제로섬 게임

3. 해법

2인 제로섬 게임에서 플레이어들이 혼합 전략을 사용할 수 있다면, 게임은 항상 하나의 균형 해를 갖는다. 게임 이론의 해법 개념인 내쉬 균형, 미니맥스, 맥시민은 모두 동일한 해를 제시한다. 그러나 순수 전략의 경우에는 이러한 균형이 성립하지 않을 수 있다.

두 플레이어 제로섬 게임의 내쉬 균형은 선형 계획법 문제를 풀어 구할 수 있다. 제로섬 게임의 보상 행렬을 $M$이라고 할 때, 원소 $M_{i,j}$는 최소화 플레이어가 순수 전략 $i$를 선택하고 최대화 플레이어가 순수 전략 $j$를 선택했을 때 얻는 보상을 의미한다. 여기서 행을 선택하는 플레이어는 보상을 최소화하려고 하고, 열을 선택하는 플레이어는 보상을 최대화하려고 한다. $M$의 모든 원소가 양수라고 가정하면, 이 게임은 적어도 하나의 내쉬 균형을 갖는다.

내쉬 균형은 다음 선형 계획 문제를 풀어 벡터 $u$를 구함으로써 찾을 수 있다.^[12]

최소화:

$\sum_{i} u_i$

제약 조건:

$u \ge 0$

$M u \ge 1$

첫 번째 제약 조건은 $u$ 벡터의 각 원소가 음수가 아니어야 함을 의미하고, 두 번째 제약 조건은 $M u$ 벡터의 각 원소가 1 이상이어야 함을 의미한다. 결과로 나온 $u$ 벡터에서 원소들의 합의 역수가 게임의 값이 된다. $u$에 그 값을 곱하면 확률 벡터가 되는데, 이는 최대화 플레이어가 각 순수 전략을 선택할 확률을 나타낸다.

만약 게임 행렬의 모든 원소가 양수가 아니라면, 모든 원소가 양수가 되도록 충분히 큰 상수를 모든 원소에 더한다. 이렇게 하면 게임의 값은 그 상수만큼 증가하지만, 균형 혼합 전략에는 영향을 미치지 않는다.

최소화 플레이어의 균형 혼합 전략은 주어진 선형 계획 문제의 이중 문제를 풀어서 찾을 수 있다. 또는, $M$의 전치 행렬과 그 부호를 바꾼 수정된 보상 행렬 (양수가 되도록 상수를 더한다)을 사용하여 위 절차를 통해 게임을 풀고 결과를 얻을 수도 있다.

선형 계획 문제의 모든 해를 찾으면, 그 해들은 게임의 모든 내쉬 균형을 구성한다. 반대로, 변수 변경을 통해 위 방정식의 형태로 만들면 어떤 선형 계획 문제든지 2인 제로섬 게임으로 변환할 수 있으므로, 일반적으로 이러한 게임은 선형 계획 문제와 동등하다.^[12]

3. 1. 예시

게임 진행은 다음과 같다. 첫 번째 플레이어(적색)는 두 가지 행동 1 또는 2 중 하나를 비밀리에 선택한다. 두 번째 플레이어(청색)는 첫 번째 플레이어의 선택을 모르는 상태에서 세 가지 행동 A, B, C 중 하나를 비밀리에 선택한다. 이후 선택이 공개되고 각 플레이어의 점수는 해당 선택에 대한 지불에 따라 영향을 받는다. 예를 들어 적색이 행동 2를 선택하고 청색이 행동 B를 선택하면, 적색은 20점을 얻고 청색은 20점을 잃는다.^[1]

이 게임에서 두 플레이어는 모두 지불 행렬을 알고 있으며, 자신의 점수를 최대화하려고 한다. 적색은 행동 1을 선택하면 최대 30점을 얻을 수 있고, 행동 2를 선택하면 최대 20점을 잃을 수 있다는 것을 고려하여 행동 1을 선택하는 것이 더 유리하다고 판단할 수 있다. 청색도 비슷한 방식으로 행동 C를 선택하는 것이 유리하다고 판단할 수 있다. 만약 두 플레이어가 모두 이와 같이 행동하면 적색은 20점을 얻게 된다.^[1]

하지만 청색이 적색의 행동을 예측하고 행동 B를 선택하면, 청색은 10점을 얻을 수 있다. 반대로 적색이 이를 예측하고 행동 2를 선택하면 적색은 20점을 얻게 된다.^[1]

에밀 보렐과 존 폰 노이만은 이러한 상황에서 확률을 이용하여 최적의 전략을 찾을 수 있다는 것을 발견했다. 명확한 행동을 결정하는 대신, 각 행동에 확률을 할당하고 무작위로 행동을 선택하는 것이다. 각 플레이어는 상대방의 전략과 무관하게 자신의 기대 손실을 최소화하는 확률을 계산한다. 이러한 미니맥스 방법을 통해 모든 2인 제로섬 게임에 대한 최적 전략을 계산할 수 있다.^[1]

위의 예시에서 적색은 행동 1을 7분의 4의 확률로, 행동 2를 7분의 3의 확률로 선택해야 한다. 청색은 행동 A, B, C에 대해 각각 0, 7분의 4, 7분의 3의 확률을 할당해야 한다. 이렇게 하면 적색은 게임당 평균 7분의 20점을 얻게 된다.^[1]

4. 확장

1944년, 존 폰 노이만과 오스카 모르겐슈테른은 n명의 플레이어를 위한 모든 비제로섬 게임(Non-zero-sum game)은 n+1명의 플레이어를 가진 제로섬 게임과 동일하며, (n+1)번째 플레이어는 전반적인 이익 또는 손실을 나타낸다는 것을 증명했다.^[22] n인 비제로섬 게임은 (n+1)인 제로섬 게임으로 변환될 수 있는데, 여기서 n+1번째 플레이어는 '가상 플레이어'로 표시되며 다른 n명의 플레이어의 이익(전체 이익/손실)의 합의 음수를 받는다.^[14]

사회심리학의 사회적 함정 개념에 따르면, 어떤 경우에는 개인의 이익을 추구하는 것이 집단의 이익을 가져올 수 있지만, 모든 구성원이 개인의 이익을 추구하여 모두에게 손해가 되는 경우도 있다.

4. 1. 3인 제로섬 게임

5. 현실에서의 예시

바둑, 장기, 체스와 같은 2인용 게임은 승리(+1), 패배(-1), 무승부(0)로 점수를 매길 경우 제로섬 게임에 해당한다.^[27] 경마, 파칭코와 같은 도박은 주최 측의 몫을 제외하고 패자로부터 모은 돈을 승자에게 나누는 제로섬 게임이다. (주최자와 주최자에게 물품이나 작품을 판매하는 사람은 항상 승자이다.)^[27] 외환 거래(FX) 또한 제로섬 게임으로 볼 수 있다 (단, 승자가 소득세를 낼 경우 징세자도 승자가 된다).^[27]

파생상품 거래는 일반적으로 제로섬 게임으로 간주되지만,^[17] 금융 시장은 복잡하고 다면적이므로 절대적인 진실은 아니다. 옵션 계약과 선물 계약이 그 예시이다.^[18]

6. 오해

제로섬 게임, 특히 그 해법은 게임 이론 비판가들에게 흔히 오해되곤 한다. 일반적으로 플레이어의 독립성과 합리성, 그리고 효용 함수의 해석과 관련하여 오해가 발생한다.^[23] 또한 "게임"이라는 단어가 이 모델이 오락용 게임에만 유효하다는 것을 의미하지는 않는다.^[23]

정치는 때때로 제로섬으로 불린다.^[24][25][26] 일반적인 용법에서 교착 상태의 개념이 "제로섬"으로 인식되기 때문이다. 그러나 정치와 거시경제학은 보존 시스템을 구성하지 않기 때문에 제로섬 게임이 아니다.

7. 제로섬 사고

심리학에서 제로섬 사고(zero-sum thinking)는 주어진 상황을 한 사람의 이득이 다른 사람의 손실과 같은 제로섬 게임으로 인식하는 것을 말한다.^[10]

참조

_[1] 서적 Cambridge business English dictionary Cambridge University Press 2011
_[2] 웹사이트 Zero-Sum Game Meaning: Examples of Zero-Sum Games https://www.mastercl[...] Master Class 2022-04-28
_[3] 서적 Theory of games and economic behavior Princeton University Press 2007
_[4] 웹사이트 Zero-Sum Game https://www.investop[...] 2021-04-25
_[5] 논문 Learning game strategy design through iterated Prisoner's Dilemma http://www.inderscie[...] 2008
_[6] 서적 Microeconomics: Behavior, Institutions, and Evolution https://archive.org/[...] Princeton University Press
_[7] 웹사이트 Two-Person Zero-Sum Games: Basic Concepts https://neos-guide.o[...] Neos Guide 2022-04-28
_[8] 서적 Two-Person Zero-Sum Games http://link.springer[...] Springer US 2014
_[9] 웹사이트 Non Zero Sum Game https://www.monash.e[...] 2021-04-25
_[10] 서적 Pooling Game Theory and Public Pension Plan
_[11] 서적 Theory of games and economic behavior Princeton University Press 2007
_[12] 서적 The equivalence of linear programs and zero-sum games Springer 2012
_[13] 서적 Pooling Game Theory and Public Pension Plan
_[14] 논문 Book review, ''Theory of games and economic behavior''. By John von Neumann and Oskar Morgenstern (1944) https://www.ams.org/[...] 1945-07
_[15] 서적 Theory of games and economic behavior Princeton University Press 2007
_[16] 논문 Economic impact of low-cost carrier in a saturated transport market: Net benefits or zero-sum game? 2018-03
_[17] 논문 Why are Gambling Markets Organized so Differently from Financial Markets? https://www.research[...] 2004-02
_[18] 웹사이트 Options vs. Futures: What's the Difference? https://www.investop[...] 2023-04-24
_[19] 논문 Swaps: A Zero Sum Game? https://www.jstor.or[...] 1987
_[20] 논문 The Stock Market as a Game: An Agent Based Approach to Trading in Stocks https://www.research[...] 2008-09
_[21] 서적 Zero-Sum Game: The Rise of the World's Largest Derivatives Exchange https://books.google[...] John Wiley & Sons 2010-10-26
_[22] 서적 Theory of Games and Economic Behavior https://press.prince[...] Princeton University Press (1953) 2005-06-25
_[23] 서적 Playing for real: a text on game theory https://books.google[...] Oxford University Press US
_[24] 뉴스 The flaw in zero sum politics https://www.washingt[...] 2013-10-04
_[25] 뉴스 Lexington: Zero-sum politics https://www.economis[...] 2014-02-08
_[26] 사전 Zero-sum game | Define Zero-sum game at http://www.dictionar[...]
_[27] 서적 The zero-sum society: distribution and the possibilities for economic change Penguin Books 1981