확하게 나타내는 데 필요하며, 이는 공학 및 물리학에서 여러 분석 기법을 가능하게 한다. 4차 도함수는 자운스라고 한다.

4.1. 속도

속도는 변위의 시간에 대한 변화율로 정의된다.
:mathbf^영어 = frac^영어
움직이는 초기 위치, 즉 움직이는 원점(예: 기차 객차에 고정된 초기 위치 또는 원점, 이는 레일 트랙 위에서 움직인다)을 고려하는 경우, P의 속도(예: 기차 안을 걷는 승객의 위치를 나타내는 점)는 상대 속도라고 한다. 이는 정지 상태로 간주되는 점 및 좌표축(예: 기차역 바닥에 고정된 점과 일반적인 수직 및 수평 방향과 같은 관성 기준틀)을 기준으로 계산되는 절대 속도와 대조된다.

4.2. 가속도

가속도는 속도의 시간에 대한 변화율 또는 변위의 시간에 대한 2차 도함수로 정의된다.

:$\backslash mathbf\{a\}\; =\; \backslash frac\{d\backslash mathbf\{v\}\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{d^2\backslash mathbf\{s\}\}\{dt^2\}$

4.3. 저크 (Jerk)

;저크
:$\backslash mathbf\{j\}\; =\; \backslash frac\{d\backslash mathbf\{a\}\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{d^2\backslash mathbf\{v\}\}\{dt^2\}=\backslash frac\{d^3\backslash mathbf\{s\}\}\{dt^3\}$

저크는 가속도의 시간에 대한 변화율 또는 변위의 시간에 대한 3차 도함수이다.

4.4. 고차 도함수

시간 t의 함수인 위치 벡터 s에 대해, 도함수는 t에 관하여 계산될 수 있다. 처음 두 도함수는 물리학에서 자주 사용된다.

고차 도함수도 유사한 방식으로 계산할 수 있다. 이러한 고차 도함수에 대한 연구는 원래의 변위 함수의 근사치를 개선할 수 있다. 이러한 고차 항들은 변위 함수를 무한 급수의 합으로 정확하게 나타내는 데 필요하며, 이는 공학 및 물리학에서 여러 분석 기법을 가능하게 한다. 4차 도함수는 자운스라고 한다.

5. 연속체 역학에서의 변위

연속체 역학에서 변위는 물질점의 위치 변화를 의미한다. 변위는 강체 변위와 변형이라는 두 가지 요소로 구성된다. 강체 변위는 물체의 평행 이동이나 회전으로, 형상이나 크기의 변화를 수반하지 않는다. 반면 변형은 연속체의 변위 후 물질점 간에 상대 변위가 발생하여 형상이나 크기가 변하는 경우를 말한다. 물질점 간 상대 변위가 없으면 변형은 발생하지 않고 강체 변위가 발생했다고 할 수 있다.

연속체의 변위를 기술할 때는 변위 전의 상태를 기준 배치, 변위 후의 상태를 현재 배치라고 부른다. 여기서 배치는 물체를 구성하는 모든 물질점의 위치를 나타내는 집합을 의미한다.

5.1. 변위 벡터 (연속체 역학)

기준 배치와 현재 배치에서 물질점 P의 위치를 연결하는 벡터를 변위 벡터라고 부르며, 물질 표시(라그랑주 표시)에서는 $\backslash \; \backslash boldsymbol\; u(\backslash mathbf\; X,t)\; =\; u\_\{i\}\backslash boldsymbol\; e\_\{i\}$, 공간 표시(오일러 표시)에서는 $\backslash \; \backslash boldsymbol\; U(\backslash mathbf\; x,t)\; =\; U\_\{i\}\backslash boldsymbol\; E\_\{i\}$ 로 기술된다.

변위장은 물체의 모든 물질점, 모든 변위 벡터의 벡터장이며, 기준 배치와 현재 배치를 연결한다. 일반적으로, 변위장은 물질 표시에 의해 다음과 같이 기술된다.

:$\backslash \; \backslash boldsymbol\; u(\backslash mathbf\; X,t)\; =\; \backslash boldsymbol\; b(\backslash boldsymbol\; X,t)+\backslash boldsymbol\; x(\backslash boldsymbol\; X,t)\; -\; \backslash boldsymbol\; X\; \backslash qquad$ 또는, $\backslash qquad\; u\_i\; =\; \backslash alpha\_\{iJ\}b\_J\; +\; x\_i\; -\; \backslash alpha\_\{iJ\}X\_J$

공간 표시에서는 다음과 같아진다.

:$\backslash \; \backslash boldsymbol\; U(\backslash mathbf\; x,t)\; =\; \backslash boldsymbol\; b(\backslash boldsymbol\; x,t)+\backslash boldsymbol\; x\; -\; \backslash boldsymbol\; X(\backslash boldsymbol\; x,t)\; \backslash qquad$ 또는, $\backslash qquad\; U\_J\; =\; b\_J\; +\; \backslash alpha\_\{Ji\}x\_i\; -\; X\_J\; \backslash ,$

여기서, $\backslash \; \backslash alpha\_\{Ji\}$는, 물질 좌표계의 기저 $\backslash boldsymbol\; e\_\{i\}$ 와 공간 좌표계의 기저 $\backslash boldsymbol\; E\_\{J\}$의 방향 코사인이며, 다음 관계가 성립한다.

:$\backslash \; \backslash boldsymbol\; E\_J\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\; e\_i\; =\; \backslash alpha\_\{Ji\}=\backslash alpha\_\{iJ\}$

또한, $\backslash \; u\_\{i\}$와 $\backslash \; U\_\{J\}$의 관계는 다음과 같아진다.

:$\backslash \; u\_i=\backslash alpha\_\{iJ\}U\_J\; \backslash qquad$ 또는, $\backslash qquad\; U\_J=\backslash alpha\_\{Ji\}u\_i$

다음 관계가 성립한다.

:$\backslash \; \backslash boldsymbol\; e\_i\; =\; \backslash alpha\_\{iJ\}\backslash boldsymbol\; E\_J,$
:$\backslash boldsymbol\; u(\backslash boldsymbol\; X,t)=u\_i\backslash boldsymbol\; e\_i=u\_i(\backslash alpha\_\{iJ\}\backslash boldsymbol\; E\_J)=U\_J\backslash boldsymbol\; E\_J=\backslash boldsymbol\; U(\backslash boldsymbol\; x,t)$

$\backslash boldsymbol\; b\; =\; 0$ 의 경우, 물질 좌표계와 공간 좌표계를 조합하는 것이 일반적이며, 각 기저의 방향 코사인은 크로네커 델타가 된다.

:$\backslash \; \backslash boldsymbol\; E\_J\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\; e\_i\; =\; \backslash delta\_\{Ji\}=\backslash delta\_\{iJ\}$

이상으로부터, 물질 좌표계에서 다음 식을 얻을 수 있다.

:$\backslash \; \backslash boldsymbol\; u(\backslash boldsymbol\; X,t)\; =\; \backslash boldsymbol\; x(\backslash boldsymbol\; X,t)\; -\; \backslash boldsymbol\; X\; \backslash qquad$ 또는, $\backslash qquad\; u\_i\; =\; x\_i\; -\; \backslash delta\_\{iJ\}X\_J\; =\; x\_i\; -\; X\_i$

공간 좌표계에서는 다음과 같아진다.

:$\backslash \; \backslash boldsymbol\; U(\backslash boldsymbol\; x,t)\; =\; \backslash boldsymbol\; x\; -\; \backslash boldsymbol\; X(\backslash boldsymbol\; x,t)\; \backslash qquad$ 또는, $\backslash qquad\; U\_J\; =\; \backslash delta\_\{Ji\}x\_i\; -\; X\_J\; =x\_J\; -\; X\_J$

5.2. 변위 기울기 텐서

물질 표시의 변위 벡터는 다음과 같다.
:u(X,t) = x(X,t) - X^영어
이를 물질 좌표 X로 편미분하여 얻어지는 텐서는 물질 변위 기울기 텐서 ∇_Xu 또는 단순히 변위 기울기 텐서라고 불린다. 수식은 다음과 같다.
:$\backslash nabla\_\{\backslash boldsymbol\; X\}\backslash boldsymbol\; u\; =\; \backslash nabla\_\{\backslash boldsymbol\; X\}\backslash boldsymbol\; x\; -\; \backslash boldsymbol\; I\; =\; \backslash boldsymbol\; F\; -\; \backslash boldsymbol\; I$^영어
또는,
:$\backslash frac\{\backslash partial\; u\_i\}\{\backslash partial\; X\_K\}=\backslash frac\{\backslash partial\; x\_i\}\{\backslash partial\; X\_K\}-\backslash delta\_\{iK\}$^영어
여기서 F는 변형 기울기 텐서, I는 항등 텐서이다.

마찬가지로, 공간 표시의 변위 벡터는 다음과 같다.
:U(x,t) = x - X(x,t)^영어
이를 공간 좌표로 편미분하여 얻어지는 텐서는 공간 변위 기울기 텐서 ∇_xU라고 불린다. 수식은 다음과 같다.
:$\backslash nabla\_\{\backslash boldsymbol\; x\}\backslash boldsymbol\; U\; =\; \backslash boldsymbol\; I\; -\; \backslash nabla\_\{\backslash boldsymbol\; x\}\backslash boldsymbol\; X\; =\; \backslash boldsymbol\; I\; -\backslash boldsymbol\; F^\{-1\}$^영어
또는,
:$\backslash frac\{\backslash partial\; U\_J\}\{\backslash partial\; x\_k\}\; =\; \backslash delta\_\{Jk\}-\backslash frac\{\backslash partial\; X\_J\}\{\backslash partial\; x\_k\}$^영어

5.3. 변위 기울기 텐서와 변형률 텐서의 관계

변위 기울기 텐서는 성질이 다른 두 가지 내용을 포함한다.

:
& \epsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right),\quad
\omega_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)
\end{align}

변위 기울기 텐서의 대칭 성분 $\backslash epsilon$는 변형률이라고 불리며, 형상의 변화 정도를 나타내는 양이다. 한편, 반대칭 성분 $\backslash omega$는 물체가 형상을 변화시키지 않고 단순히 회전하는 것을 나타낸다.

6. 예시

용수철에 연결된 물체의 운동에서, 물체의 위치는 용수철의 자연장 위치를 기준으로 한 변위로 나타내는 것이 편리하다.

이때 물체의 위치 에너지는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.
:$U=\backslash frac\{1\}\{2\}kx^2$
여기서 x는 용수철의 자연장 위치를 기준으로 한 변위, k는 용수철 상수이다.

물체에 가해지는 중력은 기준 위치(와 에너지의 기준점)를 움직일 뿐이므로, 용수철이 어떤 방향을 향하고 있든, 또한 중력이 가해지고 있을 때에도 이 식을 변경할 필요가 없다. 이처럼 용수철의 운동에서는 변위를 포함하는 부분이 본질적이라고 할 수 있다.