슈타켈베르크 모형

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1. 개요
2. 부분게임 완전 균형
- 2.1. 균형 계산
- 2.2. 선형 수요함수 예시
3. 경제학적 분석
- 3.1. 선도자 이점
- 3.2. 위협의 신빙성
4. 다른 과점 모형과의 비교
- 4.1. 생산량, 가격, 소비자 잉여
- 4.2. 정보의 역할
5. 응용 분야
- 5.1. 동적 게임 확장
- 5.2. 다양한 분야 응용
  - 5.2.1. 보안 분야
  - 5.2.2. 기타 분야
참조

1. 개요

슈타켈베르크 모형은 부분 게임 완전 균형을 구하는 방법으로, 기업 간의 전략적 상호작용을 분석하는 데 사용되는 게임 이론 모형이다. 이 모형은 선도 기업과 후발 기업의 생산량 결정 과정을 역진귀납법을 통해 분석하며, 선도 기업이 먼저 생산량을 결정하고 후발 기업이 이를 관찰한 후 자신의 생산량을 결정하는 구조를 갖는다. 슈타켈베르크 균형은 내쉬 균형의 일종으로, 선도 기업은 후발 기업의 최적 반응 함수를 고려하여 행동하고, 결과적으로 선도자 이점을 얻을 수 있다. 이 모형은 경제학적 분석뿐만 아니라, 보안, 공급망 관리, 로봇 공학, 자율 주행 등 다양한 분야에 응용된다.

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슈타켈베르크 모형
슈타켈베르크 경쟁
개요
유형	경제 모델
분야	산업 조직론
복잡성	올리고폴리
설명	기업 간의 비대칭적인 게임
개발자
개발자	하인리히 프라이헤르 폰 슈타켈베르크
발표 연도	1934년
주요 저서	Marktform und Gleichgewicht (시장 형태와 균형)

2. 부분게임 완전 균형

슈타켈베르크 모형은 부분게임 완전 균형을 통해 분석할 수 있다. 여기서 핵심 개념은 역진귀납법으로, 후발 기업의 최적 반응을 먼저 고려한 후, 이를 바탕으로 선도 기업의 최적 전략을 도출하는 방식이다.

슈타켈베르크 균형은 하위 게임 완전 나쉬균형(subgame perfect Nash equilibrium)이다. 즉, 다른 플레이어의 전략을 고려했을 때 각 플레이어에게 가장 적합한 전략 프로파일이며, 모든 플레이어가 모든 하위 게임(subgame)에서 나쉬 균형(Nash equilibrium)을 유지한다.^[31]

슈타켈베르크 균형에서 선도자는 추종자의 최적 반응 함수를 전제로 행동하며, 추종자는 자신의 최적 반응 함수만을 전제로 한다.

2. 1. 균형 계산

슈타켈베르크 모형은 부분게임 완전 균형을 구하는 방법으로 풀 수 있다. 부분게임 완전 균형을 구하려면 역진귀납법을 통해 후발 기업의 최적 반응을 먼저 고려해야 한다.

선도 기업의 생산량을

q_{L}

, 후발 기업의 생산량을

q_{F}

라 하고 P를 역수요함수, C를 비용함수, MC를 한계비용이라고 하자. 후발 기업의 이윤은

\pi_{F}=P(q_{L}+q_{F}) \cdot q_{F}-C_{F}(q_{F})

이므로 후발 기업의 최적 반응은 다음 식을 만족해야 한다.

:

\frac{\partial\pi_{F}}{\partial q_F}=\frac{\partial P(q_{L}+q_{F})}{\partial q_F} \cdot q_{F}+P(q_{L}+q_{F})-MC_{F}(q_{F})=0

위의 방정식을 정리하여 후발 기업의 생산량은 선도 기업의 생산량의 함수

q_F(q_L)

로 나타낼 수 있다.

선도 기업의 이윤함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\pi_{L}=P(q_{L}+q_{F}(q_{L})) \cdot q_{L}-C_{L}(q_{L})

선도 기업의 이윤을 극대화하는 조건은 다음과 같다. 선도 기업의 이윤을 극대화하는 생산량을 찾으면 슈타켈베르크 균형을 구할 수 있다.

슈타켈베르크 모형은 하위 게임 완전 나쉬균형(subgame perfect Nash equilibrium) 또는 균형(SPNE)을 찾기 위해 해결될 수 있다. 즉, 다른 플레이어의 전략을 고려했을 때 각 플레이어에게 가장 적합한 전략 프로파일이며, 모든 플레이어가 모든 하위 게임(subgame)에서 나쉬 균형(Nash equilibrium)을 유지하는 것을 의미한다.

(이중 독점) 산업의 가격 함수를

P(q_1+q_2)

라고 하고, 기업

i

의 비용 구조가

C_i(q_i)

라고 가정한다. (

_1

은 선도자,

_2

는 추종자) 이 모형은 역추적법(solution concept|backward induction)으로 해결된다. 선도자는 추종자의 최적 대응(best response)을 고려하여 자신의 이윤을 극대화하는 수량을 선택한다. 추종자는 이를 관찰하고 균형 상태에서 예상되는 수량을 반응으로 선택한다.

SPNE를 계산하려면 먼저 추종자의 최적 대응 함수(Best response|best response functions)를 계산해야 한다.

기업

2

(추종자)의 이윤은

\Pi_2 = P(q_1+q_2) \cdot q_2 - C_2(q_2)

이다. 최적 대응은

q_1

이 주어졌을 때

\Pi_2

를 극대화하는

q_2

의 값을 찾는 것이다.

q_2

에 대해

\Pi_2

를 미분하여 최댓값을 찾는다.

:

\frac{\partial \Pi_2 }{\partial q_2} = \frac{\partial P(q_1+q_2) }{\partial q_2} \cdot q_2 + P(q_1+q_2) - \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}=0.

이 방정식을 만족하는

q_2

의 값이 최적 대응이다.

선도자의 최적 대응 함수는 추종자의 산출량을 선도자의 산출량의 함수로 고려하여 계산한다.

기업

1

(선도자)의 이윤은

\Pi_1 = P(q_1+q_2(q_1)) \cdot q_1 - C_1(q_1)

이다.

q_2(q_1)

는 위에서 계산한 함수인 선도자의 수량의 함수로서 추종자의 수량이다. 최적 대응은

q_2(q_1)

이 주어졌을 때

\Pi_1

을 극대화하는

q_1

의 값을 찾는 것이다.

q_1

에 대해

\Pi_1

을 미분하여 최댓값을 찾는다.

:

\frac{\partial \Pi_1}{\partial q_1} = \frac{\partial P(q_1+q_2)}{\partial q_2} \cdot \frac{\partial q_2(q_1)}{\partial q_1} \cdot q_1+\frac{\partial P(q_1+q_2)}{\partial q_1} \cdot q_1 + P(q_1+q_2(q_1)) - \frac{\partial C_1 (q_1)}{\partial q_1}=0.

일반적인 선형 수요 구조

p(q_1+q_2) = \bigg(a - b(q_1+q_2)\bigg)

를 가정하고, 비용 구조에

\frac{\partial ^2C_i (q_i)}{\partial q_i  \cdot  \partial q_j}=0,\forall j

그리고

\frac{\partial C_i (q_i)}{\partial q_j}=0, j \ne \ i

제약 조건을 부과하면,

추종자의 이윤은

\pi_2 = \bigg(a - b(q_1+q_2)\bigg) \cdot q_2 - C_2(q_2)

이고, 최대화 문제는 다음과 같이 해결된다.

:

\frac{\partial \bigg(a - b(q_1+q_2)\bigg) }{\partial q_2} \cdot q_2 + a - b(q_1+q_2) - \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}=0,

:

\Rightarrow \ - bq_2 + a - b(q_1+q_2) - \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}=0,

:

\Rightarrow \ q_2 = \frac{a - bq_1 - \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}}{2b}.

선도자의 이윤은

\Pi_1 = \bigg(a - b(q_1+q_2(q_1))\bigg) \cdot q_1 - C_1(q_1)

이고, 추종자의 문제에서

q_2(q_1)

를 대입하면,

:

\Pi_1 = \bigg(a - b\bigg(q_1+\frac{a - bq_1 - \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}}{2b}\bigg)\bigg) \cdot q_1 - C_1(q_1),

:

\Rightarrow \Pi_1 = \bigg(\frac{a - b.q_1 + \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}}{2})\bigg) \cdot q_1 - C_1(q_1).

최대화 문제는 다음과 같이 해결된다.

:

\frac {\partial \pi_1}{\partial q_1} = \bigg(\frac{a - 2bq_1 + \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}}{2}\bigg) - \frac{\partial C_1 (q_1)}{\partial q_1}=0.

q_1

에 대해 풀면 선도자의 최적 행동인

q_1^*

가 나온다.

:

q_1^*=\frac{a + \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}- 2 \cdot  \frac{\partial C_1 (q_1)}{\partial q_1}}{2b}.

추종자의 실제 양은 이것을 이전에 계산된 반응 함수에 대입하여 찾을 수 있다.

:

q_2^* = \frac{a - b \cdot  \frac{a + \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}- 2 \cdot  \frac{\partial C_1 (q_1)}{\partial q_1}}{2b} - \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}}{2b},

:

\Rightarrow q_2^* = \frac{a - 3 \cdot  \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}+ 2 \cdot  \frac{\partial C_1 (q_1)}{\partial q_1}}{4b}.

내쉬 균형은 모두

(q_1^*, q_2^*)

이다. 한계비용이 0이라고 가정하면 선도자는 상당한 이점을 가진다. 선도자가 추종자보다 더 나은 상황이 아니었다면, 단순히 쿠르노 경쟁 전략을 채택했을 것이다.

추종자의 수량

q_2

를 선도자의 최적 대응 함수에 다시 대입해도

q_1

이 나오지 않는다. 이는 선도자가 산출량을 확정하고 추종자의 행동을 관찰한 후에는 항상 사후적으로 산출량을 줄이고 싶어하기 때문이다. 그러나 그렇게 할 수 없다는 것이 쿠르노 경쟁보다 더 높은 이윤을 얻을 수 있도록 한다.

2. 2. 선형 수요함수 예시

선형 수요함수를 가정하여 슈타켈베르크 모형을 분석하면 다음과 같다. 역수요함수가

P(q_L+q_F)=a-b(q_L+q_F)

이고, 한계비용이 c로 동일한 상수라고 가정한다. 여기서

q_L

은 선도 기업의 생산량,

q_F

는 후발 기업의 생산량이다.

후발 기업의 이윤함수는

\pi_{F}=\left(a-b(q_L+q_F)\right)q_F-C_{F}(q_F)

이며, 이윤극대화를 위한 조건은

\frac{\partial\pi_{F}}{\partial q_F}=a-bq_L-2bq_F-c=0

이다. 이를 통해 후발 기업의 최적반응함수

q_F = \frac{a-c}{2b}-\frac{1}{2}q_L

를 얻는다.

선도 기업의 이윤함수는

\pi_{L}=\left(a-b(q_L+q_F)\right)q_L-C_{L}(q_L)

이며, 여기에 후발 기업의 최적반응함수를 대입하면

\pi_{L}=\left(\frac{a+c_F}{2}-\frac{b}{2}q_{L}\right)q_{L}-C_{L}(q_L)

가 된다. 선도 기업의 이윤극대화 조건은

\frac{\partial\pi_{L}}{\partial q_L}=\left(\frac{a+c}{2}-bq_{L}\right)-c=0

이며, 이를 통해 선도 기업의 생산량

q_L=\frac{a-c}{2b}

를 얻는다.

후발 기업의 최적반응함수에 선도 기업의 생산량을 대입하면, 후발 기업의 생산량은

q_F=\frac{a-c}{4b}

가 된다. 이처럼 슈타켈베르크 모형에서는 선도 기업이 후발 기업보다 더 많은 생산량을 생산하여 전략적 이점을 가지는데, 이를 선행자 이점(First-mover advantage) 또는 선도자 이점이라고 한다.^[31]^[32]

수요곡선이 선형이고 한계비용이 두 기업 모두 상수이면서 같다면, 선도 기업의 생산량은 독점 기업의 생산량과 같아지는 특성이 있다.^[32]

일반화된 선형 수요 구조를 가정하면,

p(q_1+q_2) = \bigg(a - b(q_1+q_2)\bigg)

와 같다. 비용 구조에 대한 단순화를 위해 다음 제약 조건을 부과한다.

:

\frac{\partial ^2C_i (q_i)}{\partial q_i  \cdot  \partial q_j}=0,\forall j

그리고

\frac{\partial C_i (q_i)}{\partial q_j}=0, j \ne \ i

추종자의 이윤은

\pi_2 = \bigg(a - b(q_1+q_2)\bigg) \cdot q_2 - C_2(q_2)

이며, 최대화 문제를 풀면

q_2 = \frac{a - bq_1 - \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}}{2b}

를 얻는다.

선도자의 이윤은

\Pi_1 = \bigg(a - b(q_1+q_2(q_1))\bigg) \cdot q_1 - C_1(q_1)

이며, 추종자의 반응함수를 대입하면

\Pi_1 = \bigg(\frac{a - b.q_1 + \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}}{2})\bigg) \cdot q_1 - C_1(q_1)

가 된다. 이를 최대화하면 선도자의 최적 행동

q_1^*=\frac{a + \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}- 2 \cdot  \frac{\partial C_1 (q_1)}{\partial q_1}}{2b}

를 얻는다.

추종자의 실제 양은

q_2^* = \frac{a - 3 \cdot  \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}+ 2 \cdot  \frac{\partial C_1 (q_1)}{\partial q_1}}{4b}

로 계산된다. 내쉬 균형은

(q_1^*, q_2^*)

이다.

한계비용이 0이라고 가정하면, 선도자는 쿠르노 경쟁 전략을 채택했을 때보다 더 높은 이윤을 얻을 수 있다. 이는 선도자가 생산량을 확정하고 추종자의 행동을 관찰한 후 생산량을 줄일 수 없다는 제약 때문이다.

3. 경제학적 분석

슈타켈베르크 선도자-추종자 모형은 종종 확장형 게임 표현을 사용하여 분석된다. 의사결정 트리라고도 불리는 이 모형은 슈타켈베르크 게임에서 두 기업이 가지는 산출량과 이윤의 조합을 보여준다.

왼쪽 그림은 확장형으로 표현된 슈타켈베르크 게임을 보여준다. 이윤은 오른쪽에 표시되어 있다. 이 예시는 한계비용만 포함하는 기본적인 비용 구조를 가지며(고정비용은 없다) 수요 함수는 선형이고 수요의 가격 탄력성은 1이다.

추종자는 자신의 이윤

q_2 \times (5000-q_1-q_2-c_2)

을 극대화하기 위해

q_2

를 선택하려고 한다. 1계 도함수를 구하고 0과 같게 하면(극대화를 위해)

q_2

의 최대값으로

q_2=\frac{5000-q_1-c_2}{2}

가 된다.

선도자는 자신의 이윤

q_1 \times (5000-q_1-q_2-c_1)

을 극대화하기 위해

q_1

을 선택하려고 한다. 그러나 균형 상태에서 선도자는 추종자가 위와 같이

q_2

를 선택할 것임을 안다. 따라서 선도자는 자신의 이윤

q_1 \times (5000-q_1-\frac{5000-q_1-c_2}{2}-c_1)

(추종자의 최적 반응 함수에

q_2

를 대입)을 극대화하려고 한다. 미분을 통해 최대 이윤은

q_1=\frac{5000-2c_1+c_2}{2}

로 주어진다. 이것을 추종자의 최적 반응 함수에 대입하면

q_2=\frac{5000+2c_1-3c_2}{4}

가 된다.

두 기업의 한계비용이 같다고 가정하면(

c_1=c_2=1000

), 선도자는 2000을 생산하고 추종자는 1000을 생산한다. 이는 선도자에게 200만원의 이윤(수익)을, 추종자에게 100만원의 이윤을 가져다준다.

3. 1. 선도자 이점

슈타켈베르크 모형에서 선도 기업은 전략적 이점을 가지는데, 이를 '''선행자 이점'''(First-mover advantage) 또는 '''선도자 이점'''이라고 한다.^[31]^[32]

선형 수요함수를 가정하고 한계비용이 c로 같은 상수라고 할 때, 선도 기업과 후발 기업의 생산량은 다음과 같이 계산된다.

후발 기업의 최적반응함수: $q_F = \frac{a-c}{2b}-\frac{1}{2}q_L$
선도 기업의 생산량: $q_L=\frac{a-c}{2b}$
후발 기업의 생산량: $q_F=\frac{a-c}{4b}$

이처럼 슈타켈베르크 모형에서 선도 기업은 후발 기업보다 더 많은 생산량을 생산한다.

수요곡선이 선형이고, 두 기업의 한계비용이 같고 상수라면, 선도 기업의 생산량은 독점 기업의 생산량과 같아진다.^[32]

일반적인 선형 수요 구조를 가정하면 다음과 같다.

:

p(q_1+q_2) = \bigg(a - b(q_1+q_2)\bigg)

비용 구조에 대한 제약 조건은 다음과 같다.

:

\frac{\partial ^2C_i (q_i)}{\partial q_i  \cdot  \partial q_j}=0,\forall j

그리고

\frac{\partial C_i (q_i)}{\partial q_j}=0, j \ne \ i

이러한 조건 하에서 추종자와 선도자의 최적 생산량은 다음과 같이 계산된다.

추종자의 최적 생산량: $q_2^* = \frac{a - 3 \cdot \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}+ 2 \cdot \frac{\partial C_1 (q_1)}{\partial q_1}}{4b}$
선도자의 최적 생산량: $q_1^*=\frac{a + \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}- 2 \cdot \frac{\partial C_1 (q_1)}{\partial q_1}}{2b}$

내쉬 균형은

(q_1^*, q_2^*)

이다. 만약 한계비용이 0이라면, 선도자는 상당한 이점을 갖는다. 선도자가 쿠르노 경쟁 전략을 채택하지 않는 이유는 추종자보다 더 나은 상황에 있기 때문이다.

확장형으로 표현된 슈타켈베르크 게임(위 그림 참고)에서, 선도자는 먼저 행동함으로써 추종자보다 두 배의 이윤을 얻을 수 있다. 그러나 이는 예시의 특성으로, 선도자가 큰 비용 구조적 우위를 가지는 경우 독점 이윤에 가까운 이득을 얻을 수 있다. 추종자가 더 높은 이윤을 얻는 경우도 있지만, 이는 추종자가 훨씬 낮은 비용을 가지고 있기 때문일 수 있다. 이러한 행동은 기업들이 비대칭적이더라도 과점 시장에서 일관되게 작용한다.

3. 2. 위협의 신빙성

리더가 균형 생산량을 선택한 후, 팔로워가 균형에서 벗어나 최적이 아닌 생산량을 선택하면 자신뿐만 아니라 리더에게도 손해를 줄 수 있다. 팔로워가 최적 반응보다 훨씬 많은 양을 선택하면 시장 가격이 하락하고 리더의 이윤이 떨어져 쿠르노 수준의 이윤보다 낮아질 수 있다. 이 경우, 팔로워는 게임 시작 전에 리더에게 리더가 쿠르노 균형 생산량을 선택하지 않으면 리더의 이윤을 깎는 비정상적인 양을 선택하겠다고 선언할 수 있다. 그러나 리더는 위협받지 않는다. 리더가 균형 생산량을 선택한 후에는 팔로워도 손해를 보게 되므로 벗어나는 것은 비이성적이다. 리더가 선택을 한 후에는 팔로워는 균형 경로에서 행동하는 것이 더 유리하다. 따라서 팔로워의 그러한 위협은 신뢰할 수 없다.

하지만, (무한히) 반복되는 슈타켈베르크 게임에서는 팔로워가 다음 기간에 리더를 처벌하겠다고 위협하는 처벌 전략을 채택할 수 있다. 리더가 현재 기간에 비최적 전략을 선택하지 않는 한 말이다. 이 위협은 신뢰할 수 있는데, 왜냐하면 팔로워가 다음 기간에 처벌하는 것이 이성적일 수 있고, 그 결과 리더는 그 이후로 쿠르노 생산량을 선택하게 될 수 있기 때문이다.

4. 다른 과점 모형과의 비교

슈타켈베르크 모형은 쿠르노 모형과 같이 수량 경쟁을 하는 모형이지만, 선도자가 먼저 움직여 전략적 이점을 갖는다는 차이점이 있다. 슈타켈베르크 모형은 완전 정보를 가정하여, 후속자는 선도자의 선택을 반드시 알아야 한다. 만약 정보가 불완전하다면 게임은 쿠르노 경쟁과 같아지며, 선도자의 위협은 신뢰성을 잃게 된다. 후속자가 선도자의 움직임을 관찰할 수 없는 상황은 정보가 불완전함을 의미하며, 관찰 가능하다면 최적의 결정을 위해 관찰하는 것이 당연하기 때문이다. 이는 정보가 많을수록 오히려 불리해지는 경우를 보여준다. 반면 쿠르노 경쟁은 게임이 동시에 진행되어 정보가 불완전하므로 어떤 기업도 불리하지 않다.

다른 과점 모형과 비교하면 다음과 같다.

슈타켈베르크 모형의 총 산출량은 쿠르노 모형보다 많지만, 베르트랑 모형보다는 적다.
슈타켈베르크 모형의 가격은 쿠르노 모형보다 낮지만, 베르트랑 모형보다는 높다.
슈타켈베르크 모형의 소비자 잉여는 쿠르노 모형보다 크지만, 베르트랑 모형보다는 작다.
슈타켈베르크 모형의 총 산출량은 독점 또는 카르텔보다는 많지만, 완전 경쟁 시장보다는 적다.
슈타켈베르크 모형의 가격은 독점 또는 카르텔보다는 낮지만, 완전 경쟁 시장보다는 높다.

4. 1. 생산량, 가격, 소비자 잉여

선형 수요함수를 가정하여 슈타켈베르크 모형을 풀이하면 다음과 같다. 역수요함수가 P(q_L+q_F)|P(qL+qF)|a-b(qL+qF)^영어라고 가정할 때, 후발 기업의 최적 반응은 다음과 같은 과정으로 구한다. 편의상 한계비용은 c로 같은 상수임을 가정한다.

후발 기업 이윤함수: π_F|πF|(a-b(qL+qF))qF-CF(qF)^영어
이윤극대화: ∂π_F/∂q_F|∂πF/∂qF|a-bqL-2bqF-c=0^영어
후발기업의 최적반응함수: q_F|qF|(a-c)/2b-(1/2)qL^영어

선도 기업의 이윤함수는 π_L|πL|(a-b(qL+qF))qL-CL(qL)^영어이다. q_F|qF^영어에 후발 기업의 최적반응함수를 대입하면 다음과 같다.

:π_L|πL|(a-b(qL+(a-c)/2b-(1/2)qL))qL-CL(qL)=((a+cF)/2-(b/2)qL)qL-CL(qL)^영어

선도 기업의 이윤극대화조건은 다음과 같다.

:∂π_L/∂q_L|∂πL/∂qL|=((a+c)/2-bqL)-c=0^영어

따라서 선도 기업의 생산량은 q_L|qL|=(a-c)/2b^영어가 된다. 이를 후발 기업의 최적반응함수에 대입하면, 후발 기업의 생산량은 q_F|qF|=(a-c)/4b^영어가 된다. 슈타켈베르크 모형에서는 선도 기업이 더 많은 생산량을 생산하는 전략적 이점을 가지게 되는데, 이를 '''선행자 이점'''(First-mover advantage) 또는 '''선도자 이점'''이라고 한다.^[31]^[32]

수요곡선이 선형으로 주어지고, 한계비용이 두 기업 모두 상수이면서 같다면 선도 기업의 생산량은 독점 기업이 생산하였을 생산량과 같아진다.^[32]

다른 과점 모델과 비교하면 다음과 같다.

	쿠르노 모형	독점
총 산출량	슈타켈베르크 > 쿠르노 < 베르트랑
가격	슈타켈베르크 < 쿠르노 < 베르트랑
소비자 잉여	슈타켈베르크 > 쿠르노 < 베르트랑
총 생산량		슈타켈베르크 > 독점 < 완전경쟁
가격		슈타켈베르크 < 독점 < 완전경쟁

4. 2. 정보의 역할

슈타켈베르크 모형과 쿠르노 모형은 모두 수량 경쟁을 한다는 점에서 비슷하다. 그러나 슈타켈베르크 모형에서는 먼저 움직이는 선도자가 결정적인 이점을 갖는다. 슈타켈베르크 게임에서는 완전 정보라는 중요한 가정이 있다. 즉, 후속자는 선도자가 선택한 수량을 반드시 알아야 한다. 그렇지 않으면 게임은 쿠르노 경쟁과 같아진다. 정보가 불완전하면, 선도자의 위협은 신뢰성을 잃는다. 후속자가 선도자의 움직임을 알 수 없다면, 쿠르노 수준의 수량을 선택하는 것이 비합리적이지 않기 때문이다. 그러나 후속자가 선도자의 움직임을 관찰할 수 없다는 것은 정보가 불완전하다는 뜻이다. 관찰할 수 있다면, 최적의 결정을 위해 관찰하는 것이 당연하다. 따라서 관찰 가능함에도 관찰하지 않겠다는 후속자의 위협은 신뢰할 수 없다. 이는 정보가 너무 많으면 오히려 해가 되는 경우이다. 쿠르노 경쟁에서는 게임이 동시에 진행되므로 (정보가 불완전하므로) 어떤 기업도 불리하지 않다.

리더십 게임에서 불완전 정보는 쿠르노 경쟁으로 이어진다. 그러나 일부 쿠르노 전략은 내쉬균형으로 유지되지만, 부분 게임 완전성이라는 해법 개념을 통해 제거될 수 있다.

어떤 이유에서든, 리더가 어떤 행동을 하든 후속자가 쿠르노 수량을 선택할 것이라고 믿는 슈타켈베르크 게임을 가정해보자. 만약 리더가 슈타켈베르크 행동을 하면, 후속자는 쿠르노 전략을 사용할 것이라고 믿는다. 따라서 리더가 슈타켈베르크 전략을 사용하는 것은 최적이 아니다. 사실, 쿠르노 균형에 따르면 리더는 쿠르노 수량을 사용하는 것이 최선이다. 그렇게 하면 후속자도 쿠르노 전략을 사용하는 것이 최선이다.

다음 전략을 고려할 수 있다. 리더는 쿠르노 전략을 사용하고, 후속자는 리더가 쿠르노 전략을 사용하면 쿠르노 전략을, 리더가 슈타켈베르크 전략을 사용하면 슈타켈베르크 전략을 사용한다. 리더가 다른 전략을 사용하면 후속자는 임의의 전략을 사용한다. 이 경우, 균형 경로에서 각자 최선의 대응을 하고 있으므로 내쉬 균형이다. 그러나 후속자가 리더가 슈타켈베르크 전략을 사용하면 슈타켈베르크 전략을 사용할 것이라고 한다면, 쿠르노 전략을 사용하는 것은 리더의 최선의 대응이 아니다. 이 경우, 리더는 슈타켈베르크 전략을 사용하는 것이 최선이다. 따라서 이 내쉬 균형은 후속자가 리더가 슈타켈베르크 전략을 사용하면 비슈타켈베르크 전략을 사용할 것이라는 사실 때문에 성립한다.

그러나 리더가 이미 슈타켈베르크 전략을 사용했을 때 시작되는 부분 게임에서는 내쉬 균형이 아니다. 리더가 이미 슈타켈베르크 전략을 사용했다면, 후속자는 슈타켈베르크 전략을 사용하는 것이 최선이기 때문이다. 따라서 쿠르노 전략은 부분 게임 완전성을 갖지 않는다.

5. 응용 분야

슈타켈베르크 모형은 공급망, 마케팅 채널^[4], 이종 네트워크,^[5] 유전자 프라이버시,^[6]^[7] 로봇 공학,^[8]^[9] 자율 주행,^[10]^[11] 전력망,^[12]^[13], 통합 에너지 시스템^[14] 등 다양한 분야에 응용된다. 특히 보안 분야에서는 방어자(선도자)가 공격자(추종자)의 전략과 관계없이 자원을 안전하게 보호하기 위한 전략을 설계하는 데 활용된다.^[3]

5. 1. 동적 게임 확장

슈타켈베르크 모형은 동적 게임으로 확장되었다.^[1]^[2] 시간을 차원으로 추가함으로써 정적 게임에서는 발견되지 않는 현상, 예를 들어 선도자의 최적성 원칙 위반과 같은 현상이 발견되었다.^[2]

최근 몇 년 동안 슈타켈베르크 게임은 보안 분야에 적용되었다.^[3] 이러한 맥락에서 방어자(선도자)는 공격자(추종자)가 채택하는 전략에 관계없이 자원이 안전하게 유지되도록 자원을 보호하기 위한 전략을 설계한다. 슈타켈베르크 미분 게임은 공급망과 마케팅 채널을 모델링하는 데에도 사용된다.^[4] 슈타켈베르크 게임의 다른 응용 분야에는 이종 네트워크,^[5] 유전자 프라이버시,^[6]^[7] 로봇 공학,^[8]^[9] 자율 주행,^[10]^[11] 전력망,^[12]^[13] 그리고 통합 에너지 시스템이 포함된다.^[14]

5. 2. 다양한 분야 응용

슈타켈베르크 모형은 공급망, 마케팅 채널^[4], 이종 네트워크,^[5] 유전자 프라이버시,^[6]^[7] 로봇 공학,^[8]^[9] 자율 주행,^[10]^[11] 전력망,^[12]^[13], 통합 에너지 시스템^[14] 등 다양한 분야에 응용된다.

5. 2. 1. 보안 분야

최근 슈타켈베르크 경쟁은 보안 분야 분석에 활용되고 있다.^[18] 방어자(리더)는 공격자(추종자)가 채택한 전략과 관계없이 자원이 안전하게 유지되도록 자원 보호 전략을 설계한다.

5. 2. 2. 기타 분야

슈타켈베르크 모형은 동적 게임으로 확장되었다.^[16]^[17] 시간이라는 차원이 추가되면서, 정적 게임에서는 나타나지 않는 결과, 즉 선도자가 최적의 전략을 취하지 않는 경우가 나타났다.^[17]

최근 슈타켈베르크 경쟁은 보안 분야 분석에 활용되고 있다.^[18] 방어자(리더)는 공격자(추종자)가 어떤 전략을 채택하든 자원이 안전하게 유지되도록 자원 보호 전략을 설계한다. 슈타켈베르크 경쟁은 공급망 및 마케팅 분야 분석에도 사용된다.^[19] 그 외에도 이종 네트워크,^[20] 유전적 프라이버시,^[21]^[22] 로봇 공학,^[23]^[24] 자율 주행,^[25]^[26] 전력망,^[27]^[28] 통합 에너지^[29] 등 많은 분야의 분석에 응용되고 있다.

참조

_[1] 논문 On the Stackelberg strategy in nonzero-sum games http://link.springer[...] 1973-05-00
_[2] 논문 Additional aspects of the Stackelberg strategy in nonzero-sum games http://link.springer[...] 1973-06-00
_[3] 논문 Defending critical infrastructure 2006-00-00
_[4] 논문 A survey of Stackelberg differential game models in supply and marketing channels http://link.springer[...] 2007-12-00
_[5] 논문 E²M³: energy-efficient massive MIMO–MISO 5G HetNet using Stackelberg game https://link.springe[...] 2021-04-28
_[6] 논문 Expanding Access to Large-Scale Genomic Data While Promoting Privacy: A Game Theoretic Approach 2017-02-02
_[7] 논문 Using game theory to thwart multistage privacy intrusions when sharing data 2021-00-00
_[8] 논문 Cooperative Control of Mobile Robots with Stackelberg Learning IEEE 2020-10-24
_[9] 논문 Stackelberg-based Coverage Approach in Nonconvex Environments https://www.mitpress[...] MIT Press 2013-09-02
_[10] 논문 A Stackelberg Game Theoretic Model of Lane-Merging 2020-00-00
_[11] 논문 Stackelberg Punishment and Bully-Proofing Autonomous Vehicles http://link.springer[...] Springer International Publishing 2019-00-00
_[12] 논문 Trilayer Stackelberg Game Approach for Robustly Power Management in Community Grids https://ieeexplore.i[...] 2021-06-00
_[13] 논문 A Stackelberg Security Investment Game for Voltage Stability of Power Systems IEEE 2020-12-14
_[14] 논문 Incentive-based coordination mechanism for distributed operation of integrated electricity and heat systems https://www.scienced[...] 2021-03-01
_[15] 서적 Marktform und Gleichgewicht 1934-00-00
_[16] 논문 On the Stackelberg strategy in nonzero-sum games http://link.springer[...] 1973-05-00
_[17] 논문 Additional aspects of the Stackelberg strategy in nonzero-sum games http://link.springer[...] 1973-06-00
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_[26] 논문 Stackelberg Punishment and Bully-Proofing Autonomous Vehicles http://link.springer[...] Springer International Publishing 2019-00-00
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_[28] 논문 A Stackelberg Security Investment Game for Voltage Stability of Power Systems IEEE 2020-12-14
_[29] 논문 Incentive-based coordination mechanism for distributed operation of integrated electricity and heat systems https://www.scienced[...] 2021-03-01
_[30] 서적 Marktform und Gleichgewicht Springer 1934-00-00
_[31] 서적 미시경제학 시그마프레스 2016-00-00
_[32] 서적 Industrial Organization: Contemporary Theory and Empirical Applications https://archive.org/[...] Wiley 2014-00-00

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