쿠르노 모형

3. 기본 가정

쿠르노 모형에서 기업은 상대 기업이 현재의 산출량을 그대로 유지할 것이라고 가정하고 자신의 행동을 선택한다. 이는 쿠르노 모형의 가장 중요한 특징으로, 두 기업 모두 추종자(follower)로 행동한다는 것을 의미한다.

이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

:$\backslash forall\_\{i,j\}$　$CV\_q\; =\; \{\backslash Delta\; Q\_j\; \backslash over\; \backslash Delta\; Q\_i\}\; =\; 0$

:(단, $i\; \backslash ne\; j$, $CV$는 추측되는 산출량의 변화, $Q$는 산출량)

4. 반응곡선

4. 1. 의미

4. 2. 도출

5. 쿠르노 균형

쿠르노 균형은 두 기업의 반응곡선이 교차하는 지점에서 결정된다. 이 균형점에서 각 기업은 상대방의 생산량에 대해 최적의 생산량을 선택하고 있으며, 따라서 어느 기업도 생산량을 변화시킬 유인이 없다. 쿠르노 균형은 내쉬 균형의 특수한 경우에 해당한다.

오른쪽 그림()에서와 같이 두 기업의 반응곡선은 E점에서 교차하게 된다. 빨간색 화살표들은 균형이 아닌 상태에서 어떤 조정을 거쳐 균형에 도달하는 지를 보여주는 것이다.

쿠르노 경쟁 모형에서 각 기업의 이윤함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash Pi\_1(Q)=p(Q)q\_1\; -\; \backslash chi\; q\_1$

:$\backslash Pi\_2(Q)=p(Q)q\_2\; -\; \backslash chi\; q\_2$

여기서 p(Q)는 시장 가격, Q는 총 생산량 ($Q=q\_1+q\_2$), $q\_1$과 $q\_2$는 각 기업의 생산량, $\backslash chi$는 한계 비용이다.

각 기업은 이윤 극대화를 추구하며, 1차 조건(F.O.C.)은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash Pi\_1(q\_1,q\_2)\}\{\backslash partial\; q\_1\}=a-2bq\_1-bq\_2-\backslash chi=0$

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash Pi\_2(q\_1,q\_2)\}\{\backslash partial\; q\_2\}=a-bq\_1-2bq\_2-\backslash chi=0$

이는 한계 비용($\backslash text\{MC\}$)이 한계 수입($\backslash text\{MR\}$)과 같을 때 이윤이 극대화됨을 의미한다.

위 식을 풀면 각 기업의 최적 반응 함수를 얻을 수 있다.

:$q\_1=\backslash frac\{a-\backslash chi\}\{2b\}-\backslash frac\{q\_2\}\{2\}$

:$q\_2=\backslash frac\{a-\backslash chi\}\{2b\}-\backslash dfrac\{q\_1\}\{2\}$

두 기업이 동일한 비용 구조를 가질 경우, $q\_1=q\_2=q^*$ 로 놓고 풀면 쿠르노 균형 생산량 $q^*=\backslash frac\{a-\backslash chi\}\{3b\}$를 얻을 수 있다. 이때 시장 전체의 생산량은 $Q=q\_1^*+q\_2^*=\backslash frac\{2(a-\backslash chi)\}\{3b\}$가 된다.

두 기업의 수입은 각각 $pD\_1$과 $pD\_2$이며, 각 기업은 자신의 생산량($D\_1$ 또는 $D\_2$)에 대해 최적화를 수행하여 이윤을 최대화한다. 균형점에서는 다음 방정식이 성립한다.

:$f(D\_1+D\_2)\; +\; D\_1\; f\text{'}(D\_1+D\_2)\; =\; 0$ 및

:$f(D\_1+D\_2)\; +\; D\_2\; f\text{'}(D\_1+D\_2)\; =\; 0$

균형점은 이 두 방정식을 동시에 풀어 찾을 수 있으며, 결과적으로 두 생산자는 동일한 수량을 공급하게 된다.

만약 기업 1이 $x\_\backslash textsf\{l\}$만큼 시장에 공급했다면, 기업 2는 빨간 선을 기반으로 추론하여 수입을 최대화하기 위해 $y\_\backslash textsf\{l\}$만큼 공급할 것이다. 그러나 기업 1도 파란 선을 기반으로 동일하게 생각하여, 전략을 변경한다. 이것이 반복되어 $(x,y)$ 좌표의 $i$ 지점, 즉 균형에 도달한다.

5. 1. 균형의 안정성

6. 모델의 확장

칼 샤피로(Carl Shapiro)는 실제 경제를 관찰하면 쿠르노 생산량 경쟁 모델과 상반되는 기업 행동이 나타난다고 말했다.^[25][26]

쿠르노 모형은 복점(기업이 두 개인 경우)뿐만 아니라 과점(기업이 세 개 이상) 시장에도 적용할 수 있다. 기업 수가 증가할수록 시장 가격은 하락하고 총 생산량은 증가하는 경향을 보인다.

6. 1. 과점 (Oligopoly)

6. 2. 이질적인 상품

6. 3. 동태적 모형

7. 베르트랑의 비판과 경쟁 모형

조제프 베르트랑은 레옹 발라스의 ''부의 사회적 수학 이론''을 검토하면서 쿠르노 모형의 가정을 비판했다. 베르트랑은 기업들이 생산량이 아닌 가격을 경쟁 변수로 사용하는 베르트랑 경쟁 모형을 제시했다.^[17] 베르트랑은 쿠르노가 두 소유주의 생산량을 독립 변수로 간주하여, 한쪽 소유주가 생산량을 변경해도 다른 소유주의 생산량은 일정하게 유지된다고 가정한 점을 비판했다.^[17]

베르트랑 모형에서 동질적인 상품을 생산하는 두 기업이 가격 경쟁을 벌일 경우, 각 기업은 상대보다 낮은 가격을 제시하여 시장을 확보하려 한다. 이러한 경쟁은 가격이 한계 비용 수준까지 하락하는 결과로 이어진다.^[19] 어빙 피셔는 베르트랑이 이러한 모델을 처음 제시했다고 평가했으며, 이후 이 모델은 베르트랑 경쟁으로 알려지게 되었다.^[19]

빌프레도 파레토는 베르트랑의 비판에 대해 그가 '비판한 책들을 참조하지 않고 기사를 썼다'고 평가했다.^[18]

8. 비판 및 한계

쿠르노 모형에서 단일 가격은 두 소유자 모두에게 적용된다. 드 보르니에는 "주어진 순간에 단일 가격만 존재할 수 있다는 명백한 결론"은 "제품 동질성이라는 그의 모델에 관한 필수적인 가정"에서 따른다고 설명한다.^[12]

이후 쿠르노는 소유자가 "가격을 적절하게 변경하여" 공급량을 조정할 수 있다고 썼는데,^[13] 두 공급자가 동시에 단일 가격을 통제하는 것은 불가능하다. 단일 가격은 각 소유자의 개별 통제 하에 있는 문제에 대한 결정의 결과로 시장에 의해 결정되어야 한다.

쿠르노의 영어 번역가인 내서니얼 베이컨은 그의 단어를 "자신의 가격을 적절하게 조정"으로 수정했다.^[14] 프랜시스 이시드로 에지워스는 쿠르노의 가격 평등을 "불완전 경쟁의 경우에 추상적으로 필요한 것이 아니라... 특수한 조건"으로 간주했다.^[15] 장 마냥 드 보르니에는 쿠르노의 이론에서 "각 소유자는 가격을 수량 조절 변수로 사용할 것"이지만, 하나의 가격이 어떻게 두 개의 수량을 조절할 수 있는지에 대해서는 언급하지 않는다고 말한다. A. J. 니콜은 "가격이 구매자에 의해 직접 결정되지 않는 한" 쿠르노의 이론은 아무런 의미가 없다고 주장했다.^[16] 칼 샤피로는 "쿠르노 이론에서 가격 형성의 실제 과정은 다소 신비롭다"고 언급했다.^[9]

9. 한국 경제에의 시사점

참조

_[1] 서적 Intermediate Microeconomics: A Modern Approach https://books.google[...] W. W. Norton & Company
_[2] 서적 Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses https://books.google[...] The Macmillan Company 2022-12-13
_[3] 간행물 Dynamic Cournot duopoly with intertemporal capacity constraints https://cris.maastri[...] Elsevier 2023-01-22
_[4] 간행물 Cournot, bertrand, and modern game theory Springer Science+Business Media
_[5] 간행물 Cournot and mathematical economics Oxford University Press
_[6] 간행물 The legacy of Augustin Cournot https://www.persee.f[...] 2022-12-13
_[7] 서적 Le Petit Robert Dictionnaires Le Robert
_[8] 문서 Cournot 1897
_[9] 간행물 Theories of oligopoly behavior Elsevier
_[10] 서적 Strategy and Market Structure: Competition, Oligopoly, and the Theory of Games John Wiley & Sons
_[11] 문서 Cournot 1897
_[12] 간행물 The "Cournot-Bertrand Debate": A Historical Perspective https://competitiona[...] Duke University Press 2022-12-13
_[13] 문서 Cournot 1897
_[14] 문서 Cournot 1897
_[15] 서적 Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences https://socialscienc[...] C. Kegan Paul & Co. 2022-12-13
_[16] 간행물 A Re-Appraisal of Cournot's Theory of Duopoly Price The University of Chicago Press
_[17] 문서 de Bornier 1992
_[18] 백과사전 Économie mathématique https://www.gabay-ed[...] Gauthier-Villars 2022-12-13
_[19] 문서 Fisher 1898
_[20] 서적 Intermediate Microeconomics: A Modern Approach https://books.google[...] W. W. Norton & Company
_[21] 서적 Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses https://books.google[...] The Macmillan Company 2022-12-13
_[22] 간행물 Dynamic Cournot duopoly with intertemporal capacity constraints https://cris.maastri[...] Elsevier 2023-01-22
_[23] 간행물 Cournot, bertrand, and modern game theory Springer Science+Business Media
_[24] 간행물 Cournot and mathematical economics Oxford University Press
_[25] 간행물 Theories of oligopoly behavior Elsevier
_[26] 서적 Strategy and Market Structure: Competition, Oligopoly, and the Theory of Games John Wiley & Sons