순환 (그래프 이론)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 회로와 순환
- 2.2. 유향 회로와 유향 순환
3. 성질
4. 순환 찾기 알고리즘
5. 순환의 응용
6. 순환 그래프
7. 순환으로 정의되는 그래프 종류
참조

1. 개요

순환은 그래프 이론에서 그래프의 꼭짓점과 변으로 구성된 닫힌 경로를 의미한다. 순환은 그래프의 정의, 회로와 순환, 유향 회로와 유향 순환 등 다양한 형태로 정의될 수 있다. 순환은 현이 없는 순환, 사이클 공간, 순환 덮개 등 다양한 성질을 가지며, 깊이 우선 탐색(DFS)과 같은 알고리즘을 통해 그래프 내 순환의 존재 여부를 탐지할 수 있다. 순환은 대기 그래프를 이용한 교착 상태 탐지 등 다양한 분야에 응용되며, 순환 그래프와 같이 순환을 기반으로 정의되는 다양한 그래프 종류가 존재한다.

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순환 (그래프 이론)
정의
정의	그래프 이론에서, 사이클(영어: cycle) 또는 닫힌 경로는 처음과 마지막 정점이 같은 경로이다.
추가 설명	비어 있지 않은 그래프의 모든 정점의 차수가 2 이상이면 그 그래프는 사이클을 포함한다.
종류
단순 사이클	반복되는 정점이 없는 사이클
기본 사이클	주어진 그래프의 기본 사이클의 모임은 그래프의 사이클 공간의 기저이다.
방향이 있는 사이클	방향 그래프에서의 사이클
해밀턴 순환	그래프의 모든 정점을 정확히 한 번 방문하는 순환
성질
차수	비어 있지 않은 그래프의 모든 정점의 차수가 2 이상이면 그 그래프는 사이클을 포함한다.
참고 문헌
참고 문헌	Bondy, J. A.; Murty, U. S. R. (1976), Graph Theory with Applications, New York: North Holland, ISBN 0-444-19451-7, OCLC 22896026

2. 정의

(단순) 그래프 $G$ 에서, 길이가 $n$ 인 '''순환''' $C\subset\Gamma$ 은 다음 성질을 만족시키는 꼭짓점들의 열 $v_1,\dots,v_n\in V(G)$ 이다.

모든 $i=1,\dots,n-1$ 에 대하여, $v_iv_{i+1}\in E(G)$ 이며, 또한 $v_nv_0\in E(G)$ 이다.
임의의 $i,j\in\{1,\dots,n\}$ 에 대하여, $v_i=v_j$ 라면 $i=j$ 이다.

일부 문헌(특히, 오래된 문헌)에서는 사이클/cycle^영어이 닫힌 보행을 일컫는 경우가 있으므로 주의하여야 한다. 만약 혼동의 여지가 있으면, 순환을 "단순 순환"(simple cycle^영어)이라고 일컫는 경우도 있다.

마찬가지로, 유향 그래프에서도 순환을 정의할 수 있다.

그래프의 일종을 말하기도 한다. ''n''개의 정점 ''v''_''i''（''i''=0, 1, ..., ''n'' -1）으로 구성된 그래프로, 변은 정확히 ''v''_''i'' 와 ''v''_''i''+1（''i''=0, 1, ..., ''n'' -1, 첨자는 ''n''을 법으로 한다）을 연결한 것으로 이루어진 것. '''C_n'''으로 표기한다.

2. 1. 회로와 순환

(단순) 그래프에서, 길이가

n

인 '''순환'''은 다음 성질을 만족시키는 꼭짓점들의 열

v_1,\dots,v_n\in V(G)

이다.

모든 $i=1,\dots,n-1$ 에 대하여, $v_iv_{i+1}\in E(G)$ 이며, 또한 $v_nv_0\in E(G)$ 이다.
임의의 $i,j\in\{1,\dots,n\}$ 에 대하여, $v_i=v_j$ 라면 $i=j$ 이다.

일부 문헌(특히, 오래된 문헌)에서는 "사이클/cycle^영어"이 닫힌 보행을 일컫는 경우가 있으므로 주의하여야 한다. 만약 혼동의 여지가 있으면, 순환을 "단순 순환"(simple cycle^영어)이라고 일컫는 경우도 있다.

유향 그래프에서도 순환을 정의할 수 있다.

'''회로'''는 첫 번째와 마지막 정점이 동일한 비어 있지 않은 트레일이다(‘닫힌 트레일’).
'''순환''' 또는 '''단순 회로'''는 첫 번째와 마지막 정점만 동일한 회로이다.
''n''은 '회로의 길이' 또는 '순환의 길이'라고 한다.

2. 2. 유향 회로와 유향 순환

유향 그래프에서, '''유향 회로'''(directed circuit)는 첫 번째 정점과 마지막 정점이 같은 (닫힌 유향 트레일) 비어 있지 않은 유향 트레일이다. 유향 그래프를 G/G^영어 = (V/V^영어, E/E^영어, Φ/Φ^영어)라고 할 때, 유향 회로는 정점 시퀀스 (v/v^영어₁, v/v^영어₂, ..., v/v^영어_n/n^영어, v/v^영어₁)를 갖는 비어 있지 않은 유향 트레일 (e/e^영어₁, e/e^영어₂, ..., e/e^영어_n/n^영어)이다. '''유향 순환'''(directed cycle^영어) 또는 '''단순 유향 회로'''(simple directed circuit)는 첫 번째 정점과 마지막 정점만 같은 유향 회로이다. ''n''은 유향 회로 또는 유향 순환의 길이라고 한다.

3. 성질

3. 1. 현이 없는 순환

그래프에서 현이 없는 순환은 구멍 또는 유도된 순환이라고도 하며, 순환의 두 정점 사이의 간선이 순환 자체에 속하지 않는 순환을 의미한다. 현은 순환 상에서 인접하지 않은 두 정점을 연결하는 간선이다. 반구멍은 그래프 구멍의 여 그래프이다. 현이 없는 순환은 완전 그래프를 특징짓는 데 사용될 수 있다. 강한 완전 그래프 정리에 따르면 그래프는 구멍 또는 반구멍 중 3보다 큰 홀수를 갖지 않는 경우에만 완전 그래프이다. 현 그래프는 완전 그래프의 특별한 유형으로, 크기가 3보다 큰 구멍이 없다.

이 그래프에서 녹색 사이클 A–B–C–D–E–F–A는 현이 없는 반면, 빨간색 사이클 G–H–I–J–K–L–G는 그렇지 않습니다. 이는 {K, I} 간선이 현이기 때문입니다.

그래프의 둘레는 가장 짧은 순환의 길이이며, 이 순환은 필연적으로 현이 없다. 케이지는 주어진 차수와 둘레의 조합을 가진 가장 작은 정규 그래프로 정의된다.

3. 2. 사이클 공간

"사이클"이라는 용어는 그래프의 사이클 공간의 원소를 지칭할 수도 있다. 사이클 공간은 계수 필드 또는 링에 따라 여러 종류가 존재한다.^[1] 가장 일반적인 것은 모든 정점에서 짝수 차수를 갖는 에지 집합으로 구성된 ''이진 사이클 공간'' (보통 단순히 ''사이클 공간''이라고 함)이며, 이는 두 개의 원소를 갖는 유한체에 대한 벡터 공간을 형성한다.^[1] 베블렌의 정리에 의해, 사이클 공간의 모든 원소는 단순 사이클의 에지-상호소외 합집합으로 구성될 수 있다.^[1] 그래프의 사이클 기저는 사이클 공간의 기저를 형성하는 단순 사이클의 집합이다.^[1]

대수적 위상수학의 아이디어를 사용하면, 이진 사이클 공간은 정수, 유리수 또는 실수 등과 같은 다른 환에 대한 벡터 공간 또는 가군으로 일반화된다.^[2]

3. 3. 순환 덮개

1736년 레온하르트 오일러는 쾨니히스베르크의 일곱 다리 문제에 관한 논문에서, 유한 무향 그래프가 각 간선을 정확히 한 번씩 지나는 닫힌 보행(오일러 경로)을 가지려면, 고립된 정점을 제외하고 연결되어 있어야 하며, 각 정점에서 짝수 차수를 가져야 함을 증명했다.^[6] 유향 그래프에서 각 간선을 정확히 한 번씩 지나는 닫힌 보행이 존재하려면, 그래프가 강하게 연결되어 있고, 각 정점에서 들어오는 간선과 나가는 간선의 수가 같아야 한다. 연결된 그래프가 오일러 정리의 조건을 만족하지 못하는 경우, 각 간선을 최소 한 번 이상 덮는 최소 길이의 닫힌 보행은 경로 검사 문제를 해결하여 다항 시간 안에 찾을 수 있다.

모든 간선이 아닌, 모든 정점을 정확히 한 번씩 덮는 단순 순환은 해밀턴 순환이라고 하며, 그 존재 여부를 결정하는 문제는 NP-완전 문제이다.^[7]

사이클 이중 덮개 추측은 모든 브리지 없는 그래프에 대해 그래프의 각 간선을 정확히 두 번 덮는 단순 순환들의 멀티셋이 존재한다는 추측이다.^[9]

4. 순환 찾기 알고리즘

깊이 우선 탐색(DFS)을 사용하여 무향 그래프와 유향 그래프 모두에서 순환의 존재 여부를 확인할 수 있다. DFS 과정에서 현재 정점의 조상을 가리키는 간선, 즉 역방향 간선을 발견하면 순환이 존재함을 알 수 있다.^[3] 무향 그래프에서 노드의 부모로 가는 간선은 역방향 간선으로 간주하지 않지만, 이미 방문한 다른 정점을 찾으면 역방향 간선이 존재함을 의미한다. DFS가 건너뛰는 모든 역방향 간선은 순환의 일부이다.^[4]^[11] 무향 그래프에서 순환을 찾는 시간 복잡도는 n개의 정점을 가진 그래프에서 O(n)이다.

유향 그래프에서 순환을 찾는 것 역시 깊이 우선 탐색으로 역방향 변을 찾는 방식으로 이루어지며, 순방향 변이나 교차 변은 순환을 나타내는 데 중요하지 않다. 위상 정렬 알고리즘은 순환이 존재하면 위상 정렬이 불가능하기 때문에 순환 탐지에 사용될 수 있다.^[4] 또한, 유향 그래프가 강결합 요소로 분할될 수 있는 경우, 순환은 강결합 요소 내에서만 존재하므로, 강결합 요소 알고리즘을 사용하여 순환을 찾을 수 있다.^[11]

분산 메시지 기반 알고리즘은 컴퓨터 클러스터 등에서 대규모 그래프의 순환을 탐지하는 데 사용될 수 있다. 이 알고리즘은 순환 내의 정점에서 보낸 메시지가 자신에게 돌아온다는 원리를 이용한다.

순환 감지의 응용 분야로는 대기 그래프를 이용한 동시 시스템의 교착 상태 탐지가 있다.^[5]

너비 우선 탐색(BFS)을 변형하여 사용하면 가능한 가장 짧은 길이의 순환을 찾을 수 있다.

5. 순환의 응용

6. 순환 그래프

순환 그래프(Cycle graph)는 단일 순환으로 구성된 그래프를 말하며, ''C_n''으로 표기한다. ''n''개의 정점 ''v''_''i''(''i''=0, 1, ..., ''n'' -1)으로 구성된 그래프로, 변은 정확히 ''v''_''i'' 와 ''v''_''i''+1(''i''=0, 1, ..., ''n'' -1, 첨자는 ''n''을 법으로 한다)을 연결한 것으로 이루어진다.

7. 순환으로 정의되는 그래프 종류

이분 그래프는 홀수 순환(정점의 수가 홀수인 순환)이 없는 그래프이다. 선인장 그래프는 모든 비자명 이중 연결 요소가 순환인 그래프이다. 현 그래프는 모든 유도된 순환이 삼각형인 그래프이다. 방향 비순환 그래프는 방향 순환이 없는 방향 그래프이다. 완전 그래프는 3보다 큰 홀수 길이의 유도된 순환 또는 그 여집합이 없는 그래프이다.

의사 숲은 각 연결 요소가 최대 하나의 순환을 갖는 그래프이다. 교착 그래프는 모든 주변 순환이 삼각형인 그래프이다. 강하게 연결된 그래프는 모든 간선이 순환의 일부인 방향 그래프이다. 삼각형 없는 그래프는 세 개의 정점 순환이 없는 그래프이다. 짝수 사이클 없는 그래프는 짝수 순환이 없는 그래프이다. 짝수 홀 없는 그래프는 길이가 6 이상인 짝수 순환이 없는 그래프이다.

참조

_[1] 서적 Graph Theory and Its Applications CRC Press 2016-09-27
_[2] 서적 Graph Theory Springer 2016-09-27
_[3] 서적 Applied Combinatorics John Wiley & sons
_[4] 서적 Algorithms https://archive.org/[...] Addison–Wesley
_[5] 서적 Operating System Concepts https://archive.org/[...] John Wiley & Sons, INC.
_[6] 간행물 An Application of Modular Equations in Analysis Situs
_[7] 서적 Complexity of Computer Computations New York: Plenum 2014-03-12
_[8] 간행물 Note on Hamilton circuits
_[9] 서적 Annals of Discrete Mathematics 27 – Cycles in Graphs
_[10] 서적 Applied Combinatorics John Wiley & sons 2006
_[11] 서적 Algorithms https://archive.org/[...] Addison-Wesley 1983

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